Đang tải... (xem toàn văn)
Năm mươi bài tập hình học vi phân có lời giải rõ ràng chi tiết, phù hợp với giáo trình hình học vi phân của Đoàn Quỳnh. Một tài liệu hữu ích cho các bạn sinh viên ngành sư phạm Toán năm thứ 4 tại các trường đại học sư phạm.
MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC VI PHÂN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Bài 1.1 Cho ϕ , ψ là các hàm số khả vi trên U, , p p p T U α β ∈ , k R ∈ thì ta có a) [ + ] [ ] [ ] p p p α ϕ ψ α ϕ α ψ = + b) ( )[ ] [ ] [ ] p p p p α β ϕ α ϕ β ϕ + = + c) ( )[ ] [ ] p p k k α ϕ α ϕ = d) [ ] [ ]. ( ) ( ) [ ] p p p p p α ϕψ α ϕ ψ ϕ α ψ = + Bài 1.2 V ớ i , X Y VecU ∈ , , ϕ ψ ∈ F(U) ta có các công thức sau a) [ + ] [ ] [ ] X X X ϕ ψ ϕ ψ = + b) ( )[ ] [ ] X X ϕ ψ ϕ ψ = c) ( )[ ] [ ] [ ] X Y X Y ϕ ϕ ϕ + = + d) [ ] [ ] [ ] X X X ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ = + Bài 1.3 Chứng minh rằng nếu * f X là ảnh của trường vectơ X ( ) Vec U ∈ qua vi phôi f: U V → thì với mọi hàm số ϕ trên V ta có ( ) 1 * [ ] [ .f ]. f X X f ϕ ϕ − = Bài 1.4 Cho U là tập mở trong n E , với toạ ñộ afin ( ) 1 , , n x x của n E thì mọi 1 ( ) U θ ∈Ω vi ế t ñượ c duy nh ấ t d ướ i d ạ ng 1 , n i i i dx θ ϕ = ∑ = i ϕ ∈ F (U) và ( ) 1 1 n n i i i i i i d dx d dx ϕ ϕ = = ∑ ∑ = ∧ . Ch ứ ng minh r ằ ng ánh x ạ 1 2 : ( ) ( ) d U U Ω → Ω tho ả mãn các tính ch ấ t sau: a) d là R- tuy ế n tính. b) ( ) d d d ϕθ ϕ θ ϕ θ = ∧ + v ớ i 0 1 ( ), ( ). U U ϕ θ ∈Ω ∈Ω c) ( ) 0. d d ϕ = v ớ i m ọ i 0 ( ) U ϕ ∈Ω . Bài 1.5 Ch ứ ng minh r ằ ng ánh x ạ 1 1 2 : ( ) ( ) ( ) f U U U Ω × Ω → Ω là F (U) song tuy ế n tính ph ả n ñố i x ứ ng. Bài 1.6 Gi ả s ử : , : W f U V g V → → là các ánh x ạ kh ả vi gi ữ a các t ậ p m ở t ươ ng ứ ng trong m E và . n E Khi ñ ó ( ) * * * : (W) ( ) i i g f f g U = Ω → Ω (i= 0,1,2) Bài 1.7 V ớ i 0 , ( ) V ϕ ϕ ∈Ω , ɶ 1 2 , ( ), ( ) V V θ θ ω ∈Ω ∈Ω ta có a) * * * ( ) ( )( ), f f f ϕϕ ϕ ϕ = b) * * * ( ) ( )( ), f f f ϕθ ϕ θ = c) * * * ( ) ( )( ), f f f ϕω ϕ ω = d) ɶ ɶ * * * ( ) ( ) ( ). f f f θ θ θ θ ∧ = ∧ Bài 1.8 Gi ả s ử { } 1 , , n E E là tr ườ ng m ụ c tiêu song song trên U; X và Z là các tr ườ ng vect ơ trong ñ ó 1 n i i i Z E ϕ = ∑ = . Khi ñ ó 1 [ ] n X i i i D Z X E ϕ = ∑ = V ớ i X,Y,Z,T Vec(U), ϕ ∈ ∈ F (U) ta có +) ( ) X X X D Z T D Z D T + = + +) X X D Z D Z ϕ ϕ = +) X Y X Y D Z D Z D Z + = + +) ( ) [ ] X X D Z X Z D Z ϕ ϕ ϕ = + +) X[Z.T]= . . X X D Z T Z D T + Bài 1.9 Cho hàm vect ơ kh ả vi: : n X J E → ( ) t X t ֏ trên kho ả ng J R ⊂ và gi ả s ử ( ) 0 X t ≠ v ớ i m ọ i t. Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) X t có ph ươ ng không ph ụ thu ộ c t khi và ch ỉ khi ( ) X t , ' ( ) X t ph ụ thu ộ c tuy ế n tính v ớ i m ọ i . t J ∈ Bài 1.10 Cho hàm vect ơ : : n X J E → kh ả vi l ớ p 2 C ( ) t X t ֏ trên kho ả ng J R ⊂ và gi ả s ử ( ) X t , ' ( ) X t ñộ c l ậ p tuy ế n tính v ớ i m ọ i . t J ∈ Ch ứ ng minh r ằ ng khi n = 3, ñ i ề u ki ệ n c ầ n và ñủ ñể vect ơ ( ) X t luôn (t ứ c v ớ i m ọ i t J ∈ ) thu ộ c m ộ t không gian vect ơ con hai chi ề u c ố ñị nh c ủ a 3 E là h ệ ba vect ơ ( ) X t , ' ( ) X t , '' ( ) X t ph ụ thu ộ c tuy ế n tính v ớ i m ọ i . t J ∈ Bài 1.11 Tìm hàm vect ơ : 3 : X R E → ( 3 E ñ ã có h ướ ng) tho ả mãn ' , X l X = ∧ trong ñ ó l là m ộ t hàm vect ơ h ằ ng cho tr ướ c. Bài 1.12 Cho h ệ to ạ ñộ afin ( ) 1 2 , , O e e trong m ặ t ph ẳ ng Euclid 2 E .Hãy phác ho ạ ả nh c ủ a các cung tham s ố 2 : , ( ), R E t t ρ ρ → ֏ Xác ñị nh b ở i: a) 2 1 2 ( ) , t O te t e ρ = + + b) 1 2 ( ) sin , t O coste te ρ = + + c) 1 2 ( ) , t O chte shte ρ = + + Bài 1.13 Xét m ặ t ph ẳ ng 2 E v ớ i h ệ to ạ ñộ Oxy phác ho ạ hình ả nh c ủ a các cung tham s ố 2 : , t ( ) ( ( ), ( )) J E t x t y t ρ ρ → = ֏ a) 1 ( ) ( ) 2 a x t t t = + , 1 ( ) ( ), J=(- ,0), (0,+ ) 2 b y t t t = − ∞ ∞ . b) 2 2 2 1 2 ( ) , y(t)=b , J=(- ,1), (-1,1), (1, ); 1 1 t t x t a t t + = ∞ ∞ − − c) . 2 2 2 1 2 ( ) , y(t)=b , J=R. 1 1 t t x t a t t − = + + , 0, 0. a b t > ≠ Bài 1.14 Cho , ( ) X Y Vec U ∈ , U là t ậ p m ở trong n E . Ch ứ ng minh r ằ ng n ế u X[ ] [ ] Y ϕ ϕ = v ớ i m ọ i ϕ ∈ F (U) thì X=Y. Bài 1.15 U là m ộ t t ậ p m ở liên thông cung trong n E . Ch ứ ng minh r ằ ng hàm s ố kh ả vi ϕ trên U là hàm h ằ ng khi và ch ỉ khi v ớ i m ọ i [ ] , 0. X VecU X ϕ ∈ = Bài 1.16 Ch ứ ng minh r ằ ng X là hàm vect ơ h ằ ng khi và ch ỉ khi ' X là hàm vect ơ không. Bài 1.17 Gi ả s ử X là m ộ t hàm vect ơ trên t ậ p U m ở trong n E . { } 1 , , , n O e e là m ụ c tiêu trong n E , 1 ( ) ( ) n i i i X p p e ϕ = ∑ = ; 1 n i i i a e α = ∑ = . Ch ứ ng minh 0 0 lim ( ) lim ( ) i i p p p p X p p a α ϕ → → = ⇔ = Bài 1.18 Cho hàm vect ơ 2 : R E ε → , ( ) cos . sin . t t t i t j ε = + ֏ ( ) , i j là c ơ s ở tr ự c chu ẩ n c ủ a 2 E . Hãy tính ( ) at e bt dt ε ∫ . Bài 1.19 Xét m ụ c tiêu afin { } 1 2 3 , , , O e e e c ủ a 3 E v ớ i to ạ ñộ (x,y,z). Xét vect ơ 3 E α ∈ v ớ i to ạ ñộ (1,2,-1) và ñ i ể m p(2,1,0) 3 E ∈ . Tính [ ] p α ϕ trong ñ ó a) 2 2 2 x y z ϕ = + − ; b) x sin cos . e y z ϕ = + Bài 1.20 Xét tr ườ ng m ụ c tiêu song song { } 1 2 3 , , E E E ứ ng v ớ i m ụ c tiêu afin { } 1 2 3 , , , O e e e c ủ a 3 E v ớ i to ạ ñộ (x,y,z) cho tr ườ ng vect ơ 2 1 2 3 X x E zE yE = + − .Tính [ + ], X[ . ], X[X[ ]], X[ ] [ ] X X ϕ ψ ϕ ψ ϕ ϕ ψ ψ ϕ − trong ñ ó , . xy yz ϕ ψ = = Bài 1.21 Kí hi ệ u { } 1 2 3 , , E E E là tr ườ ng m ụ c tiêu song song ứ ng v ớ i h ệ to ạ ñộ afin { } 1 2 3 , , , O e e e c ủ a 3 E v ớ i to ạ ñộ (x,y,z). Cho các tr ườ ng vect ơ trên 3 E X = 2 1 2 3 z xyE e E y E + − ; 1 2 Y yE xE = + . Tính , , ( ), ( ) X Y X X X D Y D X D D Y D X xY + Bài 1.22 Xét tr ườ ng m ụ c tiêu song song { } 1 2 3 , , E E E ứ ng v ớ i m ụ c tiêu afin { } 1 2 3 , , , O e e e c ủ a 3 E v ớ i to ạ ñộ (x,y,z) cho tr ườ ng vect ơ 1 1 1 2 2 1 3 3 X x E x x E x x E = + − 1 2 1 3 2 1 2 2 3 , x , =x Y x E x E x x x ϕ = + − , (2,1,3) p α = . Tính [ ], , [ ], ( ) X p Y X D Y D X ϕ α ϕ ϕ Bài 1.23 Trong 2 E v ớ i h ệ to ạ ñộ afin Oxy, xét d ạ ng vi phân ( ) 2 2 k xdy ydx x y θ − = + xác ñị nh k ñể θ là d ạ ng ñ óng (t ứ c 0 d θ = )? Bài 1.24 Trong 3 E v ớ i h ệ to ạ ñộ Oxyz xét d ạ ng vi phân ( ) 2 2 2 k xdy dz ydx dz zdx dy x y z ω ∧ − ∧ + ∧ = + + trên E 3 \ {(0,0,0)}. Xác ñị nh k ñể ω là d ạ ng ñ óng. Bài 1.25 : U R ϕ → là m ộ t hàm s ố kh ả vi trên t ậ p m ở n U E ⊂ , : f R R → là m ộ t hàm s ố kh ả vi. Ch ứ ng minh r ằ ng v ớ i m ọ i tr ườ ng vect ơ X kh ả vi trên U, ta có: [ ] ( ) [ ] ' . X f f X ϕ ϕ ϕ = Bài 1.26 Cho hàm s ố kh ả vi ϕ trên t ậ p m ở U trong E n và hàm s ố kh ả vi : f R R → . Ch ứ ng minh: ( ) ( ) ' d f f d ϕ ϕ ϕ = Bài 1.27 Xét ánh x ạ : f R 2 → E 2 (u, v) 2 2 (x=u , y=2uv) v− ֏ 1) Phác ho ạ ả nh c ủ a f b ở i các t ậ p ñ i ể m { } 0 0 (u , ) (u B v v R= ∈ là h ằ ng s ố ) C={ 2 , v R u u v ∈ + = h ằ ng s ố cho tr ướ c}; D = { 2 , 1 2 u v R v ∈ ≤ ≤ } 2) Tìm t ậ p các ñ i ể m (u, v) 2 R ∈ t ạ i ñ ó f là m ộ t dìm. H ỏ i thu h ẹ p trên t ậ p f ñ ó có ph ả i là m ộ t vi phôi không? Bài 1.28 Xét to ạ ñộ c ầ u ( , , ) r ϕ θ và tr ườ ng m ụ c tiêu to ạ ñộ c ầ u { } 1 2 3 , , u u u trong 3 E trên n ử a m ặ t ph ẳ ng 0 2 , 2 2 π π ϕ π θ < < − < < . Hãy tính [r], [ ], [ ] (i=1,2,3) i i i U U U ϕ θ Bài 1.29 Các ánh xạ sau f : 2 2 → ℝ ℝ ( , ) ( , ) u v x y ֏ có ph ải là một vi phôi không? a) u x ve = , y u = b) 3 x u = , y u v = − ? Trong trường hợp f là một vi phôi, biểu diễn ảnh bởi f * của các trường vectơ u ∂ ∂ , v ∂ ∂ qua các trường vectơ x ∂ ∂ , y ∂ ∂ . Bài 1.30 Xét toạ ñộ afin (x,y,z) trên tập mở U trong 3 E và các dạng vi phân sau trên U: , =dx-cos . xdy dz z dy θ µ = + Hãy tính , , d , . d θ θ θ θ µ θ µ ∧ ∧ ∧ BÀI TẬP CHƯƠNG 2 Bài 2.1 a) Tìm cung chính quy trong 2 E không ñi qua O mà tiếp tuyến tại mọi ñiểm ñều ñi qua O. b) Cung chính quy trong 2 E không ñi qua O mà pháp tuyến tại mọi ñiểm ñều qua O. Bài 2.2 Xét mặt phẳng Oxy trong E 2 , cung Γ trong E 2 xác ñịnh bởi tham số ( ) t t ρ ֏ , ( ) ( ( ), ( )) t x t y t ρ = và giả sử Γ có tiếp tuyến tại mọi ñiểm. ðặt ( ) M t ρ = , P là hình chiếu vuông góc của M xuống Ox, T và N theo thứ tự là giao ñiểm của Ox với tiếp tuyến và pháp tuyến của Γ tại M. a) Tính PT (tiếp ảnh), PN (pháp ảnh) tính ñộ dài các ñoạn MT, MN. b) Tìm Γ sao cho pháp ảnh tại mọi ñiểm bằng a 0 ≠ (const). c) Tìm Γ sao cho tiếp ảnh tại mọi ñiểm bằng a 0 ≠ (const). d) Tìm Γ sao cho ñộ dài MN=a>0 (const). e) Tìm Γ sao cho ñộ dài MT=a>0 (const). Bài 2.3 Xét cung trong E 2 xác ñịnh bởi t (t) = (x = x(t), y = y(t)) ρ ֏ trong toạ ñộ Descartes vuông góc Oxy. Hãy tính ñộ dài của cung ñoạn xác ñịnh bởi [ ] 0 1 0 1 , , (t < t ), t t ρ cho các trường hợp sau: a, 2 = t, y = t x b, = t, y = a ch t x a Bài 2.4 CMR: Cung song chính Γ trong E 3 là cung phẳng ⇔ τ =0 tại mọi ñiểm. Bài 2.5 Xác ñịnh hàm số khả vi f: R → R ñể cung xác ñịnh bởi tham số hóa t → (x=acost;y=asint;z= f (t)) trong E 3 là cung phẳng. Bài 2.6 Gọi { } , , T N B là trường mục tiêu Frenet dọc cung song chính quy ñịnh hướng Γ trong E 3 , chứng minh rằng trường vectơ duy nhất X dọc Γ thoả mãn X ∧ T= DT ds ; X ∧ N = DN ds ; X ∧ B = DB ds là X= τ T+kB (X là trường vectơ ðacbu dọc Γ ) Bài 2.7 Chứng minh rằng các tính chất sau của một cung song chính quy ñịnh hướng trong E 3 với ñộ xoắn khác 0 tại mọi ñiểm là tương ñương: a) Tiếp tuyến tao một góc không ñổi với một phương cố ñịnh. b) Pháp tuyến chính song song với một mặt phẳng cố ñịnh; c) Trùng pháp tuyến tạo một góc không ñổi với một phương cố ñịnh; d) Tỉ số giữa ñộ xoắn và ñộ cong là hàm hằng; e, 2 3 2 3 ( ) . = 0 DT D T D T ds ds ds ∧ (trong ñú T là trường vectơ tiếp xúc ñơn vị dọc Γ , còn 1 1 = ( ), i > 1 i i i i D T D D t ds ds ds − − ). Cung như thế gọi là một cung ñinh ốc tổng quát nằm trên một “mặt trụ”, cắt các ñường sinh thẳng của mặt trụ theo một góc không ñổi. Bài 2.8 Tìm cung song chính quy trong E 3 mà các mặt phẳng mật tiếp : a) Thẳng góc với phương cố ñịnh ; b, Song song với một ñường thẳng cố ñịnh ( và các tiếp tuyến không song song với ñương thẳng ñó). Bài 2.9 Tìm liên hệ giữa a,b,c ñể cung 2 3 : ( ) ( , , ) t t at bt ct ρ ρ = ֏ là cung ñinh ốc. Bài 2.10 Xét cung tham số 2 ( ) ( os , sin cos , sin ) t t x Rc t y R t t z R t ρ = = = = ֏ (R>0) trong hệ toạ ñộ ðêcac vuông goc Oxyz trong 3 E (cung này gọi là ñường Viviani). Chứng minh rằng ñường Viviani là giao của mặt cầu 2 2 2 2 x y z R + + = (1) với mặt trụ tròn xoay 2 2 2 2 4 R R x y − + = (2) Bài 2.11 Tính ñộ cong và ñộ xoắn của các cung sau trong 3 E a) 2 : ( ) (2 ,ln , ) t t t t t ρ ρ = ֏ b) 3 3 : ( ) ( os ,sin , os2 ) t t c t t c t ρ ρ = ֏ Bài 2.12 Tính ñộ cong và ñộ xo ắ n c ủ a cung Γ sau trong 3 E ( ) (1 cos ,1 sin , ) t t t t at ρ = − − ֏ ( R a ∈ ) V ớ i giá tr ị nào c ủ a a thì Γ là cung ph ẳ ng. Bài 2.13 Tìm qu ỹ tích tâm các m ặ t c ầ u m ậ t ti ế p c ủ a cung ñ inh ố c tròn trong E 3 ρ là cung tham s ố b ấ t kì c ủ a cung ñ inh ố c tròn Γ Bài 2.14 Hãy xác ñị nh cung túc b ế c ủ a các cung xác ñị nh b ở i tham s ố hoá (t) = (x(t), y(t)) t ρ ֏ sau trong to ạ ñộ Descartes vuông góc Oxyz c ủ a E 2 . a) ( ) = a (ln tg + cos ), y(t) = a sin 2 t x t t t (a là h ằ ng s ố d ươ ng) ( ñườ ng tractric). b, 2 ( ) = t, y(t) = a x t t (a là h ằ ng s ố d ươ ng) Bài 2.15 Xác ñị nh cung thân khai c ủ a ñườ ng tròn xác ñị nh b ở i tham s ố hoá t ∈ R 1 1 (x = R cos , y = Rsin ) R R ֏ trong to ạ ñộ Descartes vuông góc. Tính ñộ cong c ủ a cung thân khai ñ ó. Bài 2.16 Xét to ạ ñộ c ự c (r, ϕ ) trong E 2 \{0} và cung chính quy ñị nh h ướ ng xác ñị nh b ở i t ֏ ρ (t)=(r(t), ϕ (t)) (trong ñ ó t ֏ r(t) là m ộ t hàm s ố cho tr ướ c, r(t)>0 v ớ i m ọ i t).Hãy tính ñộ cong c ủ a cung ñ ó. Bài 2.17 Ch ứ ng minh r ằ ng cung trong E 3 xác ñị nh b ở i t ֏ (x(t)=t;y(t)= 2 3 t ;z(t)= 3 2 27 t ) trong h ệ to ạ ñộ ð êcác vuông góc Oxyz là cung ñ inh ố c t ổ ng quát. [...]... có U1[r] = U 2 [r] = 0, U 3[r] = 1 r r r3 r Bài 1.29 Gi i a)Ta có ∂x ∂x ∂y ∂y = v.eu ; = eu ; = 1; =0 ∂u ∂v ∂u ∂v Rõ ràng ∂x ∂x ∂y ∂y ñ u t n t i và liên t c ; ; ; ∂u ∂v ∂u ∂v Do ñó các hàm to ñ x, y ñ u kh vi theo u và v Suy ra f là ánh x kh vi f −1 : ℝ 2 → ℝ 2 ( x, y ) ֏ (u = y, v = x ) ey Tương t như trên ta có f −1 cũng là ánh x kh vi Do ñó f là m t vi phôi +) Bi u di n nh b i f* c a các trư ng... k(s) c a cung trong E2, trong ñó: a) k (s) = b) k (s) = a ( a là h ng s dương) a + s2 2 b a 2 - s2 (a, b là h ng s dương) PH N TH 2 L I GI I CÁC BÀI T P -CHƯƠNG 1 PHÉP TÍNH GI I TÍCH TRONG KHÔNG GIAN EUCLID E n VÀ HÌNH H C VI PHÂN C A E n (n = 2,3) Bài 1.1 Gi i Gi s {O, e , , e } là m c tiêu trong E , p ∈U ; p( x , , x ) ; α ∈ E n 1 1 n n n α = ( a1 , , an ) Khi ñó α p [ϕ ] chính là ñ o... (t ) nên X (t ) thu c không gian vectơ hai chi u bù tr c giao v i a trong E 3 Bài 1.11 Gi i +) N u l = 0 ho c l ≠ 0 nhưng l và X không cùng phương suy ra X ' = 0 v i ∀t ∈ J suy ra X = a (vectơ h ng) +) N u l ≠ 0 và l , X không cùng phương { } Trong E 3 ch n m c tiêu tr c chu n O, e1 , e2 , e3 sao cho l = ae3 { (a ≠ 0) } Theo gi thi t l là m t hàm vectơ h ng và e1 , e2 , e3 là cơ s tr c chu n trong... = 4(u + v ) ≠ 0 hay H ng J f = 2 ⇔ (u,v) ≠ (0,0) V y f là m t dìm trên t p R2 \ (0,0) +) Thu h p trên t p ñó f có ph i là vi phôi không ? f là vi phôi ⇔ f; f -1 kh vi f không là vi phôi vì f không là ñơn ánh Th t v y: A = (a,0); B=(-a,0); có f ( A) = f ( B) nhưng A ≠ B Bài 1.28 Gi i Trong E 3 v i to ñ (x,y,z) ta có r = x 2 + y 2 + z 2 cosϕ = cosθ = x 2 x +y 2 , sinϕ = x2 + y 2 x2 + y 2 + z 2 y... m c tiêu song song trên U ∂xi ( x , , x ) ; x : U → R ⇒ dx 1 n i i ng v i to ñ afin là các d ng vi phân b c m t trên U Khi ñó dxi ( E j ) = E j [x i ] = δ ij , vì th ta có {dxi }i =1,n là trư ng ñ i m c tiêu ñ i ng u c a trư ng m c tiêu { Ei } khi ñó v i ϕ là hàm s kh vi trên U thì dϕ là d ng vi phân b c m t trên U do ñó n dϕ = ∑ d ϕ ( i =1 n ∂ n ∂ϕ ∂ )dxi = ∑ i [ϕ ]dxi = ∑ i dx i i =1 ∂x i =1... { } Do X (t ), X ' (t ), X '' (t ) ph thu c tuy n tính và X (t ), X ' (t ) ñ c l p tuy n tính nên X ''(t ) = ϕ (t ) X (t ) + ω (t ) X ' (t ) , thay vào (1) ta có ( ) ( ) Y ' (t ) = ϕ (t ) X (t ) ∧ X (t ) + ω (t ) X (t ) ∧ X ' (t ) = ω (t )Y (t ) { } V y Y (t ), Y ' (t ) ph thu c tuy n tính theo k t qu bài 9 ta có Y (t ) có phương không ph thu c vào t suy ra Y (t ) = f (t ) a ( a c ñ nh khác vectơ 0... hàm h ng V i α p [ϕ ] = 0 g i ρ : J → U , t0 ֏ ρ (t0 ) = p và ρ ' (t0 ) = X ( p ) = α p Khi ñó α p [ϕ ] = ρ ' (t0 )[ϕ ] = (ϕ ρ ) ' (t0 ) = ρ ' (t0 ).(ϕ ' ρ )(t0 ) = α p ϕ ' ( ρ (t0 )) =0 suy ra ϕ ' ( p) = 0 ∀p do ñó ϕ là hàm h ng Ngư c l i v i ϕ là hàm h ng ta có α p [ϕ ] = lim t →0 V y bài toán ñư c ch ng minh ϕ ( p + tα ) − ϕ ( p ) t =0 Bài 1.16 Gi i { } V i O, e1 , , en là m c tiêu afin trong E... [ϕ ] Bài 1.26 Gi i f : R → R, u ֏ f(u) , l y cung tham s ρ : t ֏ ρ (t ) , trong ñó X ( p) = ρ ' (t0 ), p = ρ (t0 ) , ϕ là hàm s kh vi trên U ta có d ( f ϕ )( X ) = X [f ϕ ] = ( f ' ϕ ) X [ϕ ] (theo bài 25) = ( f ' ϕ )dϕ[X ] v i ∀X ∈Vec(U ) V y d ( f ϕ ) = ( f ' ϕ ) dϕ Bài 1.27 Gi i: 1) x=-v 2 +) V i u0 = 0 ⇒ ⇒ y=0 x=u 2 − v 2 0 V i u0 ≠ 0 ⇒ y = 2u0v nh là n a tr c Ox- y2 2 x = u0... ( p).T ( p) + Z ( p).DX T ( p) 0 ⇒ X[Z.T]= DX Z T + Z DX T Bài 1.9 Gi i ⇒ Gi s X (t ) có phương không ph thu c vào t, t c X (t ) = f (t ).a trong ñó f(t) là hàm s trên J, a là vectơ h ng trong E n ; a ≠ 0, f(t) ≠ 0,∀t ∈ J X (t ) X ' (t ) f (t ) Khi ñó X (t ) = f (t ).a ⇒ = ' = a ⇒ X (t ) = ' X ' (t ) f (t ) f (t ) f (t ) ' ' Suy ra X (t ) và X ' (t ) ph thu c tuy n tính v i m i t thu c J ⇐ ð t v(t... X ' (t ) ∧ X (t ) = 0 suy ra v ' (t ) = 0 hay v(t ) = a (vectơ h ng) suy ra X (t ) = X (t ) a hay X (t ) có phương không ph thu c t Bài 1.10 Gi i ⇒ Gi s X (t ) thu c m t không gian vectơ con hai chi u c ñ nh c a E 3 Ta có X (t ) = ϕ (t )a + ω (t )b , trong ñó vectơ a và vectơ b là các vectơ ñơn v ñ c l p tuy n tính X ' (t ) = ϕ ' (t ) a + ω ' (t )b X '' (t ) = ϕ '' (t )a + ω '' (t )b ⇒ X (t ), X ' . MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC VI PHÂN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Bài 1.1 Cho ϕ , ψ là các hàm số khả vi trên U, , p p p T U α β ∈ , k R ∈ . s ố d ươ ng) PHẦN THỨ 2 LỜI GIẢI CÁC BÀI TẬP CHƯƠNG 1. PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN EUCLID n E VÀ HÌNH HỌC VI PHÂN CỦA n E (n = 2,3) Bài 1.1 Giải Giả sử { } 1 , , , n O. y ∂ ∂ . Bài 1.30 Xét toạ ñộ afin (x,y,z) trên tập mở U trong 3 E và các dạng vi phân sau trên U: , =dx-cos . xdy dz z dy θ µ = + Hãy tính , , d , . d θ θ θ θ µ θ µ ∧ ∧ ∧ BÀI TẬP CHƯƠNG