Đại số tổ hợp - Trang 1 - Người soạn: Phạm Văn Luật ĐẠI SỐ TỔ HP I. HOÁN VỊ − CHỈNH HP − TỔ HP: 1.Qui tắc cộng và qui tắc nhân: a) Qui tắc cộng : Nếu có m 1 cách chọn đối tượng x 1 , m 2 cách chọn đối tượng x 2 ,… , m n cách chọn đối tượng x n , và nếu cách chọn đối tượng x i không trùng bất kỳ cách chọn đối tượng x j nào (i≠j; i,j=1,2,…,n) thì có m 1 +m 2 +…+m n cách chọn một trong các đối tượng đã cho. Cách khác: Một công việc được thực hiện qua nhiều trường hợp độc lập nhau. Trường hợp 1 có m 1 cách thực hiện, trường hợp 2 có m 2 cách thực hiện, …trường hợp n có m n cách thực hiện thì số cách thực hiện cả công việc là m 1 +m 2 +…+m n. b) Qui tắc nhân : Nếu 1 phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp nhau, bước 1 có m 1 cách, bước 2 có m 2 cách, . . ., bước n có m n cách, thì phép chọn đó được thực hiện theo m 1 . m 2 . … .m n cách khác nhau. Cách khác: Một công việc được thực hiện qua nhiều giai đoạn:Giai đoạn 1 có m 1 cách thực hiện, giai đoạn 2 có m 2 cách thực hiện, …giai đoạn n có m n cách thực hiện thì số cách thực hiện cả công việc là m 1 . m 2 . … .m n 2.Hoán vò: A. Hoán vò thẳng: a) Đònh nghóa: Cho tập hợp A gồm n phần tử . Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử (n≥1) của tập hợp A được gọi là 1 hoán vò của n phần tử đó. b) Đònh lý: Nếu ký hiệu số hoán vò của n phần tử là P n , thì: n1.2.3) 2n)(1n(nP n =−−= ! Qui ước: 0!=1 B. Hoán vò có lặp lại: a) Đònh nghóa: Có n vật, sắp vào n vò trí. Trong đó: n 1 vật giống nhau n 2 vật giống nhau …. n k vật giống nhau ( Hẳn nhiên là n= n 1 +n 2 +…+n k ) b) Đònh lý: Số hoán vò có lặp lại của n vật trên là: !n! n!n !n k21 Đại số tổ hợp - Trang 2 - Người soạn: Phạm Văn Luật C. Hoán vò tròn : a) Đònh nghóa: Có n vật, sắp vào n vò trí chung quanh một đường tròn. b) Đònh lý: Số hoán vò tròn của n vật trên là: P n − 1 = (n−1)! 3.Chỉnh hợp: a) Đònh nghóa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k (1 ) k n ≤ ≤ phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của của n phần tử . b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử la ø : )!kn( !n )1kn) (2n)(1n(nA k n − =+−−−= Đặc biệt: Khi n n n k n A P = ⇒ = 4.Tổ hợp: a) Đònh nghóa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k )0( nk ≤≤ phần tử của A được gọi là 1 tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. b) Số tổ hợp chập k của n phần tử la ø : )!kn(!k !n C k n − = c) Tính chất: 1) kn n k n CC − = 2) k n k n k n CCC =+ − − − 1 1 1 3) k n k n C!kA = II.CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON: 1.Công thức nhò thức Newton: Với hai số thực a và b và n∈N ta có công thức: nn n kknk n 1n1 n n0 n n bC baC baCaC)ba( +++++=+ −− 2.Các tính chất: a) Vế phải có n+1 số hạng. b) Trong mỗi số hạng tổng số mũ của a và b là n. c) Số hạng thứ k+1 của công thức khai triển có dạng : kknk n1k baCT − + = )n, ,3,2,1,0k( = d) Các hệ số cách đều số hạng đầu và cuối là bằng nhau. nn n 2 n 1 n 0 n 2C CCC)e =++++ . 0C)1( CCC)f n n n2 n 1 n 0 n =−+++− . Đại số tổ hợp - Trang 3 - Người soạn: Phạm Văn Luật BÀI TẬP: I. VỀ ĐẠI SỐ TỔ HP 1) Cho 7 chữ số :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. a) Từ 7 chữ số trên, có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau? Kết quả: 5 7 A 2520 = b) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số chẵn? Kết quả:6.5.4.3.3=1080 c) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 7? Kết quả: 5. 1800A 4 6 = 2) Cho 6 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6. a) Từ các chữ số trên, có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau? Kết quả: 720A 5 6 = b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số lẻ? Kết quả: 3603.A 4 5 = c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số trong đó có mặt 2 chữ số 1 và 2? Hướng dẫn và kết quả: Liệt kê 4 tập con có chứa 1 và 2, có thể tạo 4.5!= 480 số. 3) Cho 5 chữ số 0,1, 3, 6, 9. a) Từ 5 chữ số ấy, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau? Kết quả: 96A.4 3 4 = b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chẵn? Kết quả: 421.A.31.A 2 3 3 4 =+ c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chia hết cho 3? Hướng dẫn và kết quả: Chọn trong tập chứa các phần tử chia hết cho 3 là A={ 0,3,6,9} Vậy có 3 18!3.3A. 3 3 == số chia hết cho 3. 4) Cho 6 chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5. a) Tư ø các chữ số trên có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau? Kết quả: 5. 600A 4 5 = b) Trong các chữ số trên có bao nhiêu số chẵn ? Kết quả: 600 − 4. 3.A 3 4 (lẻ)=312 c) Trong các chữ số trên có bao nhiêu số có mặt chữ số 0? Hướng dẫn và kết quả: Hoán vò các phần tử trong tập A={1,2,3,4,5} ta có 5!=120 số không có mặt chữ số 0. Phần bù: 600 − 120=480 số có mặt chữ số 0. Đại số tổ hợp - Trang 4 - Người soạn: Phạm Văn Luật 5) Xét các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3 và 4, Hỏi có bao nhiêu số : a) Được tạo thành Kết quả: 4!=24 b) Bắt đầu bởi chữ số 1? Kết quả: 1.3!=6 c) Không bắt đầu bằng chữ số 2? Kết quả: P 4 − 1.P 3 =18. 6) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1,2, 3, 4, 5 và 6 và lớn hơn 300.000 Kết quả: 4.5!=480 7) Có bao nhiêu sốtự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 9. Kết quả: Có 3 tập X 1 ={1;2;6} , X 2 ={1;3;5} và X 3 ={2;3;4} có tổng các phần tử bằng 9. Vậy có 3.3!=18 số. 8) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt một lần? Hướng dẫn và kết quả: Cách 1: Xếp chữ số 0 trước: 7 cách (bỏ ô đầu).Xếp chữ số 2: còn 7. Xếp chữ số 3: còn 6. Xếp chữ số 4: còn 5. Xếp chữ số 5: còn 4. Xếp chữ số 1 vào 3 ô còn lại: 1 cách (Không thứ tự). Vậy có: 7.7.6.5.4.1=5880 số. Hoặc: 1 0 1 2 3 1 5 4 Muốn có một số cần tìm ta xếp các chữ số 0, 2, 3, 4 và 5 vào 5 trong 8 ô vuông, sau đó xếp chữ số 1 vào 3 ô còn lại (không thứ tự ). Vậy có 67201.A 5 8 = số, kể cả các số có chữ số 0 đứng đầu ( có 840A.1 4 7 = số). Vậy có 6720 − 840=5880 số. 9) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 2 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? Kết quả: 360 !2 !6 = số. Hoặc: 1 5 1 2 4 3 Muốn có một số cần tìm ta xếp các chữ số 2, 3, 4 và 5 vào 4 trong 6 ô vuông, sau đó xếp chữ số 1 vào 2 ô còn lại (không có thứ tự ). Vậy có 3601.A 4 6 = số 10) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 12? Kết quả: Có 7 tập hợp chứa 3 phần tử khác 0 có tổng 12 và có 3 tập hợp chứa 3 phần tử có phần tử 0 có tổng 12.Vậy có 7.3!+3.(2.2.1)=54 số. Đại số tổ hợp - Trang 5 - Người soạn: Phạm Văn Luật 11) Với 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 8 có bao nhiêu cách lập những số gồm 4 chữ số khác nhau, biết: a) Các số này < 5000? Kết quả: 2. 3 Ï5 A =120 số. b) Các số này chẵn < 7000? Kết quả: x= abcd : d=8 có 4.4.3.1= 48 số ; d ≠ 8 có 3.4.3.2=72 số. Vậy có 48+72=120 số 12) Từ tập hợp A={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} có thể lập được bao nhiêu số mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5? Kết quả: x= abcde : a=5 có 1.6.5.4.3= 360 số ; a ≠ 5 có 4(5.5.4.3)=1200 số. Vậy có 360+1200=1560 số Hoặc: 6. 4 5 4 6 A.5A − (không có chữ số 5)=1560 13) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ta lập thành bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? Kết quả: 3024A 4 9 = 14) Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5. Kết quả: 54 số. 15) Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau được lập nên từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7? Chứng minh rằng tổng của tất cả các số này chia hết cho 9. Kết quả: 7!=5040 số. S=2520.8888888 M 9 16) Có bao nhiêu số có các chữ số khác nhau có thể lập thành từ các chữ số 2, 4, 6 và 8. Kết quả: 64AAAA 4 4 3 4 2 4 1 4 =+++ số 17) Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số khác nhau, trong đó phải có mặt cả 2 chữ số 0 và 1? Hướng dẫn và kết quả: Cách 1: Tư ø A={2,3,4,5,6,7,8,9} có thể lấy ra 7 8 C 8 = tập con có 7 phần tử không có 0 và 1. Hợp mỗi tập con này với {0,1} ta có 8 tập con có 9 phần tử trong đó có 0 và 1. Từ mỗi tập hợp này có thể tạo 8.8!=322560. Vậy có 8.322560=2580480 số. Cách 2: Cho 0 xuất hiện trước: Có 8 cách ( vì 0 không được đứng đầu). Cho 1 xuất hiện kế tiếp: Có 8 cách. Tiếp theo ta xếp 8 chữ số còn lại vào 7 vò trí còn lại: Có 7 8 A 40320 = cách. Vậy có: 8.8.40320=2580480 số. Cách 3: Có 3 loại số trong 8 9 9.A 3265920 = số tạo được có 9 chữ số khác nhau: Có số chỉ xuất hiện 0 (không có 1), chỉ xuất hiện 1 (không có 0), có số xuất hiện cả 0 và 1 Có 9!=362880 số chỉ xuất hiện 1 (không có 0) và có 9!−8!=322560 số chỉ xuất hiện 0 (không có 1). Vậy có:3265920−(362880+322560)=2580480 số có cả 0 và 1. 18) Từ 5 chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, trong đó: Đại số tổ hợp - Trang 6 - Người soạn: Phạm Văn Luật a) 2 chữ số 1và 2 đứng cạnh nhau? b) 2 chữ số 1và 2 không đứng cạnh nhau? Hướng dẫn và kết quả: a) Giai đoạn 1: Cho 2 chữ số 1 và 2 vào 2 ô liền nhau, 3 chữ số 3, 4, 5 vào 3 ô còn lại: Có 4!=24 cách xếp. Giai đoạn 2: Vì 1 và 2 nằm trong 2 ô liền nhau nên có 2!=2 cách xếp. Theo quy tắc nhân, có 24.2=48 số. b) Có 5!=120 số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập nên từ 5 chữ số đã cho trong đó có thể có 1 và 2 đứng cạnh nhau; hoặc 1 và 2 không đứng cạnh nhau. Vậy có 120−48=72 số trong đó 1 và 2 không đứng cạnh nhau. 19) Từ 4 chữ số 0,1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số , trong đó chữ số 3 xuất hiện 4 lần, các chữ số 0, 1, 2 chỉ xuất hiện 1 lần. Hướng dẫn và kết quả: Tương tự bài 8b): Có 3 2 7 6 A .1 A 180 − = số. Ta có thể giải bằng cách khác: Với 7 ô :        Giai đoạn 1: Ta lắp chữ số 0 vào trước: Có 6 cách (bỏ ô đầu tiên). Giai đoạn 2: Ta lắp chữ số 1 vào 6 ô còn lại: Có 6 cách. Giai đoạn 3: Ta lắp chữ số 2 vào 5 ô còn lại: Có 5 cách. Giai đoạn 4: Ta lắp chữ số 3 vào 4 ô còn lại: Có 1 cách (không thứ tự). Theo quy tắc nhân có : 6.6.5.1=180 số. 20) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, sao cho 2 chữ số kề nhau phải khác nhau? Kết quả: 9.9.9.9.9=59049. 21) Từ 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau sao cho luôn có mặt chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là chữ số 1? Kết quả: 1.3. 2 5 A =60 số (1 cách xếp chữ số 1, 3 cách xếp chữ số 7 và 2 5 A cách xếp 2,3,4,5,6 vào 2 vò trí còn lại). 22) a) Có bao nhiêu số tự nhiên (được viết trong hệ đếm thập phân) gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau? b) Hãy tính tổng tất cả các số tự nhiên nói trên? Kết quả: a) 4 5 A =120 b)60X155554 = 9333240 23) Cho 5 chữ số:1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 4 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên? Kết quả: 4.3.2.3=72 24) Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, nhỏ hơn 10000 được tạo thành từ 5 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4? Kết quả: 5+4.5+4.25+4.125= 625 25) Với 10 chữ số từ 0 đến 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số, mà các chữ số đó đều khác nhau? Kết quả: 9.8.7.1+8.8.7.4=2296 Đại số tổ hợp - Trang 7 - Người soạn: Phạm Văn Luật 26) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết tổng ba chữ số này bằng 8. Kết quả: Có 2 tập có tổng 3 phần tư ûbằng 8. Vậy có 2.3!=12 số 27) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 . Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số tự nhiên : a) Gồm 4 chữ số khác nhau và là số chẵn Kết quả: 5.4.3.1+4.4.3.2=156 b) Gồm 4 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 3000 Kết quả: 2.5.4.3=120 c) Gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 4 Kết quả: 1 2 3 4 3 4 a a a a 4 a a 4 ⇔ M M . Có 72 số d) Gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 Kết quả: 108 e) Gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 Kết quả: 216 28) Cho 5 quả cầu trắng bán kính khác nhau và 5 quả cầu xanh bán kính khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 quả cầu đó thành 1 dãy từ trái sang phải, sao cho không có 2 quả cầu cùng màu đứng cạnh nhau? Kết quả:28800 29) Hội đồng quản trò của 1 xí nghiệp gồm 11 người, trong đó có 7 nam và 4 nữ. Từ hội đồng quản trò đó người ta muốn lập ra1 ban thường trực, trong đó ít nhất 1 người nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban thương trực có 3 người? Kết quả: 161 30) Nhân ngày sinh nhật, các bạn tặng Hồng Nhung 1 bó hoa gồm 10 bông hồng trắng và 1 bó hoa gồm 10 bông hồng nhung. Hồng Nhung muốn chọn ra 5 bông để cắm bình. Hỏi Hồng Nhung có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 bông ấy phải có ít nhất : a) 2 bông trắng và 2 bông nhung . b) 1 bông trắng và 1 bông nhung . Kết quả: a)10800 b)15000 31) Lúc khai mạc 1 hội nghò có 5 đại biểu. Các đại biểu đều lần lượt bắt tay nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay? Kết quả: 10 32) Có bao nhiêu cách xếp đặt 3 người đàn ông, 2 người đàn bà ngối trên 1 ghế dài sao cho những người cùng phái ngồi cạnh nhau? Kết quả: 24 33) Gieo 3 hột xúc xắc vào trong 1 cái chén, hỏi có bao nhiêu kết quả khác nhau cả thảy ? Kết quả: 6 3 =216 Đại số tổ hợp - Trang 8 - Người soạn: Phạm Văn Luật 34) Có 5 con đường nối 2 thành phố X và Y, có 4 con đường nối 2 thành phố Y và Z. Muốn đi từ X đến Z phải qua Y . a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi từ X đến Z? b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi và về từ X đến Z rồi về lại X bằng những con đường khác nhau? Kết quả: a) 20 b) (5X4)X(3X4)=240 35) Có bao nhiêu đường chéo trong hình thập giác lồi? Kết quả: 35 36) Vẽ 5 đường thẳng song song trên một tờ giấy. Sau đó vẽ tiếp 6 đường thẳng song song khác cắt cả 5 đường thẳng vẽ lúc đầu. Có bao nhiêu hình bình hành tạo được? Kết quả: 150C.C 2 6 2 5 = 37) Cho tập P gồm 10 điểm phân biệt trong mặt phẳng : a) Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh lấy trong P nếu không có 3 điểm nào lấy trong P thẳng hàng? Kết quả: 3 10 C 120 = b) Cũng câu hỏi như câu a) nếu trong P có đúng 4 điểm thẳng hàng. Kết quả: 3 3 10 4 C C 116 − = 38) Một nhóm gồm 10 học sinh ( 7 nam và 3 nữ ) . Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh trên thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam đứng liền nhau Kết quả: 4!.7!=120960 39) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở đòa điểm A; 2 người ở đòa điểm B và 4 người trực nhật tại đồn . Có bao nhiêu cách phân công? Kết quả: 3 2 9 6 C .C .1 1260 = 40) Có 10 câu hỏi ( 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập ) . Một đề thi gồm có 3 câu có cả lý thuyết và bài tập. Có bao nhiêu cách tạo đề thi? Kết quả: 96(có 2 t.h) 41) Lớp học có 40 học sinh ( 25 nam và 15 nữ) . Cần chọn một nhóm gồm 3 học sinh . Hỏi có bao nhiêu cách : a) Chọn 3 học sinh bất kỳ . Kết quả: 3 40 C =9880 b) Chọn 3 học sinh gồm 1 nam và hai nữ . Kết quả: 2625 c) Chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam. Kết quả: 9425 42) Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy. Kết quả: 3 3 3 3 6 5 6 5 C .C .3! C .A = =1200 Đại số tổ hợp - Trang 9 - Người soạn: Phạm Văn Luật 43) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, trong đó phải có mặt đồng thời 2 chữ số 1 và 2?Kết quả:720−240=480 số. 44) Tìm n sao cho: a) .48. 12 = − n nn CA b) 23 24 CA A 4n n 3 1n 4 n = − − + . c) n 6 n 5 n 4 C 1 C 1 C 1 =− . d) 210 AP P 4n 1n3 2n = − − + . e) 6 1 P PP 1n 1nn = − + − . Kết quả: a) n = 4, b)n = 5, c)n = 2, d)n = 5, e) n = 2 V n = 3 45) Giải các phương trình: a) 8x.Px.P 3 2 2 =− . b) Nx,A50A2 2 x2 2 x ∈=+ c) x 2 7 CCC 3 x 2 x 1 x =++ . Kết quả: a)x = −1 V x = 4, b) x = 5, c)x = 4 46) Giải các phương trình: a) 2 2x 2 1x 3 1x A 3 2 CC −−− =− b) 1 4x 2 1x 1 x C6 7 C 1 C 1 ++ =− Kết quả: a) x=9, b) x = 3 V x = 8 47) Giải phương trình 2n n 3 n CA − + =14n. Kết quả:n=5. 48) Giải phương trình 4 n 3 n C2A − = 3 2 n A Kết quả: n=6 V n=11 49) Giải hệ phương trình:    = = 12A 6C y x y x Kết quả:x=4 và y=2 50) Tìm n biết: 8CA 1 n 2 n <− Kết quả: n = 2 V n = 3 Đại số tổ hợp - Trang 10 - Người soạn: Phạm Văn Luật 51) Giải hệ phương trình:    = = − −− 1y x y x 1y x 2y x CC C3C5 Kết quả: x = 7 và y = 4 52) Tính hệ số của số hạng chứa 3 x trong khai triển của: 743 )1x()1x3()1x2()x(P +++−+= . Kết quả:−65 53) Khai triển của n x 1 x       − có tổng các hệ số của 3 số hạng đầu là 28. Tìm số hạng thứ 5 của khai triển đó. Kết quả:126x 54) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của: 10 x 1 x2       − . Kết quả: −8064 55) Khai triển: (x+2) 4 Kết quả: x 4 +8x 3 +24x 2 +32x+16 56) Tìm hệ số a 5 b 3 trong khai triển (a + b) 8 . Kết quả:56. 57) Tìm hai số hạng chính giữa trong khai triển:(x 3 – xy) 15 . Kết quả: T 8 = − 6435.x 31 y 7 ; T 9 = 6435 x 29 y 8 58) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: 12 x 1 x         + Kết quả:T 9 =495 59) Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển: ).3n(7CC : biếtx x 1 n 3n 1n 4n n 5 3 +=−       + + + + Kết quả: n = 12 và a 9 =495 60) Đa thức P(x) = ( 1+x) 9 + (1+x) 10 + … + (1+x) 14 có dạng khai triển là P(x) = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a 14 x 14 . Tính hệ số a 9. Kết quả:3003 61) Xét khai triển của: .)xyx( 153 + Tính hệ số của hạng tử chứa .yx 1221 Kết quả: 455 62) Tìm n biết trong khai triển ( x + 2 1 ) n thành đa thức đối với biến x, hệ số của x 6 bằng bốn lần hệ số của x 4 Kết quả: n=10 63) Tìm số hạng không chứa ẩn x trong khai triển nhò thức 12 1 ( ) x x + Kết quả: 495 Đại số tổ hợp - Trang 11 - Người soạn: Phạm Văn Luật 64) Tìm số hạng không chứa ẩn x trong khai triển : (x 2 + x 3 1 ) 10 Kết quả: k=4 ⇒ C 4 10 = 210 65) Tìm hệ số của x 101 y 99 trong khai triển (2x−3y) 200 Kết quả: 99101 99 200 3.2. C 66) Chứng minh rằng: a) C 0 n2 + C 2 n2 +… + C n2 n2 = C 1 n2 + C 3 n2 +…+ C 1n2 n2 − Hướng dẫn: Khai triển (a+b) 2n với a = 1 , b = −1 b) C 1 n +2 C 2 n +3 C 3 n +…+n C n n = n2 n − 1 . Hướng dẫn: Lấy đạo hàm y= (1+x) n rồi thay x=1. 67) Chứng minh rằng: nn2 n2 3 n2 2 n2 1 n2 0 n2 4C CCCC =+++++ 68) Chứng minh rằng: 1n 12 C 1n 1 C 3 1 C 2 1 C)b x)(1f(x) với (1)''f'(1)'f' Lấy :dẫn Hướng 2)nn(Cn C3C2C1)a 1n n n 2 n 1 n 0 n n 2n2n n 23 n 22 n 21 n 2 + − = + ++++ +=+ +=++++ + − 69) Tính S= 0 1 6 6 6 6 C C C + + + Hướng dẫn: Xét (x+1) 6 và thay x=1.Kết quả: 64 70) Tính T= 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 2 2 2 2 2 C C C C C C + + + + + Hướng dẫn: xét với (1+x) 5 với x=2 Kết quả: 243 71) Viết khai triển của biểu thức ( 3x –1 ) 16 . Từ đó chứng minh rằng 16 0 15 1 14 2 16 16 16 16 16 16 3 3 3 2 C C C C − + − + = . Hướng dẫn: Thay x=1 72) Tìm các số âm trong dãy số: n2n 4 4n n P4 143 P A x −= + + . Kết quả: 4 63 x 1 −= , 8 23 x 2 −= 73) Tìm k∈N để k 14 C , 1k 14 C + , 2k 14 C + lập thành một cấp số cộng. Kết quả: k=4 V k=8 74) Tìm số tự nhiên x sao cho: 8 x 9 x 10 x A9AA =+ Kết quả: x=11 . không có mặt chữ số 0. Phần bù: 600 − 120=480 số có mặt chữ số 0. Đại số tổ hợp - Trang 4 - Người soạn: Phạm Văn Luật 5) Xét các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3 và. phần tử 0 có tổng 12.Vậy có 7.3!+3.(2.2.1)=54 số. Đại số tổ hợp - Trang 5 - Người soạn: Phạm Văn Luật 11) Với 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 8 có bao nhiêu cách lập những số gồm 4 chữ số khác nhau,. Đại số tổ hợp - Trang 1 - Người soạn: Phạm Văn Luật ĐẠI SỐ TỔ HP I. HOÁN VỊ − CHỈNH HP − TỔ HP: 1.Qui tắc cộng và qui tắc nhân: a) Qui tắc