GV. Phaùm Troùng Thử - THPT chuyeõn Nguyeón Quang Dieõu ng Thỏp http://nguyenquangdieu.net 1/5 PHNG PHP S DNG NG THNG TIP TUYN CHNG MINH BT NG THC Bi vit gii thiu phng phỏp s dng ng thng tip tuyn trong chng minh bt ng thc v cỏc vớ d minh ha tiờu biu. Bt ng thc (BT) l mt b phn ca Toỏn hc v ngy c chỳ trng nh nú bao hm nhiu sỏng to v suy lun. Trong cỏc thi tuyn sinh vo i hc cng nh thi Olympic trong nc v quc t ca nhng nm gn õy thng cú bi chng minh BT hay cỏc vn liờn quan. õy l loi toỏn khú cú nhiu dng v nhiu phng phỏp gii. Trong bi vit ny tỏc gi ch trỡnh by phng phỏp s dng ng thng tip tuyn chng minh BT (phng phỏp cú liờn quan ti hm s cú o hm). Vớ d 1. Cho , , 0. > a b c Chng minh rng 2 2 2 9 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) + + + + + + + a b c a b c b c c a a b (1) Li gii. Khụng m t tớnh t ng quỏt nờn b ng ph ng phỏp h s b t nh (tờn ti ng Anh l Undefined Coefficient Technique ) ta chu n húa 3. + + = a b c B T (1) tr thnh 2 2 2 3 4 (3 ) (3 ) (3 ) a b c a b c + + hay 3 ( ) ( ) ( ) 4 f a f b f c+ + (*) trong ú hm s c trng l 2 ( ) , (0; 3). (3 ) x f x x x = ng thc (*) xy ra khi v ch khi 1. a b c = = = Hm s 2 ( ) (3 ) x f x x = cú 2 4 9 ( ) (3 ) x f x x + = Nh vy phng trỡnh tip tuyn ca th ( ) y f x = ti im (1; (1)) M f l 1 1 (1)( 1) (1) ( 1) 2 4 y f x f x = + = + hay 2 1 4 x y = Ta cú 3 2 2 2 2 2 1 2 13 20 9 ( 1) (9 2 ) ( ) 0, (0; 3). 4 4(3 ) 4(3 ) x x x x x x f x x x x + + = = Suy ra 2 1 ( ) , (0; 3). 4 x f x x T ú ta cú 2( ) 3.1 3 ( ) ( ) ( ) ; , , (0; 3). 4 4 + + + + = a b c f a f b f c a b c Vy BT (1) c chng minh. ng thc (1) xy ra khi v ch khi . a b c = = Vớ d 2. Cho , , a b c l cỏc s th c d ng. Ch ng minh r ng 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 6 5 ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + + + a b c b c a c a b b c a c a b a b c (2) Li gii. Khụng m t tớnh t ng quỏt nờn b ng ph ng phỏp h s b t nh ta chu n húa 3. + + = a b c B T (2) tr thnh 2 2 2 2 2 2 (3 ) (3 ) (3 ) 6 5 (3 ) (3 ) (3 ) a a b b c c a a b b c c + + + + + hay 6 ( ) ( ) ( ) 5 f a f b f c+ + (*) trong ú hm s c trng l 2 2 (3 ) ( ) , (0; 3). (3 ) x x f x x x x = + ng thc trong (*) xy ra khi v ch khi 1. a b c = = = GV. Phaïm Troïng Thö - THPT chuyeân Nguyeãn Quang Dieâu – Đồng Tháp http://nguyenquangdieu.net 2/5 Hàm số 2 2 (3 ) ( ) (3 ) x x f x x x − = − + có 2 2 18 27 ( ) (2 6 9) x f x x x − + ′ = − + Như vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) y f x = tại điểm (1; (1)) M f là 9 2 (1)( 1) (1) ( 1) 25 5 y f x f x ′ = − + = − + hay 9 1 25 x y + = ⋅ Ta có ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 9 1 18 27 9 ( 1) (18 9) ( ) 0, (0; 3). 25 25 (3 ) 25 (3 ) x x x x x f x x x x x x + − + − − − +   − = = ≤ ∀ ∈     − + − + Suy ra 9 1 ( ) , (0; 3). 25 x f x x + ≤ ∀ ∈ Từ đó ta có 9( ) 3.1 6 ( ) ( ) ( ) ; , , (0; 3). 25 5 + + + + + ≤ = ∀ ∈ a b c f a f b f c a b c Vậy BĐT (2) được chứng minh. Đẳng thức (2) xảy ra khi và chỉ khi . a b c = = Ví dụ 3. Cho , , 0 > a b c th ỏ a mãn 3. + + = a b c Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 2 2 1 1 1 2( ) ( ) + + + + + ≥ + + ab bc ca a b c a b c (3) Lời giải. Ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 (3) 0 a b c a b c       ⇔ − + − + − ≥             (*) g Do , , 0 a b c > nên 2 2 2 2 ( ) 9. a b c a b c + + < + + = T ừ đ ó n ế u có m ộ t trong ba s ố , , a b c nh ỏ h ơ n 1 3 gi ả s ử 1 3 a < thì 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 a b c a b c + + > > + + nên B Đ T (*) đ ã đượ c ch ứ ng minh. g Xét 1 , , 3 a b c ≥ và k ế t h ợ p v ớ i 3 a b c + + = ta suy ra 1 7 , , ; 3 3 a b c   ∈ ⋅     Xét hàm số đặc trưng 2 2 1 ( ) f x x x = − trên 1 7 ; 3 3       , có 3 2 ( ) 2 f x x x ′ = − − Như vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) y f x = tại điểm (1; (1)) M f là (1)( 1) (1) 4( 1) 0 y f x f x ′ = − + = − − + hay 4 4 y x = − + ⋅ Ta có ( ) 2 2 4 3 2 2 2 ( 1) 2 ( 1) 4 4 1 1 7 ( ) ( 4 4) 0, ; . 3 3 x x x x x f x x x x x − − − − + − +   − − + = = ≥ ∀ ∈     Suy ra 1 7 ( ) 4 4, ; . 3 3 f x x x   ≥ − + ∀ ∈     T ừ đ ó ta có ( ) ( ) ( ) 4( ) 12 0. f a f b f c a b c + + ≥ − + + + = V ậ y B Đ T (3) đượ c ch ứ ng minh. Đẳ ng th ứ c x ả y ra khi và ch ỉ khi 1. a b c = = = Ví dụ 4. Gi ả s ử , , , a b c d là các s ố th ự c d ươ ng sao cho 1. + + + = a b c d Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) 3 3 3 3 2 2 2 2 1 6 8 + + + ≥ + + + + a b c d a b c d (4) Lời giải. 1 (4) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , (0; 1) 8 , f a f b f c f d a b c d⇔ + + + ≥ ∀ ∈ trong đ ó hàm s ố đặ c tr ư ng là 3 2 ( ) 6 , (0; 1). f x x x x= − ∈ Đẳ ng th ứ c trong (4) x ả y ra khi và ch ỉ khi 1 4 a b c d = = = = ⋅ Hàm s ố 3 2 ( ) 6 f x x x = − có 2 ( ) 18 2 f x x x ′ = − Nh ư v ậ y ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a đồ th ị ( ) y f x = t ạ i đ i ể m 1 1 ; 4 4 M             f là GV. Phaïm Troïng Thö - THPT chuyeân Nguyeãn Quang Dieâu – Đồng Tháp http://nguyenquangdieu.net 3/5 1 1 1 5 1 1 4 4 4 8 4 32 y f x f x        ′ = − + = − +               hay 5 1 8 x y − = ⋅ Ta có 3 2 2 5 1 1 1 ( ) (48 8 5 1) (4 1) (3 1) 0, (0; 1). 8 8 8 x f x x x x x x x −   − = − − + = − + ≥ ∀ ∈     Suy ra 5 1 ( ) , (0; 1). 8 x f x x − ≥ ∀ ∈ Từ đó ta có 5( ) 4 1 ( ) ( ) ( ) ( ) , , , (0; 1). 8 8 ; + + + − + + + ≥ = ∀ ∈ a b c d f a f b f c f d a b c d Vậy BĐT (4) được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 4 a b c d = = = = ⋅ Ví dụ 5. Cho , , 0. > a b c Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 5 ( ) ( ) ( ) + − + − + − + + ≥ + + + + + + b c a c a b a b c b c a c a b a b c (5) Lời giải. Đặt 1 1 1 1 1 1 ; ; ; 1 a b c m a b c a b c a b c m m m = + + = = = ⇒ + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 (5) 5 ( ) ( ) ( ) b c a c a b a b c b c a c a b a b c + − + − + − ⇔ + + ≥ + + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 3 5 (1 ) (1 ) (1 ) a b c a a b b c c − − − ⇔ + + ≥ − + − + − + hay 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 5 f a f b f c+ + ≥ (*) trong đ ó hàm s ố đặ c tr ư ng là 2 2 2 (1 2 ) ( ) , (0; 1). (1 ) x f x x x x − = ∈ − + Đẳ ng th ứ c (*) x ả y ra khi và ch ỉ khi 1 1 1 1 3 a b c = = = ⋅ Hàm s ố 2 2 2 (1 2 ) ( ) (1 ) x f x x x − = − + có ( ) 2 2 4 2 ( ) 2 2 1 x f x x x − ′ = − + Nh ư v ậ y ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a đồ th ị ( ) y f x = t ạ i đ i ể m 1 1 ; 3 3 M             f là 1 1 1 54 1 1 3 3 3 25 3 5 y f x f x        ′ = − + = − − +               hay 23 54 25 x y − = ⋅ Ta có ( ) 2 2 2 23 54 2(3 1) (6 1) ( ) 0, (0; 1). 25 25 (1 ) x x x f x x x x − − +   − = ≥ ∀ ∈     − + Suy ra 23 54 ( ) , (0; 1). 25 x f x x − ≥ ∀ ∈ Từ đó ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 69 54( 3 ( ) ( ) ( ) , , (0; 1). 25 5 ; − + + + + ≥ = ∀ ∈ a b c f a f b f c a b c Vậy BĐT (5) được chứng minh. Đẳng thức (5) xảy ra khi và chỉ khi . a b c = = Ví dụ 6. Giả sử , , a b c là các số th ự c sao cho 1. + + = a b c Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 2 9 10 1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) + + ≤ + − − + − − + − − a b c b c c a a b (6) Lời giải. 2 2 2 9 (6) 10 1 1 1 a b c a b c ⇔ + + ≤ + + + hay 9 ( ) ( ) ( ) 10 f a f b f c + + ≤ trong đó hàm số đặc trưng là 2 ( ) 1 x f x x = + GV. Phaïm Troïng Thö - THPT chuyeân Nguyeãn Quang Dieâu – Đồng Tháp http://nguyenquangdieu.net 4/5 Hàm số 2 ( ) 1 x f x x = + với , x ∈ ¡ có ( ) 2 2 2 1 ( ) , 1 x f x x − ′ = + ( ) 0 1. f x x ′ = ⇔ = ± Bảng biến thiên của hàm số ( ) f x trên . ¡ x −∞ 3 − 1 − 1 3 − 1 2 +∞ ( ) f x ′ − − 0 + + 0 − − ( ) f x 0 1 2 3 10 − 3 10 − 2 5 1 2 − 0 Trường hợp 1. Giả sử tồn tại một số ( ; 3] a ∈ −∞ − 4 b c ⇒ + ≥ nên trong hai số b, c này chắc chắn có một số lớn hơn bằng 2, chẳng hạn 2. b ≥ T ừ đ ó suy ra 2 1 9 ( ) ( ) ( ) 0 5 2 10 f a f b f c + + < + + = ⋅ Trường hợp 2.Giả sử tồn tại một số 1 3; . 3 a   ∈ − −     Khi đó 3 1 1 7 9 ( ) ( ) ( ) 10 2 2 10 10 f a f b f c + + ≤ − + + = < ⋅ Trường hợp 3. Các số 1 , , ; 3   ∈ − + ∞ ⋅     a b c Ta thấy đẳng thức trong (6) xảy ra khi và chỉ khi 1 3 a b c = = = ⋅ Như vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) y f x = tạ i đ i ể m 1 1 ; 3 3 M             f là 1 1 1 18 1 3 3 3 3 25 3 10 y f x f x        ′ = − + = − +               hay 18 3 25 50 y x = + ⋅ Ta có 2 2 18 3 (3 1) (4 3) 1 ( ) 0, ; . 25 50 3 50(1 ) − +     − + = − ≤ ∀ ∈ − + ∞         + x x f x x x x Suy ra 18 3 1 ( ) , ; . 25 50 3   ≤ + ∀ ∈ − + ∞     f x x x Từ đó ta có 18 3 9 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ; , , ; 25 50 10 3   + + ≤ + + + ⋅ = ∀ ∈ − + ∞ ⋅     f a f b f c a b c a b c Cả ba trường hợp ta suy ra BĐT (6) đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 3 a b c = = = ⋅ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 1. Cho , , 0. a b c > Ch ứ ng minh r ằ ng 3 2 a b c b c c a a b + + ≥ ⋅ + + + 2. Cho , , , 0 a b c d > thỏa mãn 4. a b c d + + + = Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 2 2 1 1 1 1 2. 1 1 1 1 a b c d + + + ≥ + + + + 3. Cho , , 0 a b c > th ỏ a mãn 3. a b c + + = Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 2 1 1 1 1. a b c b c a c a b + + ≤ + + + + + + 4. Cho , , 0 a b c > th ỏ a mãn 3. a b c + + = Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 2 2 1 1 1 3 2( ) 15 4( ). a b c ab bc ca a b c   + + + + + ≥ + + +     5. Cho , , 0. a b c > Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 ) (2 ) (2 ) 8. 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) a b c b c a c a b a b c b c a c a b + + + + + + + + ≤ + + + + + + GV. Phaïm Troïng Thö - THPT chuyeân Nguyeãn Quang Dieâu – Đồng Tháp http://nguyenquangdieu.net 5/5 6. Cho , , 0. a b c > Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 1 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) b c a a c b a b c a b c b a c c b a + − + − + − + + ≥ ⋅ + + + + + + 7. Cho , , 0 > a b c th ỏ a mãn 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 3 2( ). + + = + + + a b c a b b c c a Ch ứ ng minh r ằ ng 1 1 1 1. 4 4 4 + + ≤ − − − ab bc ca . a b c Vậy BĐT (5) được chứng minh. Đẳng thức (5) xảy ra khi và chỉ khi . a b c = = Ví dụ 6. Giả sử , , a b c là các số th ự c sao cho 1. + + = a b c Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 2 9 10 1. a f b f c f d a b c d Vậy BĐT (4) được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 4 a b c d = = = = ⋅ Ví dụ 5. Cho , , 0. > a b c Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) (. b f c a b c Vậy BĐT (2) được chứng minh. Đẳng thức (2) xảy ra khi và chỉ khi . a b c = = Ví dụ 3. Cho , , 0 > a b c th ỏ a mãn 3. + + = a b c Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 2 2 1 1 1 2(