Đang tải... (xem toàn văn)
1. Một số kiến thức bổ trợ : a) Hệ thống các ví dụ ôn lại lý thuyết: a.1.Một số công thức tính thể tích: Thể tích khối hộp chữ nhật: Trong đó a,b,c là ba kích thước. Đặc biệt: Thể tích khối lập phương: Trong đó a là độ dài cạnh của khối lập phương . Thể tích khối lăng trụ: Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao Thể tích của khối chóp: Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao Tỷ số thể tích: Cho hình chóp S.ABCD.Trên các đoạn thẳng SA,SB,S lần lượt lấy 3 điểm A’,B’,C’ khác với S.
Chun đề: THỂ TÍCH CÁC KHỐI ĐA DIỆN-KHỐI TRỊN XOAY Sưu tầm biên soạn: Phan Trọng Tiệp - Trường THPT Chiêm Hóa-Tuyên Quang Một số kiến thức bổ trợ : a) Hệ thống ví dụ ơn lại lý thuyết: a.1.Một số cơng thức tính thể tích: - Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c Trong a,b,c ba kích thước Đặc biệt: Thể tích khối lập phương: V = a3 Trong a độ dài cạnh khối lập phương V = B.h Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao - Thể tích khối chóp: V = B.h Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao - Thể tích khối lăng trụ: - Tỷ số thể tích: Cho hình chóp S.ABCD.Trên đoạn thẳng SA,SB,S lấy điểm A’,B’,C’ khác với S Ta có: VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' = VS ABC SA SB SC - Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2.π R.l ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh) - Thể tích khối trụ: V = π R h ( h : độ dài đường cao ) - Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = π R.l - Diện tích mặt cầu: S = 4.π R - Thể tích khối cầu: V = π R 3 - Thể tích khối nón: V = π R h a.2.Một số kiến thức bổ trợ: 3 Diện tích : S = a2 + Hình vng ABCD có cạnh a: Đường chéo AC= a Diện tích S = a2 1 + Cơng thức tính diện tích tam giác: S = a.ha = a.b.sin C 2 + Xác định góc đường thẳng d mp(P) · • Nếu d ⊥ (P ) (d ,(P )) = 900 • Nếu khơng vng góc với ( P ) + Tam giác ABC cạnh a: Chiều cao: h = a - Xác định hình chiếu vng góc d’ d (P) · · Khi : (d ,(P )) = (d , d ') = α +Xác định góc hai mặt phẳng cắt (P) (Q) ( P ) ∩ (Q) = d a ⊂ (P ), a ⊥ d · · ⇒ (( P ),(Q)) = (a, b) b ⊂ (Q), b ⊥ d a ∩ b = I ∈d + Khoảng cách đường thẳng chéo a b * Nếu a ⊥ b - Dựng mp(P) ⊃ b mp(P) ⊥ a A - Dựng AB vng góc với b B Khi đó: d (a, b) = AB * Nếu a b khơng vng góc Cách 1: - Dựng mp(P) ⊥ a O ( P ) ∩ b = { I } - Dựng hình chiếu vng góc b’ b (P) -Trong (P) dựng OH vng góc với b’tại H -Từ H kẻ đường thẳng // với a cắt b B -Từ B kẻ đường thẳng // với OH cắt a A Khi đó: d (a, b) = AB Cách 2: - Dựng (P) ⊃ b mp(P)//a - Dựng (Q) thỏa mãn A ∈ (Q), A ∈ a, (Q) ⊥ (P),(Q) ∩ (P)= c - Trong (Q) kẻ AB vng góc với c B Khi đó: d (a, b) = AB Ví dụ 1: Tính chiều cao diện tích tam giác ABC cạnh 3a 3a 3 9a Giải: Ta có : Chiều cao: h = 3a Diện tích : S = ( 3a ) = = 2 4 Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD cạnh 5a Tính độ dài đoạn AC diện tích hình vng ABCD ( Giải: Ta có : AC = 5a = 10a SABCD = 5a ) = 150a2 Ví dụ 3:Tính diện tích tam giác ABC biết tam giác vuông A AC=a 7, BC = 5a Giải: Ta có: AB = BC − AC = (5a)2 − (a 7)2 = 18a = 3a Khi đó: Diện tích tam giác ABC 1 a2 14 (đvdt) SABCD = AC AB = a 7.a = 2 Ví dụ 4: Tính diện tích tam giác ABC biết AB=5a,BC=2a , · ABC = 600 Giải: Diện tích tam giác ABC 1 15a2 · (đvdt) SABCD = AB.BC sin ABC = 5a.2a = 2 2 Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC a Xác định góc cạnh bên SA mặt đáy (ABC) b Xác định góc mặt bên (SBC) (ABC) Giải Giải: a Gọi M trung điểm BC O tâm tam giác ABC Vì S.ABC hình chóp tam giác nên ta có: O ∈ AM , SO ⊥ ( ABC ) Khi OA hình chiếu vng góc SA (ABC).Do · · · (SA,( ABC )) = (SA, AO ) = SAO b.Vì SO ⊥ ( ABC ) nên OM hình chiếu vng góc SM (ABC) mà BC ⊥ OM nên SM ⊥ BC Do · · · ((SBC ),( ABC )) = (SM ,OM ) = SMO Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA ⊥ ( ABCD) a.Xác định góc cạnh bên SC mặt đáy (ABCD) b.Xác định góc mặt (SBD) (ABCD) Giải: a Gọi O giao điểm AC BD Vì ABCD hình vng nên ta có: AC ⊥ BD Vì SA ⊥ ( ABCD) Khi AC hình chiếu vng góc SC (ABCD).Do · · · (SC ,( ABCD)) = (SC , AC ) = SCA b.Vì SA ⊥ ( ABCD) nên AO hình chiếu vng góc SO (ABCD) mà BD ⊥ AO nên SO ⊥ BD Do · · · ((SBD),( ABCD)) = (SO,OA ) = SOA Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA ⊥ ( ABCD) Xác định khoảng cách hai đường thẳng chéo BD SC Giải: Gọi O tâm hình vng ABCD Ta AC ⊥ BD SA ⊥ BD thấy nên BD ⊥ (SAC ) Do SC ⊥ BD (SAC ) ⊃ SC ,(SAC ) ⊥ BD O Trong (SAC ) kẻ OH vng góc với SC H Khi : d (BD, SC ) = OH Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, hai mặt phẳng (SAB) (SAC) ⊥ ( ABC ) Gọi M trung điểm AB,mp qua SM // BC cắt AC N.Xác định khoảng cách hai đường thẳng chéo AB SN Giải: (ĐH khối A-2011) Kẻ đt d qua N //AB,Qua A kẻ đt //MN cắt d E EN ⊥ AE ⇒ EN ⊥ (SAE ) ⇒ (SEN ) ⊥ (SAE ) EN ⊥ SA Gọi K hình chiếu vng góc A SE Khi AK ⊥ (SEN ) Vì MN//EN mà EN ⊂ (SEN ) ⇒ AM //(SEN ) Do d ( AB, SN ) = d ( AB,(SEN ) = d ( A,(SEN )) = AK b) Các dạng tập tương tự cho học sinh tự làm Bài tập 1: Tính chiều cao diện tích tam giác ABC cạnh 2a Bài tập 2: Cho hình vng ABCD cạnh 4a Tính độ dài đoạn AC diện tích hình vng ABCD Bài tập 3: Tính diện tích tam giác ABC biết tam giác vuông A AC=a , BC = 4a Bài tập 4: Tính diện tích tam giác ABC biết AB=3a,BC=2a , · ABC = 300 Bài tập 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD a.Xác định góc cạnh bên SA mặt đáy (ABCD) b.Xác định góc mặt bên (SCD) (ABCD) Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, SA=SB=SC a.Xác định góc cạnh bên SA mặt đáy (ABC) b.Xác định góc mặt (SAB) (ABC) Bài tập 7: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy tam giác đều.Hình chiếu A (A’B’C’) trung điểm B’C’ Xác định góc cạnh bên AA’ mặt đáy (A’B’C’) Bài tập 8: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vng A Xác định góc đường chéo BC’ mặt bên(BCC’B’) với mặt (ACC’A’) Tiến hành giải nội dung chuyên đề : a) Ôn lại kiến thức chủ đề: Dạng 1: Tính thể tích khối chóp tam giác tứ giác B 1: Xác định đáy đường cao khối chóp B2: Tính diện tích đáy B chiều cao h B 3: Áp dụng công thức V = B.h Ví dụ Cho khối tứ diện ABCD cạnh 2a, M trung điểm AD a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC) Giải: a) Gọi E trung điểm BC O tâm ∆ABC Vì ABCD tứ diện DO ⊥ ( ABC ) AE ⊥ BC nên 2a AE = 3 Trong ∆ vuông DAO : DO = AD − AO O ∈ AE , AO = = (2a ) − ( 2a 2a ) = 3 Mặt khác: S ABC = ( 2a ) = a2 , Vậy thể tích khối tứ diện ABCD V = S ABC DO = a 2a = 2a 3 3 b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) MH MH = a DO = Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Tính thể tích khối chóp a b c d Biết cạnh bên a Gọi K trung điểm SA Tính thể tích khối tứ diện K.ABC theo a Biết cạnh bên tạo với mặt đáy góc 600 Biết mặt bên tạo với mặt đáy góc 300 Cạnh bên SA tạo với cạnh đáy AB góc 450 Giải Giải: a Gọi M trung điểm BC O tâm tam giác ABC Vì S.ABC hình chóp tam giác nên ta có: O ∈ AM , SO ⊥ ( ABC ) 2 a a AM = = 3 Trong ∆ vuông SAO : SO = SA − AO O ∈ AM , AO = = (a 3) − ( a 2a ) = 3 Mặtkhác: 1 a a S ABC = BC AM = a = 2 Vậy thể tích chóp S.ABC VS ABC = S ABC SO = a a = a 3 12 Gọi H hình chiếu vng góc K (ABC).Khi a Vậy Tính thể tích khối tứ diện K.ABC H ∈ AM , KH // = SO = VK ABC 1 a2 a a3 (đvtt) = S ABC KH = = 3 12 b.Vì SO ⊥ ( ABC ) nên OA hình chiếu vng góc SA (ABC).Do · · · (SA,( ABC )) = (SA, AO ) = SAO = 600 Trong tam giác vng SAO ta có: a a2 · ; S ABC = (đvdt) SO=AO.tanSAO = 3=a 1 a2 a3 Vậy VS ABC = S ABC SO = (đvtt) a = 3 12 c.Vì SO ⊥ ( ABC ) nên OM hình chiếu vng góc SM (ABC) mà BC ⊥ OM · · · nên SM ⊥ BC Do ((SBC ),( ABC )) = (SM ,OM ) = SMO = 300 a a a2 · = ; S ABC = Trong tam giác vuông SMO ta có: SO=OM.tanSMO = (đvdt) 6 Vậy VS ABC 1 a a a3 = S ABC SO = (đvtt) = 3 72 d Vì S.ABC hình chóp tam giác nên VSAB tam giác cân đỉnh S mà a · SAB = 450 ,AB=a Do VSAB vng cân đỉnh S Ta có: SA = AB.sin 45 = Trong ∆SAO vng có : SO = SA2 − AO = ( Vậy VS ABC = a a a ) − ( )2 = 3 S ABC SO = a a = a (đvtt) 3 24 Ví dụ 3:Tính thể tích khối chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB=a,BC=3a, SA ⊥ ( ABCD) Góc SD ABCD 450 Giải: a) Vì SA ⊥ ( ABCD) nên AD hình chiếu vng góc SD (ABCD).Do · · · (SD,( ABCD)) = (SD, AD) = SDA = 450 · Xét tam giác SAD có SDA = 450 · SAD = 900 nên SA=AD=3a Ta có S ABCD = AB.BC = a.3a = 3a , Vậy thể tích khối tứ diện ABCD 1 VS ABCD = S ABCD SA = 3a a = 3a 3 Dạng 2: Tính thể tích khối hộp,khối lăng trụ: B1: Xác định đáy đường cao khối hộp,khối lăng trụ B2: Tính diện tích đáy B chiều cao h B3: Áp dụng công thức V = B.h Ví dụ 4: Tính thể tích khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy a chiều cao 2a 15 Giải: Giả sử khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy a chiều cao 2a 15 ABCA’B’C’ Khi Thể tích khối lăng trụ VABCA ' B'C' = AA '.SABC = 2a 15 = a2 3a3 = a3 (đvtt) 12 Ví dụ 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a điểm A’ cách điểm A, B, C Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy góc 600 Tính thể tích lăng trụ Giải: a Gọi H hình chiếu ⊥ A’trên (ABC) Do A’A=A’B=A’C nên H tâm tam giác ABC a · Ta có AH= A'AH=600 Trong ∆ vng AA’H ta có a A’H = AH tan600 = 3=a SABC = a Vậy Thể tích khối lăng trụ VABCA ' B 'C ' = S ABC A ' H = a2 a3 = a = 4 Ví dụ 6: Tính thể tích khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo AC'=2a Giải: Gọi b độ dài cạnh khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ Ta có A'C'=a 2; AA ' = b; AC ' = b Mặt khác Theo giả thiết ta có AC'=2a nên b =2a ⇒ b = 2a ( Khi SABCD = 2a ) = 8a2 Vậy Thể tích khối lăng trụ VABCD A ' B 'C ' D ' = S ABCD AA ' = = 2a 2.8a = 16a Dạng 3: Tính thể tích khối trịn xoay B 1: Xác định đáy,đường sinh,đường cao khối tròn xoay B2: Tính bán kính đáy R, độ dài đường sinh l, chiều cao h khối tròn xoay B 3: Áp dụng cơng thức : - Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2.π R.l ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh) - Thể tích khối trụ: V = π R h ( h : độ dài đường cao ) - Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = π R.l - Diện tích mặt cầu: S = 4.π R - Thể tích khối cầu: V = π R 3 - Thể tích khối nón: V = π R h Ví dụ 7: Tính thể tích,diện tích xung quanh,diện tích tồn phần khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy 3a cạnh bên 4b Giải: Khối trụ có bán kính Mặt khác Theo giả thiết ta có bán kính 2 3a R=AO= AH= =a 3 - Diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 2.π a 3.4b = 8ab 3.π (đvdt) - Diện tích tồn phần hình trụ Stp = Sxq +2.Sđ = 2.π a 3.4b + 2π (a 3)2 = = 8ab 3.π + 6a2 π = 2aπ (4b + 3a) Thể tích khối trụ có bán kính R chiều cao h=4b ( ) V = π R h = π a 4b = 12a2bπ Ví dụ 8: Tính thể tích,diện tích xung quanh,diện tích tồn phần khối nón có chiều cao a góc đỉnh 1200 Giải: Giả sử hình nón có đỉnh S đáy có tâm O.Thiết diện qua trục ∆ SAB · · cân có ASB=1200 nên ASO=600 Trong ∆ vng ASO Ta có: R = AO = SO.tan 600 = a 3; AO a = = 2a sin 60 - Diện tích xung quanh hình nón Sxq = π Rl = π a 3.2a = 2a2 3.π (đvdt) - Diện tích tồn phần hình nón l = SA = Stp = Sxq +Sđ = π Rl + π R = ( π a 3.2a + π a ) = 2a2 3.π + 3π a2 = π a2 (2 + 3) (đvdt) Thể tích khối nón có bán kính R chiều cao h=a 1 V = π R h = π a a = π a 3 ( ) b) Các dạng tập tương tự lớp: Bài tập 1: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đường cao SA vng góc với đáy ABC tam giác ABC vuông B.Biết SA=3a,AB=4a,AC=5a Giải: Do SA ⊥ ( ABC ) nên SA đường cao khối chóp S.ABC Trong tam giác vng ABC Ta có: BC = AC − AB = = (5a)2 − (4a)2 = 3a 1 SABC = AB.BC = 3a.4a = 6a2 2 Vậy V = SABC SA = 6a3 (đvtt) Bài tập 2: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đáy ABC tam giác cạnh a đường cao SA vng góc với đáy ABC,mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy góc 300 Giải: Gọi M trung điểm BC Vì ABC tam giác nên AM ⊥ BC mà SA ⊥ ( ABC ) Nên AM hình chiếu vng góc SM (ABC) Do SM ⊥ BC BC = ( SBC ) ∩ ( ABC ) nên · · ((SBC ),( ABC )) = (SM , AM ) = · = SMA = 300 Trong ∆ V SAM ta có a 3 a SA = AM tan300 = = Vậy V = SABC SA = a a a3 = (đvtt) = 24 10 Lời giải: Hình lập phương chia thành: khối ACB’D’ bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ + Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích chiều cao nên có thể tích 1 A B D C A' Khối CB’D’C’ có V1 = a a = a B' C' D' + Khối lập phương tích: V2 = a 1 = a − a = a Yêu cầu: +Học sinh biết chọn đáy chiều ⇒ VACB ' D ' cao khối nhỏ tính Bài Cho hình lăng trụ đứng tam giác có cạnh a a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC b) E trung điểm cạnh AC,mp(A’B’E) cắt BC F Tính thể tích khối CA’B’FE Lời giải: a) Khối A’B’ BC: E C A Gọi I trung điểm AB, Ta có: VA ' B ' BC = S A ' B ' B CI a a a3 = = 2 12 F I B b)Khối CA’B’FE: phân hai khối CEFA’ CFA’B’ +Khối A’CEFcó đáy CEF, đường cao = SCEF A ' A A’A nên VA 'CEF C' A' J B' a2 a3 S ABC = ⇒ VA ' CEF = 16 48 Yêu cầu: + Học sinh biết cách tính khối A’B’ +Gọi J trung điểm B’C’ Ta có khối BC A’B’CF có đáy CFB’, đường cao JA’ +Biết phân khối chóp CA’B’FE nên VA ' B 'CF = SCFB' A ' J ; thành hai khối chóp SCEF = tam giác + Biết đường thẳng vng góc với mp(CEF), ghi cơng thức thể tích cho khối CEFA’ + Tương tự cho khối CFA’B’ a SCBB ' = a a a3 ⇒ VA ' B ' CF = = 24 SCFB' = + Vậy : VCA'B'FE = a3 16 21 Bài Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác Mặt (A’BC) tạo với đáy góc 300 diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải C' A' 2x Giả sử BI = x ⇒ AI = =x AI ⊥ BC ⇒ ∠A' IA = 30 Ta có A' I ⊥ BC ∆A' AI : A' I = AI : cos 30 = AI 2x = 2x 3 A’A = AI.tan 300 = x = x 3 Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = ⇒ x = = B' C A 30 I B Do VABC.A’B’C’ = Bài : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với AB = , AD = Hai mặt bên (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 600 Tính thể tích khối lăng trụ biết cạnh bên Lời giải D' ⊥ ( ABCD) , HM ⊥ AB, HN ⊥ AD Kẻ A’H ⇒ A' M ⊥ AB, A' N ⊥ AD (định lý đường A' vng góc) ⇒ ∠ A' MH = 45 , ∠A' NH = 60 B' Đặt A’H = x Khi A’N = x : sin 600 = AN = 2x − 4x AA' − A' N = = HM A Mà HM = x.cot 45 = x − 4x ⇒x= C N Nghĩa x = D H M B Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x = =3 Bài 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác vuông A, AC = a, BC = 2a AA’ = 3a Tính thể tích lăng trụ B' C' HD: * Đường cao lăng trụ AA’ = 3a * Tính: VABC.A′B′C′ = Bh = SABC AA’ A' * Tính: SABC = AB.AC (biết AC = a) 3a * Tính AB: Trong ∆ V ABC A, ta có: 2a B C AB2 = BC2 – AC2 = 4a2 – a2 = 3a2 a 3a3 ĐS: VABC.A′B′C′ = A 22 C' ∧ Bài 11: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, góc A = 600 Chân đường vng góc hạ từ B’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo đáy Cho BB’ = a a) Tính góc cạnh bên đáy b) Tính thể tích hình hộp HD: a) Gọi O giao điểm đướng chéo AC BD * B’O ⊥ (ABCD) (gt) * Góc cạnh bên BB’ đáy (ABCD) ϕ = B′BO · · * Tính ϕ = B′BO : Trong ∆ V BB’O O, ta có: OB OB cos ϕ = = a BB′ ∧ + ∆ ABD cạnh a (vì A = 600 AB = a) ⇒ DB = a ⇒ OB = D' C' B' A' a D C 60 ° A O a ϕ B a DB = Suy ra: cos ϕ = ⇒ ϕ = 600 2 a2 a2 b) * Đáy ABCD tổng ∆ ABD BDC ⇒ SABCD = = 2 a ’ * VABCD.A′B′C′D′ = Bh = SABCD B’O = B O 3a3 a * Tính B’O: B’O = (vì ∆ B’BO nửa tam giác đều) ĐS: Dạng 3: Tính thể tích khối trịn xoay Bài 12: Trong không gian cho tam giác vuông OAB O có OA = 4, OB = Khi quay tam giác vng OAB quanh cạnh góc vng OA đường gấp khúc OAB tạo thành hình nón trịn xoay a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón A HD: a) * Sxq = π Rl = π OB.AB = 15 π Tính: AB = ( ∆ ∨ AOB O) * Stp = Sxq + Sđáy = 15 π + π = 24 π 1 2 b) V = πR h = π.OB OA = π.3 = 3 B O π =12 23 Bài 13: Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón HD: a) * Sxq = π Rl = π OB.SB = π a2 * Stp = Sxq + Sđáy = π a2 + π a2 = 23 π a2 S 2 b) V = πR h = π.OB SO = 3 πa 2a π.a a = 3 2a A B Tính: SO = = a (vì SO đường O cao ∆ SAB cạnh 2a) Bài 14: Một hình nón có chiều cao a thiết diện qua trục tam giác vuông a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón HD: a) * Thiết diện qua trục tam giác ∧ ∧ vuông cân S nên A = B = 450 S * Sxq = π Rl = π OA.SA = π a2 Tính: SA = a ; OA = a ( ∆ ∨ SOA O) * Stp = Sxq + Sđáy = π a2 + π a2 = (1 + ) π a2 45 A 2 O b) V = πR h = π.OA SO = 3 πa π.a a = 3 B Bài 15: Một hình trụ có bán kính đáy R thiết diện qua trục hình vng.Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ.Tính thể tích khối trụ B HD: O * Sxq = π Rl = π OA.AA’ = π R.2R = A π R2 * OA =R; AA’ = 2R h l π R2 + π R2 = π R2 * Stp = Sxq + 2Sđáy = * V = πR h = π.OA OO′ = B' O' π.R 2R = 2πR A' 24 Bài 16: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm khoảng cách hai đáy 7cm a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ c) Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trụ 3cm Hãy tính diện tích thiết diện tạo nên HD: a) * Sxq = π Rl = π OA.AA’ = π 5.7 = 70 π (cm2) B * OA = 5cm; AA’ = 7cm O * Stp = Sxq + 2Sđáy = 70 π + 50 π = I r π (cm2) =120 A 2 π 52.7 = b) * V = πR h = π.OA OO′ = l h = 175 π (cm3) c) Gọi I trung điểm AB ⇒ OI = 3cm * SABB′A′ = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình O' B' chữ nhật) A' * AA’ = * Tính: AB = 2AI = 2.4 = * Tính: AI = 4(cm) ( ∆ ∨ OAI I) Bài 17: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a vng góc với mp(ABC), ∆ ABC vng B AB = 3a, BC = 4a a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu D HD: a) * Gọi O trung điểm CD * Chứng minh: OA = OB = OC = OD; O * Chứng minh: ∆ DAC vuông A ⇒ OA = OC = OD = CD C A (T/c: Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh ấy) B 1 * Chứng minh: ∆ DBC vuông B ⇒ OB = CD * OA = OB = OC = OD = CD 2 CD ⇔ A, B, C, D thuộc mặt cầu S(O; ) CD 1 b) * Bán kính R = = AD + AC = AD + AB2 + BC2 = = 2 2 5a 25a2 + 9a2 + 16a2 = 2 5a 4 5a 125 2πa3 * S = 4π ÷ = 50πa ; * V = π R = π ÷= 3 Bài 18: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a 25 a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D, S b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu HD: a) Gọi O tâm hình vng (đáy) Chứng minh: OA = OB = OC = OD = OS a3 π a 2π b) R = OA = ; S = 2a ; V = Bài 19: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hính vng cạnh a SA = 2a vng góc với mp(ABCD) a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D, S b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu HD: * Gọi I trung điểm AB Kẻ ∆ vng góc với mp(SAB) I C * Dựng mp trung trực SC cắt ∆ O ⇒ OC = OS (1) * I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ SAB (vì ∆ SAB vng S) c ⇒ OA = OB = OS (2) * Từ (1) (2) ⇒ OA = OB = OC = OS O Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA) S * R = OA = a + b + c2 a + b + c2 4π *S= B b SC AB OI + AI = ÷ + ÷ = 2 a I A = 2 ÷ = π(a + b + c ) ÷ a + b + c2 * V = π 2 2 2 ÷ = π(a + b + c ) a + b + c ÷ Bài 20: Cho hình chóp S.ABC có đỉnh nằm mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c ba cạnh SA, SB, SC đơi vng góc Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu S HD: a) Gọi O trung điểm SC * Chứng minh: Các ∆ SAC, ∆ SCD, ∆ SBC vuông A, D, B O SC 2a * OA = OB = OC = OD = OS = A 26 B a C D ⇔ S(O; SC ) SC a = SA + AB2 + BC2 = 2 2 a 6 a 6 * S= 4π ÷ = 6πa ;V= π ÷ = πa b) * R = Bài tập tư giải Dạng 1: Tính thể tích khối chóp: Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 5a, cạnh bên tạo với đáy góc 60ο Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC giác cạnh a, SA vng góc đáy, SA= a Gọi H trực tâm tam giác ABC a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính độ dài đường cao đỉnh A SABC Bài 3: Cho hình chóp SABC có tam giác SBC ABC cạnh a Góc mp(SBC) mp(ABC) 60ο Tính thể tích khối chóp SABC Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC vuông cân A, BC = a , SA=2a E trung điểm SB, F hình chiếu A lên SC a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính thể tích khối SAEF c) Tính khoảng cách từ H đến mp(SAE) Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng B, đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết AB = a, BC = a SA = 3a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Gọi I trung điểm cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a Bài Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh a, cạnh bên · SA vng góc với mặt đáy Biết BAC = 120 , tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Dạng 2: Tính thể tích khối hộp,khối lăng trụ: Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có AB=a, BC= a , góc AC’ mp(A’A’C’D’) 30ο M trung điểm AD a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật b) Tính thể tích khối MACB’ Bài 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh 2a a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’, khối tứ diện A.A’B’C’ b) Tính thể tích khối CBA’B’ 27 Bài 3: Một hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vuông cân (AB = AC = a) Đường chéo BC’ mặt bên BCC’B’ tạo với mặt bên ACC’A’ góc α · a) Chứng minh AC' B = α b) Tính diện tích tồn phần hình lăng trụ Bài 4: Một khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên BB’ = a, chân đường vng góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I cạnh AC a) Tính góc cạnh bên mặt đáy.(ĐS: 300) b) Tính thể tích khối lăng trụ.(ĐS: a3 ) c) Chứng minh mặt bên AA’C’C hình chữ nhật Bài 5: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy tam giác ABC vuông B Biết BB’=AB=h góc B’C làm với mặt đáy α · · a) Chứng minh BCA = B'CB b) Tính thể tích khối lăng trụ.(ĐS: h3 cot α ) c) Tính diện tích thiết diện tạo nên mặt phẳng ACB’ cắt khối lăng trụ Dạng 3: Tính thể tích khối trịn xoay Bài 1: Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vuông cân có cạnh huyền a a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón c) Cho dây cung BC đường trịn đáy hình nón cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 600 Tính SSBC Bài 2: Cho hình trụ có hai đáy hai đường trịn tâm O O’, bán kính R, chiều cao hình trụ R a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hính vng cạnh a SA = 2a vng góc với mp(ABCD) a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D, S b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu e) Một số đề thi ĐH năm gần đây: 28 ĐH Khối A-2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B,AB=BC=2a hai mặt phẳng (SAB) (SAC) ⊥ ( ABC ) Gọi M trung điểm AB,mp qua SM // BC cắt AC N.Biết góc (SBC) (ABC) 600 a Tính thể tích khối chóp SBCMN b Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AB SN ĐS: a VS BCMN = a3 b d ( AB, SN ) = AK = 2a 39 13 ĐH Khối A-2012 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a,Hình chiếu vng góc S ( ABC ) điểm H thuộc AB cho HA=2HB, góc SC (ABC) 600 a Tính thể tích khối chóp S.ABC b Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo SA BC ĐS: a3 a VS ABC = 12 a 42 b d (SA, BC ) = HK = ĐH Khối B-2012 Cho hình chóp tam giác S.ABC SA=2a,AB=a.Gọi H hình chiếu ⊥ A SC a CM SC ⊥ (ABH) b Tính thể tích khối chóp S.ABH ĐS: SC ⊥ AH a ⇒ SC ⊥ ( ABH ) SC ⊥ AB b VS ABH 7a3 11 = 96 29 ĐH Khối D-2012 Cho lăng trụ tứ giác đứng ABCDA’B’C’D’ có đáy hình vng,Tam giác A’AC cân, A’C=a a Tính thể tích khối chóp ABB’C’ b Tính khoảng cách từ A đến (BCD’) theo a ĐS: a3 a VC ' ABB ' = 48 a b d ( A,(BCD ') = AH = ĐH Khối A-2013 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, · ABC = 300 SBC tam giác cạnh a mặt bên (SBC) 600 a Tính thể tích khối chóp S.ABC b Tính khoảng từ C đến (SAB) ĐS: a VS ABC = a3 16 VS ABC a 39 = SVSAB 13 ĐH Khối B-2013 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAB tam giác ⊥ ( ABCD) a Tính thể tích khối chóp S.ABCD b Tính khoảng cách từ A đến (SCD) ĐS: a3 a VS ABCD = a 21 b d ( A,(SCD) = HM = b d (C ,(SAB) = 30 ĐH Khối D-2013 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a,SA ⊥ ( ABCD), · BAD = 1200 Gọi M trung điểm · BC SMA = 450 a Tính thể tích khối chóp S.ABCD b Tính khoảng cách từ D đến (SBC) ĐS: a3 a VS ABCD = a b d (D,(SBC ) = AH = ĐH Khối A-A1-2014 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD 3a hình vng cạnh a, SD = Hình chiếu vng góc S ( ABCD) trung điểm AB a Tính thể tích khối chóp S.ABCD b Tính khoảng cách từ A đến (SBD) ĐS: a3 a VS ABCD = b Gọi E hình chiếu vng góc H BD F hình chiếu vng góc H SE 2a d ( A,(SBD)) = HF = ĐH Khối B-2014 Cho lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a , hình chiếu vng góc A’ (ABC) trung điểm AB Góc A’C mặt đáy 600 Hình chiếu vng góc S ( ABCD) trung điểm AB a Tính thể tích khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ b Tính khoảng cách từ B đến (ACC’A’) 3a3 a VABC.A'B'C' = b Gọi E hình chiếu vng góc H AC F hình chiếu vng góc 31 H A’E d (B,( ACC ' A ')) = HF = 3a 13 13 ĐH Khối D-2014 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A,mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng (SBC) ⊥ ( ABC ) a Tính thể tích khối chóp S.ABC b Tính khoảng cách hai đường thẳng BC SA ĐS: a3 a VS ABC = 24 a b d (SA, BC ) = HK = f) Một số đề kiểm tra: ĐỀ SỐ : Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC= a Đáy tam giác ABC cân · BAC = 1200 , cạnh BC=2a Tính thể tích khối chóp S.ABC.Gọi M trung điểm SA.Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) Đáp án: Áp dụng định lí cosin ∆ ABC có AB = AC = 2a ⇒ S∆ABC = AB.AC.sin1200 = 2 a 3,0 đ Gọi H hình chiếu S lên (ABC), theo gt: SA = SB = SC ⇒ HA = HB = HC ⇒ H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC * Theo định lí sin ∆ ABC ta có: 2a BC = 2R ⇒ R = = HA sin A 32 ∆ SHA vuông H ⇒ SH = VS ABC = ⇒ SA2 − HA2 = a S a3 SH = ∆ABC 2,0 đ * Gọi hA, hM khoảng cách từ A, M tới mp(SBC) ⇒ hM SM 1 = = ⇒ hM = hA hA SA 2 2,0 đ ∆ SBC vuông S ⇒ S∆SBC = a2 3VS ABC 1S a * Lại có: VS ABC = ∆SBC hA ⇒ hA = S∆SBC = 3 Vậy hM = d(M;(SBC)) = a 3,0 đ ĐỀ SỐ : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A, AB = a Gọi I trung điểm BC, hình chiếu vng góc H S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn: IA = −2 IH , góc SC mặt đáy (ABC) 60 Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ trung điểm K SB tới (SAH) •Ta có IA = −2 IH ⇒ H thuộc tia đối tia IA IA = 2IH 2,0 đ BC = AB = 2a ; AI= a ; IH= IA a = 2 AH = AI + IH = 3a 33 •Ta có HC = AC + AH − AC AH cos 45 ⇒ HC = a 2,0 đ ∧ ∧ Vì SH ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SC ; ( ABC )) = SCH = 60 SH = HC tan 60 = a 15 1 • VS ABC = S ∆ABC SH = (a ) • a 15 a 15 = 1,0 đ BI ⊥ AH ⇒ BI ⊥ (SAH ) BI ⊥ SH d ( K ; ( SAH )) SK 1 a Ta có d ( B; ( SAH )) = SB = ⇒ d ( K ; ( SAH )) = d ( B; ( SAH ) = BI = 5,0 đ ĐỀ SỐ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi ; hai đường chéo AC = 3a , BD = 2a cắt O; hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Đáp án: S Từ giả thiết AC = 2a ; BD = 2a ;AC BD vng góc với trung điểm O đường chéo Ta có tam giác ABO vng O AO I = a ; BO = a D A 3a · Do ABD = 600 hay tam giác ABD O Từ giả thiết (SAC) (SBD) vuông H góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao a K C B tuyến chúng SO ⊥ (ABCD) Do tam giác ABD nên với H trung điểm AB, K trung điểm HB 2,0 đ a ta có DH ⊥ AB DH = a ; OK // DH OK = DH = ⇒ OK ⊥ AB 2 ⇒ AB ⊥ (SOK) Gọi I hình chiếu O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) Tam giác SOK vuông O, OI đường cao ⇒ 34 1 a = + ⇒ SO = 2 OI OK SO 4,0 đ 4,0 đ a Diện tích đáy S ABC D = 4S ∆ABO = 2.OA.OB = 3a ; đường cao hình chóp SO = Thể tích khối chóp S.ABCD: VS ABCD = S ABC D SO = 3a 3 S I D O 35 C A 3a a B K H ... thể tích khối hộp chữ nhật b) Tính thể tích khối MACB’ Bài 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh 2a a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’, khối tứ diện A.A’B’C’ b) Tính thể tích khối. .. đường sinh) - Thể tích khối trụ: V = π R h ( h : độ dài đường cao ) - Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = π R.l - Diện tích mặt cầu: S = 4.π R - Thể tích khối cầu: V = π R 3 - Thể tích khối nón:... Tính thể tích khối hộp ,khối lăng trụ: Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a , AD = a, AA’=a, O giao điểm AC BD a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích