LỜI CẢM ƠN Lời em xin bày tỏ lịng biết ơn tới ban chủ nhiệm khoa Tốn Lý - Tin, thầy cô tổ môn Giải tích, Phịng QLKH & QHQT, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc, bạn sinh viên lớp K51 ĐHSP Toán đặc biệt thầy giáo - Thạc sĩ Vũ Việt Hùng tận tình tạo điều kiện, quan tâm, giúp đỡ em suốt q trình thực khóa luận Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên quý thầy cô, bạn bè tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành khóa luận Khóa luận em khơng tránh khỏi thiếu sót kết chưa mong muốn Em mong nhận bảo, đóng góp ý kiến thầy, cô giáo bạn sinh viên Khoa Tốn - Lý - Tin để khóa luận hoàn thiện Sơn La, tháng 04 năm 2014 Người thực Nguyễn Thị Thúy Hằng Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm nửa liên tục 1.2 Hàm điều hòa 11 1.3 Hàm chỉnh hình 18 Hàm điều hòa 2.1 21 Hàm điều hòa 21 2.1.1 Định nghĩa 21 2.1.2 Tính chất 22 2.1.3 Tính chất giá trị trung bình 23 2.1.4 Tính hàm điều hòa 24 2.1.5 Một số tính chất khác 26 2.2 Dãy hàm điều hòa 29 2.3 Định lý biểu diễn hàm điều hòa Rm 39 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 53 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết hàm điều hịa tính chất cho ta nhiều ứng dụng phải kể đến tính chất bất biến qua hình cầu tâm bán kính bất kỳ, tính chất giá trị trung bình, ngun lý cực đại (Giá trị cực đại cực tiểu miền đạt biên), Trong giải tích phức, hàm điều hịa có vai trị quan trọng việc nghiên cứu hàm chỉnh hình, đặc biệt lý thuyết vị phức Việc định nghĩa xét tính chất hàm điều hịa phải thơng qua hàm nửa liên tục Ngồi tính chất đặc trưng hàm điều hịa, hàm điều hịa cịn có tính chất quan trọng khác, đặc biệt định lý biểu diễn hàm điều hòa Ở trường ĐH Tây Bắc nghiên cứu lớp hàm điều hòa chưa nghiên cứu cách cụ thể, gây khó khăn cho sinh viên tìm tài liệu tham khảo, đặc biệt sinh viên lớp Toán, khoa Toán - Lý Tin Xuất phát từ lí em mạnh dạn nghiên cứu khóa luận: Bước đầu nghiên cứu lớp hàm điều hịa Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích khóa luận nghiên cứu số tính chất hàm điều hòa dưới, dãy biểu diễn hàm điều hịa Từ đó, nhằm cung cấp tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên ngành Toán trường Đại học Tây Bắc Rèn luyện khả nghiên cứu khoa học thân 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số tính chất hàm điều hịa bao gồm tính chất bản, giá trị trung bình Trình bày dãy hàm điều hịa định lý biểu diễn hàm điều hòa Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu tính chất hàm điều hòa số tính chất liên quan khác Tìm hiểu số tính chất liên quan dãy hàm điều hòa dưới, biểu diễn hàm điều hòa Phạm vi, phương pháp nghiên cứu Trong khóa luận tập chung vào định nghĩa, phân tích rõ vài tính chất tính chất hay gặp hàm điều hịa như: ngun lý cực đại, tính chất giá trị trung bình, tính hàm điều hịa dưới, hàm điều hịa tính lồi, Ngồi ra, em cịn phân tích số tính chất dãy hàm điều hòa dưới, biểu diễn hàm điều hòa Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết, hỏi ý kiến chuyên gia, Seminar, thảo luận Cấu trúc đề tài Với mục đích khóa luận chia thành chương với nội dung sau đây: Chương nhắc lại số kiến thức mở đầu để người đọc theo dõi dễ dàng phần sau Hàm nửa liên tục, hàm điều hịa, hàm chỉnh hình Chương hai trình bày vấn đề lý thuyết liên quan đến hàm điều hòa dưới, định nghĩa, tính chất bản, số tính chất khác hàm điều hòa dưới, dãy hàm điều hòa dưới, biểu diễn hàm điều hòa Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương cung cấp cho ta kiến thức hàm nửa liên tục, hàm điều hòa hàm chỉnh hình để người đọc dễ dàng theo dõi nội dung sau khóa luận 1.1 Hàm nửa liên tục Cho x ∈ Rm điểm không gian Euclid m chiều, E tập Borel f (x) hàm xác định E cho f (x) = ∞ Tập M (f, x, ) := sup{f (x ) : |x − x | < , x ∈ E} (1.1.1) Hàm f ∗ (x) := lim M (f, x, ) gọi hàm quy hóa nửa liên tục →0 f (x) Mệnh đề 1.1.1 Các khẳng định sau (1) f (x) f ∗ (x) (2) (αf )∗ (x) = αf ∗ (x) (3) (f ∗ )∗ (x) = f ∗ (x) (f1 + f2 )∗ (x) (4) (max (f1 , f2 ))∗ (x) (min (f1 , f2 ))∗ (x) ∗ ∗ f1 (x) + f2 (x) ∗ ∗ max (f1 , f2 )(x) ∗ ∗ (f1 , f2 )(x) Chứng minh (1) Hiển nhiên f (x) f ∗ (x) (2) Theo định nghĩa f ∗ (x), ta có: (αf )∗ (x) = lim sup{(αf )(x ) : |x − x | < , x ∈ E} →0 (αf )∗ (x) = lim sup{αf (x ) : |x − x | < , x ∈ E} →0 (αf )∗ (x) = α lim sup{f (x ) : |x − x | < , x ∈ E} →0 = αf ∗ (x) Vậy (αf )∗ (x) = αf ∗ (x) (3) Ta có: (f ∗ )∗ (x) = lim sup{f ∗ )(x ) : |x − x | < , x ∈ E} →0 = lim sup{lim sup{f (x ) : |x − x | < , |x − x | < ; x , x ∈ E} →0 →0 = lim sup{f (x ) : |x − x | < , x ∈ E} →0 = f ∗ (x) Mặt khác: (f1 + f2 )∗ (x) = lim sup{(f1 + f2 )(x ) : |x − x | < , x ∈ E} →0 = lim sup{f1 (x ) + f2 (x ) : |x − x | < , x ∈ E} →0 lim sup{f1 (x ) : |x − x | < , x ∈ E} →0 + lim sup{f2 (x ) : |x − x | < , x ∈ E} →0 Khi ta (f1 + f2 )∗ (x) ∗ ∗ f1 (x) + f2 (x) Tương tự với chứng minh (4) Hàm f (x) gọi nửa liên tục x f ∗ (x) = f (x) Lớp hàm liên tục E ký hiệu C + (E) Hàm f (x) gọi nửa liên tục −f (x) hàm nửa liên tục Ký hiệu f ∈ C − (E) Mệnh đề 1.1.2 (Hàm đặc trưng nửa liên tục) Cho G ⊂ Rm tập mở Khi hàm đặc trưng χG hàm nửa liên tục Rm Nếu F ⊂ Rm tập đóng χF nửa liên tục Mệnh đề 1.1.3 Nếu f ∈ C + ∩ C − f hàm nửa liên tục Chứng minh ∀ > cho trước Do f ∈ C + ∩ C − nên ta có: f ∗ (x) = lim sup{f (x ) : |x − x | < } →0 −(−f )∗ (x) = lim inf{f (x ) : |x − x | < } →0 Do f (x) ∈ C + x nên f ∗ (x) = f (x) Suy |f (x) − f (x )| < Vậy f (x) liên tục Những mệnh đề sau cho ta vài phép tính lớp C + Mệnh đề 1.1.4 (Tính chất C + ) (1) Nếu f ∈ C + (E) αf ∈ C + (E), ∀α (2) Nếu f1 , f2 ∈ C + f1 + f2 , max (f1 , f2 ), (f1 , f2 ) ∈ C + Định lý 1.1.1 Hàm f ∈ C + GA tập mở, ∀A ∈ R Chứng minh Cho f (x) = f ∗ (x), x ∈ G Khi đó: {f (x) < A} ⇒ {f ∗ (x) < A} ⇒ {M (f, x, ) < A}, ∀ đủ bé Do đó, lân cận x V ,x := {x : |x − x | < } ⊂ GA Ngược lại, tập GA mở Đặt A = f (x0 ) + δ, δ > Do δ = ⇒ f ∗ (x0 ) = f (x0 ) Cho F tập đóng Tập F A := {x ∈ F : f (x) A} Hệ 1.1.1 f ∈ C + F A tập đóng với A Ta định nghĩa tập M (f, K) = sup{f (x) : x ∈ K}, K - compact Định lý 1.1.2 (Weierstrass) Cho K ⊂ Rm tập compact f ∈ C + (K) Khi ∃x0 ∈ K cho: f (x0 ) = M (f, K) Nghĩa f đạt cận trên tập compact Chứng minh Tập Kn := {x ∈ K : f (x) M (f, K) − } n Kn tập đóng Hệ (1.1.1), khác rỗng định nghĩa M (f, K) giao chúng khác rỗng tập: Kmax := {x ∈ K : f (x) Nghĩa ∃x0 ∈ K cho f (x0 ) M (f, K)} M (f, K) M (f, K) với x ∈ K Bất đẳng thức đối f (x0 ) Mệnh đề 1.1.5 (Tính liên tục phải M (f, K)) Nếu fn ∈ C + (K) fn ↓ f M (f, K) ↓ M (f, K) Chứng minh Ta có: lim M (fn , K) := M n→∞ tồn Tập: Kn := {x ∈ K : fn (x) M } Giao Kn đóng, khác rỗng tập khác rỗng có dạng: Kn = {x : f (x) M } n Do M (f, K) M Bất đẳng thức lại hiển nhiên Định lý 1.1.3 f ∈ C + (K) tồn dãy hàm liên tục {fn } fn ↓ f Chứng minh Điều kiện đủ A Cho fn ∈ C + (K) fn ↓ f Tập Kn := {x ∈ K : fn (x) A} dãy tập đóng khác rỗng Nếu tập K A := {x : f (x) A} khác rỗng K tập đóng n A Kn = K A + Do f ∈ C (K) Hệ (1.1.1) Điều kiện cần Tập: fn (x, y) := f (y) − n|x − y| Các dãy hàm có tính chất sau: a) Đơn điệu giảm n  f (x) x = y lim fn (x, y) = n→∞ −∞ x = y b) Cố định n, hàm fn liên tục x, thống với y |fn (x, y) − fn (x , y)| n|x − x | c) fn nửa liên tục y Từ Mệnh đề (1.1.5) c) suy lim My (fn (x, y), K) = My ( lim fn (x, y), K) n→∞ n→∞ Từ b) suy hàm fn (x) := My (fn (x, y), K) liên tục Từ a) suy hàm cho đơn điệu giảm tới f (x) Xét họ hàm nửa liên tục {ft : t ∈ T ⊂ (0, ∞)} Dễ dàng chứng minh mệnh đề sau: Mệnh đề 1.1.6 Nếu ft ∈ C + inf ft (x) ∈ C + t∈T Tập fT (x) := sup ft (x) Hàm fT nửa liên tục T hữu hạn ft t∈T liên tục Không thể thay sup định nghĩa fT sup, T T0 T0 hữu hạn đếm Tuy nhiên bất đẳng thức sau Định lý 1.1.4 (Bổ đề Choquet’s) Tồn tập đếm T0 ⊂ T cho: (sup ft )∗ (x) = (sup ft )∗ (x) T0 T Chứng minh Cho {xn } tập đếm trù mật Rm hình cầu Kn,j := {x : |x − xn | < j} j → Khi phủ điểm x ∈ Rm vô hạn Đánh lại số ta dãy {Kl : l ∈ N}, l tồn định nghĩa supKl , x0 ∈ Kl Khi đó: sup fT (x) fT (x0 ) + Kl 2l (1.1.2) Từ định nghĩa sup, tồn tl cho: T fT (x0 ) < ftl (x0 ) + 2l Do đó: (1.1.3) 2l Từ bất đẳng thức (1.1.2) (1.1.3) l, tồn tl cho: fT (x0 ) < sup{ftl (x) : x ∈ Kl } + sup{ftl (x) : x ∈ Kl } + l Bây giờ, tập T0 = {tl } Rõ ràng fT0 (x) fT (x) đó: sup{fT (x) : x ∈ Kl } ∗ fT0 (x) ∗ fT (x) (1.1.4) (1.1.5) Ta chứng minh bất đẳng thức đối Cho x ∈ Rm , chọn dãy {Klj } dần tiến tới x Từ (1.1.4) ta có: ∗ fT (x) lim sup sup fT (x ) j→∞ x ∈Klj lim sup sup ftlj (x ) j→∞ x ∈Klj lim sup sup fT0 (x ) j→∞ x ∈Klj ∗ = fT0 (x) Suy ra: ∗ fT (x) ∗ fT0 (x) 10 (1.1.6) Cho m hàm m (x − y) hàm Green Rm Ta biểu diễn: G(x, y, Rm ) := m (x − y) = −|y|2−m H(|x|/|y|, cos γ, m) với cos γ = (x0 , y ) Cho m = hàm −H(|x|/|y|, cos γ, 2) đóng vai trị quan trọng Định lý 2.3.1 Ta có: ∞ m−2 m G(x, y, R ) = − Ck k=0 |x|k (cos γ) k+m−2 |y| (2.3.22) với |x| < |y| hàm: m−2 Dk (x, y) := Ck |x|k (cos γ) k+m−2 |y| (2.3.23) hàm điều hòa x y, y = Chứng minh Khai triển (2.3.22) từ (2.3.21) Hàm G(zx, y, Rm ) điều hòa với |x| < |y| z < 1, ψ ∈ D(Kr ), r := |y| hàm m g(z) := G(z•, y, R ), ∆ψ = 0, z ∈ (0, 1) Hàm g chỉnh hình ∀z ∈ {|z| < 1}, G(zx, y, Rm ) hàm chỉnh hình nên g(z) ≡ nghĩa tất hệ số Từ khai triển (2.3.22) ta thấy khai triển G(zx, y, Rm ) Dk (x, y) Hơn nữa: Dk (•, y), ∆ψ = với ψ ∈ D(Kr ) Do Dk (•, y) hàm điều hịa Theo Định lý (1.2.1) hàm điều hịa thơng thường với |x| < 1/2|y| m−2 Ck (cos γ) đa thức bậc k với (x0 , y ) Do đó: Dk (x, y) đa thức x điều hòa với x Ta chứng minh hàm điều hòa y Từ Định lý (1.2.11) hàm Dk (y ∗ , x0 )|y|2−m (* thay cho phép lấy nghịch đảo) hàm điều hòa Ta có: Dk (y ∗ , x0 )|y|2−m = |y|2−m Dk (y/|y|2 , x0 ) = Dk (x0 , y) 41 Tập: p m−2 Ck (cos γ)z k H(z, cos γ, m, p) = H(z, cos γ, m) − (2.3.24) k=1 Định lý 2.3.2 Khẳng định sau đúng: |H(z, cos γ, m, p)| với |z| với |z| |H(z, cos γ, m, p)| 2, −Π < argz A1 (m, p)|z|p+1 (2.3.25) A2 (m, p)|z|p (2.3.26) Π Nhân tử |z|p thay log |z| m = 2, p = Chứng minh Xét hàm φ(z) := H(z, cos γ, m, p)z −p−1 hàm chỉnh hình hình trịn {|z| 1/2} Sử dụng ngun lý cực đại (2.3.25) đó: A1 (m, p) = 2p+1 max |φ(z)| |z|=1/2 Để chứng minh (2.3.26) ta xét hàm ψ(z) := H(z, cos γ, m, p)z −p chỉnh hình miền D := {z : |z| 2, −Π < argz Π} liên tục bao đóng D Sử dụng nguyên lý cực đại (2.3.26) ta được: A2 (m, p) = 2p max |ψ(z)| z∈∂D Tập Gp (x, y, m) := −|y|2−m H(|x|/|y|, cos γ, m, p) cos γ = (x0 , y ) Ta có đẳng thức: p m Gp (x, y, m) = Gp (x, y, R ) + Dk (x, y) k=0 Ví dụ 2.3.1 Hàm Gp (x, y, m) hàm Green Rm tiến vô cực không âm Cho m = biểu diễn dạng: Gp (z, ς, 2) = log |E(z/ς, p)| z z Trong E(z/ς, p) := (1 − )exp + ς ς hạt nhân sơ cấp 42 z ς + + p z ς p Ta gọi Định lý 2.3.3 Khẳng định sau đúng: |Gp (x, y, m)| |x|p+1 A(m, p) p+m−1 |y| (2.3.27) |Gp (x, y, m)| |x|p A(m, p) p+m−2 |y| (2.3.28) với |x| < 2|y| với |y| < 2|x| Gp (x, y, m) |x|p |x|p+1 , A(m, p) |y|p+m−1 |y|p+m−2 ∀x, y ∈ Rm , A(m, p) không phụ thuộc x, y Với m = 0, p = ta có: Gp (z, ς, 2) A(0, 2) log(1 + |z| |ς| (2.3.29) Chứng minh Đẳng thức (2.3.27) có trực tiếp từ (2.3.28), (2.3.26) (2.3.25) Do |x| Giả sử |y| 2, ta có: Gp (x, y, m) |x|/|y| (2.3.29) có từ (2.3.28) Các số hạng (2.3.24) bị chặn với 1/2 z< |x|p |x|p+1 , A(m, p) |y|p+m−1 |y|p+m−2 m−2 A1 (m, p)|y| chứng minh từ điều kiện Trường hợp m = rõ ràng Cho µ ∈ M(Rm ) Ta giả sử giá khơng chứa gốc tọa độ Ta nói f (x, y)dµy hội tụ x ∈ D nếu: Rm f (x, y)dµy → 0(R → ∞) sup x∈D |y|>R Hơn nữa, tích phân phép lấy vô hạn với vài x hữu hạn Cho µ tương tự p Tập: Π(x, µ, p) := Gp (x, y, m)dµy Rm 43 (2.3.30) gọi tắc Nói riêng, cho m = µ := n phân bố Nghĩa có khối lượng đơn vị tập trung vào tập điểm rời rạc {zj : 1, 2, } Khi đó: ∞ Π(z, n, p) = log z E( , p) zj j=1 ∞ Trong đó: z E( , p) tích Weierstrass tắc zj j=1 Định lý 2.3.4 Thế vị tắc (2.3.30) hội tụ miền bị chặn Nó hàm điều hịa với µ độ đo Riesz Chứng minh Cho |x| < R0 |y| > R Từ ước lượng hạt nhân sơ cấp Ta có: |y|−p−m+1 dµy A(m, p)|x|p+1 Gp (x, y, m)dµy |y|>R |y|>R ∞ t−p−m+1 dµ(t) = A(m, p)|x|p+1 R Lấy tích phân phần, ta được: ∞ ∞ µ(t) dt tp+m µ(R) t−p−m+1 dµ(t) = p+m−1 + (p + m − 1) R R R Tích phân cuối hội tụ từ tương tự µ p Hơn nữa, hai số hạng tiến tới R → ∞ Do đó: Gp (x, y, m)dµy → sup |x|R R0 cố định R → ∞ Nghĩa tắc hội tụ tập bị chặn Cho biểu diễn vị tắc với R > R0 : p m Π(x, µ, p) = G(x, y, R )dµy + |y| không nguyên u = u1 − u2 ∈ δSH(Rm ) với ρT [u] = ρ cho νu = µ1 − µ2 tương ứng đó: 1) ρ[νu ] = max(ρ[µ1 ], ρ[µ2 ]) = ρ 2)A1 σT [u, ρ(r)] ∆[νu , ρ(r)] ∆[µ1 , ρ(r)] + ∆[µ2 , ρ(r)] A2 σT [u, ρ(r)] Khi A1 = A1 (m, ρ) ρ(r) thứ tự tùy ý cho ρ(r) → ρ r → ∞ Ta chứng minh định lý sau 46 Định lý 2.3.9 Cho Π(x, µ, p) tắc khơng ngun ρ[µ] := [ρ] cho ρ(r) Khi ú: [(ã, à, p), (r)] A(m, , p)∆[µ, ρ(r)] (2.3.34) Chứng minh Ta giả sử đa thức ∆[µ, ρ(r)] < ∞ Từ giả thiết µ(t) = 0, < t < c, c > Ta có đẳng thức: µ(t)t−ρ(t)−m+2 c ∀t ∈ (0, ∞), c > khơng phụ thuộc vào t Tập: ∞ µ(rt) min(1, 1/t) µ(t) ρ(r)+m−2 dt tp+m−1 r I(r) := c/r T nh lý (2.3.5) ta cú: [(ã, à, p), (r)] = lim sup r M (r, (ã, à, p)) r(r) A(m, p) lim sup I(r) r→∞ (2.3.35) Chọn r cho: sup r>r µ(r ) (r )ρ(r )+m−2 ∆[µ, ρ(r)] + Ta có: ∞ I(r) = µ(rt) (rt)ρ(rt) min(1, 1/t) dt tp+1 rρ(r)+m−2 rρ(r) c/r ∞ sup c/r t µ(rt) rρ(r)+m−2 (rt)ρ(rt) min(1, 1/t) dt + tp+1 rρ(r) c/r 1/ + sup t c ∞ .dt + sup 1/ .dt t ∞ 1/ (rt)ρ(rt) min(1, 1/t) dt + (∆[µ, ρ(r)] + ) tp+1 rρ(r) c/r Hàm ρ(t) := 1/ ∞ .dt + c .dt 1/ min(1, 1/t) thỏa mãn điều kiện Định lý Goldberg’s với tp+1 47 p + − ρ < δ < < γ < p + − ρ Lấy giới hạn ta có: 1/ lim sup I(r) tρ−p dt + (∆[µ, ρ(r)] + ) c r→∞ tρ−p−1 min(1, 1/t)dt tρ−p−2 dt +c 1/ Lấy giới hạn → ta có (2.3.35) ∞ tρ−p−1 min(1, 1/t)dt A(m, p)[à, (r)] [(ã, à, (r))] Chng minh nh lý (2.3.8) Đẳng thức ρ(νu ) ρ đẳng thức thứ hai Định lý Jensen Ta chứng minh bất đẳng thức ngược bên trái Từ ρ không nguyên, q < ρ, từ Định lý Brelot - Hadamard Hơn M (r, Φq ) = o(rρ ) T (r, u) T (r, (ã, à1 , p)) + T (r, (ã, à2 , p)) + o(r ) Do vy: T [u] T [u, (r)] max([(ã, à1 , p)], [(ã, à2 , p)]) max(T [(ã, à1 , p), (r)], T [(ã, µ2 , p), ρ(r)]) Từ Định lý (2.3.9) ta có: ρT [u] σT [u, ρ(r)] max(ρ[µ1 ], ρ[µ2 ]); A(m, ρ, p) max(∆[µ1 , ρ(r)], ∆[µ2 , ρ(r)]) = A(m, ρ, p)∆[|ν|, ρ(r)] Ta có tập A := A−1 (m, ρ, p) ta có vế phải (2) 48 Cho u ∈ δSH(Rm ) ρ := ρT [u] số nguyên Ta biểu diễn hàm u sau: u(x) = Π(x, ν, ρ) + φρ (x) (2.3.36) φρ (x) đa thức điều hịa bậc tối đa ρ Thật vậy, biểu diễn thu từ Định lý (2.3.7) phép lấy cộng trừ tương ứng φkj (x) := Dkj (x, y)d(µj )y ; j = 1, Rm với pj < kj ρ Mọi φkj (x) đa thức điều hòa bậc tối đa ρ Tập: ΠR (x, ν, ρ−1 ) := < Gρ−1 (x, y, m)dνy (2.3.37) Gρ (x, y, m)dνy (2.3.38) Dρ (x, y)dνy (2.3.39) |y| |y| R δR (x, ν, ρ) := |y| T (r, λ, >) := T (r, ΠR (•, ν, ρ)) > T (r, λ, ) A  dt + m−1  rm−2 tρ+m−1 r (2.3.41) λ  λ −1  |ν|(rt) min(1, t )  dt rm−2 tρ+m−2   ∞ −1 |ν|(λt) min(1, t ) |ν|(r)  dt m−1 +A  m−2 r tρ+m−2 r T (r, λ, ∞ T (r, Π1 ) M (r, Π1 ) µ1 (r) min(1, t−1 ) µ1 (rt) dt + m−1 tρ+m−1 rm−2 r R/r Ta chứng minh (2.3.41) T (r, Πr (•, ν, ρ)) > Tập σ[Π >, ρ(r)] := lim sup r→∞ rρ(r) T (r, Πr (•, ν, ρ)) < σ[Π , ρ(r)], σ[Π ) > A |ν|(rt) |ν|(r) dt + m−1 rm−2 tρ+m r Tương tự lập luận Định lý (2.3.9) với µ := |ν| p := ρ, ta có: ∞ σ[Π >, ρ(r)] t−2 dt A∆[|ν|, ρ(r)] Trường hợp khác ta có từ (2.3.42) T (r, Πr (•, ν, ρ−1 )) = T (r, 1, với |y| = Khi ta có: T (r, u) T (r, Πr (•, νu , ρ−1 )) + T (r, Πr (•, νu , ρ)) + M (r, δ) + o(rρ−1 ) < > Chia hai vế đẳng thức cho rρ(r) lấy giới hạn Từ Định lý (2.3.13) ta có: σT [u, ρ(r)] A max(∆[|ν|, ρ(r)], ∆δ [u, ρ(r)]) = A2 Ω[u, ρ(r)] (2.3.45) Với A2 = A(m, ρ) viết (2.3.45) dạng: δr (ry, u, ρ) = u(ry) − Πr (ry, νu , ρ − 1) − Πr (ry, νu , ρ) + o(rρ−1 ) < > Ta có: T (r, δr (•, u, ρ)) T (r, u)+T (r, Πr (•, νu , ρ−1))+T (r, Πr (•, νu , ρ))+o(rρ−1 ) < > Từ δR (•, u, ρ) hàm điều hòa nhất, M (r, δR ) 2m−1 T (2r, δR ) = 2m−1+ρ T (r, δR ) Do ta có đẳng thức: ∆δ [u, ρ(r)] σT [u, ρ(r)] + 2A∆[|ν|, ρ(r)] 52 Từ Định lý Jensen ta có: Ω[u, ρ(r)] A−1 σT [u, ρ(r)] với A1 = A1 (m, ρ) 53 KẾT LUẬN Khóa luận giải số vấn đề lý thuyết lớp hàm điều hòa tập trung vào nội dung sau: Hệ thống hóa lại kiến thức biết hàm nửa liên tục, hàm điều hòa hàm chỉnh hình Các kiến thức cần thiết cho việc theo dõi khóa luận Khóa luận tập chung vào làm rõ tính chất hay gặp hàm điều hịa như: tính chất bản, giá trị trung bình số tính chất khác thể Định lý (Jensen - Privalov), nguyên lý cực đại, tính hàm điều hịa Phần cuối khóa luận phân tích lý thuyết vài tính chất dãy hàm điều hòa định lý biểu diễn hàm điều hịa Trong q trình thực khóa luận, em cố gắng hoàn thành cách tốt có thể; sâu phân tích, chứng minh nhằm giúp người đọc có nhìn tổng qt vấn đề nghiên cứu Tuy nhiên, hạn chế thân thời gian có hạn, chắn khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận xét đóng góp chân thành từ thầy bạn để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 54 Tài liệu tham khảo [2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Hàm biến phức(2001), NXB Đại học quốc gia Hà Nội [1] Vladimir Azarin (2008), Growth Theory of Subharmonic Functions, BirKhauser Basel [2] Sheldon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey (2000), Harmonic Function theory, Verlag New York [3] LTCC course on Potential Theory, Spring 2011 Boris Khoruzhenko1, QMUL 55 ... viên lớp Toán, khoa Toán - Lý Tin Xuất phát từ lí em mạnh dạn nghiên cứu khóa luận: Bước đầu nghiên cứu lớp hàm điều hịa Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích khóa luận nghiên. .. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số tính chất hàm điều hịa bao gồm tính chất bản, giá trị trung bình Trình bày dãy hàm điều hòa định lý biểu diễn hàm điều hòa 3 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu tính... chất đặc trưng hàm điều hịa, hàm điều hịa cịn có tính chất quan trọng khác, đặc biệt định lý biểu diễn hàm điều hòa Ở trường ĐH Tây Bắc nghiên cứu lớp hàm điều hòa chưa nghiên cứu cách cụ thể,