Đang tải... (xem toàn văn)
Trong trường THCS việc nâng cao chất lượng dạy và học là vấn đề thường xuyên, liên tục và cực kỳ quan trọng. Để chất lượng học sinh ngày càng được nâng cao yêu cầu người giáo viên phải có một phương pháp giảng dạy phù hợp và hệ thống bài tập đa dạng, phong phú đối với mọi đối tượng học sinh. Qua thời gian dạy lớp 8, tôi thấy khi giảng dạy Chương I phép nhân và phép chia các đa thức, và phân tích đa thức thành nhân tử học sinh thường làm sai đáp số….đối với học sinh lớp 8 đều cần phải thực hiện thành thạo phép nhân chia đa thức và biến đổi đa thức thành nhân tử. Chính vì vậy người giáo viên khi dạy học sinh học toán phải cung cấp cho các em một cách hệ thống các phương pháp thực hiện nhanh các phép toán nhân chia đơn thức đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử vì nó là công cụ giải toán rất hữu hiệu, giải quyết hầu hết các dạng toán trong chương I môn Đại số lớp 8.
Sáng kiến kinh nghiệm: Giải pháp thực phép nhân, chia đa thức phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Phần thứ Đặt vấn đề 1.1 Lý chọn sáng kiến Trong trường THCS việc nâng cao chất lượng dạy học vấn đề thường xuyên, liên tục quan trọng Để chất lượng học sinh ngày nâng cao yêu cầu người giáo viên phải có phương pháp giảng dạy phù hợp hệ thống tập đa dạng, phong phú đối tượng học sinh Qua thời gian dạy lớp 8, thấy giảng dạy Chương I phép nhân phép chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử học sinh thường làm sai đáp số….đối với học sinh lớp cần phải thực thành thạo phép nhân chia đa thức biến đổi đa thức thành nhân tử Chính người giáo viên dạy học sinh học toán phải cung cấp cho em cách hệ thống phương pháp thực nhanh phép toán nhân chia đơn thức đa thức phân tích đa thức thành nhân tử cơng cụ giải tốn hữu hiệu, giải hầu hết dạng tốn chương I mơn Đại số lớp Các vấn đề sáng kiến lựa chọn để đối tượng học sinh tiếp thu Ngoài sáng kiến số vấn đề khó diễn đạt cách đơn giản, dễ hiểu, lời giải, trình bày ngắn gọn để vừa tăng lượng thơng tin khn khổ có hạn sáng kiến, vừa dành lại phần độc lập nghiên cứu cho học sinh, đồng thời nêu bật khâu mấu chốt lời giải Xuất phát từ yêu cầu mong ước trên, chọn sáng kiến: “ Giải pháp thực phép nhân, chia đa thức phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng nó” 1.2 Mục đích sáng kiến: - Trang bị cho học sinh lớp cách có hệ thống phương pháp thực phép nhân, phép chia đa thức phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp học sinh có khả vận dung tốt dạng tốn - Học sinh có khả thực thành thạo phép tính nhân chia đa thức - Học sinh có khả phân tích thành thạo đa thức - Phát huy khả suy luận, phán đốn tính linh hoạt học sinh - Thấy vai trò việc thực phép tính nhân, chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử giải tốn để từ giáo dục ý thức học tập học sinh 1.3 Phương pháp nghiên cứu chủ yếu: Với sáng kiến thực nhiều năm qua Bản thân nghiên cứu hệ thống kiến thức thực phép tính nhân, chia đa thức phân tích đa thức thành nhân tử Cụ thể tài liệu thiết thực học sinh THCS: - Sách giáo khoa lớp 7, - Sách giáo viên lớp 7, - Sách bồi dưỡng thường xuyên tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên Phần thứ hai Nội dung 2.1 Phép nhân phép chia đa thức 2.1.1 Nhân đơn thức với đa thức: Khi thực phép nhân đơn thức với đa thức mà đơn thức mang dấu âm học sinh thực thường lúng túng thực sai kết 1 Ví dụ: ( −2 x ) x + x − ÷ 2 Để học sinh thực nhanh xác kết toán trước dạy cho học ôn tập lại phép nhân đơn thức với đơn thức học lớp Gọi học sinh: Học sinh thực phép tính ( −2 x ) x = ( −2 x ) Học sinh thực phép tính ( −2 x ) x = ( −10 x ) 1 Học sinh thực phép tính ( −2 x ) − ÷ = ( x ) 2 Yêu cầu học sinh lên bảng điền vào chỗ trống , kết điền giáo viên đưa cho học sinh phấn màu để làm bật kết nhận qua rút kết luận kết phép nhân đơn thức ( −2x ) đa thức 1 x + x − ÷ kết phần phép nối kết học sinh vừa thực 2 −2 x5 − 10 x + x3 Từ kết gọi học sinh đưa quy tắc nhân đơn thức với đa thức nhằm giúp học sinh khắc sâu quy trình thực nhân đơn thức với đa thức 2.1.2 Nhân đa thức với đa thức Sau học sinh thực thành thạo phép nhân đơn thức học sinh dễ dàng thực phép nhân đa thức với đa thức 1 Ví dụ: ( x − ) x − x + ÷ Gọi học sinh : Học sinh thực phép tính x x − x + ÷ Học sinh thực phép tính −2 x − x + ÷ Kết học sinh 1là : x3 − x + x Kết học sinh là: -12x2 + 10x - 1 GV ghép nối kết : x3 − x + x -12x2 + 10x - Yêu càu học sinh thu gọn hạng tử đồng dạng sau thu gọn GV kết 1 luận kết phép nhân đa thức ( x − ) với đa thức x − x + ÷ 2 2.2 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích đa thức thành nhân tử ( hay thừa số) biến đổi thành tíc đa thức bậc nhỏ Ví dụ: x3 + y3 = ( x + y) (x2 + xy + y2) Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp 2.2.1.Phương pháp : Đặt nhân tử chung ( thừa số) * Các ví dụ: phân tích đa thức thành nhân tử a 12x2y – 18y3 b 3x2( y -2z) - 15x(y – 2z)2 Giải a Các hạng tử có nhân tử chung 6y, đó: 12x2y – 18y3 = 6y.2x2 – 6y.3y2 = 6y( 2x2 -3y2) b Cacs hạng tử có nhân tử chung là: 3x( y- 2z) Do ta có: 3x2( y -2z) - 15x(y – 2z)2 = 3x(y-2z) [x- 5(y-2z) ] = 3(y – 2zx- 5y +10z) * Chú ý: Nhiều cần đổi dấu để làm xuất nhân tử chung Chẳng hạn đa thức: 2x2 ( 3y –z) + ( z- 3y)( x + y) Có thể viết: 2x2 ( 3y –z) - (3y - z)( x + y) xuất nhân tử chung (3y –z) 2.2.2.Phương pháp 2: Phương pháp dùng đẳng thức * Các ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử a 4x2 -12x +9 c 16x2 – 9( x +y)2 b 27 –27x +9x2 –x3 d – 27x3y6 Giải a 4x2 -12x +9 = ( 2x)2 – 2.2x.3 + 32 = ( 2x – 3)2 b 27 –27x +9x2 –x3 = 33 – 3.32.x +3.3.x2 – x3 = ( – x)3 c 16x2 – 9( x +y)2 = ( 4x)2 - [ 3( x+y) ]2 = ( x-3y)( 7x +y) d – 27x3y6 = 13 – (3xy2)3 = ( 1- 3xy2)(1+ 3xy2 + 9x2y4) * Chú ý Đôi phải đổi dấu áp dụng đẳng thức, chẳng hạn: -x4y2 – 8x2y – 16 = -( x4y2 + 8x2y +16) = - ( x2 y + 4)2 2.2.3.Phương pháp 3: Phương pháp nhóm nhiều hạng tử * Dạng tam thức bậc hai V í d ụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – 6x + Giải Đa thức khơng có thừa số chung, khơng có dạng đẳng thức đáng nhớ khơng thể nhóm hạng tử Ta biến đổi đa thức thành đa thức có nhiều hạng tử cách tách hạng tử thành hay nhiều hạng tử Cách x2 – 6x + = x2 – 2x - 4x2 + = x( x - 2) - 4( x-2) = ( x - 2)( x - 4) Cách x2 – 6x + = x2 – 6x + - = ( x - 3)2 - = ( x - 2)( x - 4) Cách x2 – 6x + = x2 – 4x + - 2x +4 = ( x - 2)2 – 2( x - ) = ( x - 2) ( x - 4) Cách x2 – 6x + = x2 –4 - 6x + 12 = ( x - 2)( x + 2) – 6( x - 2) = ( x - 2) ( x-4) Cách x2 – 6x + = x2 –16 - 6x + 24 = ( x - 4)( x+ 4) – 6( x - 4) = ( x - 2) ( x- 4) Cách x2 – 6x + = 3x2 - 6x + 2x2 + = 3x( x - 2) – 2( x - 2)( x + 2) = ( x - 2) ( x- 4) Nhận xét: Trong cách giải trên, cách đơn giản dễ làm Ở ta tách số hạng bậc -6x thành số hạng -2x -4x Trong đa thức x2 – 2x - 4x2 + hệ số số hạng là: 1; -2; -4; hệ số thứ hai thứ tư gấp -2 lần hệ số liền trước nó, nhờ xuất nhân tử chung ( x – 2) Một cách tổng quát để phân tích đa thức bậc hai ax + bx + c thành nhân b c tử tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho a = b , tức b1.b2 = a.c Trong thực hành ta làm sau: Bước 1: tìm tích a.c Bước 2: phân tích ac thành tích hai thừa số, hai thừa số dấu (vì tích chúng 8) âm ( tổng chúng -6) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 9x2 + 6x - Giải cách tách hạng tử thứ hai 9x2 + 6x – = 9x2 - 6x + 12x - = 3x( 3x – 2) + 4( 3x – 2) = ( 3x – 2)( 3x + 4) Chú ý: hệ số tách thành -6 12 tích ac = 9.(-8) = 72 Cách Tách hạng tử thứ ba 9x2 + 6x – = 9x2 + 6x + - = ( 3x + 1)2 – 33 = ( 3x – 2)( 3x + 4) Nhận xét Qua ví dụ ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác thường nhằm mục đích: - Làm xuất hệ số tỷ lệ, nhờ mà xuất nhâ tử chung ( cách 1) - Làm xuất hiệu hai bình phương ( cách 2) Chú ý: a Đa thức dạng ax2 + bxy + cy2 phân tích cách làm tương tự đa thức bậc hai biến Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4x2 – 7xy + 3y2 Giải Cách 1: 4x2 – 7xy + 3y2 = 4x2 – 4xy – 3xy + 3y2 = 4x(x - y)- 3y(x - y) = ( x - y)(4x-3y) Cách 2: 4x2 – 7xy + 3y2 = 4x2 – 8xy + xy + 4y2 – y2 = 4(( x- y)2 + y(x - y) = ( x - y)(4x - 3y) b Đa thức bậc hai ax2 + bx + c khơng phân tích thành tích nhân tử phạm vi số hữu tỷ, theo cách phân tích a.c tích thừa số ngun cách khơng có hai thừa số có tổng b, theo cách hai sau đưa đa thức bậc hai dạng a(x – k) k khơng phải bình phương số hữu tỷ Chẳng hạn đa thức x + 4x + có tích a.c = = 1.6= 2.3 , khơng có hai thừa số có tổng Cịn theo cách hai thì: x2 + 4x + = x2 + 4x + + = ( x+2)2 – (-2); -2 không bình phường số hữu tỷ Vậy đa thức x + 4x + khơng phân tích thành tích 2.3 Đa thức bậc ba trở lên Để tách hạng tử đa thức làm xuất hệ số tỷ lệ ta thường dùng cách tìm nghiệm đa thức 2.3.1 Nhắc lại số kiến thức nghiệm đa thức * Định nghĩa nghiệm đa thức Số a gọi nghiệm đa thức f(x) = 0, đa thức f(x) có nghiệm x = chứa thừa số x-a Khi xét nghiệm đa thức ta cần nhớ định lý sau: * Định lí 1: Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số nghiệm đa thức * Định lí 2: Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng số hạng bậc lẻ -1 nghiệm đa thức * Định lí 3: đa thức f(x) với hệ số ngun có nghiệm ngun nghiệm nguyên ước hệ số tự Chú ý: để nhanh chióng loại trừ nghiệm hệ số tự do, không nghiệm đa thức dùng nhận xét sau: a nghiệm nguyên đa thức f(x) f(1), f(-1) khác f (1) a −1 f (−1) số nguyên a +1 Ví dụ : f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x – 18 Có ước 18 là: ±1; ±6; ±9; ±18 ±2; ±3 f(1) = -18 f(1) = -44 Hiển nhiên ±1 không nghiệm f(x) −18 −18 −18 −18 Ta thấy (−3 − 1) ; ±6 − ; ±9 − ; ±18 − không nguyên nên −3; ±9; ±18 không −44 nghiệm f(x) ; (2 + 1) không nguyên nên nghiệm f(x) Chỉ -2 kiểm tra thấy nghiệm f(x) * Định lí 4: Đa thức f(x) với hệ số nguyên có nghiệm hữu tỷ x=p/q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao 2.3.2.Các ví dụ Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 – 5x2 + 8x – Ta thấy đa thức cho có tổng hệ số -5 + – = 0, nên nghiệm đa thức Đa thức cho chứa thừa số x-1; ta tách hạng tử sau: x3 – 5x2 +8x – = x3 – x2 + 4x + 4x – = x2 (x-1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) = (x-1)(x2 – 4x + 4) = (x -1)(x-2)2 Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 - 5x2 +3x +9 Ta thấy hệ số đa thức 1+ = -5 +9, nên đa thức cho có nghiệm -1, đa thức chứa thừa số x+1 Ta tách sau: x3 – 5x2 + 3x +9 = x3 – 6x + x – 6x + 9x + = x2(x + 1) - 6x(x +1) + 9(x + 1) = (x + 1)(x-3)2 Ví dụ 3: f(x) = x3 –x2 – Lần lượt kiểm tra với x = ±1; ±2; ±4 Ta thấy f(2) = 0, đa thức có nghiệ x = 2, chứa thừa số x – Ta có: x3 – x2 – = x3 – 2x2 + x2 – 2x + 2x – = x2(x - 2) + x(x – 2) + 2(x – 2) = (x – 2)(x2 + x + 2) Ví dụ 4: 2x3 –x2 +5x +3 Ta thấy ±1; ±3 không nghiệm đa thức , xét số hữu tỷ dạng p/q với p Ư(2) q Ư(3) gồm ± ; ± Ta có − nghiệm đa thức nên 2 chứa thừa số 2x + Vậy: 2x3 – x2 +5x +3 = 2x3 + x2 – 2x2 + 6x – x + = x2(2x + 1) – x(2x + 1) + 3(2x + 1) = (2x + 1)(x2 – x + 3) 2.3.3 Phương pháp thêm bớt hạng tử * Thêm bớt số hạng để xuất hiên đẳng thức Ví dụ: 4x4 + 81 Ta thấy đa thức cho tổng bình phương (2x 2)2 + 92 tương ứng với hai số hạng A2 + B2 đẳng thức A2 +2AB + B2 thiếu 2AB, cần thêm bớt 2.2x2.9 để làm xuất đẳng thức Ta có : 4x4 + 81 = (2x2)2 + 2.2x2.9 + 92 – 2.2x2.9 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 – 6x + 9)(2x2 + 6x + 9) Chú ý: Số hạng thêm bớt phải có dạng bình phương làm tiếp * Thêm bớt số hạng để làm xuất thừa số chung Ví dụ: x4 + = x4 + 4x2 + -4x2 = (x2 +2)2 – (2x)2 = (x2 + +2x)(x2 + – 2x) 2.3.4 Phương pháp đổi biến Thực đỏi biến đa thức cho đa thức bậc nhỏ đơn giản * Các ví dụ Ví dụ 1: ( x2 +x)2 + 4x2 + 4x – 12 Ta thấy đặt (x2 + x) = y đa thức có dạng y2 + 4y -12 Ta có: y2 + 4y – 12 = y2 + 6y – 2y – 12 = y(y + 6) – 2(y + 6) = (y+ 6)(y – 2) Tương đương với: (x2 + x +6)(x2 + x – 2) = (x2 + x +6)(x + 2)(x – 1) Ví dụ 2: (x +2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 Ta có: (x +2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 = [ (x +2)( x+5) ] [ (x+3)(x+4) ]– 24 = (x2 + 7x +10)(x2 + 7x + 12) – 24 (*) Đặt x2 + 7x + 11 = y, (*) bằng; (y-1)(y+1) – 24 = y – 25 = (y-5) (y+5) Tương đương với (x2 + 7x +16)(x2 +7x +6) = (x+1)(x+6)(x2 + 7x +16) 10 2.3.5 Phương pháp hệ số bất định Ví dụ: x4 – 6x3 + 4x2 + 14x + Các hệ số -1;1; -3; nghiệm đa thức nên đa thức khơng có nghiệm hữu tỷ Như đa thức phân tích có dạng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) Phép nhân cho kết quả: x4 + (a+c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng đa thức với đa thức cho ta được: a +c = -6 ac + b + d = ad + bc = 14 bd =3 Xét db =3 với b,d thuộc Z, b ∈ { ±1; ±3} ; với b =-3 d = -1 Khi a+ c =-6 ac = -a –3c = 14 Suy ra: a =-2; c= -4, đa thức phân tích thành: (x2 - 2x - 3)(x2 - 4x - 1) Chú ý: Khi biết kết ta trình bày lời giải cách tách hạng tử : x4 – 6x3 + 4x2 +14x +3 = x4 -2x3 – 3x2 – 4x3 + 8x2 + 12x – x2 + 2x + = x2(x2 -2x – 3) – 4x(x2 – 2x – 3) – (x2 -2x – 3) = (x2 - 2x - 3)(x2 - 4x - 1) 2.3.6 Phương pháp xét giá trị tuyệt đối Trong phương pháp trước hết ta xác định thừa số chứa biến đa thức gán cho biến giá trị cụ thể để xác định thừa số cịn lại Ví dụ: P = x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) Nếu thay x = y P = y2(y – z) + y2(z – y) Như P chứa thừa số x-y Do vai trò x, y, z P nên P chứa x-y chứa y-z z-x Vậy dạng P k(x – y)(y – z)(z – x) 11 Ta thấy k phải số có bậc tập hợp biến x, y, z tích (x-y)(y-z)(z-x) có bậc biến x, y, z Ta có x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) với x,y,z Nên ta gán cho biễn x, y, z giá trị riêng x =1, y =0, z =-1 Ta có: 1.1 +0 +1.1 = k.1.1.(-2) suy k = - Phần thứ ba Kết luận chung kiến nghị 3.1 Kết luận chung Trên suy nghĩ việc làm thực lớp 8,9 có kết đáng kể với học sinh Cuối năm học em quen với loại toán “phép nhân, phép chia đa thức phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”, nắm dạng toán phương pháp giải dạng, em biết trình bày đầy đủ khoa học, lời giải chặt chẽ rõ ràng, cá em bình tĩnh tự tin cảm thấy thích thú giải loại toán Do điều kiện lực thân tơi cịn hạn chế, tài liệu tham khảo chưa đầy đủ nên chắn điầu chưa chuẩn, lời giải chưa phải hay ngắn gọn Nhưng tơi mong sáng kiến nhiều giúp học sinh hiểu kỹ loại toán giải tốn cách lập phương trình Bằng kinh nghiệm rút sau nhiều năm giảng dạy trường phổ thông, học rút từ nhiều năm dự thăm lớp đồng nghiệp, đồng chí trường trường bạn Cùng với giúp đỡ nhiệt tình ban giám hiệu nhà trường, tổ chuyên môn trường THCS Tuân Lộ Tôi hoàn thành sáng kiến “ giải pháp thực phép nhân, phép chia đa thức phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” cho học sinh lớp 8, lớp trường THCS Tôi xin chân thành cảm ơn đồng chí ban giám hiệu nhà trường, cảm ơn đồng chí tổ chun mơn trường THCS Tuân Lộ giúp 12 hoàn thành sáng kiến Tôi mong bảo đồng chí chun mơn phịng giáo dục đào tạo, ý kiến đóng góp đồng chí để vốn kinh nghiệm giảng dạy phong phú 3.2 Kiến nghị - Đề nghị hội đồng tuyển sinh huyện cần quan tâm đến chất lượng tuyển sinh đầu vào - Đề nghị phòng giáo dục đào tao mở chun đề để chúng tơi có điều kiện trao đổi học hỏi thêm - Đề nghị hội phụ huynh học sinh cần quan tâm đến việc học tập em Tơi xin chân thành cảm ơn! Tuân Lộ, ngày 20 tháng 04 năm 2012 Người viết sáng kiến Lê Thị Xuân Hồng Nhận xét đánh giá Hội đồng khoa học nhà trường Nhận xét đánh giá Hội đồng khoa học Phòng giáo dục đào tạo huyện Tân Lạc 13 MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG Lời cam đoan Lời cảm ơn Tài liệu tham khảo Phần thứ nhất: Đặt vấn đề 1.1 Lý chọn sáng kiến 1.2 Mục đích sáng kiến 1.3 Phương pháp nghiên cứu chủ yếu Phần thứ hai: Nội dung 2.1 Phép nhân chia đa thức 2.2 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2.3 Đa thức bậc ba trở lên Phần thứ ba: Kết luận chung kiến nghị 3.1.Kết luận chung 3.2.Kiến nghị 14 1 3 12 ... phương pháp thực phép nhân, phép chia đa thức phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp học sinh có khả vận dung tốt dạng tốn - Học sinh có khả thực thành thạo phép tính nhân chia đa thức -... khắc sâu quy trình thực nhân đơn thức với đa thức 2.1.2 Nhân đa thức với đa thức Sau học sinh thực thành thạo phép nhân đơn thức học sinh dễ dàng thực phép nhân đa thức với đa thức 1 Ví dụ:... hạng tử đồng dạng sau thu gọn GV kết 1 luận kết phép nhân đa thức ( x − ) với đa thức x − x + ÷ 2 2.2 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích đa thức thành nhân tử (