Đang tải... (xem toàn văn)
Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung hết sức quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú, đa dạng cho việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình,... Qua thực tế giảng dạy, cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8 (Lớp đang giảng dạy), vẫn còn nhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được, chưa nắm vững chắc các phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ năng biến đổi một cách linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể. Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lượng bộ môn nên bản thân đã chọn đề tài : “ Rèn kĩ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh môn đại số 8 ”.
A ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài: Tốn học mơn khoa học coi chủ lực, trước hết Tốn học hình thành cho em tính xác, tính hệ thống, tính khoa học tính logic,… chất lượng dạy học tốn nâng cao có nghĩa tiếp cận với kinh tế tri thức khoa học đại, giàu tính nhân văn nhân loại Cùng với đổi chương trình sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi phương pháp dạy học nói chung đổi phương pháp dạy học tốn nói riêng trường THCS tích cực hố hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện hình thành kĩ vận dụng kiến thức cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng, việc áp dụng dạng toán phong phú, đa dạng cho việc học sau rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình, Qua thực tế giảng dạy, qua việc theo dõi kết kiểm tra, thi học sinh lớp (Lớp giảng dạy), nhiều học sinh làm sai chưa thực được, chưa nắm vững phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ biến đổi cách linh hoạt, sáng tạo vào toán cụ thể Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ giải tốt khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng môn nên thân chọn đề tài : “ Rèn kĩ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử học sinh - môn đại số ” Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp trường Trung học sở An Tiến - Mỹ Đức - Hà Nội Phạm vi nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu phạm vi học sinh lớp 8A, 8B, 8C trường THCS An Tiến - Mỹ Đức - Hà Nội, năm học 2012 - 2013 Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT Tốn 8, tài liệu tham khảo có liên quan - Nghiên cứu qua thực hành giải tập học sinh - Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra - Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập đối tượng học sinh -1- B NỘI DUNG Chương I : Lý luận chung 1.Cơ sở lý luận: Trước phát triển mạnh mẽ kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin nay, xã hội thơng tin hình thành phát triển thời kỳ đổi nước ta đặt giáo dục đào tạo trước thời thách thức Để hòa nhập tiến độ phát triển giáo dục đào tạo ln đảm nhận vai trị quan trọng việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đề ra, “đổi giáo dục phổ thơng theo Nghị số 40/2000/QH10 Quốc hội” Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, mơn tốn mơn học đáp ứng đầy đủ u cầu Việc học tốn khơng phải học SGK, không làm tập thầy, cô giáo mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tịi vấn đề, tổng qt hố vấn đề rút điều bổ ích Dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử dạng tốn quan trọng mơn đại số đáp ứng yêu cầu này, tảng, làm sở để học sinh học tiếp chương sau này, học rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức việc giải phương trình… Vấn đề đặt làm để học sinh giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cách xác, nhanh chóng đạt hiệu cao Để thực tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kĩ quan sát, nhận xét, đánh giá toán, đặc biệt kĩ giải toán, kĩ vận dụng toán, tuỳ theo đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp sở phương pháp học cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt môn Cơ sở thực tiễn : Tồn nhiều học sinh yếu tính tốn, kĩ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán, phần lớn kiến thức lớp dưới, chưa chủ động học tập từ đầu chương trình lớp 8, chay lười học tập, ỷ lại, nhờ vào kết người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu Đa số em sử dụng loại sách tập có đáp án để tham khảo, nên gặp tập, em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt Phụ huynh học sinh chưa thật quan tâm mức đến việc học tập em theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở học tập nhà -2- Chương II : Nội dung Đề tài đưa giải pháp sau: - Sắp xếp toán theo mức độ, dạng toán - Xây dựng phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử - Sau phương pháp có số tập cho HS áp dụng Phần 1: Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức - Phương pháp Đặt nhân tử chung - Phương pháp Dùng đẳng thức - Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử Phần 2: Đối với học sinh đại trà: Vận dụng phát triển kỹ - Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên) + Chữa sai lầm thường gặp học sinh giải toán + Củng cố phép biến đổi hoàn thiện kĩ thực hành + Tìm tịi cách giải hay, khai thác tốn - Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao: (Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác, Phương pháp thêm bớt hạng tử) Phần 3: Đối với học sinh khá, giỏi : Phát triển tư (giới thiệu cho HS số phương pháp nâng cao): - Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác - Phương pháp thêm bớt hạng tử - Phương pháp đặt ẩn phụ (Đổi biến) - Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm đa thức - Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp hệ số bất định - Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp xét giá trị riêng -3- PHẦN 1: ĐỐI VỚI HỌC SINH YẾU, KÉM 1.1 Phương pháp 1: Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp chung: Ta thường làm sau: - Tìm nhân tử chung hệ số (ƯCLN hệ số) - Tìm nhân tử chung biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ ) Nhằm đưa dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D) Chú ý: Nhiều để làm xuất nhân tử ta cần đổi dấu hạng tử Ví dụ 1: (Bài 39c SGK Tr 19) Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 14, 21, 28 hạng tử ? (Học sinh trả lời là: 7, ƯCLN(14, 21, 28 ) = ) - Tìm nhân tử chung biến x2 y, xy2, x2y2 ? (Học sinh trả lời xy ) - Nhân tử chung hạng tử đa thức cho 7xy Giải 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy) Ví dụ 2: (Bài 39e SGK Tr 19) Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 10 ? (Học sinh trả lời là: 2) - Tìm nhân tử chung x(x – y) y(y – x) ? (Học sinh trả lời là: (x – y) (y – x) ) - Hãy thực đổi dấu tích 10x(x – y) tích – 8y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) (x – y)? Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y) Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x) (Học sinh tự giải ) Giải 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y) Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai ) = (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên) = (x – y)(19x – 10y) (kết sai ) -4- Sai lầm học sinh là: Thực đổi dấu sai: 9x(x – y) – 10(y – x) = 9x(x – y) + 10(x – y)2 Vì –10(y – x)2 = –10(y – x)(y – x)= –10(x– y)(x– y) Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x) Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh: +Cách tìm nhân tử chung hạng tử (tìm nhân tử chung hệ số nhân tử chung biến, biến chung lấy số mũ nhỏ nhất) +Quy tắc đổi dấu cách đổi dấu nhân tử tích Chú ý: Tích khơng đổi ta đổi dấu hai nhân tử tích (một cách tổng qt, tích khơng đổi ta đổi dấu số chẵn nhân tử tích đó) Bài tập áp dụng : Phân tích đa thức thành nhân tử a/ x3 − x b/ 4a + 2ab c/ x ( x − y ) − 15 x( x − y ) d/ ( x + 1) − 3( x + 1) e/ x(2 x − 3) − 2(3 − x) f/ x( x − y ) − ( y − x) g/ x( x − 1) + (1 − x) h/ 3x( x − 1) − (1 − x)3 1.2 Phương pháp 2: Phương pháp dùng đẳng thức Phương pháp chung: Sử dụng bảy đẳng thức đáng nhớ “dạng tổng hiệu” đưa “dạng tích” A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A2 – B2 = (A – B)(A + B) A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) Ví dụ 4: (Bài 28a SBT Tr 6) Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử Gợi ý: Đa thức có dạng đẳng thức ? (HS: có dạng A2 – B2 ) -5- Lời giải sai: (x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (Thiếu dấu ngoặc) = 0.(2x) = (kết sai) Sai lầm học sinh là: Thực thiếu dấu ngoặc (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy Các sai lầm học sinh dễ mắc phải : - Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc quy tắc dấu - Phép biến đổi, kĩ nhận dạng đẳng thức hiệu hai bình phương, bình phương hiệu Lời giải đúng: Khai thác toán: Đối với học sinh giỏi, giáo viên cho em làm tập dạng phức tạp * Nếu thay mũ “2” mũ “3” ta có tốn Phân tích (x + y)3 – (x – y)3 thành nhân tử (Bài 44b SGK Tr20) * Đặt x + y = a, x – y = b, thay mũ “3” mũ “6” ta có tốn Phân tích a6 – b6 thành nhân tử (BT 26c SBT Tr 6) 3 a6 – b6 = ( a ) − ( b ) = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) Ví dụ 5: (Bài 26c SBT Tr ) Phân tích a6 – b6 thành nhân tử a6 – b6 = ( a ) −( b ) 3 Giải = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) = (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2) Giáo viên củng cố cho học sinh: Các đẳng thức đáng nhớ, kĩ nhận dạng đẳng thức qua toán, dựa vào hạng tử, số mũ hạng tử mà sử dụng đẳng thức cho thích hợp Bài tập áp dụng : Phân tích đa thức thành nhân tử a/ 4a + 4ab + b i/ x3 + 27 b/ ( x + y )2 − x k/ 125 x3 − c/ (7 x − 4) − (2 x + 1) l/ y − 64 x d/ − x3 + x − 27 x + 27 e/ − x − xy − y f/ ( x − y ) − g/ (3x − y ) − (2 x − y ) h/ x − y -6- 1.3 Phương pháp 3: Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Phương pháp chung: Lựa chọn hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hai dạng sau đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Thông thường ta dựa vào mối quan hệ sau: - Quan hệ hệ số, biến hạng tử toán - Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: + Mỗi nhóm phân tích + Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực Dạng 1) Nhóm nhằm xuất phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ 6: (Bài 47a SGK Tr 22) Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử Cách 1: nhóm (x2 – xy) (x – y) Cách 2: nhóm (x2 + x) (– xy – y ) Lời giải sai: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) = (x – y)(x + 0) (kết dấu sai bỏ sót số 1) Sai lầm học sinh là: bỏ sót hạng tử sau đặt nhân tử chung (HS cho ngoặc thứ hai đặt nhân tử chung (x – y) cịn lại số 0) Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1) Dạng 2) Nhóm nhằm xuất phương pháp dùng đẳng thức: Ví dụ 7: Phân tích đa thức x2 – 2x + – 4y2 thành nhân tử Giải x – 2x + – 4y = (x – 2x + 1) – (2y)2 = (x – 1)2 – (2y)2 = (x – – 2y)(x – + 2y) 2 3) Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: Ví dụ 8: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết dấu sai) Sai lầm học sinh là: Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai ngoặc thứ hai) Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) -7- Qua ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: Cách nhóm hạng tử đặt dấu trừ “ – ” dấu cộng “ + ” trước dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu thực nhóm Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sai dấu, học sinh cần ý cách nhóm kiểm tra lại kết sau nhóm Lưu ý: Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử khơng thực nữa, cách nhóm sai, phải thực lại Bài tập áp dụng : Phân tích đa thức thành nhân tử a/ b/ c/ d/ e/ f/ g/ h/ 2a ( x + y ) + x + y x( y + 2) + y + y ax + bx + a + b x − xy − x + y x + x − x3 − x x + 3x − x − 15 ( x − 1) − x − x(2 x − 7) + 14 − 14 x i/ k/ l/ m/ xy + y − 2x − x2 − 2x + − y + y −1 ( x + y )3 − x − y x + y + xy + yz + xz -8- PHẦN 2: ĐỐI VỚI HỌC SINH ĐẠI TRÀ 2.1 Phương pháp 4: Phối hợp phương pháp thông thường Phương pháp chung Là kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Vì học sinh cần nhận xét toán cách cụ thể, mối quan hệ hạng tử tìm hướng giải thích hợp Ví dụ 9: (?2 SGK Tr22) Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử Gợi ý phân tích: Xét phương pháp: Đặt nhân tử chung ? Dùng đẳng thức ? Nhóm nhiều hạng tử ? Các sai lầm học sinh thường mắc phải Lời giải chưa hoàn chỉnh: a) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phân tích chưa triệt để) b) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x) = x3(x – 9) + x(x – ) = (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để) Lời giải đúng: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) = x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)] = x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)] = x(x – 9)(x2 + 1) Ví dụ 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x y − xy + y − y Giải Lời giải chưa hoàn chỉnh : x y − xy + y − y = y ( x − x + − y ) (phân tích chưa triệt để) Lời giải sai: x y − xy + y − y = y ( x − x + − y ) = y[( x − (4 x + − y )] (Đặt sai dấu) Lời giải đúng: Ta có : x y − xy + y − y = y ( x − x + − y ) = y[( x − x + 4) − (2 y ) ] = y[( x − 2) − (2 y ) ] = y ( x − − y )( x − + y ) Bài tập áp dụng : Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ x + xy + y e/ 2xy − x y − y b/ y − 14 y + 24 f/ x − y + x − xy + y c/ x − y + 10 x + 10 y g/ x ( x + y ) − x − y -9- d/ x3 + x − x − h/ x3 − 3x − 3x + Trong chương trình sách giáo khoa Toán hành giới ba phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử Tuy nhiên phần tập lại có áp dụng ba phương pháp để giải, (Chẳng hạn tập 53, 57 SGK Tr 24-25) Sách giáo khoa có gợi ý cách “ tách ” hạng tử thành hai hạng tử khác “ thêm bớt hạng tử ” thích hợp áp dụng phương pháp để giải Xin giới thiệu thêm hai phương pháp này, để học sinh vận dụng rộng rãi thực hành giải toán 2.2 Phương pháp 5: Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác Ví dụ 11: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + thành nhân tử Gợi ý ba cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích) Giải Cách (tách hạng tử : 3x2) 3x2 – 8x + = 4x2 – 8x + – x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – – x)( 2x – + x) = (x – 2)(3x – 2) Cách (tách hạng tử : – 8x) Cách (tách hạng tử : 4) 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) 3x2 – 8x + = 3x2 – 12 – 8x + 16 = 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2) = 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2) = (x – 2)(3x + – 8) = (x – 2)(3x – 2) Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm: - Làm xuất đẳng thức hiệu hai bình phương (cách 1) - Làm xuất hệ số hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ làm xuất nhân tử chung x – (cách 2) - Làm xuất đẳng thức nhân tử chung (cách 3) Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác nhằm làm xuất phương pháp học như: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử việc làm cần thiết học sinh giải toán Khai thác cách giải: Tách hạng tử: – 8x (Cách 2) Nhận xét: Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + ta thấy hệ số số hạng là: 3, – 6, –2, tỷ lệ −6 = hay (– 6).( – 2)= 3.4 (– 6) + ( – 2)= – −2 - 10 - = (x2 + x + 5) (x2 + 2x - x - 2) (Tách hạng tử) = (x2 + x + 5) (x + 2) (x - 1) = (x - 1) (x +2) (x2 + x + 5) 19 19 Chú ý: Tam thức x2 + x + = (x + )2 + ≥ Do khơng phân tích tiếp Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ x( x + 4)( x + 6)( x + 10) + 128 b/ (x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) − 24 c/ ( x + x + 8) + 3x( x + x + 8) + x d/ ( x + x) + x + x − 12 e/ ( x + x)2 + x + 18 x + 20 f/ x − xy + y − x + y − 35 h/ x + xy + y + x + y − 15 i/ (x + a)( x + 2a)( x + 3a)( x + 4a) + a k/ ( x + x) + 3( x + x) + l/ x − xy + y + 3x − y − 10 m/ (x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 16 2 n/ ( x + x + 1) ( x + x + ) – 12 o/ (x − 2)( x − 3)( x − 6)( x − 4) − 72 x g/ x ( x + ) ( x + ) ( x + 10 ) + 128 3.2 Phương pháp 8: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm đa thức ( Phương pháp hạ bậc đa thức ) Tổng quát : Cho đa thức f(x); a nghiệm f(x) f(a) = f(x) chứa nhân tử x - a a phải nghiệm đa thức - Nếu đa thức có tổng hệ số đa thức có nghiệm hay đa thức chứa nhân tử x-1 Ví dụ 19 : Phân tích đa thức x3 − x + 11x − thành nhân tử Nhận xét : Đa thức x3 − x + 11x − có tổng hệ số 1+(-6)+11+(-6) = nên đa thức có nghiệm x = ⇒ đa thức chứa nhân tử chung (x- 1) Giải Chia đa thức x − x + 11x − cho x-1 , ta : x − x + 11x − = ( x − 1)( x − x + 6) = ( x − 1)( x − x − x + 6) (Tách hạng tử) = ( x − 1)[( x − x) − (3x − 6)] = ( x − 1)[ x( x − 2) − 3( x − 2)] = ( x − 1)( x − 2)( x − 3) - Nếu đa thức có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ đa thức có nghiệm -1 hay đa thức chứa hạng tử x+1 Ví dụ 20 : Phân tích đa thức x3 − x + x + thành nhân tử - 15 - Nhận xét: Đa thức x3 − x + x + có : Tổng hệ số số hạng bậc chẵn : -5+8 = Tổng hệ số số hạng bậc lẻ : 1+2 = Ta thấy tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ nên đa thức có nghiệm -1 ⇒ đa thức chứa nhân tử chung (x + 1) Giải Chia đa thức x3 − x + x + cho x+1 , ta : x − x + x + = ( x + 1)( x − x + 8) = ( x + 1)( x − x − x + 8) (Tách hạng tử) = ( x + 1)[( x − x) − (4 x − 8)] = ( x − 1)[ x( x − 2) − 4( x − 2)] = ( x − 1)( x − 2)( x − 4) - Nếu hai trường hợp không xét được, ta xét ước hệ số tự Ta tìm tất ước hệ số tự do, ước làm cho đa thức có giá trị ước nghiệm đa thức VÝ dơ 21: Phân tích đa thức x + x + x + x − 12 thành nhân tử Nhận xét : Ước hệ số tự ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12 Ta thấy giá trị -2 làm cho đa thức nên x =1 x = -2 nghiệm đa thức hay đa thức chứa nhân tử x-1 x+2 Giải Chia đa thức x + x + x + x − 12 cho (x-1) (x+2), ta : x + x3 + x + x − 12 = ( x − 1)( x + 2)( x + x + 6) Chú ý: Tam thức x2 + x + = (x + 23 23 ≥ Do khơng phân tích tiếp ) + 4 Vậy x + x3 + x + x − 12 = (x - 1)(x + 2) (x2+ x + 6) - Nếu ba trường hợp không xét tức đa thức khơng có nghiệm ngun p Vậy nghiệm hữu tỉ có đa thức phải có dạng q với p ước hạng tử không đổi q ước dương hạng tử cao Ví dụ 22 : Phân tích đa thức x − x + x − thành nhân tử - 16 - Nhận xét : Đa thức có nghiệm hữu tỉ (nếu có) : ta thấy x = nghiệm đa thức nên đa thức chứa nhân tử x − −1 −3 ; ; ; Kiểm tra 2 2 hay 2x-1 Giải Chia đa thức x − x + x − cho 2x-1 , ta : x − x + x − = (2x − 1)( x − x + 3) Chú ý: Tam thức x2 -2x +3 = (x +1)2 +2 ≥ Do khơng phân tích tiếp Vậy x − x + x − = (2x − 1)( x − x + 3) Bài tập áp dụng : Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ 4x2 – 17xy + 13y2 b/ 2x4 + 5x3 + 13x2 + 25x + 15 c/ 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24 d/ x4 – 6x3 + 7x2 + 6x – e/ x3 + 3x − x + f/ −6 x3 + x + x − g/ x5 − x + x3 − x + x + h/ x3 − x − x + i/ x4 + 3x3 + x2 - 12x - 20 k/ 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + l/ 15x3 + 29x2 – 8x – 12 m/ x3 + 9x2 + 26x + 24 n/ x3 − 17 x − x + o/ x3 − x + x + p/ x3 − x + x − q/ x3 + x + 10 x − 12 3.3 Phương pháp 9: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp hệ số bất định (Chỉ áp dụng cho HS giỏi) Ví dụ 23: Phân tích đa thức x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + thành nhân tử Nhận xét: Dùng phương pháp nhẩm nghiệm trên, ta thấy đa thức x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỉ Như đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) với a,b,c,d ∈ Z Khai triển (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) ta đa thức : x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd (*) - 17 - a + c = −6 ac + b + d = 12 Đồng đa thức(*) với đa thức cho ta có: ad + bc = −14 bd = Xét bd = với b, d ∈ Z, b ∈ { ±1, ±3} Chọn b = d = hệ điều kiện trở thành : a + c = −6 ac = −8 2c = − c = − ⇒ ⇒ a = −2 a + 3c = −14 ac = bd = Thay a,b,c,d vào đa thức (*) ta : (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Vậy x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Ví dụ 24: Phân tích đa thức 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy – thành nhân tử Nhận xét : Nếu đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng (ax + by + 3)(cx + dy -1) với a,b,c,d ∈ Z Giải 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (ax + by + 3)(cx + dy -1) Khai triển (ax + by + 3)(cx + dy -1) ta đa thức : acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – (*) ac = 12 bc + ad = −10 a = c = ⇒ Đồng đa thức(*) với đa thức cho ta có: 3c − a = bd = −12 b = −6 d = 3d − b = 12 Thay a,b,c,d vào đa thức (*) ta : (4x - 6y +3)(3x +2y -1) Vậy 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (4x - 6y +3)(3x +2y -1) Bài tập áp dụng : Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ x − x3 + 12 x − 14 x + b/ x + x3 + x + x + g/ 3x − x + x − h/ 3x − x − 18 x − 3x + - 18 - c/ x − x3 + 14 x − x + d/ x − x + 63 e/ x + x3 − x − f/ 3x − x + x − x − i/ x + 3x + x + 3x − k/ x + x3 + x − x + l/ x − x3 + x − 3.4 Phương pháp 10: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp xét giá trị riêng (Chỉ áp dụng cho HS giỏi) Ví dụ 25 : Phân tích đa thức P= ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) thành nhân tử Nhận xét : Nếu ta thay a b P = 0+ bc(b-c) + bc(c-b) =0, nên p chia hết cho a-b Vai trò a,b,c đa thức nên p chia hết cho (a-b)(b-c)(c-a) Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc tập hợp biến đa thức chia (a-b)(b-c)(c-a) có bậc tập hợp biến số nên thương số k cho ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) = k(a-b)(b-c)(c-a) Trong đẳng thức cho biến nhận giá trị riêng a =2 ; b =1 ; c =0, ta : 2.1.1+0 +0 = k.1.1.(-2) ⇔ = -2k ⇔ k = -1 Vậy P = -(a-b)(b-c)(c-a) Ví dụ 26 : Phân tích đa thức Q = (a+b+c)3-a3-b3-c3 thành nhân tử Nhận xét : Nếu ta thay a -b Q= (0+c) 3+b3-b3-c3=0 Vậy Q chia hết cho (a+b) vai trò a,b,c đa thức nên Q chia hết cho (a+b)(b+c)(c+a) Trong phép chia đó, đa thức bị chia Q có bậc tập hợp biến đa thức chia (a+b)(b+c)(c+a) có bậc tập hợp biến số nên thương số k cho (a+b+c)3-a3-b3-c3 = k(a+b)(b+c)(c+a) Trong đẳng thức cho biến nhận giá trị riêng a = 0; b = 1; c = ta có : (0+1+2)3-0 -13-23 = k(0+1)(1+2)(2+0) - 19 - ⇔ 18 = k ⇔ k=3 Vậy (a+b+c)3- a3 -b3 - c3 = 3(a+b)(b+c)(c+a) Chú ý : Khi đa thức có nhiều biến số vai trò biến đa thức ta sử dụng phương pháp xét giá trị riêng Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ (a + b + c)(ab + bc + ca) − abc b/ a (a + 2b)3 − b(2a + b)3 c/ ab(a + b) − bc (b + c) + ac(a − c ) d/ (a + b)(a − b ) + (b + c)(b − c ) + (c + a)(c − a ) e/ a (c − b ) + b3 (a − c ) + c3 (b − a ) + abc(abc − 1) f/ a (b − c)3 + b(c − a )3 + c (a − b)3 g/ a 2b2 (a − b) + b2 c (b − c) + a 2c (c − a ) h/ a (b − c) + b (c − a ) + c (a − b) Phần 4: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN Để thực tốt kĩ phân tích đa thức thành nhân tử nêu thành thạo thực hành giải toán, giáo viên cần cung cấp cho học sinh kiến thức sau: + Củng cố lại phép tính, phép biến đổi, quy tắc dấu quy tắc dấu ngoặc lớp 6, - 20 - + Ngay từ đầu chương trình Đại số giáo viên cần ý dạy tốt cho học sinh nắm vững kiến thức nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo hai chiều đẳng thức Khi gặp toán phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh cần nhận xét: Quan sát đặc điểm toán: Nhận xét quan hệ hạng tử toán (về hệ số, biến) Nhận dạng toán: Xét xem toán cho thuộc dạng nào?, áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau (đặt nhân tử chung dùng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử, hay dạng phối hợp phương pháp) Chọn lựa phương pháp giải thích hợp: Từ sở mà ta chọn lựa phương pháp cho phù hợp với toán Lưu ý: Kinh nghiệm phân tích tốn thành nhân tử : Trong tốn phân tích đa thức thành nhân tử - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung bước biểu thức lại ngoặc, thường thu gọn, sử dụng phương pháp nhóm dùng phương pháp đẳng thức - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp nhóm hạng tử bước biểu thức nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng phương pháp đẳng thức - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp dùng đẳng thức bước tốn thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức Chú ý: +Phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng liên tiếp hai bước liền +Phương pháp nhóm khơng thể sử dụng liên tiếp hai bước liền +Phương pháp dùng đẳng thức sử dụng liên tiếp hai bước liền + Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử + Trong phương pháp nhóm học sinh thường đặt dấu sai Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận thực phép biến đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm hạng tử, sau bước giải phải có kiểm tra Phải có đánh giá tốn xác theo lộ trình định, từ lựa chọn sử dụng phương pháp phân tích cho phù hợp Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng toán, nhận xét đánh giá toán theo quy trình định, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào toán, sử dụng thành thạo kỹ giải toán thực hành, rèn luyện khả tự học, tự tìm tịi sáng tạo Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm cách giải hay, cách giải khác - 21 - Phần 5: KẾT QUẢ Kết áp dụng kĩ góp phần nâng cao chất lượng học tập môn học sinh đại trà Cụ thể kết kiểm tra dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử thơng kê qua giai đoạn hai lớp 8A, 8B,8C năm học 2012 - 2013 sau: a) Chưa áp dụng giải pháp - 22 - Kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm Thời gian Đầu học kỳ I đến học kỳ II TS HS Chưa áp dụng giải pháp 103 Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 45 43,7 % * Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm kỹ phân tích tốn, đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc, cách trình bày giải cịn lung tung b) Áp dụng giải pháp Lần 1: Kiểm tra tiết Thời gian Đầu học kỳ I đến học kỳ II TS HS Kết áp dụng giải pháp (lần 1) 103 Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 70 67,96 % * Nhận xét: Học sinh hệ thống, nắm kiến thức đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc vận dụng tốt phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử giải tốn, biết nhận xét đánh giá toán trường hợp, trình bày hợp lý Lần 2: Kiểm tra học kì I Thời gian Đầu học kỳ I đến học kỳ II TS HS Kết áp dụng giải pháp (lần 2) 103 Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 95 92,23 % * Nhận xét: Học sinh nắm vững kiến phân tích đa thức thành nhân tử, vận dụng thành thạo kỹ biến đổi, phân tích, biết dựa vào tốn biết cách giải truớc đó, linh hoạt biến đổi vận dụng đẳng thức trình bày giải hợp lý có hệ thống logic, cịn số học sinh q yếu, chưa thực tốt Học sinh tích cực tìm hiểu kĩ phương pháp giải, phân loại dạng toán, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kĩ giải nhanh tốn có dạng tương tự, đặt nhiều vấn đề mới, nhiều tốn Tóm lại: Từ thực tế giảng dạy áp dụng phương pháp nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ cách giải toán dạng tập Kinh nghiệm giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững cách phân tích đa thức thành nhân tử chương trình học, học rèn luyện kĩ thực hành theo hướng tích cực hố hoạt động nhận thức mức độ khác thông qua chuỗi tập Bên cạnh cịn giúp cho học sinh - 23 - giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm số phương pháp giải khác, dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài toán học, phát huy tính tự học, tìm tịi, sáng tạo học sinh học toán C KẾT LUẬN 1.Bài học kinh nghiệm Thông qua việc nghiên cứu đề tài kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép rút số kinh nghiệm sau: - Đối với học sinh yếu kém: Là trình liên tục củng cố sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện kỹ để học sinh có khả nắm phương pháp vận - 24 - dụng tốt phương pháp phân tích vào giải toán, cho học sinh thực hành theo mẫu với tập tương tự, tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn em xa nội dung SGK - Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần ý cho học sinh nắm phương pháp bản, kĩ biến đổi, kĩ thực hành việc vận dụng phương pháp đa dạng vào tập cụ thể, luyện tập khả tự học, gợi suy mê hứng thú học, kích thích khơi dậy óc tìm tịi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức - Đối với học sinh giỏi: Ngoài việc nắm phương pháp bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm phương pháp phân tích nâng cao khác, tập dạng mở rộng giúp em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử tốt Qua tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tịi sáng tạo, khác thác cách giải, khai thác toán khác nhằm phát triển tư cách tồn diện cho q trình tự nghiên cứu em - Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu vận dụng học sinh q trình cung cấp thơng tin có liên quan chương trình đại số đề cập Giáo viên phải định hướng vạch dạng toán mà học sinh phải liên hệ nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý đề cập, giúp học sinh nắm vững dạng toán rèn luyện kĩ phân tích cách tường minh dạng tập để tìm hướng giải sau biết áp dụng phát triển nhanh tập tổng hợp, kĩ vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách đa dạng giải toán Đồng thời tạo điều kiện để học sinh phát triển tư cách toàn diện, gợi suy mê hứng thú học tập, tìm tịi sáng tạo, kích thích khơi dậy khả tự học học sinh, chủ động học tập học toán Nếu thực tốt phương pháp trình giảng dạy học tập chất lượng học tập mơn học sinh nâng cao hơn, đào tạo nhiều học sinh giỏi, đồng thời tuyển chọn nhiều học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện, tỉnh, Hướng phổ biến áp dụng: Đề tài triển khai phổ biến áp dụng chương trình đại số lớp 8, cho năm học sau Hướng nghiên cứu phát triển Đề tài nghiên cứu tiếp tục phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác (nâng cao) Đề tài nghiên cứu cho đa thức phức tạp hơn, sâu vào việc nghiên cứu đa thức đặc biệt - 25 - MỤC LỤC A.Đặt vấn đề 1.Lý chọn đề tài 2.Đối tượng nghiên cứu 3.Phạm vi - thời gian áp dụng - 26 - 1 1 4.Phương pháp nghiên cứu B.Nội dung Chương I : Lý luận chung 1.Cơ sở lý luận 2.Cơ sở thực tiễn Chương II : Nội dung Phần 1: Đối với học sinh yếu, 1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung 1.2 Phương pháp dùng đẳng thức 1.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Phần 2: Đối với học sinh đại trà 2.1 Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên) 2.2 Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác 2.3 Phương pháp thêm bớt hạng tử Phần 3: Đối với học sinh khá, giỏi 3.1 Phương pháp đặt ẩn phụ (Đổi biến) 3.2 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm đa thức…………………………………………………………… 3.3 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp hệ số bất định……………………………………………………………………… 3.4 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp xét giá trị riêng……………………………………………………………………… Phần 4: Biện pháp thực Phần 5: Kết C.Kết luận - Kiến nghị đề xuất - 27 - 2 2 4 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, Sách tập, Sách giáo viên Toán Một số vấn đề đổi phương pháp dạy học mơn Tốn trường THCS Toán nâng cao chuyên đề Đại Số Tốn bồi dưỡng HS lớp mơn Đại Số Bài tập thực hành Toán - tập Nâng cao phát triển Toán - tập Bồi dưỡng lực tự học Toán - 28 - ... Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm đa thức - Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp hệ số bất định - Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương... nhóm Lưu ý: Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử khơng thực nữa, cách nhóm sai, phải thực lại Bài tập áp dụng : Phân tích đa thức thành nhân tử a/ b/ c/ d/... xuất nhân tử ta cần đổi dấu hạng tử Ví dụ 1: (Bài 39c SGK Tr 19) Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 14, 21, 28 hạng tử ? (Học sinh