lí thuyết phương trình, bất phương trình đại số bậc cao, phân thức hữu tỉ (phần 1)

Thông tin tài liệu

LÝ Ý T TH HU UY YẾ ẾT T P PH HƯ ƯƠ ƠN NG G T TR RÌ ÌN NH H – – B BẤ ẤT T P PH HƯ ƯƠ ƠN NG G T TR RÌ ÌN NH H Đ ĐẠ ẠI I S SỐ Ố B BẬ ẬC C C CA AO O, , P PH HÂ ÂN N T TH HỨ ỨC C H HỮ ỮU U T TỶ Ỷ ( (P PH HẦ ẦN N 1 1) ) 1 5 EF Q QU UÂ ÂN N Đ ĐO OÀ ÀN N B BỘ Ộ B BI IN NH H C CH HỦ Ủ Đ ĐẠ ẠO O: : N NH HẬ ẬP P M MÔ ÔN N D DẠ ẠN NG G T TO OÁ ÁN N P PH HƯ ƯƠ ƠN NG G T TR RÌ ÌN NH H V VÀ À B BẤ ẤT T P PH HƯ ƯƠ ƠN NG G T TR RÌ ÌN NH H B BẬ ẬC C C CA AO O, , P PH HÂ ÂN N T TH HỨ ỨC C H HỮ ỮU U T TỶ Ỷ   D DẠ ẠN NG G T TO OÁ ÁN N T TR RÙ ÙN NG G P PH HƯ ƯƠ ƠN NG G V VÀ À M MỞ Ở R RỘ ỘN NG G. .   Đ ĐA A T TH HỨ ỨC C B BẬ ẬC C B BA A N NG GH HI IỆ ỆM M H HỮ ỮU U T TỶ Ỷ. .   Đ ĐA A T TH HỨ ỨC C B BẬ ẬC C B BA A Q QU UY Y V VỀ Ề H HẰ ẰN NG G Đ ĐẲ ẲN NG G T TH HỨ ỨC C. .   Đ ĐẶ ẶT T Ẩ ẨN N P PH HỤ Ụ C CƠ Ơ B BẢ ẢN N. .   Đ ĐẶ ẶT T H HA AI I Ẩ ẨN N P PH HỤ Ụ Q QU UY Y V VỀ Ề Đ ĐỒ ỒN NG G

TÀI LIỆU THAM KHẢO TỐN HỌC PHỔ THƠNG  x CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1)  E1 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH CHỦ ĐẠO: NHẬP MƠN DẠNG TỐN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ  DẠNG TOÁN TRÙNG PHƯƠNG VÀ MỞ RỘNG  ĐA THỨC BẬC BA NGHIỆM HỮU TỶ  ĐA THỨC BẬC BA QUY VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC  ĐẶT ẨN PHỤ CƠ BẢN  ĐẶT HAI ẨN PHỤ QUY VỀ ĐỒNG BẬC  BÀI TOÁN NHIỀU CÁCH GIẢI CREATED BY GIANG SƠN (FACEBOOK); XYZ1431988@GMAIL.COM (GMAIL) THỦ ĐÔ HÀ NỘI – MÙA THU 2013 LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ “Non sơng Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay khơng, dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh quang để sánh vai với cường quốc năm châu hay khơng, nhờ phần lớn cơng học tập em” (Trích thư Chủ tịch Hồ Chí Minh) “Khi bạn tức giận run trước bất cơng, bạn người đồng chí tơi” (Trích lời Che Guevara) CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM  E1 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) Trong chương trình Tốn học phổ thơng nước ta, cụ thể chương trình Đại số, phương trình bất phương trình nội dung quan trọng, phổ biến nhiều dạng toán xuyên suốt cấp học, phận thường thấy kỳ thi kiểm tra chất lượng học kỳ, thi tuyển sinh lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi mơn Tốn cấp kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng với hình thức phong phú, đa dạng Mặc dù đề tài quen thuộc, thống khơng mà giảm phần thú vị, nhiều tốn tăng dần đến mức khó chí khó, với biến đổi đẹp kết hợp nhiều kiến thức, kỹ làm khó nhiều bạn học sinh THCS, THPT Chương trình Đại số lớp THCS giới thiệu, sâu khai thác tốn phương trình bậc hai, chương trình Đại số 10 THPT đưa tiếp cận tam thức bậc hai với định lý dấu nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai ứng dụng Trong phương trình bất phương trình đại số nói chung, bắt gặp nhiều toán cps dạng đại số bậc cao, phân thức hữu tỷ, tốn có mức độ khó dễ khác nhau, địi hỏi tư linh hoạt vẻ đẹp riêng ! Từ lâu rồi, vấn đề quan trọng, xuất hầu khắp công đoạn cuối định nhiều tốn phương trình, hệ phương trình chứa căn, phương trình vi phân, dãy số, Vì tinh thần, đơng đảo bạn học sinh, thầy cô giáo chun gia Tốn phổ thơng quan tâm sâu sắc Sự đa dạng hình thức lớp tốn đặt yêu cầu cấp thiết làm để đơn giản hóa, thực tế phương pháp giải, kỹ năng, mẹo mực hình thành, vào hệ thống Về để làm việc với lớp phương trình, bất phương trình ưu tiên hạ giảm bậc toán gốc, cố gắng đưa dạng bậc hai, bậc dạng đặc thù (đã khái quát trước đó) Trong chuyên đề này, chuyên đề lớp phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tác giả chủ yếu đề cập tới toán từ mức độ đơn giản tới phức tạp nhất, dành cho bạn học sinh bước đầu làm quen, nhiên địi hỏi tư logic, tỉ mỉ xác Tài liệu nhỏ viết theo trình tự kiến thức tăng dần, khơng đề cập giải phương trình bậc hai, sâu giải phương trình bậc ba (dạng đặc biệt với nghiệm hữu tỷ phân tích đẳng thức), dạng toán trùng phương (bậc 4) mở rộng với bậc chẵn, phép đặt ẩn phụ phép đặt hai ẩn phụ quy đồng bậc, phạm vi kiến thức phù hợp với bạn học sinh THCS (lớp 8, lớp 9) ôn thi vào lớp 10 THPT, bạn học sinh THPT thi học sinh giỏi Toán cấp luyện thi vào hệ đại học, cao đẳng, cao tài liệu tham khảo dành cho thầy cô giáo bạn yêu Toán khác I KIẾN THỨC – KỸ NĂNG CHUẨN BỊ Kỹ thuật nhân, chia đơn thức, đa thức Nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Nắm vững phương pháp giải, biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai Sử dụng thành thạo ký hiệu toán học, logic (ký hiệu hội, tuyển, kéo theo, tương đương) CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM  E1 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ II MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VÀ KINH NGHIỆM THAO TÁC Bài tốn Giải phương trình x  3x    x   Lời giải Đặt x  t  t   ; phương trình cho tương đương với t   t  t  3t    t  t  2t     t  1 t       t   t  2  Với t   x   x   x  x  1  Với t   x   x   x  x     Vậy phương trình cho có tập nghiệm S   2; 1;1; Nhận xét Bài toán dạng toán phương trình trùng phương quen thuộc, sử dụng đặt ẩn phụ quy phương trình bậc với ẩn số phụ, tính nghiệm sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để đưa phương trình dạng tích hai phương trình bậc nhất, giải kết luận nghiệm trở nên dễ dàng  x   Bài tốn Giải phương trình x  x   Lời giải Điều kiện x   t  Đặt x  t  t   ta t  5t    t  2t  3t     t   t  3    t   2;  2 o Với t   x   x   x   3; 3 Vậy phương trình cho có bốn nghiệm S   3;  2; o Với t   x   x   x   2;  x   Bài tốn Giải phương trình x  x   Lời giải 1  Điều kiện x   Đặt x  t  t   ta thu 2t  5t     t   2t  1   t   ;  2   Với t   x   x   x    2;  1 1    x2   x   x ;  2 2  Vậy phương trình cho có bốn nghiệm kể  t Bài toán Giải bất phương trình x  x   Lời giải Điều kiện x   Đặt x  t  t   ta thu  x    2  x   t  5t   1  x   t  1 t        t    x    x    t   2  x  1 t      x  1 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM  E1 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ Vậy bất phương trình cho có nghiệm S   2; 1  1; 2  x   Bài tốn Giải bất phương trình x  x   Lời giải Đặt x  t  t   ta thu  t  1 t    t  8t   x     t   x    x  3 x  3     t   x  3 t   Vậy bất phương trình cho có nghiệm x   x  3 Bài toán Giải bất phương trình x4  x  0 x2  x   Lời giải Điều kiện x  x   x2 1  0   x  1  x2 x   x  x Bất phương trình cho tương đương với  1 Vậy bất phương trình có nghiệm Bài tốn Giải phương trình x4  x  0 x4  x   x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương đương với x  x    x  x  x     x  1 x     x   x  2; 2 Vậy bất phương trình cho có hai nghiệm Bài tốn Giải phương trình x  15 x  16 0 x2  5x   x   Lời giải Điều kiện x  x    x  1; x  Phương trình cho tương đương với x  15 x  16    x  1 x  16    x  16  x  4; 4 Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm x  4 Bài tốn Giải phương trình x4  x2  0 x4  x   x   Lời giải Điều kiện x  x   Phương trình cho trở thành  x 1  x2  x  x    x  x  x     x  1 x        x  1;1;  5; x  x   So sánh điều kiện, kết luận phương trình cho có bốn nghiệm   CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM  E1 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ Bài tốn 10 Giải phương trình 3x  x  0 x5  x   x   Lời giải Điều kiện x  x   Phương trình cho tương đương với x  x    x  x  3x     x   x  1   x   x  1;1 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x  1; x  Bài toán 11 Giải phương trình x4  x  0 x7  3x2   x   Lời giải Điều kiện x  3x   Phương trình cho tương đương với x  x    x  x  x     x   x  1   x   1  x   ;   2  1 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm S   ;   2 Bài toán 12 Giải bất phương trình x4  x  0 x4  3x2   x   Lời giải Điều kiện x   Ta có x  3x   0, x   nên bất phương trình cho tương đương với x  x  x     x  1 x     x     x  1 Vậy bất phương trình cho có nghiệm x   x  1 Bài tốn 13 Giải bất phương trình x4  x2  0 3x  x   x   Lời giải Điều kiện x   Nhận xét x  x   0, x   Bất phương trình cho tương đương với x  x  x     x   x  1   x     x  1 Vậy bất phương trình cho có nghiệm x   x  1 Bài toán 14 Giải bất phương trình x  3x  0 3x2   x   Lời giải Điều kiện x   Bất phương trình cho tương đương với    x  1  x   x  1 x  3x     x  1 x      x     1  x    x   Vậy bất phương trình cho có nghiệm S    2; 1  1;      CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM  E1 F5 QN ĐỒN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ Bài toán 15 Giải bất phương trình x4  8x  0 x4  x   x   Lời giải Điều kiện x   Nhận xét 1 x  x    x  x     x  x   x  x      x  1   x  1    0, x     4    4   x  2 Bất phương trình cho trở thành x  x     x  3 x  1    x     2  x    1  3 Kết luận nghiệm S    ;     ;  2  2  Bài tốn 16 Giải bất phương trình x4  x2  0 2x2  x   x   Lời giải Điều kiện x   Nhận xét x  x   0, x   Bất phương trình cho tương đương với   x  1  2 2 x  x     x  1 x      x     1  x      7 Vậy bất phương trình cho có nghiệm S    ; 1  1;  2    Bài tốn 17 Giải bất phương trình x  10 x  0 x  x  10  x   Lời giải Nhận xét x  x  10  0, x   nên bất phương trình cho tương đương với  x   x2  1  x       x  1   x  10 x     x  1 x      x       3  x  1 x   3  x  2 2 Kết luận bất phương trình cho có nghiệm S   3; 1  1;3 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM  E1 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ Bài tập tương tự Giải phương trình bất phương trình sau tập hợp số thực x  x   10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2 2  x  1  x  25  x  1  3x  x  11  x  1  x  13 x  3x 1  3x   13 2 2 x4  5x  0 x2  4x  2 x4  x2   3x  x  5x  x  0 x4  x x4  3x  0 x8  x  x4  x2  0 x  3x  5x  x2  0 x5  x  x4  8x   x  3x  4 x4  x2   x2  x  x4  x   x4  x  x4  x   x  x2  x4  x   x  x  10 x  x  20  x  12 x  15 x4  3x2  0 x4  x2  x4  x  0 x5  x  x  5x  0 x4  x  x  x  16 0 x2  x  x  x2  0 x4  x  CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM  E1 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ Bài tốn 18 Giải phương trình x  12 x3  11   x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với  x3  x  x  11x  x  11   x  x  11   x  11    x  11 x  1      x  11  x  11 3 3  3  Vậy tập nghiệm phương trình cho S  1; 11 Bài tốn 19 Giải phương trình x  x    x   Lời giải Điều kiện x   Đặt x  t , phương trình cho trở thành x   x3  t     2t  t     t  1 2t  3   3 3 3 t   x  x  3    2   Vậy phương trình cho có hai nghiệm Bài tốn 20 Giải phương trình x  217 x3  27  Lời giải Điều kiện x    x    1  8t  x   x  Đặt x  t ta thu 8t  217t  27    8t  1 t  27        t  27  x  27 x   1  Vậy phương trình cho có tập nghiệm S   ;3 2  Bài toán 21 Giải bất phương trình x  x3  0 x4  x   x   Lời giải Điều kiện x   1  x  1  3  0, x      4 Bất phương trình cho tương đương với x  x     x  1 x3      x3    x  Nhận xét x  x   Kết luận tập hợp nghiệm S  1;    x  x3  Bài toán 22 Giải bất phương trình 0 x  8x  Lời giải Điều kiện x    x   2 Nhận xét x  x   x  x    x  x     x  1   x    0, x   Bất phương trình cho trở thành x  x3     x   x  1   1  x3    x  2   Kết luận nghiệm S   ;    CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM  E1 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ 10 x6  x3  0 x4  x  Bài toán 23 Giải bất phương trình  x   Lời giải Điều kiện x   Nhận xét x  x    x  1   0, x   Bất phương trình cho trở thành  x3  x  x  x     x  1 x       x  x  3 Vậy bất phương trình cho có nghiệm x   x  Bài toán 24 Giải phương trình x8  x   x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với  x4  x  x  x  x    x  1 x       x4     x  1  x  2 Vậy phương trình cho có hai nghiệm 4 4 Bài tốn 25 Giải phương trình x8  x   x   Lời giải Điều kiện x   2t  t   t  1 2t  3   Đặt x  t  t   , ta thu    t   x   x  1;1 t  t   Vậy phương trình cho có hai nghiệm Bài tốn 26 Giải bất phương trình x8  x    x   Lời giải Điều kiện x   Bất phương trình cho tương đương với x  x8  x  x     x   x  1   x     x  1 Vậy bất phương trình cho có nghiệm x   x  1 Bài tốn 27 Giải bất phương trình x8  17 x  16   x  Lời giải Điều kiện x   Bất phương trình cho tương đương với 1  x  x8  16 x  x  16    x  1 x  16     x  16    2  x  1 Kết luận tập hợp nghiệm S   2; 1  1;  x8  3x  Bài toán 28 Giải bất phương trình 0 x8  Lời giải Điều kiện x   Bất phương trình cho tương đương với  x   CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM  E1 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ 99 Lời giải Điều kiện x  1 x2  x   y, y  , bất phương trình cho trở thành x3  x y  y   x  y   x  xy  y   [1] Đặt x 1 x2  x  1  63  2    x  1 Ta có x  xy  y   x  y   y  0, y  nên 1  x  y  x  x 1 x 1  16  Vậy bất phương trình cho có nghiệm x  1 Bài toán 281 Giải bất phương trình x  3x  x  1 x2  x 1   4x   0  x2  x   Lời giải Điều kiện x  2 Đặt x  x  1  y , bất phương trình cho trở thành x2 x  y x  3x y  y    x  y   x  xy  y     x  y  x  y     x  2y  x  x  1 x    2  x   x y x x2 x2 x  x  1     x  x     x   ;   x  2y   x  x2   Vậy bất phương trình cho có nghiệm S   2;0 Bài toán 282 Giải bất phương trình x  x  x  1 x 1 2   x 1    3x    1    x 1   x 1   x   Lời giải x 1  y , bất phương trình cho tương đương với x 1 x  x y  3xy  y    x  y   x  xy  y   Điều kiện x  1 Đặt x  y x  y   x  y   x2   x  y   3y      2   x  y   x   x  3y   y  x   x y0 (Loại) x 1  x 1 x2     x  1  x y x x 1 x 1 Kết luận bất phương trình cho có nghiệm x  1 Bài tốn 283 Giải phương trình x  3x  x  1 2x 1  x 1   x 1   4x    8   2x 1   2x 1   x   Lời giải x 1  y , biến đổi x  3x y  xy  y    x  y   x  xy  y   Đặt 2x 1 x 1 x yx  x  x   0,   nên trường hợp vô nghiệm 2x 1 Điều kiện x   CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM  E1 F5 QN ĐỒN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ 100 x  x  (Loại)  x  xy  y    x  y   y    y  x  Vậy phương trình cho vơ nghiệm  3 x  x  1  x   x 1  Bài toán 284 Giải bất phương trình    4  3  x 1   x2  x  1  x    x   Lời giải Điều kiện x  2; 1 Đặt u  2v x x 1  u;  v , quy u  4v  3u v   u  v  u  2v     x 1 x2 u  v   x  1 x   x  x    x   3;1  x 1 x2  1   2  x  2x  2x 1 0   uv 0   x  1 x  2 1  1  x    1 1    Kết luận bất phương trình cho có nghiệm S   2;    1;   1  1         u  2v        x    x  1   x  2 Bài tốn 285 Giải bất phương trình   x     x2  x2 Lời giải x 1  u; x   v , bất phương trình cho trở thành Điều kiện x  2 Đặt x2   2 3 2 u  2u v  3v   u  v   u  3uv  3v     u  v   u  v   v           Nhận thấy  u  v   v  u  v  không xảy Do    x  3    x  2 x 1 x  3x    x  2   0   u  v   x2 x2  x  2 Kết luận bất phương trình ban đầu có nghiệm x  2 Bài tốn 286 Giải phương trình 2  x2  x    x  x    x  1  x  x  1   x  1     x  1    x2  x2   x2   x   Lời giải Điều kiện x  2 x2  x   a; x   b ta thu Đặt x2 a  b a3  2a 2b  3ab  6b3    a  b   a  3ab  6b     2  a  3ab  6b  CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM  E1 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ 101 o o x2  x 1  x   x  x   x  3x   x   x2 2  x2  x   a   15  (Loại) a  3ab  6b    a  b   b       b   x  1 ab Vậy phương trình cho có nghiệm x   3  x    x  3   x  3 x  1   x  1 Bài toán 287 Giải bất phương trình   x     x 1  x 1  Lời giải Điều kiện x  x3  u; x   v bất phương trình cho trở thành Đặt x 1 u  3u v  5uv  9v    u  v   u  4uv  9v     u  v   u  2v   5v     1 Dễ thấy  u  2v   5v  u  v  không xảy x3 x  3x   17  17  x 1  0 x   x  x 1 x 1 2   17    17  Kết luận bất phương trình cho có nghiệm S   ;1   ;           Do 1  Nhận xét Các tốn từ 277 đến 287 giải phép đặt ẩn phụ khơng hồn tồn hai ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp, nằm lớp phương trình – bất phương trình đồng bậc (đẳng cấp) bậc ba Các bạn ý sau đặt ẩn phụ u, v đưa dạng au  bu v  cuv  dv   Xét trường hợp v  có thỏa mãn phương trình ban đầu hay khơng  Xét trường hợp v  , thực chia hai vế phương trình cho v3  thu u u u u a    b    c    d   at  bt  ct  d  với phép đặt  t v v v v Các lời giải phía nhân trả lại hai ẩn u, v a, b để thao tác trình bày trở nên ngắn gọn (tất nhiên hàm chứa q trình đặt ẩn t giải nghiệm) Tùy theo nghiệm phương trình ẩn t bạn lựa chọn cách xử lý phù hợp Lấy ví dụ điển hình tốn 287, sau đặt ẩn phụ u, v đưa dạng u  3u v  5uv  9v  Xét v   x  (Loại) u Xét v  , đặt u  tv   t (hai cách đặt chất, điều tùy theo gu trình bày) ta v t 3v  3t v  5tv  9v   v  t  3t  5t       u  u u t  3t  5t     v    v    v          Tóm lại ln có t  3t  5t     t  1  t  4t    Tiếp tục xét trường hợp v  , thực tương tự Nếu thực thao tác chia ngầm đưa nhân tử, ta thu lời giải tốn 287, giảm bớt tính tốn u  3u v  5uv  9v    u  v   u  4uv  9v     u  v   u  2v   5v   1   CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM  E1 F5 QUÂN ĐỒN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ 102 Bài tốn 288 Giải bất phương trình x  x  x  x  1   x  x  1   x  Lời giải Điều kiện x   Đặt x  x   y bất phương trình cho trở thành  x  x y  y    x  y   x  3xy  y     x  y   x    3 2  2 y  y       x  y  x  x  x   x  1  Do [*] hiển nhiên với x   nên bất phương trình ban đầu có nghiệm S   2 Bài toán 289 Giải bất phương trình  x  1   x  1  x     x  1  x     x     x   Lời giải Điều kiện x   Đặt x   a; x   b,  a   bất phương trình cho trở thành a3  3a b  ab  5b3    a  b   a  4ab  5b2     a  b   a  2b   b2      Dễ thấy a   a  b  không xảy ra, hay  a  2b   b  Do   x   x   x  x    1    1 1 ; Kết luận tập nghiệm S   x   2  Bài toán 290 Giải bất phương trình  x  x  1  x  x3  x  1  x  1  x3  x  1  x   Lời giải Điều kiện x   Đặt x  x   a; x  x  b ta thu bất phương trình tương đương    15  2a  3a b  5b3    a  b   2a  5ab  5b     a  b    a  b   b         x  x 1  a   15   Dễ thấy  (Loại) nên  a  b   b     b   x  x  1   x  Do    a  b   x3  x  x     x  1  x  1     x  1   Vậy bất phương trình cho có nghiệm S   ; 1  1 Bài tốn 291 Giải phương trình x  3x  x  x  1   x  x  1   x   Lời giải Điều kiện x   Đặt x  x   y; y  0, x   phương trình cho trở thành   15  x  3xy  y    x  y   x  xy  y     x  y   x  y   y          x  2  15 y   y  (Vô nghiệm y  )   x  y   x  1   x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM  E1 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ 103 Bài tập tương tự Giải phương trình bất phương trình sau tập hợp số thực 3x3 x3  0 x  x  x  x  12 x  x 2  1   x  1  x  1   x  1  x  1   x  1 3 x  3x  x  x  1  x  x  x  1   x  x  1  x  1 x3  3   x  1 x  x  x  1   x  1 x  x  1 3x  2  x 1   x 1   x   11    3x    3x   3  x  1   x  1  x  1   x  1  3  x  1   x  1 x  x  1   x  x  1   x  1 x 3   x3  1  x  1   x  1 x  x  1  10  x  x  1  2  x  1   x  x  1  x  3   x  x  1  x  3   x  3  3  x 1   x 1  10    4   x  2   x  2  x 3  x3  x  3 x  1  x   x3  x3 11      3   x  1  x2  x2  x2 3 12  x  1   x  1  x  x  1   x  x  1  x   3 x  2   x  x     x  1 13    x 1  x 1  3x  x  1   x 1   14 x   7x    111   x2  x2  x2 2  x  3 x    x   x 3  x 3 15        x  2  x 1  x 1   x 1  2 16  x     x    x  x  1   x    x  x  1   x  x  1  3  x   x  17    3   x     x  4   x5  x5 3  x    x  5 18    x  1 x     x      x 1  x 1  3  x   x  19  x  3   x  1    7    x 3  x3 20 x  x  x  1 3  x 1    0  x2  x  2  x  1 x    x2 21  x  1   9  0  x2  x  2 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM  E1 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ 104 Bài tốn 292 Giải phương trình x 8  x   x 8 x   15 x 1  x 1   x   Lời giải Điều kiện x  1 x 8 x2  8x  x  8x  8x  x2 8x  x2 tt    8    t Phương trình trở thành Đặt x  x 1 x 1 x 1 x 1 x 1  x   x    t  t  15   t  3 t         5    x 1  x     x  3x  5 x  x  3   x   13  13 ;x  2 Đối chiếu điều kiện ta thu hai nghiệm 4x   2x2   8 Bài tốn 293 Giải phương trình  x   x    x 1  x   Lời giải Điều kiện x  x2  x  x2  x   t Để ý x   , suy Đặt x 1 x 1 x 1 4x 1 x2  x  x  x  4x 1 2x  t      2x   t 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Phương trình cho trở thành  x   x   t  t      t   t         4   x 1  x     x  x  3 x  x  3   x  2  10 2  10 ;x  2 Đối chiếu điều kiện ta có hai nghiệm kể  2x   5 Bài toán 294 Giải phương trình x  x      x    x2 x2  Lời giải Điều kiện x  4x  2x2  x x  5x  x  x Phương trình cho trở thành  x   6 6 1 x 2 x2 x2 x2 2 x2  x x2  x  x  x   x  x  3x  x  5x   t Đặt  2t    3  2t  Khi x2 x2 x2 x2 x2 x2  x  x  x  x  t  2t  3    t  1 2t       1  5   x2  x    3  29 3  29      x   x  x  10    x  x    x   ;  2      3  29 3  29    ; Đối chiếu điều kiện, kết luận nghiệm S    2     CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM  E1 F5 QN ĐỒN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ 105 Bài toán 295 Giải phương trình 3x   28 x    9x  4 x 3  x 3   x   Lời giải Điều kiện x  28 x  x  x  3x    t Để ý x  , đặt x 3 x 3 x 3 28 x  x2  x  3  3x   x  28 x  9x   3t      9x   3t  x 3 x 3 x3 x3 x 3 Phương trình cho trở thành  x   x   t  3t  1    t  1 3t       1  4   x3  x     3x  x  5 x  x     x  2  58 2  58 ;x  9 Đối chiếu điều kiện ta thu hai nghiệm   x  x2   x  11  Bài tốn 296 Giải phương trình  x   x    x  5 2x 1   2x 1   Lời giải x  x  x  11  Điều kiện x  Phương trình cho tương đương 2x 1 2x 1 x  x  11 x2  2x 1 x2  x  x  11    nên đặt t   4t  Ta thu Để ý 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 x 1  x   x  12  t  4t  1    t  1 4t       1  5   x   x     3   x  x   x  10 x      x  1  3  x          4   Phương trình (*) vơ nghiệm nên phương trình ban đầu vô nghiệm    x2     4x  Bài tốn 297 Giải phương trình   1 x   x  5 x3   x3  Lời giải x  x  3x  x   Điều kiện x  3 Phương trình cho tương đương với x 3 x3 3x  x  x2  x  x  x2  x  3x2  5x     , đặt t   3t  Để ý x3 x3 x3 x 3 x 3 Khi ta thu  x  x   x  x   t  3t      t  1 3t       1  5  x3  x3     x   x  x  18    x   2; x  So sánh với điều kiện ta thu hai nghiệm x   2; x  CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM  E1 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ 106  10   Bài tốn 298 Giải phương trình  x    x    x   5 x   x 1   Lời giải x  x  2 x  11x   Điều kiện x  1 Phương trình cho tương đương với x 1 x 1 x  11x  x  x  3x  x2  x  2 x  11x     nên đặt t  2t  Suy Ta có x 1 x 1 x 1 x 1 x 1  x2  4x    x2  4x       5  t  2t  3    t  1 2t      x 1 x 1        x  x   x  13x  1   x  1  5; 1  5; Đối chiếu điều kiện ta thu hai nghiệm kể Bài toán 299 Giải phương trình x   3x  x  12  1  5 2x   2x    x   Lời giải x  3 x  x  15 5 2x  2x  3 x  x  15 x2  x  x2  3x  x  15    nên đặt t  3t  Chú ý 2x  2x  2x  2x  2x  Ta thu phương trình  x   x   t  3t      t  1 3t       1  5   x   x   Điều kiện x   Phương trình cho tương đương   x  x  3x  10 x  24    x  0; x  Đối chiếu điều kiện ta có hai nghiệm x  0; x   2x    Bài toán 300 Giải phương trình  x    x    x   7 x   x2   Lời giải x  x  x  13x  11 7 Điều kiện x  2 Phương trình cho tương đương với x2 x2 3x  13 x  11 x  3x  x  x2  3x  3x  13 x  11    Do đặt t   4t  Để ý x2 x2 x2 x2 x2 Phương trình cho trở thành  x  3x   x  x   t  4t  3    t  1 4t       1  7  x2  x2     x  x  1 x  19 x  18    x  1  2; x  1  2; x  19  73 19  73 ;x  8 So sánh với điều kiện ta bốn nghiệm 10  x  x    22 Bài tốn 301 Giải phương trình  x    x 3 x3   x   CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM  E1 F5 QN ĐỒN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ 107 Lời giải x2  5x  x   22 Điều kiện x  3 Phương trình cho tương đương x 3 x3 5x  x  x2 1 x  x2  5x  x     ; đặt t  5t  Ta thu Dễ nhận thấy x 3 x3 x3 x3 x3  x    x2   t  5t  1  22   t   5t  11        11   x3  x     x  x  1 x  11x  38   x   2; x   Vậy phương trình ban đầu có nghiệm x   2; x    2  Bài tốn 302 Giải phương trình    x    3x  10 x     x    x2 Lời giải x  3x  10 x  2 Điều kiện x  2 Phương trình cho tương đương với x   x  22 3x  10 x   x   x  x  x 1 x  10 x     Đặt Chú ý t   t 2  2 x2  x2  x  2  x  2  x  2 t  Ta thu t  t      t  1  t  t  3    t  t    Phương trình t  t   vơ nghiệm   11   t   x   x   x  (Vô nghiệm) Vậy phương trình cho vơ nghiệm   Bài tốn 303 Giải phương trình  x  22 x  19    1  1  x   x    x 1  Lời giải x  22 x  19 x  7 Điều kiện x  1 Phương trình cho tương đương với x2  x  x  2 x2 x  22 x  19 x  22 x  19  x   3x  x   4   nên đặt t   4t  Để ý  x 1 x2  x  x2  x  x 1  x  2x 1  Ta thu t  t  4t  3    t  1  4t  4t       x   x   x  (Vô nghiệm)  2t  1  6  Kết luận phương trình cho vơ nghiệm Bài tốn 304 Giải phương trình  x  3 13x  18 x  12   1  x   x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với  x  3  x2  x     x  x  1  1  x    2   x  3  x  3   x  1   1  x    CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM  E1 F5 QUÂN ĐỒN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ 108 Đặt x   u; x   v ta thu u  v u  u  3v   4v    u  v   u  uv  4v     2 u  uv  4v  Xét hai trường hợp xảy u  x    15  2  u  uv  4v    u  v   v   u  v  v    (Vô nghiệm)    v  2 x    u  v  x   2x   x  Kết luận phương trình cho có nghiệm x  Bài tốn 305 Giải phương trình  x  x  1 x  x  x  26 x  36    x  3  x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với  x  x  1  x2  x  1   x  32    x  33     Đặt x  x   u; x   v ta thu u  v u  u  4v   5v3  u  4uv  5v    u  v   u  5uv  5v     2 u  5uv  5v  Xét hai trường hợp xảy u   x  x    5  2   u  5uv  5v    u  v   v   u  v  v    (Vô nghiệm)   v  x    u  v  x  x   x   x   x  2; x   Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x  2; x   Bài tốn 306 Giải phương trình   x   3x  x  12 x  21   x  1  x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với    x  3  x  x  1   x  x     x  1  2    x  3  x  1   x  3    x  1     Đặt  x  u; x   v ta thu u  v u  3v  2u   5v   u  v   2u  2uv  5v     2  2u  2uv  5v  Xét hai trường hợp  x  1 u    2   2u  2uv  5v    u  v   v   u  v  v     2  v  x    u  v  x   x   x  x    x  1; x  Vậy phương trình đề có hai nghiệm x  1; x  CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM  E1 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ 109 Bài tập tương tự Giải phương trình bất phương trình sau tập hợp số thực  x  5 x3  x  x  11 x  x2  5x   2 x  x  x  10 x  x  20 x  50    x  5 3 x  2   x  2  x  2  x x2  3x   x  x  2x  x2  5x   x  x  x  14 x2  7x   x  x  x  17 3x2  x    x  3x  x  x  14 12 x  41x  35  x 1 x2  x  24  3x 18 x  297 x  1215  10 64  16 x  x 15 x  10 x  56  11 x 8 12 x  76 x  119 12 x  12  x2  6x  39  13 x  x  x  50  13  6x  x2  x  1 14   x  3x2  3x  5  x  1 6 x  15  x x  x  24 x  75 16  x  1 x  x  30 x  46    x  3 17  x   x  20 x  12 x  11   x  1 x  14 x  20 x  28  x4 x2  x  40 x  18 x  19  x 3 12 x  36 11x  10 x  127 20  x4 x2  6x  18 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM  E1 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ 110 III MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Nâng cao phát triển toán 8, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Nâng cao phát triển toán 9, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Toán nâng cao Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; NXB Giáo dục Việt Nam; 1999 Bài tập nâng cao số chuyên đề Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2006 Tài liệu chuyên toán: Đại số 10 – Bài tập Đại số 10 Đồn Quỳnh – Dỗn Minh Cường – Trần Nam Dũng – Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2010 Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến số tác giả; NXB Giáo dục Việt Nam; 2009 Tuyển tập tốn hay khó Đại số Nguyễn Đức Tấn – Đặng Đức Trọng – Nguyễn Cao Huynh – Vũ Minh Nghĩa – Bùi Ruy Tân – Lương Anh Văn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2002 10 Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, tập – tập Phan Đức Chính – Phạm Văn Điều – Đỗ Văn Hà – Phạm Văn Hạp – Phạm Văn Hùng – Phạm Đăng Long – Nguyễn Văn Mậu – Đỗ Thanh Sơn – Lê Đình Thịnh; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 1997 11 Bài giảng chuyên sâu Toán THPT: Giải toán Đại số 10 Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Mơn; NXB Hà Nội; 2011 12 Phương pháp giải phương trình bất phương trình Nguyễn Văn Mậu; NXB Giáo dục Việt Nam; 1994 13 Tốn bồi dưỡng học sinh phổ thơng trung học – 1; Đại số Hàn Liên Hải – Phan Huy Khải – Đào Ngọc Nam – Nguyễn Đạo Phương – Lê Tất Tôn – Đặng Quan Viễn; NXB Hà Nội; 1991 14 Phương trình hệ phương trình khơng mẫu mực Nguyễn Đức Tấn – Phan Ngọc Thảo; NXB Giáo dục Việt Nam; 1996 15 Chuyên đề bồi dưỡng Toán cấp ba; Đại số Nguyễn Sinh Nguyên; NXB Đà Nẵng; 1997 16 Giải toán Đại số sơ cấp (Dùng cho học sinh 12 chuyên, luyện thi đại học) Trần Thành Minh – Vũ Thiện Căn – Võ Anh Dũng; NXB Giáo dục Việt Nam; 1995 17 Những dạng toán điển hình kỳ thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng; Tập Bùi Quang Trường; NXB Hà Nội; 2002 18 Ơn luyện thi mơn Tốn THPT theo chủ đề; Tập một: Đại số lượng giác Cung Thế Anh; NXB Giáo dục Việt Nam; 2011 19 Phương pháp giải toán trọng tâm Phan Huy Khải; NXB Đại học Sư phạm; 2011 20 Các giảng luyện thi mơn Tốn; Tập Phan Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất; NXB Giáo dục Việt Nam; 1993 21 Hệ phương trình phương trình chứa thức Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2006 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM  E1 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ 111 22 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT Chuyên trực thuộc đại học THPT Chuyên tỉnh thành 23 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT hệ đại trà địa phương toàn quốc 24 Đề thi học sinh giỏi mơn tốn khối đến khối 12 cấp 25 Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng mơn Tốn (chính thức – dự bị) qua thời kỳ 26 Đề thi Olympic 30 tháng Toán học khối 10, khối 11 tỉnh miền Trung Nam (1995 – 2013) 27 Các tạp chí tốn học: Tạp chí Tốn học tuổi trẻ; Tạp chí Tốn tuổi thơ THCS; Tạp chí Kvant 28 Các diễn đàn tốn học: Boxmath.vn; Math.net.vn; Mathscope.org; Onluyentoan.vn; Diendantoanhoc.net; Math.net.vn; K2pi.net; Mathlink.ro; 29 Một số trang mạng học tập thông qua facebook; twiter; CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM  E1 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ 112 THÂN THỂ TẠI NGỤC TRUNG TINH THẦN TẠI NGỤC NGOẠI DỤC THÀNH ĐẠI SỰ NGHIỆP TINH THẦN CÁNH YẾU ĐẠI CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM  E1 F5 QN ĐỒN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ 113 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM  E1 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH ... LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT... VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) Trong chương trình. .. BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 1) _ Vậy bất phương trình cho

Ngày đăng: 31/10/2014, 11:14

Xem thêm: lí thuyết phương trình, bất phương trình đại số bậc cao, phân thức hữu tỉ (phần 1), lí thuyết phương trình, bất phương trình đại số bậc cao, phân thức hữu tỉ (phần 1)

lí thuyết phương trình, bất phương trình đại số bậc cao, phân thức hữu tỉ (phần 1)

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan