Mục lục Mở đầu 3 1 Đại cương về hệ phương trình Navier - Stokes 6 1.1 Thiết lập hệ Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Không gian Banach và không gian Hilbert . . . . . . . 8 1.2.2 Không gian L 2 (Ω), H 1 0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3 Không gian H, V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Toán tử Stokes A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Toán tử B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính qui của nghiệm 16 2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Tính duy nhất của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4 Nghiệm mạnh của hệ Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5 Nghiệm nhẹ của hệ Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5.1 Sơ lược về lí thuyết nửa nhóm và phương trình tiến hóa 27 2.5.2 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính với nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình Navier - Stokes 30 1 Hệ phương trình Navier - Stokes 3.1 Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng . . . . . . . . . . 30 3.2 Sự tồn tại và tính duy nhất của tập hút toàn cục . . . . . . 34 4 Hệ phương trình Navier - Stokes với trễ vô hạn 37 4.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2 Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu . . . . . . . . . . 39 4.3 Hệ phương trình Navier - Stokes - Voigt với trễ vô hạn . . . . 49 4.3.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.3.2 Tính duy nhất của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . 50 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 2 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ, dưới những điều kiện tương đối tổng quát, và chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng không, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma. Một trong những lớp hệ phương trình cơ bản quan trọng trong cơ học chất lỏng, miêu tả dòng chảy của chất lỏng lí tưởng, nhớt, không nén là hệ Navier-Stokes. Hệ phương trình Navier-Stokes được xây dựng từ các định luật bảo toàn khối lượng và động lượng. Hệ phương trình Navier-Stokes có dạng:    ∂u ∂x − v. u + (u.)u + p = f(x, t) .u = 0 ở đó u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng là hàm véctơ vận tốc và hàm áp suất cần tìm, v = const > 0 là hệ số nhớt và f là ngoại lực. Mặc dù được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1822, cho đến ngày nay đã có rất nhiều bài báo và sách tham khảo viết về hệ phương trình Navier-Stokes, tuy nhiên những hiểu biết của chúng ta về nghiệm của hệ phương trình này còn khá khiêm tốn. Nói riêng, cho đến nay vấn đề tồn tại nghiệm mạnh toàn cục và tính duy nhất của nghiệm yếu trong trường hợp ba chiều vẫn là thách thức lớn đối với các nhà toán học cũng như vật lí. Tuy nhiên, vì nhu cầu của Khoa học và Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes nói riêng và các hệ phương trình trong cơ học chất lỏng nói chung ngày càng trở nên thời sự và cần thiết. Như đã được đề cập đến trong các cuốn chuyên khảo và các bài báo tổng quan gần đây, những vấn đề đặt ra khi nghiên cứu các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng là: • Sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính quy của nghiệm: Nghiệm ở đây có thể là nghiệm yếu hoặc nghiệm mạnh. Tính chính quy ở đây có thể là tính chính quy theo biến thời gian ( tính giải tích, tính Gevrey ) hoặc tính chính quy theo biến không gian ( tính chính quy Hillbert, tính chính quy Holder, mô tả tập điểm kì dị ). 3 Hệ phương trình Navier - Stokes • Dáng điệu tiệm cận của nghiệm: Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời gian t ra vô cùng. Trong trường hợp ngọai lực f "lớn", chúng ta nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút, đó là một tập compact, bất biến, hút các tập bị chặn và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận nghiệm; còn khi ngoại lực f "nhỏ" và không phụ thuộc thời gian, chúng ta nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng, tức là nghiệm của bài toán dừng tương ứng, và chứng minh nghiệm của hệ đang xét dần đến nghiệm dừng này khi thời gian t ra vô cùng. Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận rất quan trọng vì nó cho phép dự đoán xu thế phát triển trong tương lai của hệ đang xét, từ đó có những điều chỉnh thích hợp để đạt được mục đích mong muốn. • Xấp xỉ nghiệm: Vì các phương trình trong cơ học chất lỏng đóng một vai trò quan trọng trong các lĩnh vực khoa học và kĩ thuật nên ta cần cả những mô tả định tính và mô tả định lượng của nghiệm, nói riêng là việc tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (vì nói chung ta không thể tìm được nghiệm chính xác của phương trình, mặc dù nó tồn tại). Việc xấp xỉ hoặc xấp xỉ dáng điệu tiệm cận của nghiệm là vấn đề hết sức quan trọng khi áp dụng vào các mô hình thực tế. Về mặt toán học, chúng ta phải xây dựng các lược đồ xấp xỉ nghiệm, chứng minh lược đồ nhận được là ổn định và hội tụ về nghiệm chính xác của phương trình. Vấn đề này đối với hệ phương trình Navier-Stokes, xin xem thêm các sách tham khảo và các bài báo gần đây. • Bài toán điều khiển được và bài toán tối ưu: Tìm điều khiển thích hợp (trên miền con hoặc trên biên) sao cho có thể chuyển quỹ đạo của hệ từ vị trí này sang vị trí khác mà ta mong muốn, hoặc là tìm điều khiển thích hợp để nghiệm tương ứng làm cực đại hoặc cực tiểu một phiếm hàm cho trước. Về hướng nghiên cứu thời sự này xin xem các cuốn chuyên khảo 2. Mục tiêu - Trình bày về việc thiết lập hệ phương trình Navier - Stokes từ các quá trình vật lí, cách xây dựng các không gian pha và các toán tử đặc trưng khi nghiên cứu hệ phương trình Navier - Stokes. - Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình Navier - Stokes. - Chỉ ra dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian t → +∞. - Áp dụng các kiến thức về hệ phương trình Navier - Stoke và cách xử lí số hạng chứa trễ trong phương trình vi phân chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình Navier - Stokes với trễ vô hạn . 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu * Đối tượng nghiên cứu: Hệ phương trình Navier - Stokes. * Phạm vi nghiên cứu: Tính đặt đúng của bài toán, dáng điệu tiệm cận 4 Hệ phương trình Navier - Stokes nghiệm của hệ phương trình Navier - Stokes; tính đặt đúng của hệ phương trình Navier - Stokes với trễ vô hạn. 4. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng các phương pháp và công cụ của giải tích hàm phi tuyến như phương pháp xấp xỉ Galerkin, các bổ để compact, các bổ đề xử lí số hạng phi tuyến để nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes. Bên cạnh đó, chúng tôi sử dụng các công cụ và phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều, phương pháp xử lí số hạng chứa trễ trong phương trình vi phân để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm và hệ mở rộng trong trường hợp có thêm trễ vô hạn. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn - Ý nghĩa khoa học: Nội dung của đề tài là tổng hợp các kiến thức cơ bản về hệ phương trình Navier - Stokes. Đề tài cũng giới thiệu một số hướng nghiên cứu thời sự đang được các nhà toán học quan tâm khi nghiên cứu hệ phương trình Navier - Stokes. - Ý nghĩa thực tiễn: Đề tài là một tài liệu tham khảo tiếng Việt tốt cho các giảng viên và sinh viên ngành toán, vật lí muốn nghiên cứu sâu về hệ phương trình Navier - Stokes. 5 Chương 1 Đại cương về hệ phương trình Navier - Stokes Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức sơ lược nhất liên quan đến hệ phương trình Navier - Stokes như cách thiết lập hệ, các không gian hàm và các toán tử đặc trưng cho hệ ( xem [1], [13]) 1.1 Thiết lập hệ Navier-Stokes Khi mô tả chuyển động của chất lưu, người ta thường dùng biểu diễn La- grange để biểu diễn quỹ đạo X = X(x, t), x ∈ R n , t > 0 và biểu diễn Euler để biểu diễn vận tốc u = u(x, t). Nếu hàm ρ = ρ(x, t) biểu diễn mật độ khối lượng và O là phần tử chất lưu thì ta có:  O ∂ρ ∂t dx = −  ∂O ρu.nds. (1.1) Áp dụng công thức Stokes, với mọi O ta có:  O  ∂ρ ∂t + div(ρu)  dx = 0. Do đó: ∂ρ ∂t + div(ρu) = 0 (1.2) Phương trình (1.2) là phương trình bảo toàn khối lượng. 6 Hệ phương trình Navier - Stokes Hơn nữa, ta cũng có ρu là động lượng. Nếu f là lực tác động thì áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có:  O ∂ ∂t (ρu)dx = −  O ρu(u.n)ds +  O ρfdx +  O F.nds. (1.3) trong đó : F = −σ, σ là tenxơ ứng suất, σ = p.1 với p là hàm áp suất, 1 là ma trận đơn vị, τ là tenxơ ứng suất lớn nhất. Áp dụng công thức Stokes và kết hợp (1.3) ta được: ∂ ∂t (ρu) + div(u ⊗ u) − divτ + p = ρf. (1.4) Gia tốc của chất lưu tại thời điểm (x, t) là: d dτ  U  X(τ), τ  t=τ =  ∂u ∂t + (u.)u  (x, t) trong đó: (u.)u = N  i=1 u i ∂u ∂x i . Từ đó ta có: ρ ∂u ∂t + ρ(u.)u −divτ + p = ρf. (1.5) Trong trường hợp tổng quát thì τ phụ thuộc vào ρ, T, Du. Nếu τ là hàm tuyến tính đối với Du thì τ = λ.divu.1 + 2µd với : d = 1 2 [(Du + (Du) T ], λ = λ(ρ, T ), µ = µ(ρ, T ). Trong thực tế, thường gặp τ không phụ thuộc vào ρ và T, tức là λ = const, µ = const. Trường hợp λ = µ = 0 thì τ = 0, do đó chất lưu không có nhớt. Trường hợp µ > 0, λ + µ > 0 thì chất lưu có nhớt. Nếu chất lỏng không nén được thì divu = 0. Nếu chất lỏng là thuần nhất thì ρ = ρ = const. Khi đó: σ = 2µd − p.1 d = 1 2 (Du + (Du) T ) → divd = N  i,j=1 1 2 ∂ j (∂ i u j + ∂ j u i ). 7 Hệ phương trình Navier - Stokes Do divu = 0 nên divd = N  i=1 1 2  u i . Nếu µ = const > 0 thì ta có hệ:    ∂ ∂t (ρu i ) + div(ρuu i ) − µ.  u i + ∂ i p = ρf i , 1 ≤ i ≤ N divu = 0. Đây chính là hệ Navier-Stokes trong trường hợp chất lưu không nén được và không thuần nhất. Nếu chất lưu thuần nhất thì ta được hệ Navier-Stokes không nén được và thuần nhất như sau:    ∂u i ∂t − u i + (u.)u i + p i = f , 1 ≤ i ≤ N divu = 0. Trong vật lí chỉ xét trường hợp N = 2 hoặc N = 3. 1.2 Các không gian hàm 1.2.1 Không gian Banach và không gian Hilbert a) Không gian các hàm liên tục Cho Ω là một miền trong không gian R n và cho 0 < k < +∞. Tập hợp tất cả các hàm liên tục và khả vi đến cấp k trong miền Ω kí hiệu là C k (Ω). Không gian C(Ω) là tập hợp các hàm liên tục trên Ω. Không gian C ∞ (Ω) là tập hợp các hàm u khả vi vô hạn lần trên Ω . C ∞ (Ω) = ∞  k=0 C k (Ω) Không gian C k 0 (Ω), (0 ≤ k ≤ ∞) là tập hợp các hàm trong C k (Ω) và có giá compact trong Ω. b) Không gian các hàm khả tích Lebesgue Cho Ω là một miền trong không gian R n và cho 0 ≤ p < +∞. Khi đó L p (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x) khả tổng cấp p theo Lebesgue trong Ω, tức là  Ω |u| p dx < +∞. 8 Hệ phương trình Navier - Stokes Không gian L p (Ω) là không gian định chuẩn với chuẩn ||u(x)|| p = ||u(x)|| L p (Ω) =   Ω |u| p dx  1/p . Hơn nữa, L p (Ω) là một không gian đầy đủ nên L p (Ω) là không gian Banach. Đặc biệt, với p = 2, không gian L 2 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng (f, g) =  Ω f(x)g(x)dx. Cho Ω là một miền trong không gian R n . Khi đó L ∞ (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x)đo được theo Lebesgue và bị chặn hầu khắp nơi trên Ω. Ta kí hiệu ess sup x∈Ω |u(x)| là cận dưới lớn nhất các hằng số k sao cho |u(x)| ≤ k hầu khắp trên Ω. Khi đó L ∞ (Ω) cũng là không gian Banach với chuẩn ||u(x)|| ∞ = ||u(x)|| L ∞ (Ω) = ess sup x∈Ω |u(x)|. Cho Ω là một miền trong R n và cho 1 ≤ p < +∞. Khi đó L p loc (Ω) = {u : Ω → R | u ∈ L p (U) với mọi U ⊂⊂ Ω} c) Không gian Sobolev Giả sử Ω là một miền trong R n . W k,p (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng theo x đến cấp k và tất cả các đạo hàm đó thuộc không gian L p (Ω). Không gian W k,p (Ω) được gọi là không gian Sobolev với chuẩn sau: ||u|| W k,p (Ω =  k  α=0 ||D α u|| p L p  1 p . Không gian Sobolev là một không gian Banach tách được. Trong trường hợp p = 2, không gian Sobolev W k,2 (Ω) thường được kí hiệu là H k (Ω). H k (Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng được sinh ra từ chuẩn ((u, v)) H k = k  α=0 (D α u, D α v). 9 Hệ phương trình Navier - Stokes Không gian H k 0 (Ω) là bổ sung đủ của không gian C ∞ c (Ω) trong không gian H k (Ω). Đặc biệt, H 1 0 (Ω) là tập hợp các hàm trong không gian H 1 (Ω) và bằng 0 trên biên ∂Ω. Không gian H 1 0 (Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng xác định bởi: ((u, v)) H 1 0 =  α=1 (D α u, D α v), và chuẩn tương ứng là: ||u, v|| 2 H 1 0 =  α=1 |D α u| 2 . d) Không gian đối ngẫu Không gian đối ngẫu của không gian L p (Ω) là không gian L q (Ω), với 1 p + 1 q = 1. Không gian đối ngẫu của không gian H s 0 (Ω) kí hiệu là không gian H −s (Ω). Bổ đề 1.2.1. Nếu u ∈ H k (Ω), với k ∈ Z thì D α u ∈ H k−|α| (Ω). 1.2.2 Không gian L 2 (Ω), H 1 0 (Ω) Đặt L 2 (Ω) = L 2 (Ω) d , d = 2 hoặc d = 3. Do L 2 (Ω) là không gian Hilbert nên L 2 (Ω) cũng là một không gian Hilbert với tích vô hướng: (u, v) =  Ω u.vdx =  Ω d  i=1 u i v i , với: u = (u 1 , u 2 , . . . , u d ) ∈ L 2 (Ω), v = (v 1 , v 2 , . . . , v d ) ∈ L 2 (Ω). Chuẩn trong L 2 (Ω): Cho u ∈ L 2 (Ω) thì |u| := u L 2 (Ω) =   Ω d  i=1 u 2 i dx  1 2 . Đặt H 1 0 (Ω) = H 1 0 (Ω) d là tập hợp các hàm u thỏa mãn u và đạo hàm yếu của u thuộc L 2 (Ω) và u = 0 trên biên ∂Ω. 10 [...]... nhất và tính chính qui của nghiệm Chương 2 của đề tài trình bày về tính đặt đúng của hệ phương trình Navier - Stokes Khi nghiên cứu về một phương trình đạo hàm riêng nào đó thì vấn đề đặt ra đầu tiên là tính đặt đúng của bài toán: sự tồn tại và duy nhất nghiệm, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu cả nghiệm yếu, nghiệm mạnh và nghiệm nhẹ (mild.. .Hệ phương trình Navier - Stokes Tương tự, H1 cũng là một không gian Hillbert với tích vô hướng: 0 d ui ((u, v)) = vi dx i=1 Ω Chuẩn trong H1 (Ω): Cho u ∈ H1 (Ω) thì 0 0 u := u H1 (Ω) 0 u|2 dx | = Ω 1.2.3 Không gian H, V Kí hiệu: ∞ V = {u ∈ (C0 (Ω))d : u = 0} Để nghiên cứu hệ phương trình Navier - Stokes, ta xây dựng các không gian hàm sau: (H 1 (Ω)d... [0, Tmax ] 29 Chương 3 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình Navier - Stokes Chương 3 chúng tôi trình bày về nghiệm dừng của hệ và sự tồn tại của tập hút toàn cục, từ đó cỉ ra dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô cùng 3.1 Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng Giả sử Ω là miền bị chặn trong R2 Xét hệ phương trình Navier- Stokes:   ∂u − ν u + (u )u + p = f (x) , x ∈ Ω  ... bài toán (3.1) có duy nhất một nghiệm yếu u xác định trên [0, +∞) Định nghĩa 3.1.1 Định nghĩa nghiệm dừng yếu 30 Hệ phương trình Navier - Stokes Xét hệ phương trình:   ν u + (u )u +      p=f ,x ∈ Ω (3.2)  u = 0      u|∂Ω = 0 Hàm u∗ ∈ V gọi là một nghiệm dừng yếu của hệ phương trình (3.2) nếu : νAu∗ + Bu∗ = f trongV hay ν((u∗ , v)) + b(u∗ , u∗ , v) =< f, v >, ∀v ∈ V Định lí 3.1.1 [10] Giả... H), - Về không gian nghiệm: 23 Hệ phương trình Navier - Stokes +) Nghiệm yếu: u ∈ L2 (0, T ; V ) ∩ L∞ (0, T ; H), +) Nghiệm mạnh: u ∈ L2 (0, T ; D(A)) ∩ L∞ (0, T ; V ) - Về phương trình: du +) Nghiệm yếu: + νAu + Bu = f trong V với hầu khắp t, dt du +) Nghiệm mạnh: + νAu + Bu = f trong H với hầu khắp t dt Định lí 2.4.1 Nếu d = 2, u0 ∈ V, f ∈ L2 (0, ∞; H) thì hệ Navier- Stokes loc du + νAu + B(u, u) =... u và v trong L∞ (0, T ; V ) và trong L2 (0, T ; D(A)) ta suy ra tính duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu 26 Hệ phương trình Navier - Stokes 2.5 Nghiệm nhẹ của hệ Navier- Stokes 2.5.1 Sơ lược về lí thuyết nửa nhóm và phương trình tiến hóa : Cho X là một không gian Banach phức Định nghĩa 2.5.1 Họ ánh xạ {S(t)}, t ≥ 0 gọi là một nửa nhóm tuyến tính liên tục mạnh( hoặc... α|v|2 ≤ 0 dt V Hệ phương trình Navier - Stokes 3.2 Sự tồn tại và tính duy nhất của tập hút toàn cục Giả sử u0 ∈ H và f ∈ V thì tồn tại duy nhất nghiệm yếu toàn cục u(t) của hệ phương trình (3.1) Đặt: S(t) : H −→ H u0 −→ S(t)u0 := u(t) Khi đó, S(t) là một nửa nhóm liên tục ⇒ H, S(t) là một hệ động lực vô hạn chiều Định nghĩa 3.2.1 Tập A khác rỗng, A ⊂ H được gọi là tập hút toàn cục đối với hệ H, S(t) nếu:... Giả sử PN : X −→ span{e1 , e2 , · · · , eN } là phép chiếu thì e−tA u − PN e−tA u −→ 0 28 Hệ phương trình Navier - Stokes Nghiệm của bài toán   du  + Au = f (u)  dt   u(0) = u0 có dạng: t u(t) = e−tA u0 + e−(t−s)A f (u(s))ds 0 2.5.2 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính với nửa nhóm giải tích Xét phương trình tiến hóa   du + Au = f (u) dt u(0) = u 0 Định lí 2.5.1 [1] Giả sử −A là toán tử... 25 Hệ phương trình Navier - Stokes với u ∈ L∞ (0, T ; V ) ∩ L2 (0, T ; D(A)) dum Ta cũng có bị chặn đều trong L2 (0, T ; H) do đó tồn tại dãy con mà dt ta vẫn kí hiệu là um thỏa mãn: dum dt du trong L2 (0, T ; H) dt Suy ra u ∈ C o ([0, T ]; V ) Vậy: um → u trong L2 (0, T ; V ) Giả sử hệ phương trình có hai nghiệm u và v Đặt w = u − v , ta có: dw + νAw + B(u, u) − B(v, v) = 0 dt Nhân cả 2 vế của phương. .. v)) = (u, v)V = d ui Ω vi dx = i=1 Ω Xét hệ phương trình   ∂u − v u + (u )u + p = f, ∂t divu = 0, x ∈ Ω, t > 0 i=1 ∂ui ∂vi dx ∂xj ∂xj x ∈ Ω, t > 0, trong đó Ω là miền bị chặn trong Rd , (d = 2, d = 3), biên Lipschitz Điều kiện biên: u = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0 Điều kiện ban đầu: u|t=0 = u0 , x ∈ Ω   u1 u =   = vectơ vận tốc ud 11 Hệ phương trình Navier - Stokes p : Ω × [0, T ) −→ R là hàm áp suất . nghiên cứu: Hệ phương trình Navier - Stokes. * Phạm vi nghiên cứu: Tính đặt đúng của bài toán, dáng điệu tiệm cận 4 Hệ phương trình Navier - Stokes nghiệm của hệ phương trình Navier - Stokes; tính. hệ phương trình Navier - Stokes. 5 Chương 1 Đại cương về hệ phương trình Navier - Stokes Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức sơ lược nhất liên quan đến hệ phương trình Navier - Stokes. tiêu - Trình bày về việc thiết lập hệ phương trình Navier - Stokes từ các quá trình vật lí, cách xây dựng các không gian pha và các toán tử đặc trưng khi nghiên cứu hệ phương trình Navier - Stokes. -