Đang tải... (xem toàn văn)
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên cho em gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo GVC TS. Hoàng Ngọc Anh người thầy đã trực tiếp chỉ bảo, hướng dẫn tận tình cho em trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, để em hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp của mình. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến BCN khoa Toán Lý Tin, các thầy cô giáo trong khoa; phòng Đào tạo Đại học ; Thư viện Trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp của mình. Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô giáo dạy toán trường THCS Yên Lương, trường THPT Phạm Văn Nghị, gia đình, bạn bè đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện để em hoàn thành khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGÔ THỊ THU HÀ SỬ DỤNG ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY ĐỂ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƠN LA, NĂM 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGÔ THỊ THU HÀ SỬ DỤNG ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY ĐỂ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn: GVC-TS Hoàng Ngọc Anh SƠN LA, NĂM 2014 ̉ ̀ LƠI CAM ƠN Lời đầ u tiên cho em gửi lời cảm ơn sâu sắ c t ới thầy giáo GVC - TS Hoàng Ngọc Anh - người thầ y đã trực tiế p chỉ bảo , hướng dẫn tận tình cho em suố t quá trình nghiên cứu và thực hiê ̣n khóa luận , để em hoàn thành tốt khóa luận tố t nghiê ̣p của mình Em xin gửi lờ i cảm ơn chân thành đ ến BCN khoa Toán - Lý - Tin, các thầy cô giáo khoa; phòng Đào tạo Đại học ; Thư viê ̣n Trường Đại học Tây Bắ c đã tạo điề u kiê ̣n giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tố t nghiê ̣p của mình Đồng thời e m xin gửi lời cảm ơn chân thành đế n thầ y cô giáo dạy toán trường THCS Yên Lương, trường THPT Phạm Văn Nghi ̣, gia đình, bạn bè đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện để em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng năm 2014 Người thực hiê ̣n Ngô Thi ̣ Thu Hà MỤC LỤC ̉ MƠ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiêm vu ̣ nghiên cƣu ̣ ́ Giả thuyết khoa học Đối tƣợng nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cƣu ́ Đóng góp của khóa luâ ̣n Cấ u trúc luâ ̣n văn ́ ́ ́ Chƣơng 1: MỘT SÔ KIÊN THƢC LIÊN QUAN 1.1 Vành đa thức 1.1.1 Vành đa thức biến 1.1.2 Vành đa thức nhiều biến 1.2 Quan hệ chia hết miền nguyên 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính chất 1.2.3 Các phần tử liên kết, phần tử bất khả quy miền nguyên 1.3 Vành Gauss, vành chính, vành Ơ clit 1.3.1 Vành Gauss 1.3.2 Vành 1.3.3 Vành Ơclit 1.4 Đa thức lấy hệ tử trƣờng 1.4.1 Tính chất Ơclit vành đa thức lấy hệ tử trƣờng 1.4.2 Đa thức bất khả quy trƣờng 1.5 Đa thức bất khả quy trƣờng số 1.5.1 Đa thức bất khả quy Z Q 1.5.2 Đa thức bất khả quy R 1.5.3 Đa thức bất khả quy C Chƣơng 2: BÀI TỐN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Một số phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử 10 2.1.1 Phƣơng pháp đặt nhân tử chung 10 2.1.2 Phƣơng pháp dùng hẳng đẳng thức 10 2.1.3 Phƣơng pháp nhóm hạng tử 11 2.1.4 Phƣơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử 13 2.1.5 Phƣơng pháp thêm bớt hạng tử 14 2.1.6 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ 15 2.1.7 Phƣơng pháp hệ số bất định 17 2.1.8 Phƣơng pháp xét giá trị riêng 18 2.1.9 Phối hợp nhiều phƣơng pháp 19 2.2 Ứng dụng toán phân tích đa thức thành nhân tử phổ thông 20 2.2.1 Ứng dụng vào toán rút gọn 20 2.2.2 Ứng dụng vào toán chứng minh đẳng thức, chứng minh tính chia hết 21 2.2.3 Ứng dụng vào giải phƣơng trình 24 2.2.4 Ứng dụng vào giải hệ phƣơng trình 33 2.2.5 Ứng dụng tính nguyên hàm, tích phân 36 2.2.6 Ứng dụng tính giới hạn vô định 44 2.2.7 Ứng dụng để xét dấu biểu thức 46 2.2.8 Ứng dụng vào việc khảo sát hàm số 48 ́ KÊT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 ̉ MƠ ĐẦU Lý chọn đề tài Mô ̣t nhƣ̃ng mu ̣c tiêu bản của nhà trƣờng phổ thông đào tạo giáo dục thế ̣ ho ̣c sinh trở thành nhƣ̃ng ngƣời mới phát triể n toàn diê ̣n , có đầy đủ phẩm chất đạo đức , lƣ̣c , trí tuệ để đáp ứng những yêu cầu thời đa ̣i Muố n giải quyế t thành công nhiê ̣m vu ̣ quan tro ̣ng này , trƣớc hế t chúng ta phải tạo những tiền đề vững chắc , lâu bề n phƣơng pháp ho ̣c tâ ̣p của ho ̣c sinh cũng nhƣ phƣơng pháp giảng da ̣y của giáo viên bô ̣ mơn nói chung và giáo viên mơn Tốn nói riêng Tốn học mơn khoa học có tác dụng phát triển tƣ , hình thành kỹ năng, kỹ xảo , phát huy tính tích cực học tập họ c sinh, giúp học sinh trở thành ngƣời mới chủ nghia xã hô ̣i ̃ Chuyên đề “phân tich đa thƣ́c thành nhân tƣ̉ ” đƣơ ̣c ho ̣c khá kỹ ở chƣơng ́ trình lớp 8, nó có nhiều tập cũng nhƣ đƣợc ứng dụng nhiều để giải tâ ̣p chƣơng trình đa ̣i số lớp cũng nhƣ ở lớp Đây là mô ̣t phầ n quan tro ̣ng cả về kiế n thƣ́c lẫn kỹ chƣơng trình Toán phổ thông Vì vâ ̣y, yêu cầ u ho ̣c sinh nắ m chắ c và vâ ̣n dụng nhuần nhuyễn phƣơng pháp phân tich đa thƣ́c thành nhân tƣ̉ là vấ n đề rấ t quan tro ̣ng ́ Trong chƣơng trình Toán chỉ trình bày số phƣơng pháp phân tích đa thƣ́c thành nhân tƣ̉ nhƣ phƣơng pháp đă ̣t nhân tƣ̉ chung , phƣơng pháp dùng hằ ng đẳ ng thƣ́c , phƣơng pháp nhóm ̣ng tƣ̉ và phố i hơ ̣p nhiề u phƣơng pháp Do đó , gă ̣p nhƣ̃ng bài toán phƣ́c ta ̣p thì các phƣơng pháp này chƣa thể áp dụng để giải đƣợc , làm cho học sinh gặp nhiều khó khăn trình giải toán chƣa đáp ƣ́ng đƣơ ̣c nhu cầ u tìm tòi , học tập em học sinh khá, giỏi Chính vì những lí mà em chọn đề tài mang tên bấ t khả quy để phân tích đa thưc thành nhân tử” ́ “ Sử dụng đa thức Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cƣ́u của khóa luâ ̣n là ̣ thố ng hóa các phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thƣ́c thành nhân tƣ̉ Nhiêm vu ̣ nghiên cƣu ̣ ́ Để đa ̣t đƣơ ̣c mu ̣c tiêu trên, khóa luận có nhiê ̣m vu ̣ trả lời câu hỏi sau: - Có những phƣơng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử? - Nhƣ̃ng da ̣ng toán nào cóliên quan đế n viê ̣c phân tích đa thƣ́c thành nhân ? ̉ tƣ Giả thuyết khoa học Trong quá trinh ho ̣c tập, nế u ho ̣c sinh nắ m vƣ̃ng các phƣơng pháp phân tich ̀ ́ đa thƣ́c thành nhân tƣ̉ sẽ giúp ho ̣c sinh thƣ̣c hành chinh xác viê ̣c phân tich đa ́ ́ thƣ́c thành nhân tƣ̉ và ta ̣o nề n móng cho viê ̣c giải các bài toán liên quan đế n viê ̣c phân tich đa thƣ́c thành nhân tƣ̉ ́ Đối với sinh viên, viê ̣c nắ m vƣ̃ng nô ̣i dung kiế n thƣ́c này giúp ho ̣ giảng dạy tốt sau trƣờng Đối tƣợng nghiên cứu - Nghiên cƣ́u các phƣơng pháp phân tích đa thƣ́c thành nhân tƣ̉ - Nghiên cƣ́u dạng toán liê n quan đế n viê ̣c phân tich đa thƣ́c thành ́ nhân tƣ̉ Phƣơng pháp nghiên cƣu ́ - Nghiên cứu tài liệu - Phân tích, tổng hợp kiến thức - Kinh nghiệm thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hƣớng dẫn Đóng góp của khóa luận Khóa luận đã hệ thớng hóa phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tƣ̉ và nhƣ̃ng ƣ́ng du ̣ng của nó chƣơng trinh Toán phổ thông ̀ Cấ u trúc khố luận Khóa ḷn gờm có ba phần: phầ n mở đầ u, phầ n nô ̣i dung và phầ n kế t luâ ̣n Phầ n nô ̣i dung gồ m có các chƣơng sau: Chương 1: Một số kiế n thức liên quan Chương 2: Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng ́ ́ ́ Chƣơng 1: MỘT SÔ KIÊN THƢC LIÊN QUAN 1.1 Vành đa thức 1.1.1 Vành đa thức biến 1.1.1.1 Khái niệm Cho A vành giao hốn có đơn vị kí hiệu biểu thức hình thức: n f x a0 a1 x an x x i n i 0 đó: A, i 0, n, n , x kí hiệu gọi biến xi đƣợc gọi số hạng thứ i Ta quy ƣớc: i) Thêm hoặc bớt hạng tử có dạng xi f x không thay đổi n i ii) Cho g x b0 b1 x bn x bi x n i 0 Khi đó f x g x bi , i 0, n Ta kí hiệu tập hợp tất biểu thức khác có dạng A x Trên A x , ta xác định hai phép toán: n m Giả sử f x x ; g x b j x j i i 0 j 0 + Phép cộng: Giả sử m n m n s , ta có n f x g x bi xi bn1x n1 bn s x n s i 0 + Phép nhân: m n i f x g x jb j xi i 0 j 0 Bằng việc kiểm tra ta rút rằng: Với hai phép toán cộng nhân đã nêu A x trở thành vành giao hoán có đơn vị Khi đó: + A x đƣợc gọi vành đa thức biến x A + Các phần tử A x đƣợc gọi đa thức biến x A 1.1.1.2 Bậc đa thức Đa thức f x a0 a1 x an x n đƣợc gọi đa thức có bậc n viết deg f n an Khi đó, ta gọi an hệ tử cao f 1.1.1.3 Nghiệm đa thức Giả sử A phần tử tùy ý vành A f x a0 a1x a2 x an x n đa thức tùy ý A x Phần tử f c a0 a1c anc n A đƣợc gọi giá trị f x tại c Nếu f c c đƣợc gọi nghiệm f x Tìm tập hợp tất nghiệm f x A đƣợc gọi giải phƣơng trình đa thức f x 1.1.2 Vành đa thức nhiều biến Giả sử A vành giao hoán có đơn vị Ta đặt A1 A x1 A2 A1 x2 An An1 xn Vành An An1 xn , kí hiệu A x1, x2 , , xn đƣợc gọi vành đa thức n biến x1, x2 , , xn lấy hệ tử vành A 1.2 Quan hệ chia hết miền nguyên 1.2.1 Định nghĩa Cho a b hai phần tử miền nguyên X Phần tử a đƣợc gọi chia hết cho b hay nói a bội b tồn tại phần tử c thuộc X cho a bc Khi đó ta cũng nói b ƣớc a , kí hiệu a b 1.2.2 Tính chất Trong miền nguyên X ta có: a) Với mọi a X ta có a | 0; a | a; 1| a; a | a; a | a b) Với mọi a, b, c X , a | b; b | c a | c c) Nếu a ƣớc a1, a2 , , an (n 1) a ƣớc x1a1 x2a2 xnan với x1, x2 , , xn X d) Tập ƣớc miền nguyên R nhóm Abel với phép nhân X 1.2.3 Các phần tử liên kết, phần tử bất khả quy miền nguyên Định nghĩa: Cho X miền nguyên i) Với a, b X , phần tử a đƣợc gọi liên kết với phần tử b tồn tại phầ n tử khả nghịch u X cho a bu ii) Với a X , phần tử liên kết với a phần tử khả nghịch đƣợc gọi ƣớc không thật sự a Các ƣớc lại a đƣợc gọi ƣớc thật sự iii) Phần tử P không khả nghịch X đƣợc gọi phần tử bất khả quy X nó không có ƣớc thật sự 1.3 Vành Gauss, vành chính, vành Ơ clit 1.3.1 Vành Gauss Định nghĩa: Miền nguyên R đƣợc gọi vành nhân tử hóa (vành Gauss) mọi phần tử khác không khả nghịch nó phân tích đƣợc cách thành tích những nhân tử bất khả quy không kể đến sai khác thứ tự giữa nhân tử sai khác nhân tử khả nghịch 1.3.2 Vành Định nghĩa: Miền nguyên C đƣợc gọi vành mọi iđêan C iđêan chính, tức iđêan C đƣợc sinh bởi phần tử x C cho Cx x Ví dụ: + Vành số nguyên Z vành + Nếu K trƣờng thì K x vành Định lí: Mọi vành vành Gauss 1.3.3 Vành Ơclit nghiê ̣m đó là đó ax bx c a x x Suy 1 1 ax bx c a x x a x x Do đó I 1 1 dx x x ax bx c a x ln C a x Trong trƣờng hơ ̣p này ta đã áp du ̣ng phân tich đa thƣ́c thành nhân tƣ̉ ở dƣới ́ mẫu sau đó sƣ̉ du ̣ng phƣơng pháp đồ ng nhấ t thƣ́c ta phân tich dƣới dấ u tich phân ́ ́ thành hiệu hai phân thức đã biết cách tính nguyên hàm *I ax bx c n Đổi biến t x dx n 1 b dt b2 c ta đƣơ ̣c: I n n với k 2a a t k n 4a a Sƣ̉ du ̣ng phƣơng pháp tích phân tƣ̀ng phầ n và phép đă ̣t: 2ntdt u du n n 1 t k t k dv dt v t t dt Khi đó I n n 2n n 1 a t k 2 t k t k k dt t n 2n n n 1 2 a t k t k t dt dt n 2n k n n n 1 2 t k a t k t k t n 2n I n kI n1 a t k n 37 Tƣ̀ đó suy 2nkI n1 t t k n 1 kI n t n 2n a n I n t k n 1 2n a n I n1 1 Chú ý: Vì công thức 1 không có sách giáo khoa và cũng là công thƣ́c cồng kềnh nên rấ t khó nhớ mô ̣t cách chinh xác Do đó, đố i với da ̣ng bài này ́ ta sẽ làm theo bƣớc sau: + Bƣớc 1: Xác định I1 + Bƣớc 2: Xác định I n theo I n1 (chƣ́ ng minh la ̣i công thƣ́c 1 ) + Bƣớc 3: Biể u diễn truy hồ i I n theo I1 ta đƣơ ̣c kế t quả cầ n tim ̀ *I x ax2 bx c Ta có: x Khi đó I n n với a n số nguyên dƣơng dx 2a 2ax b b 2a b dx dx 2a ax bx c n 2a ax bx c n 2ax b b Jn Kn 2a + Với J n 2a 2ax b ax2 bx c n dx thì - Nế u n , ta đƣơ ̣c J1 2ax b dx ax2 bx c 2a ln ax bx c C 2a - Nế u n , ta đƣơ ̣c Jn 2a + Với K n ax ax 2ax b bx c dx bx c n n dx 2a n 1 ax bx c n1 C ta đã biế t cách xác đinh da ̣ng I ̣ 38 Tƣ̀ các tich phân I1; I ; I3 ; I ; I5 ; I toán phân tích đa thức thành ́ nhân tƣ̉ ta đế n phƣơng pháp giải bài toán tính tích phân vô đ ịnh hàm phân P x thƣ́c hƣ̃u tỷ tổ ng quát nhƣ sau: Q x + Bƣớc 1: Phân tich đa thƣ́c Q x thành nhân tử, giả sử ́ Q x An x .B m x .C k x với m, n, k đó A x , B x , C x đa thức bậc hoặc bậc hai vô nghiệm + Bƣớc 2: Phân tich ́ P x E x D x n Q x A x .B m x .C k x t i t a1i A ' x a2 m b1j B ' x b2j k c1C ' x c2 D x i i j A x j 1 B x B j x t 1 C t x C t x i 1 A x n i i t Xác định đƣợc hệ số a1 , a2 , b1j , b2j , c1t , c2 bằ ng phƣơng pháp ̣ số bấ t đinh ̣ + Bƣớc 3: Xác định i i m a1 A ' x b1j B ' x a2 b2j I D x dx i i j dx j dx A x B x i 1 A x j 1 B x n k ct C ' x ct t t dx C x t 1 C x Nhƣ̃ng tích phân này đã đƣơ ̣c tính ở mu ̣c Ví dụ 1: Tính: I dx x 3x 2 Lời giải I dx dx x 3x x 1 x 1 dx x x 1 39 d x d x 1 3 x2 x 1 1 ln x ln x C 3 x2 ln C x 1 Ví dụ 2: Tính: x 3x I dx x x 12 Lời giải x 3x I dx x x 12 11x 24 dx x x 12 11x 24 dx dx x x 12 11x 24 dx dx x 3 x 20 9 dx dx x3 x4 d x 3 d x 4 dx 20 x3 x4 x 9ln x 20ln x C Ví dụ 3: Tính: I x dx x 3 Lời giải Xét tích phân I n dx x x 3 n Với n ta có 40 I1 dx dx x 4x x 1 x 3 1 dx x 1 x d x 1 d x 3 x 1 x3 1 ln x ln x C 2 x 1 ln C x3 Với n , phép đổi biến t x ta đƣợc I n Sử dụng phƣơng pháp tích phân phần phép đặt 2ntdt u du n n 1 t 1 t 1 dv dt v t Khi đó I n Suy t t t t t 1 n t 1 n t 1 n t 1 n 2nI n1 2n t t dt 1 n 1 t 1 1 dt 2n n 1 t 1 dt dt 2n n n 1 2 t 1 t 1 2n I n I n1 t t 1 n 2n 1 I n t In 2n 3 I n1 n 1 t 1n 41 t dt 1 n 1 t Do đó I I1 t 1 1 t 1 t 3 t Vậy I I 3I I1 t 12 t 12 t Thay t x , ta đƣợc I x2 x x 3 Ví dụ 4: Tính: I 3 x x x 3 x 1 ln C 16 x x 3 dx x x 3 Lời giải Ta có I x 3 dx x x 3 x Xét tích phân J n Với n J1 x dx x 3 2 x dx x 3 2 dx x x 3 x x 3 2 dx x x 3 ta có: dx dx x x 3 x 3 x 1 dx dx 4 x 3 x 1 ln x ln x C x3 ln C x 1 Với n , phép đổi biến t x ta đƣợc: J n 2ntdt n n 1 u du Đặt t 4 t 4 dv dt v t 42 t dt 4 Khi đó: Jn t t t 4 n t 4 n t t 4 n 2n t t dt 4 n 1 dt dt 2n 4 n 1 t n t 4 2n J n J n1 Suy 8nJ n1 t t 4 n 2n 1 J n n 1 J n t t 4 n 1 2n 3 J n1 t Jn 2n 3 J n1 t n1 n 1 1 t Do đó J J1 t x 1 x3 Thay t x ta đƣợc J ln x 2x x Vậy I x 1 x3 ln x x 3 x x x x3 3x x dx Ví dụ 5: Tính: I x 5x2 x Lời giải Ta có x3 3x x x2 5x 1 x3 x x x 5x2 x x2 5x 1 x x x 3 1 a b c x x 2 x 3 Khi đó ta có đẳng thức sau: 43 x2 5x a x 3 x bx x 3 cx x 1 Để xác định số a, b, c ta có thể chọn hai cách sau: + Cách (Phƣơng pháp đồng hệ số): Khai triển vế phải 1 sắp xếp đa thức theo thứ tự bậc giảm dần, ta đƣợc: x2 5x a b c x 5a 3b 2c x 6a a b c a Đồng hệ số, ta đƣợc: 5a 3b 2c b 2 6 a c + Cách (Phƣơng pháp xét giá trị riêng): Lần lƣợt thay x 0; x 2; x 6 6a a vào hai vế 1 ta đƣợc: 4 2b b 2 9 3c c Khi đó I 1 dx x x x 3 x ln x 2ln x 3ln x C 2.2.6 Ứng dụng tính giới hạn vô định Để tính giới hạn vơ định hàm sớ ta thƣờng sử dụng phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để triệt tiêu dạng vô định x2 5x Ví dụ 1: Tính giới hạn sau: lim x 1 x x 15 Lời giải x2 5x x 3 x lim x lim Ta có lim x 1 x x 15 x 1 x 3 x x 1 x sin x cos x x 0 sin x cos x Ví dụ 2: Tính giới hạn: lim Lời giải Ta có lim sin x cos x lim x 0 sin x cos x cos x sin x x 0 1 cos x sin x 44 2sin x 2sin x.cos x x 0 2sin x 2sin x.cos x 2sin x sin x cos x lim x 0 2sin x sin x cos x lim sin x cos x x 0 sin x cos x 1 lim x3 3x Ví dụ 3: Tính giới hạn sau: lim x 1 x 1 Lời giải Ta có x3 1 3x x3 3x lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x3 1 3x lim lim x 1 x x 1 x 1 3x lim x x 1 lim x 1 x 1 x 1 3x lim x x 1 lim x 1 3 x 1 3 x 3x 3 2 x2 Ví dụ 4: Tính giới hạn sau: lim x x x Lời giải 1 x 1 1 x 1 x lim x lim Ta có lim x x x x 1 1 x 2 2 x 2 x x x x Ví dụ 5: Cho hàm số f x x x2 x Tính lim f x ; lim f x x Lời giải Ta có: lim f x lim x x x x2 x 45 x x lim x x 1 x lim x x x 1 x lim x 1 x 1 lim f x lim x x x2 x x lim x x 1 x x lim x x x lim x 1 x 1 x Chú ý: Trong giới hạn vơ cực, đƣa x ngồi dấu phải chú ý đến dấu x 2.2.7 Ứng dụng để xét dấu biểu thức Trong chƣơng trình đại số lớp 10, học sinh đƣợc học cách xét dấu nhị thức bậc tam thức bậc hai Xét dấu biểu thức nghĩa xem xét đa thức mang dấu nhƣ ứng với giá trị đối số, ứng dụng chủ yếu xét dấu đa thức việc giải bất phƣơng trình, hệ bất phƣơng trình, khảo sát hàm số ở bƣớc nhƣ xét bảng biến thiên hàm số hay tìm cực trị hàm sớ Phân tích đa thức thành nhân tử đƣợc vận dụng nhiều việc nghiên cứu dấu đa thức Ví dụ 1: Giải bất phƣơng trình sau: x2 3x Lời giải 46 Ta có VT x2 3x x 1 x Bảng xét dấu: 1 x x 1 x4 VT 0 Từ bảng xét dấu ta có x 3x x 1;4 Ví dụ 2: Giải bất phƣơng trình sau: x4 5x3 5x2 5x Lời giải Ta có x x3 x x x x3 x x x3 x x x x3 x x 1 x x x 1 x x x x 1 x x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x (vì x2 0, x ) Bảng xét dấu x 4 x 1 x4 VT 1 Từ bảng xét dấu ta có 0 x 5x3 5x 5x x 4; 1 Ví dụ 3: Giải bất phƣơng trình sau: x 1 x Lời giải 47 Điều kiện: x Với x , ta có x x x 1 x 3 x x x x 27 x 27 x3 10 x 25 x 28 x3 x x x 21x 28 x3 x x x 21x 28 x x 3x x 3x x x 3x Ta có x2 3x với x Do đó x 1 x x x7 Kết hợp với điều kiện x , ta có nghiệm bất phƣơng trình đã cho x 3;7 2.2.8 Ứng dụng vào việc khảo sát hàm số Khảo sát hàm sớ loại tốn phổ biến đối với học sinh lớp 12, thƣờng có đề thi tốt nghiệp phổ thông, thi tuyển sinh vào trƣờng đại học, cao đẳng, trung cấp chuyên nghiệp Khảo sát hàm số quan trọng vì qua đó học sinh biết biểu diễn hình học quan hệ hàm số, để khảo sát đƣợc hàm số thì buộc học sinh phải nắm đƣợc hầu nhƣ toàn kiến thức phổ thơng Phân tích đa thức thành nhân tử đƣợc vận dụng hầu hết bƣớc toán khảo sát, chủ yếu việc tìm miền xác định, xét dấu đạo hàm bậc để xét sự biến thiên hàm số tìm cực trị, xét dấu đạo hàm bậc hai để tìm điểm uốn đƣờng cong, tìm giao điểm đồ thị với trục tung, trục hồnh để vẽ đờ thị Trong ví dụ dƣới chỉ trình bày bƣớc có áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ: Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: 1 y x3 3x x 3 48 Lời giải TXĐ: D R Ta có y ' x2 6x y ' x2 x x 1 x x 1 x 7 Bảng xét dấu y ' x 7 y' 0 82 y 10 Từ bảng xét dấu y ' , ta có hàm số đồng biến ; 7 1; hàm số nghịch biến 7;1 ́ KÊT LUẬN Với nhiê ̣m vu ̣ đã đă ̣t , khoá luâ ̣n đã trình bày số kiến thức liên quan 49 gồm vành đa thức; quan hệ chia hết miền nguyên; vành Gauss, vành chính, vành Ơclit; đa thức lấy hệ tử trƣờng đa thức bất khả quy trƣờng số làm sở cho việc phân tích đa thức thành nhân tử Sau đó, hệ thớ ng hóa các phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử (có phƣơng pháp), đó phƣơng pháp đặt nhân tử chung, phƣơng pháp dùng đẳng thức, phƣơng pháp nhóm hạng tử, phƣơng pháp thêm bớt hạng tử, phƣơng pháp đặt ẩn phụ, phƣơng pháp hệ số bất định, phƣơng pháp xét giá trị riêng phối hợp nhiều phƣơng pháp Đồng thời cũng trình bày sớ ứng dụng tốn phân tích đa thức thành nhân tử ở phổ thơng nhƣ ứng dụng vào toán rút gọn, chứng minh đẳng thức, chứng minh tính chia hết; ứng dụng vào việc giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình; ứng dụng vào việc tính ngun hàm, tích phân, giới hạn vơ định; ứng dụng để xét dấu biểu thức Đặc biệt đã giải triệt để toán tìm nguyên hàm của hàm số hƣ̃u tỷ dƣ̣a vào đinh nghia phân tích đa thƣ́c thành nhân ̣ ̃ tƣ̉ Do thời gian có ̣n và trình đô ̣ của em chƣa đủ sâu , rô ̣ng nên không tránh khỏi những thiếu sót, em kính mong các thầ y cô thông cảm và bổ sung cho khóa luâ ̣n đƣơ ̣c sâu, rô ̣ng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vũ Hữu Bình (2006), Nâng cao và phát triể n Toán tập 1, Nhà xuất giáo dục 50 [2] Vũ Hữu Bình (2007), Nâng cao và phát triể n Toán tập 1, Nhà xuất giáo dục [3] Vũ Hữu Bình , Trầ n Đinh Trung (2008), Toán tập 1, Nhà xuất ̀ giáo du ̣c [4] Nguyễn Vinh Câ ̣n (2006), Toán nâng cao đại số 8, Nhà xuấ t bản ĐHSP ̃ Hà Nội [5] Lê Hồ ng Đƣ́c (2009), Phương pháp giải toán giới hạn của hàm số Nhà xuất ĐHSP , [6] Lê Hồ ng Đƣ́c, Lê Bich Ngo ̣c (2010), Phương pháp giải toán tích phân, ́ Nhà xuất Đại ho ̣c quố c gia Hà Nô ̣i [7] Vũ Ninh Giang (2011), Giải bài tập Toán tập 1, Nhà xuất Hà Nô ̣i [8] Nguyễn Xuân Liêm , Đặng Hùng Thắng , Trầ n Văn Vuông (2006), Đại số nâng cao 10, Nhà xuất giáo dục [9] Phạm Phu (2011), Tổ ng hợp kiế n thức trung học sở Toán xuấ t bản ĐHSP 8, Nhà [10] Hồng Xn Sính (2003), Đại số đại cương , Nhà xuấ t bản ĐHSP Hà Nô ̣i [11] Dƣơng Quố c Viê ̣t (2007), Cơ sở lý thuyế t số và đa thức, Nhà xuất ĐHSP 51 ... thì bất khả quy Q 1.5.2 Đa thức bất khả quy R Một đa thức bất khả quy R chỉ nó đa thức bậc hoặc bậc hai vô nghiệm 1.5.3 Đa thức bất khả quy C Một đa thức bất khả quy C chỉ nó đa thức. .. không bất khả quy Z có thể phân tích đƣợc thành x - Mối quan hệ giữa đa thức bất khả quy Z Q : + Mọi đa thức bất khả quy Z thì bất khả quy Q + Mọi đa thức bất khả quy Z đa thức. .. Đa thức bất khả quy R 1.5.3 Đa thức bất khả quy C Chƣơng 2: BÀI TỐN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Một số phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân