Lời cảm ơn Trong suốt thời gian làm khóa luận, ngoài sự cố gắng nỗ lực của bản thân, em còn nhận được sự giúp đỡ của bạn bè, người thân, nhất là các thầy giáo cô giáo trong khoa Toán - Công Nghệ, Trường Đại học Hùng Vương. Qua đây em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành, sự biết ơn sâu sắc và toàn diện tới các thầy giáo, cô giáo đặc biệt là cô Nguyễn Thị Thanh Tâm. Cô đã giành nhiều thời gian quý báu, tận tình hướng dẫn, chỉ bảo em trong quá trình thực hiện khóa luận, đồng thời giúp em lĩnh hội được những kiến thức chuyên môn và rèn luyện cho em tác phong khi thực hiện công việc. Do khóa luận được thực hiện trong một thời gian ngắn, nên chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Vì thế em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô để khóa luận được hoàn thiện hơn. Cuối cùng em xin chúc các thầy giáo, cô giáo sức khỏe, hạnh phúc và thành đạt, chúc các thầy cô có nhiều các công trình nghiên cứu khoa học đóng góp cho sự nghiệp phát triển của trường. Chúc Trường Đại học Hùng Vương ngày càng thu hút được học sinh trong các kì thi tuyển sinh Đại học. Em xin chân thành cảm ơn! Việt Trì, ngày 30 tháng 4 năm 2012 Người viết khóa luận Sinh viên Nguyễn Thị Thu 1 Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu Mục lục Mở đầu 3 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 6 1.1. Lôgic mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Hàm mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Điều kiện cần và đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Một số định lí cơ bản trong lí thuyết phương trình, bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2. Phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số bài toán về phương trình, hệ phương trình chứa tham số 16 2.1. Bài toán " Tìm điều kiện của tham số để bài toán có nghiệm duy nhất" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Bài toán " Tìm điều kiện của tham số để bài toán có nghiệm thỏa mãn một điều kiện cho trước" . . . . . . . . . . . . . 26 2.3. Một số bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Chương 3. Phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số bài toán về bất phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số 41 3.1. Bài toán " Tìm điều kiện của tham số để bài toán có nghiệm duy nhất" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2. Bài toán " Tìm điều kiện của tham số để bài toán có nghiệm thỏa mãn một điều kiện cho trước" . . . . . . . . . . . . . 47 3.3. Một số bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 2 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng được ứng dụng rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội và trong các môn khoa học khác. Toán sơ cấp là một phần quan trọng của toán học. Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình là một trong những vấn đề khó của toán sơ cấp đặc biệt là những bài toán chứa tham số. Vấn đề này càng ngày càng được khai thác sâu hơn và trở thành một phần không thể thiếu trong chương trình toán trung học phổ thông. Khi nghiên cứu vấn đề này chúng ta thường gặp một số dạng toán như tìm giá trị tham số sao cho phương trình, hệ phương trình tương ứng có nghiệm, có nghiệm duy nhất hoặc có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước. Tuy nhiên việc giải hoặc đề xuất ra hướng đi đúng không phải đơn giản. Thực tế, có nhiều phương pháp để giải các bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số như phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp hàm số, phương pháp điều kiện cần và đủ Phương pháp điều kiện cần và đủ là một phương pháp rất hiệu quả để giải lớp các bài toán chứa tham số. Trên thực tế, việc giải quyết một số bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số còn gặp nhiều khó khăn. Với mong muốn giúp các bạn học toán có thêm tài liệu tham khảo để khắc phục những khó khăn khi giải bài toán về phương trình, bất phương trình chứa tham số tôi mạnh dạn chọn đề tài: "Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số bài toán đại số trong chương trình trung học phổ thông". 2. Mục đích nghiên cứu Tổng hợp một cách hệ thống các nội dung lí thuyết, bài tập theo từng dạng cụ thể của bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số bên cạnh đó đưa ra định hướng giải cho các dạng bài tập. 3 Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu Hệ thống bài tập vận dụng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số. Nghiên cứu mối liên hệ giữa giả thiết và yêu cầu của bài toán từ đó đưa ra định hướng giải cho một số dạng bài tập. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Khóa luận này nghiên cứu một số bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số được giải bằng phương pháp sử dụng điều kiện cần và đủ. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các giáo trình tài liệu liên quan đến phương pháp điều kiện cần và đủ và một số bài toán về phương trình, bất phương trình chứa tham số để phân loại và hệ thống hóa các kiến thức. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức về vấn đề nghiên cứu một cách khoa học, đầy đủ và chính xác. Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn và các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng như hình thức của khóa luận. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Ý nghĩa khoa học: Hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về lôgic mệnh đề, điều kiện cần và đủ. Sử dụng điều kiện cần và đủ vào bài toán giải phương trình, bất phương trình chứa tham số. Ý nghĩa thực tiễn: Khóa luận là tài liệu tham khảo cho học sinh phổ thông, sinh viên đại học, cao đẳng và các bạn yêu môn toán . 7. Bố cục của khóa luận Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm 3 chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày một số kiến thức về cơ sở lôgic toán: Lôgic mệnh đề, điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ; một số định lí, mệnh đề của lí thuyết phương trình được áp dụng trong quá trình giải toán. 4 Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu Chương 2: Phương pháp điều kiện cần và đủ giải một số bài toán về phương trình, hệ phương trình chứa tham số Trong chương này, trình bày một cách cụ thể phương pháp điều kiện cần và đủ vào giải một số bài toán về phương trình, hệ phương trình liên quan đến tham số. Nội dung chính của chương này là phương pháp giải các dạng toán và hệ thống các bài tập áp dụng phương pháp điều kiện cần và đủ. Chương 3: Phương pháp điều kiện cần và đủ giải một số bài toán về bất phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số Trong chương này, trình bày một cách cụ thể phương pháp điều kiện cần và đủ vào giải một số bài toán về bất phương trình, hệ bất phương trình liên quan đến tham số. Nội dung chính của chương này là phương pháp giải các dạng toán và hệ thống các bài tập áp dụng phương pháp điều kiện cần và đủ. 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Lôgic mệnh đề ∗) Mệnh đề Những câu phản ánh đúng hay sai thực tế khách quan được coi là những mệnh đề. Ví dụ: 1) Số 25 chia hết cho 5(25 . . .5 ) là mệnh đề đúng. 2) 3+2=6 là mệnh đề sai. 3) 0<1 là mệnh đề đúng. 4) Số 57 có phải là số nguyên tố không? - không là mệnh đề. Mỗi mệnh đề là đúng hoặc sai, không có mệnh đề nào không đúng mà cũng không sai. Cũng không có mệnh đề nào vừa đúng lại vừa sai. Để chỉ các mệnh đề chưa xác định tính đúng, sai ta dùng các chữ cái in thường: p, q, r và gọi chúng là các biến mệnh đề. Ta quy ước viết p = 1 khi p là mệnh đề đúng, p = 0 khi p là mệnh đề sai. ∗) Các phép toán lôgic trên các mệnh đề • Phép phủ định Phủ định của mệnh đề p, kí hiệu là p ( đọc là " không p") là một mệnh đề sai khi p đúng và đúng khi p sai. Ví dụ: p: " 2 + 3 = 6" (sai). p: "2 + 3 = 6 " ( đúng). • Phép hội Hội của hai mệnh đề p,q kí hiệu là p ∧ q ( đọc là " p và q") là một 6 Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu mệnh đề đúng khi cả p lẫn q cùng đúng và sai trong các trường hợp còn lại. Ví dụ: Mệnh đề: " −2 ∈ Z " nhưng " −2 /∈ N " là hội của hai mệnh đề : "−2 ∈ Z " , " −2 /∈ N ". • Phép tuyển Tuyển của hai mệnh đề p, q kí hiệu là p ∨ q (" đọc là p hoặc q") là mệnh đề sai khi cả p lẫn q đều sai, và đúng trong các trường hợp còn lại. Ví dụ: Mệnh đề " 0 nhỏ hơn hoặc bằng 1 ( 0  1)" là tuyển của hai mệnh đề : " Số 0 nhỏ hơn 1" (0 < 1) " Số 0 bằng 1" ( 0 = 1) Mệnh đề " 0  1 " là đúng vì mệnh đề " 0 <1" là đúng, mặc dù mệnh đề " 0 = 1" là sai. • Phép kéo theo Cho hai mệnh đề p, q. Mệnh đề kéo theo p ⇒ q ( đọc là " p kéo theo q" hay " nếu p thì q " ) là mệnh đề sai khi p đúng và q sai, và đúng trong các trường hợp còn lại. Ví dụ: Mệnh đề " nếu 2 = 2 thì 4 = 4" là mệnh đề đúng theo định nghĩa của phép kéo theo, đồng thời cũng là một mệnh đề đúng của toán học vì từ 2 = 2 suy ra 4 = 4 bằng cách bình phương hai vế của đẳng thức 2 = 2. • Phép tương đương Cho hai mệnh đề p, q. Mệnh đề " p tương đương q", kí hiệu là p ⇔ q, là một mệnh đề đúng khi cả hai mệnh đề p và q hoặc cùng đúng hoặc cùng sai và sai trong các trường hợp còn lại. Ví dụ: Mệnh đề " Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu hai đường chéo giao nhau tại điểm giữa mỗi đường " là mệnh đề đúng. 1.2 Hàm mệnh đề ∗) Định nghĩa Xét câu " x là số nguyên tố" (x ∈ N) ta thấy đây không phải là một mệnh đề vì ta không thể xác định được là đúng hay sai. Nhưng khi thay x bởi một số tự nhiên cụ thể thì ta được một mệnh đề. Với x = 3 ta được mệnh đề đúng " 3 là số nguyên tố ". 7 Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu Với x = 4 ta được mệnh đề sai " 4 là số nguyên tố ". Ta gọi câu " x là số nguyên tố" là một hàm mệnh đề một biến xác định trên tập N các số tự nhiên. Hàm mệnh đề là một câu chứa biến và trở thành mệnh đề khi ta thay biến đó bằng một phần tử cụ thể thuộc một tập hợp nhất định. Ta kí hiệu một hàm mệnh đề một biến xác định trên tập X bởi P(x), Q(x), F(x), x gọi là biến tử. Một phần tử cụ thể của X gọi là hằng tử. Khi thay x bởi a ∈ X ta được mệnh đề P(a) hoàn toàn xác định. Ví dụ: + Phương trình 2x 2 + x − 3 = 0 là một hàm mệnh đề một biến xác định trên tập R các số thực. Nó trở thành mệnh đề đúng với x = 1 và x = − 3 2 , trở thành mệnh đề sai với các giá trị khác của x. + Phương trình 2x − 3y = 5 là một hàm mệnh đề hai biến. Chú ý: Người ta coi mệnh đề là hàm mệnh đề không biến. ∗) Miền đúng của hàm mệnh đề. Giả sử P(x) là một hàm mệnh đề xác định trên tập X. Ta gọi tập E P (x) = {x ∈ X|P (x) = 1} là miền đúng của hàm mệnh đề P(x). Ví dụ: Miền đúng của hàm mệnh đề: " 2x 2 + x − 3 = 0 " chính là tập hợp {x ∈ R : 2x 2 + x − 3 = 0} = {1, − 3 2 } ∗) Mệnh đề hằng đúng, hằng sai. Giả sử P(x) là một hàm mệnh đề xác định trên tập X. +) Hàm mệnh đề P(x) là hằng đúng trên tập hợp X nếu và chỉ nếu P(a) = 1 với mọi a ∈ X nghĩa là E P (x) = X. +) Hàm mệnh đề P(x) là hằng sai trên tập hợp X nếu và chỉ nếu P(a) = 0 với mọi a ∈ X nghĩa là E P (x) = ∅. +) Hàm mệnh đề P(x) là thực hiện được nếu và chỉ nếu tồn tại a ∈ X sao cho P (a) = 1 nghĩa là: E P (x) = ∅ 8 Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu Ví dụ: +) Hàm mệnh đề x 2 + 1 > 0 xác định trên tập R các số thực là một hàm mệnh đề hằng đúng trên tập R. +) Hàm mệnh đề x 2 + 1 = 0 là hằng sai trên R. +) Hàm mệnh đề n < 10 xác định trên N là thực hiện được nhưng không phải là hằng đúng. ∗) Sự tương đương lôgic giữa hai hàm mệnh đề. Giả sử P(x) và Q(x) là hai hàm mệnh đề cùng xác định trên tập X. Ta nói rằng P(x) tương đương lôgic với Q(x) và kí hiệu: P (x) = Q(x) nếu và chỉ nếu E P (x) = E Q(x) Ví dụ: Hai bất phương trình tương đương là hai hàm mệnh đề tương đương lôgic với nhau. Chẳng hạn hai bất phương trình: 2x 2 − 3 < −x 2x 2 + x − 3 < 0 là hai bất phương trình tương đương và đó cũng là hai hàm mệnh đề tương đương lôgic với nhau. ∗) Các phép toán lôgic trên các hàm mệnh đề Cho hai hàm mệnh đề P(x), Q(x) cùng xác định trên tập X. • Phép phủ định Phủ định của P(x) kí hiệu là P (x), là một hàm mệnh đề xác định trên tập X và nhận giá trị 1 trên tập các phần tử a ∈ X sao cho P(a) = 0 và nhận giá trị 0 trên miền đúng của P(x), nghĩa là: E P (x) = X −E P (x) = C X (E P (x) ) Ví dụ: P(x): " x là số lẻ" là một hàm mệnh đề xác định trên N. P (x) : " x không là số lẻ" hay " x là số chẵn". Miền đúng của P (x) là tập hợp các số chẵn. • Phép hội Hội của hai hàm mệnh đề P(x), Q(x) kí hiệu là P (x)∧Q(x) là một hàm mệnh đề xác định trên tập X sao cho nó nhận giá trị 1 trên tập các phần tử a ∈ X mà P (a) = 1 và Q(a) = 1 và nhận giá trị 0 trong các trường hợp còn lại, nghĩa là: E P (x)∧Q(x) = E P (x) ∩ E Q(x) 9 Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu Ví dụ: Hệ phương trình  3x + 5y = 2 x − 2y = 4 là hội của hai hàm mệnh đề hai biến 3x + 5y = 2 và x − 2y = 4 cùng xác định trên R. • Phép tuyển Tuyển của hai hàm mệnh đề P(x), Q(x) kí hiệu là P(x) ∨Q(x) là một hàm mệnh đề xác định trên tập X sao cho nó nhận giá trị 0 trên tập các phần tử a ∈ X mà P (a) = 0 và Q(a) = 0 và nhận giá trị 1 trong các trường hợp còn lại, nghĩa là: E P (x)∨Q(x) = E P (x) ∪ E Q(x) Ví dụ: Hàm mệnh đề (2x − 3)(x + 8) = 0 tương đương lôgic với hàm mệnh đề (2x − 3 = 0) ∨ (x + 8 = 0) Ta thường nói phương trình (2x −3)(x + 8) = 0 tương đương với tuyển của hai phương trình 2x − 3 = 0, x + 8 = 0. • Phép kéo theo Kéo theo của hai hàm mệnh đề P(x), Q(x) kí hiệu là P (x) ⇒ Q(x) là một hàm mệnh đề xác định trên tập X sao cho nó nhận giá trị 0 trên tập các phần tử a ∈ X mà P(a) = 1 và Q(a) = 0 và nhận giá trị 1 trong các trường hợp còn lại, nghĩa là: E P (x)⇒Q(x) = C X (E P (x) ) ∪ E Q(x) Ví dụ: Hàm mệnh đề " Nếu x là số nguyên tố thì x là số lẻ" xác định trên N và có dạng P (x) ⇒ Q(x), trong đó: P (x) : " x là số nguyên tố" Q(x) : " x là số lẻ " Dễ thấy rằng: E P (x)⇒Q(x) = N − {2} • Phép tương đương Tương đương của hai hàm mệnh đề P(x), Q(x) kí hiệu là P (x) ⇔ Q(x) là một hàm mệnh đề xác định trên tập X và nhận giá trị 1 trên tập các phần tử a ∈ X mà P (a) = Q(a) và nhận giá trị 0 trong các trường hợp 10 [...]... Điều kiện cần và đủ để tam giác MNP là tam giác đều là tam giác MNP là một tam giác cân và có một góc bằng 60." ∗) Phương pháp điều kiện cần và đủ để giải các phương trình, bất phương trình chứa tham số Cho một bài toán có ẩn số là x thuộc miền Dx , tham số là m thuộc miền Dm Ta cần tìm điều kiện của tham số m để bài toán trên thỏa mãn 12 Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu một. .. nhất một nghiệm trên khoảng (a, b) Mệnh đề 3 a) M nghiệm α là điều kiện cần và đủ để hệ bất phương trình sau đây có f (x) α x∈D 14 Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu b) m α là điều kiện cần và đủ để bất phương trình f (x) đúng với mọi x ∈ D α nghiệm Mệnh đề 4 a) m nghiệm β là điều kiện cần và đủ để hệ bất phương trình sau đây có f (x) β x∈D b) M β là điều kiện cần và đủ để bất phương. .. kiện cần và đủ để giải một số bài toán về phương trình, hệ phương trình chứa tham số 2.1 Bài toán" Tìm điều kiện của tham số để bài toán có nghiệm duy nhất" Bài toán: Cho phương trình ( hệ phương trình ) có ẩn số x, y, thuộc miền Dx , Dy , tham số là m thuộc miền Dm Tìm điều kiện của tham số m để phương trình ( hệ phương trình) có nghiệm duy nhất Phương pháp chung: Tìm điều kiện cần dựa vào tính đối xứng... ta được điều kiện cần đối với m Do tính đa dạng và phức tạp của bài toán " Tìm điều kiện của tham số để bài toán có nghiệm duy nhất " ta khó có thể đưa ra phương pháp giải tổng quát cho tất cả các bài toán, mà tùy từng bài cụ thể ta có thể tiếp cận và giải theo các hướng sau • Đối với những bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương trình có nghiệm duy nhất ta có thể sử dụng trực... để bài toán có nghiệm thỏa mãn một điều kiện cho trước" Bài toán: Cho phương trình ( hệ phương trình ) có ẩn số x, y, thuộc miền Dx , Dy , tham số là m,n thuộc miền Dm , Dn Tìm điều kiện của tham số để phương trình ( hệ phương trình) có nghiệm thỏa mãn một điều kiện cho trước Phương pháp chung: Tìm điều kiện cần bằng cách sử dụng điểm thuận lợi Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm đúng với... hàm số chẵn ( như đối với một số hàm số: y = x2 , y =| x |, y = cosx, ) Nếu gọi x0 là nghiệm của phương trình, hệ 16 Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu phương trình thì −x0 cũng là nghiệm của phương trình, hệ phương trình Do vậy để phương trình có nghiệm duy nhất thì x0 = −x0 hay suy ra x0 = 0 Từ đó ta sẽ tìm được điều kiện để phương trình có nghiệm duy nhất • Ta cũng có thể sử dụng. .. hệ trên nên a = 3 không phải 5 5 giá trị cần tìm Vì ( Vậy điều kiện cần và đủ để hai hệ phương trình đã cho tương đương là a = −2 hoặc a = −1 Ví dụ 4: 20x2 + 10x + 3 = x2 + 2(2m − 3)x + 5m2 − 16m + 20 2 + 2x + 1 3x Tìm m để phương trình có nghiệm Cho phương trình: Lời giải: 1 Điều kiện cần 35 Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu Giả sử phương trình có nghiệm là x0 20x2 + 10x + 3 Đặt... mệnh đề phản Trong toán học, khi ta đã chứng minh được mệnh đề p ⇒ q là đúng thì ta có thể kết luận rằng mệnh đề q ⇒ p là đúng mà không cần phải chứng 11 Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu minh Khi đã biết mệnh đề p ⇒ q là sai ta kết luận q ⇒ p là sai ∗) Điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ Cho mệnh đề p và q Nếu mệnh đề p ⇒ q là đúng thì p gọi là điều kiện đủ để có q Nếu... ý: Có những bài toán chưa ở dạng đối xứng thì ta phải đặt ẩn phụ để đưa về dạng đối xứng Ở bài này hệ phương trình cho ban đầu sau khi đặt ẩn phụ đã trở thành hệ phương trình đối xứng loại 1 Từ đó dựa vào tính duy nhất của nghiệm việc giải quyết bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều 25 Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ 2.2 Nguyễn Thị Thu Bài toán " Tìm điều kiện của tham số để bài toán có nghiệm... Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất √ √ √ √ 4 x+ 42−x+ x+ 2−x=m Lời giải 1 Điều kiện cần Giả sử phương trình có nghiệm x = x0 Dễ thấy vì phương trình có nghiệm x = x0 , nên x = 2−x0 cũng là nghiệm của phương trình Vì nghiệm là duy nhất nên x0 = 2 − x0 Thay x0 = 1 vào phương trình ta được m = 4 Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất 2 Điều kiện đủ Với m = 4 khi đó phương trình . thuyết phương trình được áp dụng trong quá trình giải toán. 4 Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu Chương 2: Phương pháp điều kiện cần và đủ giải một số bài toán về phương trình, . của chương này là phương pháp giải các dạng toán và hệ thống các bài tập áp dụng phương pháp điều kiện cần và đủ. Chương 3: Phương pháp điều kiện cần và đủ giải một số bài toán về bất phương trình, . kiện cần và đủ Phương pháp điều kiện cần và đủ là một phương pháp rất hiệu quả để giải lớp các bài toán chứa tham số. Trên thực tế, việc giải quyết một số bài toán về phương trình, hệ phương trình,