S Ở GD &ĐT V ĨNH PHÚC TRƯ ỜNG THPT TAM DƯƠNG Đ Ề KHẢO SÁT CHUY ÊN ĐỀ L ẦN 1 NĂM H ỌC 20 11 - 2012 MÔN: TOÁN 12 KH ỐI A Th ời gian làm bài: 180 phút, không k ể thời gian phát đề Câu I (2,0 đi ểm) Cho hàm s ố 2 1 1 x y x    1. Kh ảo sát sự biến thi ên và v ẽ đồ thị (C) của h àm s ố trên. 2. Tìm trên đồ thị (C) những điểm M sao cho ti ếp tuyến tại M t ạo với hai đường tiệm cận c ủa đồ thị (C) m ột tam giác v ới đư ờng tròn ngoại tiếp có bán kính bằng 2 . Câu II (2,0 đi ểm) 1. Gi ải phương t rình 2 2cos3 cos 3(1 sin 2 ) 2 3 cos 2 4 x x x x            . 2. Gi ải hệ phương trình 2 2 2 4 1 2 1 x y xy y y x y x              Câu II (2,0 đi ểm) 1. Tính gi ới hạn 2 3 4 2 ( 3 9). 1 2 3 lim 2 x x x x x x        2. Tìm giá tr ị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 9 6 3y x x x     Câu IV (2,0 đi ểm) 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông t ại A và D. Bi ết AB = 2a, AD = CD = a, SA = 3a (a > 0) và SA vuông góc v ới mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.BCD và tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) theo a. 2. Cho các s ố a, b, c dương tho ả mãn 2 2 2 12a b c   . Tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 1 1 1 1 1 1 P a b c       Câu V (2,0 đi ểm) 1. Cho phương tr ình 4 2 1 4 3 2 ( 3) 2 0x m x x m x        . Tìm m để phương trình có nghiệm thực. 2. Trong m ặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung đi ểm của c ạnh BC, phương tr ình đư ờng thẳng DM: 2 0x y   và đi ểm C(3;3). Bi ết đỉnh A thu ộc đư ờng thẳng (d): 3 x + y  2 = 0 và A có hoành đ ộ âm. Xác định toạ độ các đỉnh A, B, D. H ẾT  Cán b ộ coi thi không giải thích gì thê m! H ọ v à tên thí sinh: SBD: MATHVN.COM www.mathvn.com HƯ ỚNG DẪN CHẤM V À THANG ĐI ỂM MÔN TOÁN 12 KH ỐI A C©u Néi dung §iÓm 1. TXĐ: \{1} + S ự biến thiên: Gi ới hạn và tiệm cận: 2 1 2 1 lim lim 2; lim lim 2 1 1 x x x x x x y y x x              y = 2 là ti ệm cận ngang. 1 1 1 1 2 1 2 1 lim lim ; lim lim 1 1 x x x x x x y y x x                    x = 1 là ti ệm cận đứng. 2 1 ' 0 ( ;1) (1; ) ( 1) y x x          0,25 BBT x ∞ 1 + ∞ y '   0 1 +∞ y ∞ 1 Hàm s ố nghịch biến tr ên: ( ; 1) và (1; +) 0,5 §å thÞ: 1 2 1 2 1 x y O Đ ồ thị (C) nhận điểm I(1; 2) làm tâm đ ối xứng 0,25 2. Gi ả sử 0 0 ( ; )M x y thu ộc đồ thị (C) của hàm số. Phương tr ình tiếp tuyến tại M là 0 0 2 0 0 2 1 1 ( ) 1 ( 1) x y x x x x        0,25 G ọi A, B l ần lượt là giao điểm của tiếp tuyến với các đường tiệm cận của (C) Giao v ới đường thẳng x = 1 là 0 0 2 1; 1 x A x        Giao v ới đường thẳng y = 2 là   0 2 1;2B x  0,25 Vì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB b ằng 2 nên 2 2 0 2 0 0 4 2 2 0 0 0 0 4 2 2 8 (2 2) 8 ( 1) 0 ( 1) 2( 1) 1 0 ( 1) 1 2 AB AB x x x x x x x                        0,5 I V ậy có hai điểm cần t ìm là 1 2 (0; 1), (2; 3)M M MATHVN.COM www.mathvn.com 1. Phương tr ình tương đương 2cos3 cos 3(1 sin 2 ) 3 1 cos 4 2 x x x x                   0,25 2cos3 cos 3(1 sin 2 ) 3(1 sin 4 ) 2cos3 cos 3(sin 4 sin 2 ) 0 2cos3 cos 2 3sin 3 cos 0 x x x x x x x x x x x x             0,25 cos 0 2 cos (cos3 3sin 3 ) 0 1 tan 3 3 18 3 x x k x x x x k x                             Vậy phương trình có hai nghiệm là: 2 x k     và ( ) 18 3 k x k       0,5 2. Nh ận xét y = 0 không là nghi ệm của hệ ph ương trình. Hệ tương đương với: 2 2 1 4 2 1 x x y y y x y x                0,25 Đ ặt 2 1 , x u v x y y     . H ệ ph ương trình có d ạng 4 1 2 u v v u          0,25 Gi ải hệ phương trình ta có: u = 1, v = 3 0,25 II V ới 2 1 1 1 2 1 , 3 2 5 3 x u x x y v y y x y                            0,25 1. Xét hàm s ố 2 3 4 3 ( ) ( 3 9) 1 2 3; 2 f x x x x x x       ta có: (2) 0f  và   2 3 2 2 3 4 3 9 1 41 '( ) 2 3 1 '(2) 6 3 ( 1) 2 (2 3) x x f x x x f x x            0,5 Khi đó gi ới hạn cần t ìm được viết dưới dạng: 2 ( ) (2) 41 lim '(2) 2 6 x f x f I f x       0,5 III 2. TXĐ: D = [1; 3] 2 2 2 3 3 9 6 3 3 3 ' 1 9 6 3 9 6 3 x x x x y x x x x             2 2 2 3 3 0 ' 0 9 6 3 3 3 0 2 9 6 3 (3 3) x y x x x x x x x                      0,5 Ta có f (1) = 0; f (2) = 6; f (3) = 4 V ậy [ 1;3] [ 1;3] max 6; min 0;y y     0,25 MATHVN.COM www.mathvn.com D C B A S Di ện tích hình thang ABCD là 2 1 3 (2 ). 2 2 a S a a a   ; Di ện tích tam giác ABD là 2 1 . 2 ABD S AB AD a    Di ện tích tam giác BCD là 2 2 BCD ABD a S S S      0,25 Th ể tích khối chóp S.BCD là 2 3 1 1 . 3 . 3 3 2 2 SBCD BCD a a V SA S a     0,25 Ta có: 2 2 9 10SD a a a   Vì SA  (ABCD)  SA  CD; AD  CD  CD  SD. Di ện tích tam giác SCD là 2 1 10 2 SCD S a 0,25 G ọi d là kho ảng cách từ B đ ến mặt phẳng ( SCD). Ta có 3 3 2 1 3 3 10 . 3 2 10 10 SBCD SCD a a a V d S d a      0,25 Ta có:     2 2 2 2 3 2 1 1 2 1 (1 )(1 ) 4 4 a a a a a a a a              2 3 2 1 1 2 2 1 (1 )( 1) a a a a a        0,5 IV V ậy 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 18 1 2 2 2 6 1 1 1 a b c a b c a b c                 D ấu đẳng thức xảy ra khi v à chỉ khi a = b = c = 2 V ậy GTNN của biểu thức l à P = 1 0,5 1. ĐK: x ≥ 2 . Nh ận xét x = 2 không là nghi ệm của phương trình. V ới x > 2 phương tr ình tương đương với: 4 1 1 4 3 0 2 2 x x m m x x         Đ ặt 4 1 , 1 2 x t t x     . Phương tr ình có dạng 2 2 3 4 3 0 ( ) 4 1 t t mt m m f t t           (t > 1) 0,25 V Kh ảo sát 2 3 ( ) 4 1 t f t t     v ới t > 1, 2 2 4 2 12 3 '( ) 0 2 (4 1) t t f t t t         , 0,25 MATHVN.COM www.mathvn.com T ừ BBT ta có: phương trình có nghiệm    1; 3 3 max ( ) ( ) 2 4 m f t f      0,5 2. G ọi ( ; 3 2) ,( )A t t d t    . Ta có: ( , ) 2 ( , )d A DM d C DM 4 4 2.4 3 1 2 2 t t t         hay A(3; 7) ho ặc A(1; 5). Vì hoành độ điểm A âm nên A(1; 5) 0,25 G ọi D(m; m  2) ,( )DM m   ( 1; 7); ( 3; 1)AD m m CD m m         Do t ứ giác ABCD là hình vuông nên: 2 2 2 2 5 1 . 0 5 ( 1) ( 7) ( 3) ( 1) m m DA DC m DA DC m m m m                               D(5; 3) 0,5 V Vì ( 2; 6) ( 3; 1)AB DC B         K ết luận: A(1; 5); B(3; 1); D(5; 3). 0,25 MATHVN.COM www.mathvn.com . 3)M M MATHVN.COM www.mathvn.com 1. Phương tr ình tương đương 2cos3 cos 3(1 sin 2 ) 3 1 cos 4 2 x x x x                   0,25 2cos3 cos 3(1 sin 2 ) 3(1 sin 4 ) 2cos3 cos 3(sin. 3(1 sin 2 ) 3(1 sin 4 ) 2cos3 cos 3(sin 4 sin 2 ) 0 2cos3 cos 2 3sin 3 cos 0 x x x x x x x x x x x x             0,25 cos 0 2 cos (cos3 3sin 3 ) 0 1 tan 3 3 18 3 x x k x x x x k x     . thê m! H ọ v à tên thí sinh: SBD: MATHVN.COM www.mathvn.com HƯ ỚNG DẪN CHẤM V À THANG ĐI ỂM MÔN TOÁN 12 KH ỐI A C©u Néi dung §iÓm 1. TXĐ: {1} + S ự biến thi n: Gi ới hạn và tiệm cận: 2 1 2 1 lim