Hình học lớp 9 Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Bài 1: (LHP 2001 – 2002) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và có trực tâm H. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC. a) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành. b) Với M bất kì thuộc cung nhỏ BC, gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB, AC. Chứng minh N, H, E thẳng hàng. c) Xác định vị trí M sao cho NE có độ dài nhỏ nhất. Bài 2: (NK 2003 – 2004 CD) Cho dây cung BC trên đường tròn tâm O, điểm A chuyển động trên cung lớn BC. Hai đường cao AE, BF của tam giác ABC cắt nhau tại H. a) Chứng minh: CE.CB = CF.CA. b) AE kéo dài cắt (O) tại H’. Chứng minh H và H’ đối xứng với nhau qua BC. Xác định quĩ tích của H. Bài 3: (NK 2005 – 2006 AB) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi M là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC. Đường thẳng AM cắt (O) tại I ( I khác A). Gọi H là điểm đối xứng của I qua BC. a) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC. b) Gọi N là giao điểm của BH và AC. P là một điểm thuộc cạnh AB sao cho   PMB NMC  . Chứng minh rằng C, H, P thẳng hàng. c) Giả sử BH = 2HN và AH = HI. Chứng minh rằng tam giác BAC đều. Bài 4: (NK 2006 – 2007 CD) Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H. Các đường thẳng BH và CH lần lượt cắt AC, AB tại M và N,  120 o NHM  . a) Chứng minh   AMN ABC  . Tính MN BC b) Tính AH BC . Hình học lớp 9 Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk 2 Bài 5: Cho tam giác ABC có góc A nhọn và nội tiếp đường tròn (O; R). Vẽ nửa đường tròn đường kính BC với tâm là E cắt các đoạn AB, AC lần lượt tại M, N. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác AMN. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. a) Chứng minh ba điểm A, K, O thẳng hàng và ba điểm A, I, H thẳng hàng. b) Chứng minh ba đường thẳng KH, MN và IE đồng qui. Bài 6: Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R), gọi A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BD, CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Dựng đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng: a) Đường thẳng qua A vuông góc với MN luôn đi qua một điểm cố định. b) Đường thẳng qua H vuông góc với MN đi qua một điểm cố định. Bài 7: Cho tam giác ABC nhọn có  60 o BAC  nội tiếp đường tròn (O; R). Hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Gọi N là trung điểm của AC. a) Tính DE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE. b) Tứ giác EHON là hình gì? Tại sao? Bài 8:(NK 2004 – 2005 AB) Cho tam giác ABC, gọi I và O là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác. Gọi P, Q là điểm đối xứng của I và O qua BC. Chứng minh rằng Q thuộc (O) khi và chỉ khi P thuộc (O). Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn có  45 o BAC  nội tiếp đường tròn (O; R). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. M. N là trung điểm của BC và AH. a) Chứng minh B, F, O, E, C cùng thuộc một đường tròn. b) Tính BC theo R. c) Tứ giác BFOE là hình gì? d) Gọi M là trung điểm của AH. Chứng minh OH, EF và MN đồng qui. Bài 10*: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn ngoại tiếp (O) lần lượt tại A’, B’, C’. a) Chứng minh rằng OA B C    . Hình học lớp 9 Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk 3 b) Chứng minh 4 AA BB CC AD BE CF       . c) Thử chứng minh điều sau đây 2 2 2 2 9 ABC A B C S S AB BC AC R         . Bài 11: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn sao cho OA = 3R. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) với B, C là hai tiếp điểm. a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp. b) Từ B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường tròn (O) tại điểm D ( khác B). Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) Tại E (Khác D) và tia BE cắt AC tại F. Chứng minh rằng F là trung điểm AC. c) Chứng minh tia đối của tia EC là tia phân giác của góc BEA. d) Gọi H là giao điểm của BC và OA. Chứng minh HB là phân giác của góc EHD. Bài 12: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R vẽ hai tiếp tyến MA, MB (A, B là hai tiếp điểm) và một đường thẳng qua M cắt (O) tại C và D. Gọi I là trung điểm của CD. Gọi E, F, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các đường thẳng MO, MD và OI. a) Chứng minh 2 . . R OE OM OI OK   b) Chứng minh 5 điểm M, A, B, O, I cùng thuộc một đường tròn. c) Khi  CAD nhỏ hơn  CBD , chứng minh   2 DEC DBC  . Bài 13: Cho đường tròn (O) và một điểm I nằm trong đường tròn. Dây AB thay đổi qua I và không phải đường kính. Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại P. Chứng minh P luôn thuộc một đường thẳng cố định. Bài 14:(THTT 8/2007) Cho đường tròn (O) và một điểm I nằm trong đường tròn. Dây AB và CD thay đổi qua I và không phải đường kính. Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại P, tiếp tuyến tại C và D cắt nhau tại Q. Chứng minh OI vuông góc với PQ. Bài 15: Từ một điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tia tiếp tuyến PE và PF tới đường tròn ( E, F là hai tiếp điểm). Một cát tuyến thay đổi đi qua P, cắt đường tròn tại hai điểm A, B ( A nằm giữa P và B ) cắt EF tại Q. a) Khi cát tuyến qua O, chứng minh PA QA PB QB  (1) Hình học lớp 9 Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk 4 b) Đẳng thức (1) còn đúng không khi cát tuyến không đi qua O. Chứng minh điều đó. Bài 16 (THTT 12/2007) Từ một điểm P ở ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến PA, PB của đường tròn với A, B là hai tiếp điểm. Gọi M là giao điểm của OP và AB. Kẻ dây cung CD đi qua M (CD không đi qua O). Hai tiếp tuyến của đường tròn tại C và D cắt nhau tại Q. Tính độ lớn của góc OPQ. Bài 17: Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm ngoài đường tròn. Từ P vẽ hai tiếp tuyến PA, PB của đường tròn (A, B là hai tiếp điểm). PO cắt (O) tại I và K ( K nằm giữa P và O) và cắt AB tại H. Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, C là giao điểm của PD và (O). a) Chứng minh tức giác BHCP nội tiếp. b) Chứng minh AC CH  . c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH cắt IC tại M. AM cắt IB tại Q. Chứng minh M là trung điểm AQ. Bài 18: Cho đường tròn (O; R), qua điểm K ở bên ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến KB, KD ( B, D là các tiếp điểm), kẻ cát tuyến KAC (A nằm giữa K và C). a) Chứng minh rằng hai tam giác KDA và KCD đồng dạng. b) Chứng minh AB. CD = AD. BC c) Kẻ dây CN song song với BD. Chứng minh AN đi qua trung điểm BD. Bài 19: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm trên cung nhỏ AC. Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC, AC và AB. a) Chứng minh rằng D, E, F thẳng hàng. b) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua DEF luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên cung nhỏ AC. Bài 20: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm trên cung nhỏ AC. Gọi I, K là hình chiếu của M trên AB và BC. Gọi P, Q là trung điểm của IK và AB. Chứng minh MP PQ  Bài 21: (NK 2004 – 2005 CT) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và điểm M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ BC. N là điểm đối xứng của M qua trung điểm I của AB. a) Chứng minh trực tâm K của tam giác NAB thuộc một đường cố định. Hình học lớp 9 Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk 5 b) Giả sử NK cắt AB tại D, hạ NE vuông góc với BC. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng DE đi qua trung điểm HK. Bài 22: (NK 2007 – 2008 CT) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). P là một điểm trên cung BC không chứa A. Hạ AM, AN lần lượt vuông góc với PB, PC. a) Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P thay đổi. b) Xác định vị trí điểm P sao cho biểu thức AM. PB + AN. PC đạt giá trị lớn nhất. Bài 23: (10 chuyên HCM 2005 – 2006 ) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Điểm M lưu động trên cung nhỏ BC. Từ M kẻ các đường thẳng MH, MK lần lượt vuông góc với AB, AC ( H thuộc AB, K thuộc AC). a) Chứng minh hai tam giác MBC và MHK đồng dạng. b) Tìm vị trí của M để độ dài HK lớn nhất. Bài 24: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không cắt nó. Điểm M thay đổi trên đổi d, kẻ các tiếp tuyến MT, MH đến đường tròn (O) với T, H là các tiếp điểm. Gọi A là hình chiếu vuông góc của O trên d và E, F là hình chiếu của A trên Mt, MH. Chứng minh rằng: a) Đường thẳng TH đi qua một điểm cố định. b) Đường thẳng EF đi qua một điểm cố định. Bài 25: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của D trên AB, BC, AC. Chứng minh rằng ABCD là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi M, N, P thẳng hàng. Bài 26: (LHP 2002 – 2003) Cho tam giác ABC, M là một điểm trên cung BC không chứa A. Gọi P, Q lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB, AC. a) Chứng minh DE đi qua trực tâm H của tam giác ABC. b) Tìm vị trí của M để DE đạt giá trị lớn nhất. . Hình học lớp 9 Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Bài 1: (LHP 2001 – 2002). QB  (1) Hình học lớp 9 Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk 4 b) Đẳng thức (1) còn đúng không khi cát tuyến không đi qua O. Chứng minh điều đó. Bài 16 (THTT. Chứng minh rằng: a) Đường thẳng qua A vuông góc với MN luôn đi qua một điểm cố định. b) Đường thẳng qua H vuông góc với MN đi qua một điểm cố định. Bài 7: Cho tam giác ABC nhọn có  60 o BAC 