1 TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2010 - 2011 Bài 1. 1/ Giải phương trình 2 1 3 4 1 1 x x x x        . 2/ Giải phương trình với ẩn số thực 1 6 5 2 x x x       (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Long) Bài 2. Giải phương trình 5 4 3 2 11 25 14 0 x x x x x       (Đề thi HSG tỉnh Đồng Nai) Bài 3. Giải hệ phương trình 2 2 4 2 5 2 5 6 x y x y            (Đề HSG Bà Rịa Vũng Tàu) Bài 4. Giải hệ phương trình sau 1 3 3 1 2 8 x x y y x y y                (Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A) Bài 5. Giải hệ phương trình 2 4 3 2 2 4 4 1 4 2 4 2 x y xy x y xy            (Đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng) Bài 6. Giải hệ phương trình trên tập số thực 4 2 2 5 6 5 6 x y x y x          (Đề thi chọn đội tuyển Đồng Nai) 2 Bài 7 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 2 2 2 2 3 2 1 1 2 4 y x y x x x y y              (Đề thi HSG Hà Tĩ nh ) Bài 8 . Gi ải ph ươn g trì nh 2 3 6 7 1 x x x      (Đề thi ch ọn đội tuy ển Lâm Đồn g) Bài 9 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 2 2 1 1 2 0 x x y y x y x y x              (Đề thi HSG tỉ nh Quản g Bì nh ) Bài 10 . 1/ Gi ải b ất ph ươn g trì nh 2 2 ( 4 ) 2 3 2 0 x x x x     . 2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau 2 2 7 12 xy y x y x x y           (Đề thi HSG Đi ện Bi ên ) Bài 11 . Gi ải h ệ b ất ph ươn g trì nh 6 8 10 2007 2009 2011 1 1 x y z x y z            . (Đề thi ch ọn đội tuy ển Bình Đị nh) Bài 12 . 1/ Gi ải ph ươn g trì nh 1 1 2 1 3 x x x x       2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 2 2 2 2 x x y y y x          (Đề thi HSG tỉ nh Bến Tre) 3 Bài 13 . 1/ Gi ải ph ươn g trì nh 2 4 3 5 x x x     . 2/ Gi ải ph ươn g trì nh 3 2 3 1 2 2 x x x x      trên [ 2 ,2]  (Đề thi HSG tỉ nh Lon g An ) Bài 14 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau 2 2 1 2 2 1 1 3 3 ( ) y x x y x y x x             (Đề ch ọn đội tuy ển trườn g Ch uy ên Lê Quý Đôn , Bì nh Đị nh). Bài 15 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau 2 2 2 2 3 4 9 7 6 2 9 x y xy x y y x x            (Đề thi ch ọn đội tuy ển Nha Tran g, Kh ánh Hòa) Bài 16 . 1/ Gi ải ph ươn g trì nh 2 2 7 2 1 8 7 1 x x x x x          2/ Gi ải hệ ph ươn g trì nh 3 2 2 3 2 6 1 4 x y x y x y              (Đề thi HSG tỉ nh Vĩ nh Ph úc) Bài 17 . Gi ải ph ươn g trì nh sau 2 4 3 2 3 1 2 2 2 1 ( ) x x x x x x x x        (Đề thi HSG tỉ nh Hà Tĩ nh ) Bài 18 . Gi ải ph ươn g trì nh 2 2 3 2 2 5 0 sin sin cosx x x     . (Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g THPT ch uy ên Lê Khi ết, Quản g Ngãi ) Bài 19 . 1/ Gi ải ph ươn g trì nh 2 2 4 2 4 x x x x      . 4 2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 2 2 2 2 2 ( ) 3 ( ) 10 y x y x x x y y          (Đề thi ch ọn đội tuy ển THPT Ch uy ên Lam Sơn , Th anh Hóa) Bài 20 . Gi ải ph ươn g trì nh 2 3 6 7 1 x x x      . (Đề thi HSG tỉ nh Lâm Đồn g) Bài 21 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 5 ( ) 6( ) 4 6 5 6( ) 4( ) 5 4 6 4( ) 5 ( ) 6 5 4 x y x z x y x y x z xz z y x y z y zy x y xy x z y z x z xz y z yz                                  (Đề ch ọn đội tuy ển trườn g PTNK , TPHCM) Bài 22 . 1/ Gi ải phươn g trì nh 1 2 1 3 2 ( 11 ) 2 x y z x y z        2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 2 2 2 2 121 2 27 9 3 4 4 0 x x x x y xy x y               (Đề thi HSG tỉ nh Quản g Nam ) Bài 23 . 1/ Tì m tất cả các gi á trị của , a b để ph ươn g trì nh 2 2 2 2 1 x ax b m bx ax      có h ai n ghiệm ph ân biệt v ới m ọi th am số m. 2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 2 2 3 3 3 6 1 19 y xy x x y x           (Đề thi HSG v òn g tỉ nh Bì nh Phước) Bài 24 . 5 1/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 2 2 2 2 3 3 3 3 2010 2010 x y z x y z            2/ Gi ải ph ươn g trì nh 3 3 2 2 2 3 3 3 3 2 0 x x x x x x         (Đề thi ch ọn đội tuy ển Ni nh Bì nh) Bài 25 . 1/ Gi ải b ất ph ươn g trì nh sau 2 2 2 1 2( 1 ) 2(2 ) 4 1 17 0 x y x x x y y x x                 2/ Với n l à số n guy ên dươn g, gi ải ph ươn g trì nh 1 1 1 1 0 sin 2 sin 4 sin8 sin 2 n x x x x      . (Đề thi HSG tỉ nh Kh ánh Hòa) Bài 26 . 1/ Gi ải ph ươn g trì nh sau 3 sin 2 cos2 5sin (2 3)cos 3 3 1 2cos 3 x x x x x         . 2/ Gi ải ph ươn g trì nh 2 3 2 2 1 l og 3 8 5 ( 1 ) x x x x      (Đề thi HSG tỉ nh Th ái Bì nh ) Bài 27 . 1/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 2 2 2 1 2 1 x y x y y y x y x              2/ Gi ải ph ươn g trì nh lượn g gi ác 2 2 2 2sin 2 tan cot 2 x x x     (Đề thi HSG tỉ nh Ph ú Th ọ) Bài 28 . Gi ải ph ươn g trì nh 2 1 1 24 60 36 0 5 7 1 x x x x        (Đề thi HSG tỉ nh Quản g Ninh ) 6 Bài 29 . Gi ải ph ươn g trì nh 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 1 2 2 2 x x x x x x x           (Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g THPT Ch uy ên ĐHSP Hà N ội ) Bài 30 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 2 2 2 2 2 3 4 2 3 4 18 7 6 14 0 ( )( )x x y y x y xy x y                 (Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g THPT Ch uy ên ĐHSP Hà N ội ) Bài 31 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 3 2 2 1 2 1 2 3 2 4 2 2 4 6 ( ) ( )x x y y x y                (Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g THPT ch uy ên Lương Th ế Vi nh , Đồn g Nai ) Bài 32 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 4 3 3 2 2 3 3 9 9 7( ) x x y y y x x y x x y x             (Đề thi ch ọn HSG tỉ nh Hưn g Yên ) Bài 33 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 3 2 2 2 1 3 1 2 1 2 1 y x x x y y x xy x               (Đề thi ch ọn đội tuy ển ch uy ên Nguy ễn Du, Đăk L ăk) Bài 34 . Gi ải h ệ phươn g trì nh 3 3 2 2 35 2 3 4 9 x y x y x y           (Đề thi HSG tỉ nh Yên Bái ) Bài 35 . Gi ải ph ươn g trì nh 3 2 3 2 2 1 27 27 13 2 x x x x      (Đề thi HSG Hải Ph òn g, b ản g A 1) Bài 36 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 2 2 2 2 1 1 2( ) 2 1 1 2 x y x y y x x y             (Đề thi ch ọn đội tuy ển Quản g Ninh ) 7 Bài 37 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 3 3 3 3 12 50 12 3 2 27 27 x x y y y z z x z              (Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g THPT Ph an Ch u Tri nh , Đà Nẵn g) Bài 38 . Gi ải ph ươn g trì nh 9 2 3 9 1 2 1 3 x x x     (Đề thi ch ọn đội tuy ển Ph ú Yên ) Bài 39 . 1/ Gi ải ph ươn g trì nh sau 2 1 1 2 2 x x x x       2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau 3 3 2 2 3 4 2 1 2 1 y y x x x x y y                (Đề thi HSG tỉ nh Ngh ệ An ) Bài 40 . 1/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 3 3 2 4 4 8 4 1 2 8 2 0 x y xy x y x y             2/ Ch ứn g mi nh ph ươn g trì nh sau có đún g m ột n ghiệm 2011 3 3 2 ( 1) 2( 1) 3 3 2 x x x x x        . (Đề dự bị thi HSG tỉ nh Ngh ệ An ) Bài 41 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau 3 3 3 3 12 4 6 9 2 32 x y x y z y z x z                (Đề thi ch ọn đội tuy ển KHTN, v òn g 1) Bài 42 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2 6 2 2 1 log ( ) log ( ) y x x e y x y x y                8 (Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g THPT Cao Lãnh , Đồn g Th áp) Bài 43 . Gi ải ph ươn g trì nh sau 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 4 x x x x x x x x x               (Đề thi HSG tỉ nh Bì nh Ph ước) Bài 44 . 1/ Gi ải phươn g trì nh 3 2 3 3 4 3 2 x x x x      2/ Tì m số n ghi ệm của phươn g trì nh 2011 2009 4 2011 2009 2 2 (4022 4018 2 ) 2(4022 4018 2 ) cos 2 0 x x x x x x x        (Đề thi ch ọn đội tuy ển Ch uy ên Nguyễn Du) Bài 45 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau 2 2 2 2 2 (2 )( 1 2 )(2 )( 1 2 ) 4 10 1 2 2 1 0 x x y y z x y z xz yz x y                   (Đề thi ch ọn đội tuy ển Hà Tĩ nh ) Bài 46 . 1/ Gi ải ph ươn g trì nh sau 2 2010 ( 1 ) 1 x x x    . 2/ Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 4 2 4 3 3 4 2 5 2 2 xy x x y y x x y              (Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g THPT Sà o Nam , tỉ nh Quản g Nam ) Bài 47 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 11 10 22 12 4 4 2 2 3 7 13 8 2 (3 3 1 ) x xy y y y x y x x y              (Đề thi ch ọn đội tuy ển TP.HCM) Bài 48 . Gi ải h ệ phươn g trì nh 2 2 2 2009 2010 ( ) 2010 2011 ( ) 2011 2009 ( ) x y x y y z y z z x z x               (Đề thi ch ọn đội tuy ển ch uy ên Quan g Trun g, Bì nh Phước) 9 Bài 49 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau 2 2 2 1 5 57 4 3 ( 3 1 ) 25 x y x x y x              (Đề thi ch ọn đội tuy ển Nghệ An ) Bài 50 . Ch o các th am số dươn g , , a b c . Tì m n ghiệm dươn g của hệ ph ươn g trì nh sau : 2 2 2 4 x y z a b c xyz a x b y c z abc             (Đề ki ểm tra đ ội tuy ển Ni nh Bì nh ) Bài 51 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh sau trên tập h ợp số th ực 2 2 2 2 3 3 3 0 x y x x y x y y x y               (Đề thi ch ọn đội tuy ển Ch uy ên Vĩ nh Ph úc, tỉ nh Vĩ nh Ph úc) Bài 52 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 4 4 2 2 3 2 3 ( ) x x y y x y           (Đề ki ểm tra đ ội dự tuy ển trườn g THPT Ch uy ên ĐHSP Hà N ội ) Bài 53 . Gi ải ph ươn g trì nh 2 3 5 3 2 .sin .c os 2 1 1 x x x x x x x x        (Đề thi ch ọn đội tuy ển Hà Nội ) Bài 54 . Gi ải h ệ ph ươn g trì nh 2 2 2 2 2 ( 2) ( 3 ) ( 3 )( 2) 5 9 7 15 3 8 18 18 18 84 72 24 176 x y y x z x x z y yz x y xy y z x y z                            (Đề thi ch ọn đội tuy ển ĐHSP Hà Nội , n gày 2) Bài 55 . Tì m , , x y z th ỏa m ãn hệ 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 1 2 2 2 ( 3 1 ) 2 ( 1 ) z x y x y y z xy zx yz y x x x                   (Đề thi ch ọn đội tuy ển trườn g ĐH K HTN Hà Nội , v òn g 3) 10 LỜI GIẢI CHI TIẾT VÀ NHẬN XÉT Bài 1 . 1/ Gi ải ph ươn g trì nh 2 1 3 4 1 1 x x x x        . 2/ Gi ải ph ươn g trì nh v ới ẩn số th ực 1 6 5 2 x x x       (Đề thi HSG tỉ nh Vĩ nh Lon g) Lời giải. 1/Đi ều ki ện 1 x  . Ph ươn g trì nh đã ch o tươn g đươn g với 2 2 ( 1 1 ) ( 1 2) 1 1 1 1 2 1 x x x x              (*) -Nếu 1 1 x   thì ( * ) ( 1 1 ) ( 1 2) 1 3 2 1 1 1 1 x x x x                , l oại . -Nếu 1 1 2 2 5 x x       thì ( * ) ( 1 1 ) ( 1 2) 1 1 1 x x          , l uôn đún g. -Nếu 1 2 x   thì ( * ) ( 1 1 ) ( 1 2) 1 2 1 3 1 1 2 x x x x               , l oại . Vậy ph ươn g trì nh đã ch o c ó n ghiệm l à m ọi x th uộc   2 ;5 . 2/ Đi ều ki ện 5 2 x   . Ph ươn g trì nh đã ch o tươn g đươn g với 2 2 1 5 2 6 ( 1 ) ( 5 2 ) 2 ( 1 )( 5 2 ) 6 ( 1 ) ( 5 2 ) 5 ( 1 )( 5 2 ) 10 25 7 30 0 3 10 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                        Th ử l ại , ta th ấy chỉ có 3 x   l à th ỏa m ãn . Vậy ph ươn g trì nh đã ch o c ó n ghi ệm duy nh ất l à 3 x   . Nhận x ét. Các dạn g toán ph ươn g trì nh v ô tỉ n ày kh á cơ b ản và quen th uộc, ch ún g h oàn toàn có th ể gi ải b ằn g cách bì nh phươn g để kh ử căn m à kh ôn g cần l o n gại v ề tí nh gi ải được của ph ươn g trì nh h ay kh ôn g. Để đơn gi ản tron g việc x ét đi ều kiện , ta c ó th ể gi ải x on g rồi th ử l ại cũn g được. [...]... ta thấy tất cả đều thỏa Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là ( x, y )  (3,1), (5, 1), (4  10, 3  10), (4  10,3  10) Nhận xét Dạng hệ phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụ này thường gặp ở nhiều kì thi, từ ĐH-CĐ đến thi HSG cấp tỉnh và khu vực Chúng ta sẽ còn thấy nó xuất hiện nhiều ở các đề thi của các tỉnh được nêu dưới đây 4 x 2  y 4  4 xy 3  1  Bài 5 Giải hệ phương trình  2 2 4... y  3, x 12 3  4  x  , y  , thỏa điều kiện y 5 5 12 3 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ( x, y )  (3,1), ( , ) 5 5  x 6  y 8  z10  1  Bài 11 Giải hệ bất phương trình  2007 2009 2011 x  y  z  1  (Đề thi chọn đội tuyển Bình Định) Lời giải Từ bất phương trình thứ nhất của hệ, ta có 1  x, y, z  1 Từ hai bất phương trình của hệ, ta có x 2007  y 2009  z 2011  x 6  y 8  z10  x 6 (1... trong kì thi HSG ĐBSCL như sau Giải phương trình 32 x 5  32 x 4  16 x3  16 x 2  2 x  1  0 Phương trình này được giải bằng cách đặt ẩn phụ y  2 x rồi bình phương lên, nhân vào hai vế cho y  2 để đưa về phương trình quen thuộc y 3  3 y  y2 Bài toán như thế này khá đánh đố và phức tạp!  1 y 2 x   2  y Bài 14 Giải hệ phương trình sau  x x  2 2  y ( x  1  1)  3 x  3 (Đề chọn đội tuyển. .. với điều kiện x 6  y 8  z10  1 , ta thấy hệ bất phương trình đã cho có các nghiệm là ( x, y , z )  (1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1) Bài 12 1/ Giải phương trình x 1 1  x 2 x 1  3  x x2  x  2 y  2/ Giải hệ phương trình  2  y  y  2x  (Đề thi HSG tỉnh Bến Tre) Lời giải 1/ Điều kiện x  1,3  x  0, x  1  3  x  1  x  3, x  1 18 Phương trình đã cho tương đương với 2 x 1  1  (... phương trình thứ hai vô nghiệm vì vế trái luôn dương nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x  2 Nhận xét Cách đơn giản hơn dành cho bài này là chứng minh hàm đồng biến, tuy nhiên, cần chú ý xét x  1 trước khi đạo hàm  x  x  y 1  1  Bài 9 Giải hệ phương trình  2 2 y  x  2y x  y x  0  (Đề thi HSG tỉnh Quảng Bình) Lời giải Điều kiện x, x  y  1  0 Phương trình thứ nhất của hệ. .. xét Bài này có hình thức khá phức tạp và các hệ số xem ra rất khác nhau; tuy nhiên, nếu quan sát kĩ, chúng ta sẽ dễ dàng tìm ra các ẩn phụ cần thi t để làm đơn giản hóa bài toán Vậy hệ đã cho có nghiệm là ( x, y , z )  ( Bài 22 1/ Giải phương trình x  2 y 1  3 z  2  1 ( x  y  z  11) 2 x  2 121 x  2x   27 2  2/ Giải hệ phương trình  9  x 2  y 2  xy  3x  4 y  4  0  (Đề thi HSG tỉnh. .. thế cũng khá là mò mẫn, chúng ta có thể rút y từ phương trình ở dưới để thay lên rồi đánh giá phương trình một ẩn x thu được Bài 24  x 2  y 2  z 2  2010 2  1/ Giải hệ phương trình:  3 3 3 3  x  y  z  2010  2/ Giải phương trình: 32 x 3  x2  3x 3 2x  x3  3x  2  0 (Đề thi chọn đội tuyển Ninh Bình) Lời giải 1/ Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có x , y , z  2010 31 Suy ra x 3  y 3... Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là x  1, x  x0 Nhận xét Rõ ràng phương trình bậc ba ở trên phải giải trực tiếp bằng công thức tổng quát, điều này ít khi xuất hiện ở các kì thi HSG Đối với phương trình thứ hai, việc xét x  [2, 2] nêu trong đề bài có thể gợi ý dùng lượng giác; tuy nhiên, cách đặt x  2 cos  chưa có kết quả, mong các bạn tìm hiểu thêm Một bài tương tự xuất hiện trong. .. Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là ( x, y )  (2, 16 1 1 9  3 33 ), ( , ), ( ,3) 7 2 7 4 Nhận xét Bài này có thể còn nhiều biến đổi đơn giản hơn nhưng rõ ràng cách rút y ra rồi thay vào một phương trình như trên là tự nhiên hơn cả Bài 16 1/ Giải phương trình x  2 7  x  2 x  1   x 2  8 x  7  1 2 2 x  y  3  2 x  y  2/ Giải hệ phương trình  3  x  6  1 y  4  (Đề thi HSG. ..  1  0, x nên phương trình này vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x  2 Nhận xét Đây là một phương trình đa thức thông thường, có nghiệm là x  2 nên việc phân tích thành nhân tử khá đơn giản; cái khó là biết đánh giá phương trình còn lại và có nên tiếp tục tìm cách giải nó hay không hay tìm cách chứng minh nó vô nghiệm Trường hợp đề bài cho phân tích thành các đa thức không . 1 TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2010 - 2011 Bài 1. 1/ Giải phương trình 2 1 3. Giải phương trình với ẩn số thực 1 6 5 2 x x x       (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Long) Bài 2. Giải phương trình 5 4 3 2 11 25 14 0 x x x x x       (Đề thi HSG tỉnh Đồng Nai) Bài 3 Hải Phòng, bảng A) Bài 5. Giải hệ phương trình 2 4 3 2 2 4 4 1 4 2 4 2 x y xy x y xy            (Đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng) Bài 6. Giải hệ phương trình trên tập số thực 4 2 2 5