115 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI. A. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1.Đònh nghóa và tính chất: a. Đònh nghóa : a nếu a 0 a a nếu a 0 ≥ ⎧ = ⎨ −≤ ⎩ b. Tính chất : * a0≥ *aaa−≤≤ *a b a b+≤+ dấu “ =” khi ab 0≥ *a b a b−≤ + dấu “ =” xảy ra khi ab 0 ≤ 2. Phương pháp giải toán: a. Dạng cơ bản: AB ABA B=⇔=∨=− cách1 22 AB⇔= cách 2 B0 AB AB ≥ ⎧ =⇔ ⎨ =± ⎩ cách 1 A0 A0 AB A B ≥≤ ⎧⎧ ⇔∨ ⎨⎨ ==− ⎩⎩ cách 2 b. Các dạng khác: Ta thường xét dấu các biểu thức trong các dấu trò tuyệt đối để khử dấu trò tuyệt đối trên mỗi khoảng. Giải phương trình trên mỗi khoảng. Có thể dùng ẩn phụ. 116 II. CÁC VÍ DỤ. Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x 2 3x 1 5 (1)++ −= Giải Xét dấu x + 2 và x – 1 . 7 x2:(1) 2(x2)2(x1)5x 4 ≤ −⇔−+−−=⇔=− (loại) . 2x1:(1) 2(x2)2(x1)5 0x65: − << ⇔ + − − =⇔ += vô nghiệm . 3 x1:(1) 2(x2)2(x1)5 x 4 ≥⇔++−=⇔= (loại) Vậy phương trình vô nghiệm. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 3x 5y 9 0 (1) 2x y 7 0 (2) ⎧ ++= ⎪ ⎨ −−= ⎪ ⎩ (ĐH Hàng Hải năm 1998). Giải Nhận xét: (1) Cho ta: y0,xR < ∀∈ (2) Cho ta: x 0, y R>∀∈ ⇒ hệ chỉ có nghiệm khi x > 0, y < 0 Hệ 3x 5y 9 0 2x y 7 0 ++= ⎧ ⇔ ⎨ +−= ⎩ giải ra: 44 39 x,y 77 ==− Vậy hệ có nghiệm 44 39 x,y 77 ⎛⎞ ==− ⎜⎟ ⎝⎠ 117 Ví dụ 3: Đònh m để phương trình: 22 2x 10x 8 x 5x m−+−=−+ có 4 nghiệm phân biệt. Giải Phương trình cho 22 2x 10x 8 x 5x m⇔− + − − + = Đặt f(x) = 22 2x 10x 8 x 5x−+−−+ Ta có: 2 2 x 5x 8 với x 1 x 4 f(x) 3x 15x 8 với 1 x 4 ⎧ −+ ≤∨≥ ⎪ = ⎨ −+− ≤≤ ⎪ ⎩ 2x 5 với x 1 x 4 f'(x) 6x 15 với 1 x 4 −≤∨≥ ⎧ = ⎨ −+ ≤≤ ⎩ Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: 43 4m 4 << . Ví dụ 4: Giải và biện luận: 2 2m x m m x(m0) (1) xx + +=≠ Giải Điều kiện: x ≠ 0 (1) 22 x 2m x m m (2)⇔+ += Đặt 22 2 txm xtm x t 2mtm=+ ⇒=− ⇒ = − + 118 22 2 (2) t 2mt m 2m t m⇔− + + = 2 2 t0 t0 t0 t4mt ⎡ ≥ ⎧ ⎪ ⎢ ⎨ = ⎪ ⎢ ⎩ ⇔ ⎢ < ⎧ ⎪ ⎢ ⎨ ⎢ − ⎪ ⎩ ⎣ t0 t4m m0 = ⎡ ⎢ = ⎧ ⎢ ⎨ ⎢ < ⎩ ⎣ . t0 x m = ⇒=− . t 4m x 3m(m 0) = ⇒= < Tóm lại: m < 0: Phương trình có 2 nghiệm: x 1 = 3m ; x 2 = - m m > 0: một nghiệm x 2 = - m m = 0: VN (loại vì x = 0) Ví dụ 5: Đònh m để phương trình có nghiệm duy nhất: 2 x2mx1x1 (1)+ +=+ Giải Ta có: 222 x1 (1) (x 2mx 1) (x 1) ≥ ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ ++=+ ⎪ ⎩ 22 x1 x1 x (2m 1)x 0 (2) x (2m 1)x 2 0 (3) ≥− ≥− ⎧⎧ ⎪⎪ ⇔∨ ⎨⎨ +−= +++= ⎪⎪ ⎩⎩ (2) x 0 x 1 2m ⇔ =∨=− Ta nhận thấy x = 0 thỏa điều kiện x1,≥− nê điều kiện cần để phương trình (1) có nghiệm duy nhất là: 12m 0 1 mm1 12m 1 2 −= ⎡ ⇔ =∨ > ⎢ −<− ⎣ Thử lại: + với 2 1 m:(3)x2x20 2 =⇔++= VN + Vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 0 + Với m > 1: (3) cho af(-1 ) = - 2m + 2 < 0 ⇒ (3) có nghiệm x > -1 ⇒ không có nghiệm duy nhất (loại) Vậy 1 m 2 = . 119 III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. 1.1. Giải phương trình: 32x x 5 23x x2 −− = ++− 1.2. Xác đònh k để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt. 2 (x 1) 2 x k−= − 1.3. Tìm tham số a sao cho phương trình: 22 2x 3x 2 5a 8x 2x−−=−− có nghiệm duy nhất. 1.4. Đònh m để phương trình có nghiệm: 22 x2xmx3xm1−+=+−− 1.5. Đònh m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt : 22 2x (2m 1)x m 2 x (m 1)x 2 m−+++=−−+− 120 Hướng dẫn và giải tóm tắt 1.1. Bảng xét dấu : Xét các trường hợp : * 2 x: 3 ≤ − phương trình cho 23 x 3x 23 5x 9 2x 4 9 x2 ⎧ =− − ⎪ ⇔=⇔ ⇔=− ⎨ −− ⎪ ≠− ⎩ thỏa 2 x 3 ≤ − . * 2 x0: 3 − <≤ phương trình cho 1 x 3x 1 5x 7 4x 7 x0 ⎧ = − ⎪ ⇔ =⇔ ⇔= ⎨ ⎪ ≠ ⎩ không thoả điều kiện 2 x0 3 −<≤ . * 3 0x : 2 < ≤ phương trình cho 33x 3 5x 4x 23 − ⇔=⇔= thỏa điều kiện 3 0x 2 < ≤ . * 3 x: 2 > phương trình cho 3 x 3x 19 5x 4x 3 x 2 ⎧ =− ⎪ −+ ⎪ ⇔ =⇔ ⇔∈∅ ⎨ ⎪ > ⎪ ⎩ Tóm lại nghiệm : 23 3 xx 923 =− ∨ = . 121 1.2. 2 2 2 2(x k) (x 1) (x 1) 2x k(1) 2(x k) (x 1) ⎡ −=− −= − ⇔ ⎢ ⎢ −=−− ⎣ 2 2 x4x2k10 (2) x2k1 (3) ⎡ −++= ⇔ ⎢ ⎢ =− ⎣ Để phương trình có nghiệm phân biệt ⇔ Điều kiện là phương trình (2), (3), mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt và chúng không có nghiệm chung. Nhận xét nếu (2) và (3) có nghiệm chung thì nghiệm chung phải là nghiệm của hệ phương trình : 2 2 x4x2k10 (2) x2k1 (3) ⎧ −++= ⎪ ⎨ =− ⎪ ⎩ (3) 2 2k x 1⇔=+ thế vào (2), ta được : 22 2 x4xx20(x1)0x1k1−++=⇔− =⇔=⇒= Ta loại k = 1 Với k 1≠ , điều kiện : '0 13 2k 1 0 k k 1 22 k1 ∆> ⎧ ⎪ −> ⇔ < < ∧ ≠ ⎨ ⎪ ≠ ⎩ 1.3. 22 2x 3x 2 5a 8x 2x−−=−− 22 2x 8x 2x 3x 2 5a⇔++−−= Đặt 2 22 1 4x 5x 2 nếu x x 2 2 f(x) 2x 8x 2x 3x 2 1 11x + 2 nếu - x 2 2 ⎧ +− ≤−∨≥ ⎪ ⎪ =++ −−= ⎨ ⎪ << ⎪ ⎩ 1 8x 5 nếu x x 2 2 f'(x) 1 11 nếu x 2 2 ⎧ +≤−∨≥ ⎪ ⎪ ⇒= ⎨ ⎪ −<< ⎪ ⎩ 122 Bảng biến thiên: Bảng biến thiên cho ta phương trình có nghiệm duy nhất 57 57 a 16.5 80 − ⇔=− = 1.4. 22 x2xmx3xm1 − +=+−− (*) (*) 2 222 2 x3xm10 (x 2x m) (x 3x m 1) ⎧ +−−≥ ⎪ ⇔ ⎨ −+ = +−− ⎪ ⎩ 2 2 x3xm10 5x 2m 1 2x x 1 0 ⎧ +−−≥ ⎪ ⇔ ⎨ = +∨ + −= ⎪ ⎩ 22 x 3xm10 x 3xm10 2m 1 1 xx1x 52 ⎧⎧ + −−≥ + −−≥ ⎪⎪ ⇔∨ ⎨⎨ + ==−∨= ⎪⎪ ⎩⎩ Đặt 2 f(x) x 3x m 1 = +−− * Có nghiệm 2m 1 3 f0 m3m 5 4 f( 1) 0 m 3 m R 3 1 m f0 4 2 ⎡ + ⎛⎞ ⎡ ≥ ≤− ∨ ≥ ⎢ ⎜⎟ ⎢ ⎝⎠ ⎢ ⎢ ⎢ ⇔−≥ ⇔ ≤− ⇔∈ ⎢ ⎢ ⎢ ⎛⎞ ⎢ ⎢ ≤ ≥ ⎜⎟ ⎢ ⎢ ⎣ ⎝⎠ ⎣ 123 1.5. 22 2x (2m 1)x m 2 x (m 1)x 2 m−+++=−−+− 22 22 2x (2m 1)x m x (m 1)x 2 m 2x (2m 1)x m 2 x (m 1)x 2 m ⎡ −+++=−−+− ⇔ ⎢ ⎢ −+++=−+−−+ ⎣ 2 2 g(x) x(m2)x2m0 (1) 3x 3mx 4 0 (2) ⎡ −+ + = ⇔ ⎢ ⎢ −+= ⎣  Để phương trình cho có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt, (2) có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm phân biệt của (1) và (2) khác nhau. (1) có : 2 112 (m 2) 0 m 2 :x m,x 2∆= − > ⇔ ≠ = = (2) có : 2 2 43 43 9m 48 0 mm 33 g(m) 0 8 g(2) 0 m 3 ⎧ − ⎧ ∆= − > <∨> ⎪ ⎪ ⎪ ≠⇔ ⎨⎨ ⎪⎪ ≠ ≠ ⎩ ⎪ ⎩