VÕ QUANG MẪN VẼ ĐẸP HÌNH HỌC NHÀ XUẤT BẢN 55 NXB-00 99/111-99 Mã số: 00000 Lời nói đầu Chương 1. 150 bài toán chọn lọc Chương 2. Lời giải Cuốn sách dành cho học sinh phổ thông yêu toán, học sinh giỏi môn toán, các thầy cô giáo, sinh viên đại học ngành toán, và những người yêu thích toán học phổ thông. Trong biên soạn không thể tránh khỏi sai sót và nhầm lẫn mong bạn đọc đóng góp cho ý kiến. Mọi góp ý gửi về địa chỉ: voquangman@gmail.com, hay Chợ Nam Phổ * , Phú Thượng, Phú vang, Thừa Thiên Huế. Tác giả cảm ơn các đồng nghiệp đã hết sức giúp đỡ để cuốn sách được in ra. Cố Đô, ngày 2 tháng 11 năm 2011 Võ Quang Mẫn Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1. Các bài toán 5 1.1. 150 bài toán đẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Chương 2. Gợi ý 22 2.1. Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chương 3. Các bài hình các nước 2009 - 2011 23 3.1. Đề thi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Chương 1 Các bài toán 1.1. 150 bài toán đẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. 150 bài toán đẹp  1.1. Đường tròn W 1 , W 2 cắt nhau tại P, K. XY là tiếp tuyến chung của hai đường tròn này mà gần với P và X, Y lần lượt nằm trên W 1 , W 2 . XP cắt W 2 tại điểm thứ hai C và YP cắt W 1 tại B. Gọi A là giao điểm của BX và CY. Chứng minh rằng nếu Q là giao điểm thứ hai của những đường tròn ngoại tiếp ABC và AXY thì ∠QXA = ∠QKP  1.2. Cho M là điểm tùy ý trên cạnh BC của ABC. W là đường tròn mà tiếp xúc với AB và BM tại T và K v à tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ∠AM C tại P. Chứng minh rằng nếu TK  AM thì hai đường tròn ngoại tiếp APT và KPC tiếp xúc lẫn nhau.  1.3. Cho  cân ABC với BC> AB = AC. D, M lần lượt là trung điểm của BC, AB. X là điểm thỏa mãn BX ⊥ AC và XD  AB. BX và AD cắt nhau tại H. Nếu P là giao điểm của DX và đường tròn ngoại tiếp AHX thì tiếp tuyến từ A đến đường tròn ngoại tiếp AMP  BC.  1.4. Cho O, H tâm ngoại tiếp và trực tâm của ABC. M, N là trung điểm của BH và CH. Xác định điểm B’ trên đường tròn ngoại tiếp A BC sao cho BB’ là đường kính. Nếu HONM là tứ giác nội tiếp thì B’N = 1/2 AC.  1.5. OX, OY vuông góc. Giả sử trên OX ta có hai điểm cố định P, P’trên cùng tia của O. I là điểm thay đổi sao cho IP = IP’. PI, P’I cắt OY tại A và A’. a) Nếu C, C’. Chứng minh I, A, A’, M nằm trên đường tròn mà tiếp xúc với một đường thẳng và tiếp xúc với một đường tròn cố định b) Chứng minh rằng IM đi qua một điểm cố định. 6 Các bài toán  1.6. Cho A, B, C, Q là những điểm cố định . M, N, P là giao điểm của AQ, BQ, CQ với BC, CA, AB. D’, E’, F’ là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ABC. Các tiếp tuyến vẽ từ M, N, P đối với đường tròn nội tiếp ABC tạo thành DEF. Chứng minh rằng DD’, EE’, FF’ cắt nhau tại Q.  1.7. Cho ABC. Wa là đường tròn tâm nằm trên BC đi qua A và trực giao với đường tròn ngoại tiếp ABC. Wb, Wc được định nghĩa tương tự. Chứng minh các tâm Wa, Wb, Wc thẳng hàng.  1.8. Tứ diện ABCD có bán kính đường tròn ngoại tiếp của bốn mặt bằng nhau. Chứng minh tứ diện ABCD là tứ diện gần đều. (AB = CD, AC = BD và AD = BC)  1.9. Giả sử M là điểm tùy ý trên cạnh BC cảu ABC. B’, C’ là những điểm trên AB, AC sao cho MB = MB’ và MC = MC’. Giả sử H, I là trực tâm của ABC và tâm nội tiếp MB’C’. Chứng minh rằng A. B’, H, I, C’ nằm trên đường tròn.  1.10. Đường tròn nội tiếp ABC tiếp xúc AB, AC tại P, Q. BI, CI giao PQ tại K, L. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp IKL tiếp xúc với đường tròn nội tiếp ABC khi và chỉ khi AB + AC = 3BC.  1.11. Cho M, N là hai điểm bên trong ABC sao cho ∠MAB = ∠NAC và ∠MBA = ∠NBC. Chứng minh rằng: AM.AN AB.AC + BM.BN BA.BC + CM.CN CA.CB = 1.  1.12. Cho tứ giác ABCD. Các tia phân giác ngoài của góc A và C cắt nhau tại P. Các tia phân giác ngoài của góc B và D cắt nhau tại Q. Đường thẳng AB, CD cắt nhau tại E, đường thẳng BC, DA cắt nhau tại F. Bây giời ta có hai góc mới E và F (∠AED, ∠BFA). Ta cũng xét giao điểm R của những phân giác ngoài những góc này. Chứng minh P, Q, R thẳng hàng.  1.13. Cho ABC. Những hình vuông AB c B a C, CA b A c BvàBC a C b A bên ngoài . Hình vuông B c B c  B a  B a với tâm P ngoài hình vuông AB c B a C. Chứng minh BP, C a B a và A a B c đồng quy.  1.14. Cho  cân ABC cân tại A. Từ A kẻ đường thẳng l song song với BC. P, Q nằm trên các đường trung trực của AB, AC sao cho PQ⊥BC. M, N là những điểm trên l sao cho ∠AP M = ∠AQN = π 2 . Chứng minh: 1 AM + 1 AN ≤ 2 AB . Bài giảng được soạn trên Latex, copyright c  Võ Quang Mẫn 1.1. 150 bài toán đẹp 7  1.15. Trong ABC, M là trung điểm của AC, và D là điểm trên BC sao cho DB = DM. Ta biết rằng 2BC 2 − AC 2 = AB.AC. Chứng minh rằng: BD.DC = AC 2 .BC 2(AB + AC .  1.16. H, I, O, N là trực tâm, tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp và điểm Nagel của ABC. Ia, Ib, Ic là tâm bàng tiếp của ABC. S là điểm sao cho O là trung điểm HS. Chứng minh trọng tâm các IaIbIc, SIN trùng nhau.  1.17. Cho tứ giác lồi ABCD. Ta kẻ các đường chéo của nó thành bốn , với P là giao điểm các đường chéo. I1, I2, I3, I4 là tâm bàng tiếp tương ứng tại điểm P của các PAD, PAB, PBC, PCD. Chứng minh rằng I1, I2, I3, I4 nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi ABCD là tứ giác tiếp xúc.  1.18. Trong ABC, nếu L, M, N là trung điểm của AB, AC, BC và H là trực tâm ABC, chứng minh: LH 2 + MH 2 + NH 2 ≤ 1 4 (AB 2 + AC 2 + BC 2 ).  1.19. Các đường tròn S1, S2 cắt nhau tại P và Q. Hai điểm phân biệt A1 và B1( không trùng P,Q) được chọn nằm trên S1. Những đường thẳng A1P và B1P cắt S2 một lần nữa tại A2 và B2 tương ứng, và các đường thẳng A1B1 và A2B2 cắt nhau tại C. Chứng minh rằng khi A1 và B1 thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp A1A2C nằm trên đường tròn cố định.  1.20. Cho B là điểm trên đường tròn S1 và A là điểm khác B nằm trên tiếp tuyến tại B đối với S1. Cho C là điểm không nằm trên S1 sao cho đường thẳng AC căt S1 tại hai điểm phân biệt. S2 là đường tròn tiếp xúc AC tại C và tiếp xúc với S1 tại D nằm trên cạnh đối AC từ B. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp BCD nằm trên đường tròn ngoại tiếp ABC.  1.21. Các phân giác của góc A, B của ABC cắt các cạnh BC, CA tại D và E. Giả sử rằng AE + BD = AB, xác định ∠C.  1.22. Cho A, B, C, P, Q và R nằm trên đường tròn. Chỉ ra rằng nếu những đường thẳng Simson của P, Q, R tương ứng với ABC đồng quy thì những đường thẳng Simson của A, B, C tương ứng với PQR đồng quy.Hơn nửa những điểm đồng quy là như nhau.  1.23. Cho ABC, E và F là những điểm nằm trên cạnh BC và CA sao cho CE CB + CF CA = 1 và ∠CEF = ∠CAB. Giả sử M là trung điểm của EF và G là giao điểm giữa CM và AB. Chứng minh rằng các FEG và ABC đồng dạng. Bài giảng được soạn trên Latex, copyright c  Võ Quang Mẫn 8 Các bài toán  1.24. Cho ABC vuông tại C và CA = CB. Gọi CH là đường cao và CL là phân giác trong. Chỉ ra rằng X = C nằm trên đường thẳng CL ta có ∠XAC = ∠XBC và chỉ ra rằng Y = C nằm trên đường thẳng CH ta có ∠Y AC = ∠Y BC.  1.25. Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên đường tròn sao cho AB là đường kính và CD là không. Chứng minh đường thẳng nối giao điểm của hai tiếp tuyến tại C, D và giao điểm AC, BD vuông góc với AB.  1.26.  1.27. Cho ABC và D là điểm trên cạnh AC sao cho AB = DC, ∠BAC = 60 0 − 2∠X, ∠BCA = 3∠X. Chứng minh ∠X = 10 0 .  1.28.  1.29. Cho ABC. D và E nằm trên AB sao cho DA = BE, AD = AC. Phân giác trong của A, B cắt BC, AC tại P, Q, và đường tròn ngoại tiếp ABC tại M, N. Đường thẳng nối A với tâm ngoại tiếp BEM và đường thẳng nối B với tâm ngoại tiếp AND cắt nhau tại X. Chứng minh CX⊥P Q.  1.30. Xét đường tròn tâm O và điểm A, B trên nó sao cho AB không là đường kính. Đặt C nằm trên đường tròn sao cho AC chia đôi OB. Gọi AB và OC cắt nhau tại D, BC và AO cắt nhau tại F. Chứng minh AF = CD.  1.31. Cho ta vàm giác ABC. X, Y là hai điểm trên AC, AB. CY cắt BX tại Z và AZ cắt XY tại H( AZ⊥XY ). BHXC là tứ giác nội tiếp. Chứng minh XB = XC.  1.32. Cho ABCD là tứ giác nội tiếp và L, N là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Giả sử đường thẳng BD phân đôi ∠ANC. Chứng minh đường thẳng AC phân đôi ∠BLD.  1.33. Tam giác ABC có đường phân giác ngoài ∠A cắt những đường thẳng vuông góc với BC mà đi qua B và C lần lượt tại D và E. Chứng minh đường thẳng BE, CD, AO đồng quy, ở đây O là tâm ngoại tiếp ABC.  1.34. Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi O là giao điểm AC và BD. Tìm các vị trí M, N nằm trên AB và CD, O thuộc MN sao cho tổng MB MA + NC ND đạt min.  1.35. Cho ABC, M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AM. E là giao điểm của AC với BP và R là hình chiếu của A trên MN. Chứng minh ∠ERN ≡ ∠CRN. Bài giảng được soạn trên Latex, copyright c  Võ Quang Mẫn 1.1. 150 bài toán đẹp 9  1.36. Gọi X một trong hai giao điểm của hai đường tròn cắt nhau. Tìm Y trên đương tròn này và Z trên đường tròn kia để X, Y, Z thẳng hàng và XY.XZ đạt max.  1.37. Bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự đó nằm trên đường tròn O. Điểm S nằm bên trong (O) có tính chất ∠SAD = ∠SCBvà ∠SDA = ∠SBC. Phân giác ∠ASB cắt đường tròn tại hai điểm P, Q. Chứng minh P S = QS.  1.38. Cho ABC. Gọi G, I, H là trọng tâm, tâm nội tiếp, trực tâm của ABC. Chứng minh ∠GIH > 90 0 .  1.39. Cho hai đường thẳng song song k, l và một đường tròn không cắt k. Xét điểm A tùy ý trên k. Hai tiếp tuyến kẻ từ A đến đường tròn cắt l tại B, C. Gọi m là đường thẳng đi qua A và trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng mọi đường thẳng m đều đi qua một điểm cố định khi A thay đổi.  1.40. Cho tứ giác lồi ABCD với AD ∦ BC. Gọi E là giao điểm của AD với BC và I là giao điểm của AC với DB. Chứng minh hai EDC và IAB có cùng trọng tâm khi và chỉ khi AB  CD và IC 2 = IA.AC.  1.41. Cho hình vuông ABCD. O là giao điểm AC và DB. Tồn tại một số dương k để mọi điểm M trên cạnh OC có điểm N trên cạnh OD sao cho AM.BN = k 2 . Tìm quỹ tích điểm L, là giao điểm của AN với BM.  1.42. Xét vuông với AB = 1. Phân giác góc ∠ACB cắt các trung tuyến BE và AF tại P và M. Gọi P là giao điểm của AE và BE, xác định giá trị lớn nhất diện tích MNP.  1.43. Cho ABC cân tại A. Phân giác BD thỏa BC = BD + AD. Tính ∠A.  1.44. Cho với diện tích S, với các độ dài 3 cạnh a, b, c. Chứng minh a 2 + 4b 2 + 12c 2 ≥ 32S.  1.45. Trong vuông ABC tại A, ta kẻ phân giác AD. Đặt DK⊥AC, DL⊥AB. Đường thẳng BK, CL cắt nhau tại H. Chứng minh AH⊥BC.  1.46. Cho H là trực tâm ABC. Gọi BB’ và CC’ là các đường cao. Đường thẳng l tùy ý đi qua H cắt cạnh [BC’] và [CB’] tại M và N. Những đường thẳng vuông góc với l từ M và N cắt BB’ và CC’ tại P và Q. Tìm quỹ tích trung điểm cạnh PQ.  1.47. Cho ABC với đường cao AH, phân giác trong BE. Nếu ∠BEA = 45 0 thì ∠EHC =? Bài giảng được soạn trên Latex, copyright c  Võ Quang Mẫn 10 Các bài toán  1.48. Cho nhọn ABC với AB = AC. Gọi H là trực tâm, M là trung điểm của cạnh BC. D là điểm trên cạnh AB và E là điểm trên cạnh BC sao cho AE = AD và các điểm D, H, E thẳng hàng. Chứng minh rằng đường thẳng HM mà vuông góc với dây cung chung của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ABC và ADE.  1.49. Cho D nằm trong ABC và E trên AD. Đặt w 1 , w 2 là những đường tròn ngoại tiếp các BDE và CDE, hai đường tròn này cắt BC tại những điểm trong F, G. X là giao điểm của DG và AB, Y là giao điểm của DF và AC. Chứng minh rằng XY  BC.  1.50. Cho ABC, D là trung điểm của BC, M là trung điểm của AD. BM cắt cạnh AC tại N. Chứng minh rằng AB là tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp NBC khi và chỉ khi đẳng thức sau đúng: BM MN = BC 2 BN 2 .  1.51. Cho ABC với diện tích K. Chứng minh 27(b 2 + c 2 − a 2 ) 2 (c 2 + a 2 − b 2 ) 2 (a 2 + b 2 − c 2 ) 2 ≤ (4K) 6  1.52. Cho ABC thỏa mãn AC + BC = 3.AB.Đường tròn nội tiếp ABC với tâm I và tiếp xúc BC, CA tại D và E. K, L là điểm đối xứng D, E qua I. Chứng minh A,B,C,K nằm trên đường tròn.  1.53. Trong nhọn ABC có 2AB = AC + BC. Chứng minh rằng tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp, trung điểm AC, trung điểm BC nội tiếp đường tròn.  1.54. Cho ABC, M là trung điểm của BC. Cho γ là đường tròn nội tiếp. Trung tuyến AM cắt γ tại K, L. Các đường thẳng đi qua K, và L song song BC cắt γ tại X, Y. Giả sử đường thẳng AX, AY cắt BC tại P, Q. Chứng minh BP = CQ.  1.55. Cho ABC, M là điểm bên trong thỏa mãn ∠MAB = 10 0 , ∠MBA = 20 0 , ∠MAC = 40 0 và∠M CA = 30 0 . Chứng minh rằng này là cân.  1.56. Cho vuông ABC tại A. M là trung điểm BC, D là điểm trên đường thẳng BC thỏa ∠BAD = ∠CAD. Chứng minh rằng tồn tại điểm P sao cho P B⊥P M và P B = P M khia và chỉ khi P A P D = 3 5 .  1.57. Xét ngũ giác lồi ABCDE sao cho ∠BAC = ∠CAD = ∠DAE và ∠ABC = ∠ACD = ∠ADE. P là giao điểm của các đường thẳng BD và CE. Chứng minh rằng đường thẳng AP đi qua trung điểm của cạnh CD. Bài giảng được soạn trên Latex, copyright c  Võ Quang Mẫn [...]... phủ bởi hoàn toàn 3 ảnh đồng dạng nhỏ nhất của chúng ( tức là những ảnh thông qua các phép vị tự với tỷ số trong kho ng (0, 1)) 1.146 Cho P là điểm bên trong ABC nội tiếp đường tròn bán kính R Chứng minh: PB PC 1 PA + + ≥ 2 2 2 BC CA AB R 1.147 Tồn tại một số lẻ của các chiến binh, các kho ng cách giữa tất cả của họ tất cả là riêng biệt ( distinct, rõ nhìn), mà đang huấn luyện như sau: Mỗi một trong... tại những đa giác đều với hơn 4 cạnh được nội tiếp một ellip 1 .150 Cho một cyclic 2n-gon với đường tròn ngoại tiếp cố định sao cho 2n-1 các cạnh của nó đi qua 2n-1 điểm ccos định nằm trên l, chứng minh 2n cạnh cũng đi qua một điểm cố định trên l 1.151 1.152 1.153 1.154 1.155 Bài giảng được soạn trên Latex, copyright c Võ Quang Mẫn 1.1 150 bài toán đẹp 1.156 1.157 1.158 1.159 b 1.160 a Bài giảng được... nhau có cùng bán kính R và có chung điểm H giao điểm chung của chúng là A, B, C chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC cung bằng R Bài giảng được soạn trên Latex, copyright c Võ Quang Mẫn 15 1.1 150 bài toán đẹp 1.97 Ba đường tròn đồng quy G1 , G2 , G3 có chung điểm P Hơn nữa ta Định nghĩa G2 ∩ G3 = {A, P }, G3 ∩ G1 = {B, P }, G1 ∩ G2 = {C, P } 1 Chứng minh rằng điểm P là trực tâm của 2 Chứng... chỉ khi ≤ ≤ 3 3 AY 1.99 Cho P là điểm cố định trên một conic, M, N là hai điểm tùy ý trên đó sao cho P M ⊥P N Chứng minh MN đi qua một điểm cố định 1.100 Cho ABC L là điểm Lemoine và F là điểm Fermat( hay diểm Torricelli) H là trực tâmvà O là tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi l là dường thẳng Euler và l’ là đối xứng của l qua AB D là giao điểm của l’ với đường tròn ngoại tiếp , E là giao điểm cảu FL và... là điểm trong mặt phẳng (ABC) Gọi A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua A, B, C 1 Chứng minh tồn tại duy nhất một điểm P cách đều từ A và B’, từ B và C’, từ C và A’ 2 Gọi D là trung điểm của AB Khi M thay đổi( không trùng D) chứng minh đường tròn ngoại tiếp MNP (N là giao điểm của DM và AP) đi qua một điểm cố định 1.107 Cho hình vuông ABCD, và (C) là đường tròn đương kính AB Gọi Q là điểm tùy ý trên... thành hai phần bằng nhau Chứng minh d1 , d2 , d3 đồng quy tại K KA KB KC 1 b) Trong các tỷ số , , tồn tại ít nhất một tỷ số ≥ √3 BC AC AB Bài giảng được soạn trên Latex, copyright c Võ Quang Mẫn 1.1 150 bài toán đẹp 17 1.114 Cho hình chữ nhật ABCD ( AB = a, BC = b) tìm quỹ tích điểm M, để các điểm đối xứng của M qua các cạnh nằm trên một đường tròn 1.115 Một đường tròn nội tiếp ABC tiếp xúc các cạnh... một đường tròn đi qua C, D tiếp xúc AB tại Y Hai đường tròn này cắt nhau tại U, V Chứng minh AD BC khi và chỉ khi U V phân đôi XY 1.128 Cho R, r, hãy dựng những đường tròn với các bán kinh R, r sao cho kho ng cách hai tâm bằng dây cung chung của chúng 1.129 Dựng ABC, được cho bởi trung điểm M của BC, trung điểm N của AH ( H là trực tâm), và điểm A’ là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với BC 1.130 Cho... tìm một hàm f : S → (0, 1) sao cho, nếu S1 , S2 , S1 ∪ S2 , ∈ S, và phần giao của S1 , S2 rời nhau thì f (S1 ∪ S2 ) = f (S1 ) + f (S2 ) Bài giảng được soạn trên Latex, copyright c Võ Quang Mẫn 19 1.1 150 bài toán đẹp 1.133 Cho A’B’C’ là tam giác trực tâm của tam giác ABC, đặt A”, B”, C” là trực tâm của AB’C’, A’BC’, A’B’C Chứng ming hai tam giác A’B’C’ và A”B”C” đồng dạng 1.134 Cho O là trung điểm... tại điểm P b) Chứng minh trực tâm DEF nằm trên OP 1.138 Cho bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng và điểm P khác, các đối cực của P đối với conic đi qua bốn điểm A, B, C, D đi qua một điểm cố định ( khá hay, trừ khi P là một trong các giao điểm của AB ∩ CD, AD ∩ BC, AC ∩ BD, trong trường hợp đó đường đối cực là côc định) 1.139 Chứng minh rằng nếu một lục giác ABCDEF có tất cả các cạnh có độ dài ≤ 1 thì...11 1.1 150 bài toán đẹp √ 1.58 Chu vi ABC bằng 3 + 2 3 Trong mặt phẳng tọa độ, bất kỳ đồng quy đối với ABC có ít nhất một điểm mạng trong phần trong của nó hoặc trên cạnh của nó Chứng minh ABC là đều 1.59 Cho . bạn đọc đóng góp cho ý kiến. Mọi góp ý gửi về địa chỉ: voquangman@gmail.com, hay Chợ Nam Phổ * , Phú Thượng, Phú vang, Thừa Thiên Huế. Tác giả cảm ơn các đồng nghiệp đã hết sức giúp đỡ để cuốn. . . . . . . . . . . . . . . . 24 Chương 1 Các bài toán 1.1. 150 bài toán đẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. 150 bài toán đẹp  1.1. Đường tròn W 1 , W 2 cắt nhau tại P,. trong kho ng (0, 1)).  1.146. Cho P là điểm bên trong ABC nội tiếp đường tròn bán kính R. Chứng minh: P A BC 2 + P B CA 2 + P C AB 2 ≥ 1 R .  1.147. Tồn tại một số lẻ của các chiến binh, các kho ng