ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGÔ THỊ HUỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN ỨNG DỤNG Bộ mơn : Giải tích KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn TS.TRƯƠNG VĂN THƯƠNG Huế, Khoá học 2007-2011 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.2 Tốn tử tuyến tính liên tục 1.3 Toán tử compact 1.4 Không gian Hilbert Phương trình hàm 2.1 9 2.1.1 Dạng phương trình tổng quát 2.1.2 Điều kiện tồn nghiệm phương trình hàm loại I 10 2.1.3 Một số ví dụ phương trình hàm loại I 10 Phương trình hàm loại II 13 2.2.1 Dạng phương trình tổng quát 13 2.2.2 2.2 Phương trình hàm loại I Một số tính chất phương trình hàm loại II với hạt nhân toán tử compact Một số toán liên quan đến phương trình hàm 14 29 3.1 Các tốn liên quan đến toán tử compact 29 3.2 Một số phương trình hàm sơ cấp có liên quan 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 LỜI MỞ ĐẦU Giải tích hàm ngành giải tích tốn học nghiên cứu không gian vectơ trang bị thêm cấu trúc tơpơ phù hợp tốn tử tuyến tính liên tục chúng Ngồi kiến thức bản, đại cương không gian định chuẩn số định lý quan trọng giải tích hàm tuyến tính nội dung ngành giải tích hàm cịn xét vấn đề cụ thể không gian Lp , không gian Hilbert vấn đề liên quan đến tốn tử tuyến tính Trong chương trình học chúng em, mơn giải tích hàm đưa vào trở thành học phần quan trọng học kỳ hai năm ba học kỳ năm bốn Học phần chúng em làm quen nắm tính chất khơng gian Banach, tốn tử tuyến tính liên tục, tốn tử compact Đặc biệt tốn tử tuyến tính liên tục tốn tử compact có tính chất đặc biệt liên quan đến việc giải số phương trình không gian hàm mà ta gọi phương trình hàm Chính điều khố luận với đề tài: "Phương trình hàm số tốn ứng dụng" nghiên cứu dạng phương trình hàm ứng dụng giải số phương trình thường gặp Nội dung nghiên cứu em kết tìm thấy, với tinh thần tìm tịi học hỏi kiến thức mới, hy vọng đề tài đem lại nhiều kiến thức bổ ích cho thân nhiều thú vị cho độc giả Nội dung khoá luận gồm ba chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phương trình hàm Chương 3: Một số tốn liên quan đến phương trình hàm Tuy có nhiều cố gắng, song hạn chế thời gian lực thân nên khố luận khơng tránh khỏi sai sót, mong quan tâm góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Huế, ngày tháng năm 2011 Tác giả CHƯƠNG Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian định chuẩn, X gọi không gian Banach dãy Cauchy X hội tụ điểm Ví dụ 1.1.2 X = C[a,b] tập hợp hàm số liên tục [a, b] x = max | x(t) | t∈[a,b] , với x ∈ X Khi (X, ) không gian Banach X = l2 = {x = (xn )n ⊂ K | ∞ | xn |2 < +∞} n=1 l2 không gian Banach với chuẩn: ∞ | xn |2 x = n=1 Cho (X, A, µ) khơng gian độ đo E ∈ A Xét không gian L2 (E, µ) = {f : E → C | | f |2 dµ < +∞} E Khi L2 (E, µ) khơng gian Banach với chuẩn: | f |2 dµ) f =( E Mệnh đề 1.1.3 X không gian Banach, M không gian đóng X Khi M khơng gian Banach 1.2 Tốn tử tuyến tính liên tục Ta kí hiệu L(X, Y ) khơng gian gồm toán tử A : X → Y tuyến tính liên tục Định lí 1.2.1 Giả sử A : X → Y tốn tử tuyến tính có toán tử ngược A−1 : Y → X liên tục Khi (∀x ∈ X) Ax ≥ m x , với m ≤ A−1 −1 Ngược lại, giả sử A toàn ánh tồn m0 > cho (∀x ∈ X) A−1 tồn tại, liên tục Ax ≥ m0 x A−1 ≤ m−1 Bổ đề 1.2.2 (Bổ đề Riesz) Giả sử Y khơng gian đóng khơng gian định chuẩn X khác X Cho z0 ∈ X\Y Y {z0 } cho x0 = 1, > Lúc tồn x0 thuộc x0 − y > − , với y ∈ Y Định lí 1.2.3 (Định lí Banach) Giả sử X, Y hai khơng gian Banach A : X → Y song ánh tuyến tính liên tục Khi A phép đồng phơi tuyến tính Mệnh đề 1.2.4 Cho X không gian định chuẩn Giả sử x1 , x2 , , xn vector độc lập tuyến tính X Khi tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ , x∗ , , x∗ ∈ X ∗ cho n   1, i = j x∗ (xj ) = , i  0, i = j 1.3 (i, j = 1, n) Toán tử compact Định nghĩa 1.3.1 Cho X, Y hai khơng gian định chuẩn Tốn tử tuyến tính A : X → Y gọi tốn tử compact A ánh xạ hình cầu đóng đơn vị B (0, 1) X thành tập compact tương đối Y Tính chất 1.3.2 Cho A : X → Y toán tử tuyến tính Lúc A tốn tử compact A biến tập hợp bị chặn X thành tập compact tương đối Y Nếu không gian định chuẩn Y hữu hạn chiều A : X → Y tuyến tính liên tục A compact Toán tử đồng I = id : X → X compact X hữu hạn chiều Cho X, Y hai không gian định chuẩn, A : X → Y toán tử tuyến tính Khi A gọi tốn tử hữu hạn chiều dim A(X) < +∞ Nếu A tốn tử tuyến tính liên tục A hữu hạn chiều A compact Tốn tử compact liên tục Định nghĩa 1.3.3 Cho X không gian định chuẩn, A : X → X tốn tử tuyến tính liên tục Giả sử λ ∈ C cho tồn vectơ x = X nghiệm Ax = λx λ gọi giá trị riêng toán tử A x vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ Định nghĩa 1.3.4 Cho X không gian định chuẩn, A : X → X tốn tử tuyến tính liên tục Ta gọi λ ∈ C giá trị phổ toán tử A khơng tồn tốn tử ngược bị chặn (A − λI)−1 Tập hợp giá trị phổ A gọi phổ toán tử A, ký hiệu σ(A) Nếu λ giá trị riêng tốn tử A λ ∈ σ(A) Định nghĩa 1.3.5 Số µ khơng thuộc phổ σ(A) µ gọi giá trị quy tốn tử A nghĩa tồn tốn tử tuyến tính liên tục (A − µI)−1 Tập hợp giá trị quy A ký hiệu ρ(A) Định lí 1.3.6 Cho X không gian Banach, A toán tử compact X λ = Khi khơng gian vectơ đóng N (A − λI) = {x ∈ X : (A − λI)x = 0} = {x ∈ X : Ax = λx} có số chiều hữu hạn Định nghĩa 1.3.7 (Toán tử liên hiệp) Cho X, Y hai không gian định chuẩn, A : X → Y toán tử tuyến tính liên tục Lúc tốn tử tuyến tính liên tục A∗ : Y ∗ → X ∗ gọi toán tử liên hiệp toán tử A ∀y ∗ ∈ Y ∗ , ∀x ∈ X, (A∗ y ∗ )(x) = y ∗ (Ax) Định lí 1.3.8 Giả sử X không gian định chuẩn, A toán tử compact Với B toán tử tuyến tính liên tục, tốn tử BA AB compact Từ định lí ta suy hợp hữu hạn toán tử compact tốn tử compact Định lí 1.3.9 Giả sử X, Y hai không gian định chuẩn, A : X → Y, B : X → Y toán tử compact Với số α, β, toán tử αA + βB compact 1.4 Khơng gian Hilbert Định lí 1.4.1 Cho {en , n = 1, 2, } hệ trực chuẩn không gian Hilbert ∞ X {λn }n dãy trường số K Ta có chuỗi ∞ x ∈ X chuỗi số λn en hội tụ vectơ n=1 | λn |2 hội tụ n=1 Định nghĩa 1.4.2 (Toán tử liên hiệp không gian Hilbert) Cho X, Y hai không gian Hilbert, A : X → Y tốn tử tuyến tính liên tục Lúc tốn tử tuyến tính liên tục A∗ : Y ∗ → X ∗ gọi toán tử liên hiệp toán tử A ∀x ∈ X, y ∈ Y : x, A∗ y = Ax, y Định nghĩa 1.4.3 (Tốn tử tự liên hiệp khơng gian Hilbert) Cho X không gian Hilbert, A ∈ L(X) A gọi toán tử tự liên hiệp nếu: ∀x, y ∈ X : x, Ay = Ax, y Định lí 1.4.4 Cho X khơng gian Hilbert, A ∈ L(X) toán tử tự liên hiệp µ giá trị riêng A µ số thực Định lí 1.4.5 Cho X không gian Hilbert, A ∈ L(X) tốn tử compact tự liên hiệp Khi với x ∈ X, tồn phần tử x0 ∈ X mà A(x0 ) = cho x biểu diễn dạng ∞ x, en en + x0 , x= n=1 {en , n = 1, 2, } hệ thống trực chuẩn vectơ riêng A ứng với giá trị riêng khác Định lí 1.4.6 Cho X khơng gian Hilbert, A ∈ L(X) tốn tử compact tự liên hiệp {en , n = 1, 2, } hệ thống trực chuẩn vectơ riêng A ứng với giá trị riêng λn = A Khi với x ∈ X ta có ∞ λn x, en en Ax = n=1 Định lí 1.4.7 Cho A ∈ L(X) tốn tử compact tự liên hiệp khơng gian Hilbert X Khi λ = λ ∈ σ(A) λ giá trị riêng A Định lí 1.4.8 Tập hợp tất giá trị riêng khác toán tử compact tự liên hiệp A ∈ L(X) không gian Hilbert X hữu hạn đếm Nếu đếm tập hợp tạo thành dãy hội tụ CHƯƠNG Phương trình hàm 2.1 Phương trình hàm loại I 2.1.1 Dạng phương trình tổng quát Cho X, Y hai không gian Banach mà phần tử chúng hàm số Định nghĩa 2.1.1.1 Cho A : X → Y tốn tử tuyến tính liên tục Phương trình có dạng: (x ∈ X, y ∈ Y ) Ax = y (2.1.1) gọi phương trình hàm loại I Ví dụ 2.1.1.2 Cho X = Y = C[1,2] không gian định chuẩn gồm hàm liên tục [1, 2] với x = max | x(t) | với x ∈ X Khi X t∈[1,2] không gian Banach Giả sử A:X→X x → Ax, xác định bởi: Ax(t) = tx(t), với t ∈ [1, 2] Ta chứng minh A tốn tử tuyến tính liên tục Khi ta có phương trình: Ax = y, (y ∈ X) phương trình loại I Nghiệm phương trình hàm x(t) = y(t) , với t ∈ [1, 2] t 2.1.2 Điều kiện tồn nghiệm phương trình hàm loại I Mệnh đề 2.1.2.1 Cho X, Y hai không gian Banach A : X → Y song ánh tuyến tính liên tục Khi phương trình (2.1.1) có nghiệm Chứng minh Xét phương trình (2.1.1): (x ∈ X, y ∈ Y ) Ax = y Vì A song ánh tuyến tính liên tục nên theo Định lí 1.2.3 với y ∈ Y tồn x ∈ X cho Ax = y Do với y ∈ Y phương trình (2.1.1) có nghiệm Mệnh đề 2.1.2.2 Nếu X, Y hai không gian Banach, A : X → Y toàn ánh tuyến tính tồn m0 > cho Ax ≥ m0 x với x ∈ X phương trình (2.1.1) có nghiệm Chứng minh Vì A tồn ánh tuyến tính tồn m0 > cho Ax ≥ m0 x với x ∈ X nên theo Định lý 1.2.1 suy A−1 tồn Khi với y ∈ Y tồn A−1 y = x ∈ X thoả mãn phương trình (2.1.1) Do phương trình (2.1.1) có nghiệm 2.1.3 Một số ví dụ phương trình hàm loại I Ví dụ 2.1.3.1 Cho X = C[1,2] khơng gian định chuẩn trường K gồm hàm liên tục [1, 2] với x = max | x(t) | với x ∈ X Khi X t∈[1,2] không gian Banach Giả sử A:X→X x → Ax xác định bởi: Ax(t) = x(2) − tx(t), với t ∈ [1, 2] Hãy giải phương trình Ax = y, (y ∈ X) 10 (2.1.2) suy x = x + u nghiệm phương trình (2.2.27) ¯ Như ta cần chứng minh x= ¯ en ∈N (Tλ / y0 y, en en − λ − λm λm ) n (2.2.31) thỏa mãn phương trình (2.2.27) Thật vậy, λn = λm với số n cho en ∈ N (Tλ ) theo Định lí / 1.4.8 ta có λn → 0, nên | λn − λm |≥ r > với số n Tương tự câu a) ta suy chuỗi vế phải (2.2.31) hội tụ, xác định phần tử x ∈ X ta có: ¯ λn A¯ = x en ∈N (Tλ ) / y, en en , λn − λm A¯ − λm x = x ¯ y, en en + y0 en ∈N (Tλ ) / Mặt khác y ⊥ N (Tλ ) nên y, en = với số n cho en ∈ N (Tλ ), y, en en + y0 y= en ∈N (Tλ ) / Suy A¯ − λ¯ = y x x k Do x nghiệm phương trình (2.2.27) Ta có ¯ i=1 ci emi ∈ N (Tλ ) Vì nghiệm tổng quát phương trình (2.2.27) có dạng (2.2.30) 28 CHƯƠNG Một số tốn liên quan đến phương trình hàm 3.1 Các toán liên quan đến toán tử compact Bài toán 3.1.1 Cho X = L2 không gian định chuẩn gồm hàm đo [0,1] [0, 1] cho: | f |2 dµ < +∞ [0,1] f =( | f |2 dµ) , với f ∈ X [0,1] Giả sử A:X→X x → Ax xác định bởi: Ax(t) = tx(t), ∀t ∈ [0, 1] Giải phương trình: Ax − 2x = y, với y(t) = t2 với t ∈ [0, 1] Bài giải: Xét phương trình (3.1.1) : Ax − 2x = y ⇔ Ax(t) − 2x(t) = y(t), h.k.n [0, 1] ⇔ tx(t) − 2x(t) = t2 , h.k.n [0, 1] ⇔ (t − 2)x(t) = t2 , h.k.n [0, 1] 29 (3.1.1) t2 Ta có: x(t) = , với t ∈ [0, 1] hàm thuộc L2 [0,1] t−2 Vậy phương trình (3.1.1) có nghiệm hàm x(t) = t2 với t−2 t ∈ [0, 1] Bài toán 3.1.2 Cho X = C[0,2π] không gian định chuẩn gồm hàm liên tục [0, 2π] với x = max | x(t) | với x ∈ X Giả sử t∈[0,2π] A:X→X xác định bởi: 2π sin tx(s)ds, với t ∈ [0, 2π] Ax(t) = a) Chứng minh A compact b) Giải phương trình hàm Ax − x = y, y(t) = t, với t ∈ [0, 2π] (3.1.2) Bài giải: a) Ta chứng minh A toán tử tuyến tính liên tục Mặt khác 2π x(s)ds = sin t.α, với α ∈ K Ax(t) = sin t Đặt x0 (t) = sin t, với t ∈ [0, 2π] Khi Ax = αx0 , với α ∈ K Suy A(X) = {x0 } nên dim A(X) = < +∞ Do A tốn tử compact b) Xét phương trình: Ax − x = y ⇔ Ax(t) − x(t) = y(t), ∀t ∈ [0, 2π] 2π ⇔ sin tx(s)ds − x(t) = t, ∀t ∈ [0, 2π] 2π ⇔ x(t) = sin t x(s)ds − t, ∀t ∈ [0, 2π] 30 Đặt 2π x(s)ds = M Khi x(t) = sin t.M − t 2π ⇒ 2π 2π sin sds − x(s)ds = M sds 2π ⇔M =− sds ⇔ M = −2π Do x(t) = −2π sin t − t, với t ∈ [0, 2π] Ta thấy x(t) ∈ C[0,2π] Vậy phương trình (3.1.2) có nghiệm hàm x(t) = −2π sin t − t, với t ∈ [0, 2π] Bài toán 3.1.3 Cho X = C[0,1] không gian định chuẩn gồm hàm liên x = max | x(t) | với x ∈ X Giả sử tục [0, 1] với t∈[0,1] A:X→X x → Ax xác định bởi: Ax(t) = x(0) + tx(1), với t ∈ [0, 1] Giải phương trình : Ax − 2x = y, y(t) = t2 + 1, với t ∈ [0, 1] Bài giải: Ta chứng minh A toán tử compact Xét phương trình (3.1.3): Ax − 2x = y ⇔ Ax(t) − 2x(t) = y(t), ∀t ∈ [0, 1] ⇔ x(0) + tx(1) − 2x(t) = t2 + 1, ∀t ∈ [0, 1] 31 (3.1.3) t2 + x(0) tx(1) ⇔ x(t) = − + + 2 Ta có: x(0) − 2x(0) = ⇔ x(0) = −1 x(0) + x(1) − 2x(1) = ⇔ x(1) = −3 Do t2 + 1 3t − − với t ∈ [0, 1] x(t) = − 2 −t2 − 3t − ⇔ x(t) = với t ∈ [0, 1] Ta thấy x(t) ∈ C[0,1] Vậy phương trình (3.1.3) có nghiệm hàm −t2 − 3t − x(t) = với t ∈ [0, 1] Bài toán 3.1.4 Cho X = L2 không gian định chuẩn gồm hàm đo [0,1] [0, 1] cho: | f |2 dµ < +∞ | f |2 dµ) , với f ∈ X f =( [0,1] [0,1] Giả sử A:X→X x → Ax xác định bởi: tx(s)ds, với t ∈ [0, 1] Ax(t) = Giải phương trình: a Ax − x = y, y(t) = t2 , với t ∈ [0, 1] (3.1.4) b Ax − x = y, (y ∈ X) Bài giải: Ta chứng minh A tốn tử compact a Xét phương trình (3.1.4): Ax − x = y 32 (3.1.5) ⇔ Ax(t) − x(t) = y(t), h.k.n [0, 1] 1 ⇔t x(s)ds − x(t) = t2 , h.k.n [0, 1] x(s)ds − 2t2 , h.k.n [0, 1] ⇔ x(t) = 2t Đặt M= x(s)ds, x(t) = 2t.M − 2t2 ⇒ 1 2s2 ds 2sds − x(s)ds = M 0 ⇔ M = M − ( Vơ lí ) Vậy phương trình (3.1.4) vô nghiệm b Với y ∈ X xét phương trình (3.1.5): Ax − x = y ⇔ Ax(t) − x(t) = y(t), h.k.n [0, 1] x(s)ds − x(t) = y(t), h.k.n [0, 1] ⇔t ⇔ x(t) = t x(s)ds − y(t), h.k.n [0, 1] Với M= x(s)ds, ta x(t) = t.M − y(t) ⇒ 1 sds − x(s)ds = M M ⇔M = − y(s)ds ⇔ M = −2 y(s)ds 33 y(s)ds Suy : y(s)ds − y(t), với t ∈ [0, 1] x(t) = −2t Ta thấy x(t) ∈ L2 [0,1] Vậy phương trình (3.1.5) có nghiệm hàm y(s)ds − y(t), với t ∈ [0, 1] x(t) = −2t với hàm y(t) ∈ X 3.2 Một số phương trình hàm sơ cấp có liên quan Một số tốn giải phương trình hàm sơ cấp ta chuyển dạng phương trình gắn với tốn tử Nhưng chúng chưa phải hai dạng phương trình hàm mà ta xét chương hàm cần tìm khơng thuộc không gian Banach Ta xét số tốn sau: Bài tốn 3.2.1 Tìm hàm f : R → R liên tục thỏa mãn phương trình: f (x) + f ( 2x 3x )= , với x ∈ R Bài toán tương đương với tốn: Cho X khơng gian hàm số liên tục R A:X→X xác định bởi: Af (x) = f (x) + f ( 2x ), với x ∈ R Tìm hàm f thỏa mãn phương trình Af = g, g(x) = 3x , với x ∈ R Bài giải: 2x Đặt x1 = ⇒ f (x) + f (x1 ) = x x2 = x1 ⇒ f (x1 ) + f (x2 ) = x1 34 (3.2.1) xn+1 = xn , n ∈ N∗ ⇒ f (xn ) + f (xn+1 ) = xn 3  f (x) + f (x1 ) = x  (1)      f (x ) + f (x ) = x  (2) Ta có hệ:         f (x ) + f (x ) = x  (n + 1) n n+1 n Nhân dịng phương trình (i) với (−1)i+1 cộng vế theo vế ta được: 2 f (x) + (−1)n+2 f (xn+1 ) = x[1 − + ( )2 − + (− )n ] 3 (3.2.2) Xét lim | (−1)n+2 f (xn+1 ) | = lim | f (xn+1 ) | = | f (lim(xn+1 )) | = | f (0) | (Vì f hàm liên tục ) Mặt khác từ (3.2.1) suy f (0) = nên lim(−1)n+2 f (xn+1 ) = Lấy giới hạn hai vế (3.2.2) ta f (x) = x + 1+ = 9x , với x ∈ R 25 Thử lại ta thấy hàm f (x) thỏa mãn phương trình (3.2.1) 9x , với x ∈ R Vậy f (x) = 25 Bài tốn 3.2.2 Tìm f : R → R thỏa mãn phương trình f (x) + xf (−x) = x + 1, với x ∈ R Bài toán tương đương với toán sau: Cho X không gian gồm hàm A:X→X xác định bởi: Af (x) = f (x) + xf (−x), với x ∈ R Tìm hàm f thỏa mãn phương trình Af = g, g(x) = x + 1, với x ∈ R 35 (3.2.3) Bài giải: Đặt t = −x ta được: f (−t) − tf (t) = −t + 1, với t ∈ R Khi ta có hệ:   f (x) + xf (−x) = x +  −xf (x) + f (−x) = −x + suy f (x) = 1, với x ∈ R Thử lại ta thấy f (x) = nghiệm phương trình (3.2.3) Vậy f (x) = 1, với x ∈ R Bài tốn 3.2.3 Tìm hàm f (x) thỏa mãn phương trình: 3f (x) − 4f ( ) = x2 , với x = x (3.2.4) Bài toán tương đương với toán sau: Cho X không gian gồm hàm A:X→X xác định bởi: Af (x) = 3f (x) − 4f ( ), với x = x Tìm hàm f thỏa mãn phương trình Af = g, g(x) = x2 , với x = Bài giải: Chọn x = y x = ta có: y 3f (y) − 4f ( ) = y y 1 3f ( ) − 4f (y) = y y Nhân phương trình thứ với phương trình thứ hai với cộng vế theo vế ta được: −7f (y) = 3y + 4 ⇔ f (y) = − y − y2 7y 36 Thử lại ta có: 12 12 16 3f (x) − 4f ( ) = − x2 − + + x2 = x2 x 7y 7y Vậy phương trình (3.2.4) có nghiệm hàm f (x) = − x2 − , với x = 7x Ngồi có nhiều phương trình hàm sơ cấp xét khơng gian hàm ta không đưa chúng dạng phương trình gắn với tốn tử Ta xét số tốn sau: Xét phương trình Cauchy f (x + y) = f (x) + f (y), (x, y ∈ R) (3.2.5) Ta có định lí sau nghiệm phương trình Cauchy Định lí 3.2.4 Nếu phương trình (3.2.4) thỏa mãn với x, y ∈ R hàm f (x) thỏa mãn điều kiện sau: liên tục điểm; không âm với x ≥ 0; bị chặn khoảng; khả tích; đo Khi f (x) = cx, (x ∈ R) (3.2.6) với c số tùy ý Chứng minh Ta chứng minh định lí với giả sử hàm f (x) liên tục Ta có: f (nx) = nf (x) với n ∈ N∗ (3.2.7) Ta chứng minh điều quy nạp với n = hàm f (x) = x nghiệm phương trình (3.2.5) nên (3.2.7) với n = Giả sử (3.2.6) với n cần chứng minh (3.2.7) với n + Ta có f [(n + 1)x] = f (nx + x) = f (nx) + f (x) = nf (x) + f (x) = (n + 1)f (x) 37 Bây ta chứng minh (3.2.6) với số hữu tỉ dương x Lấy m, n hai số nguyên dương x, t số hữu tỉ cho nx = mt, ta có: f (nx) = f (mt) ⇒ nf (x) = mf (t) ⇒ f (x) = f ( m m t) = f (t) n n m m m ) = f (1) = c với c = f (1) n n n Điều chứng tỏ f (x) = cx, với x ∈ Q+ Từ (3.2.5) chọn x = y = suy f ( f (0) = chọn y = −x ta được: f (−x) = −f (x) = −cx = c(−x) f (0) = Do f (x) = cx, với x ∈ Q Từ tính liên tục hàm f (x) suy f (x) = cx, với x ∈ R Bài tốn 3.2.5 Tìm hàm f : Q → Q thỏa mãn phương trình: f (x + y) = f (x) + f (y) + xy, với x, y ∈ Q (3.2.8) Bài giải: x2 Đặt g(x) = f (x) − Ta có: x2 y − − xy 2 y2 x2 ⇔ g(x + y) = f (x) − + f (y) − = g(x) + g(y) 2 Do g(x + y) = g(x) + g(y) nên g(x) nghiệm phương trình Cauchy x2 Theo Định lí 3.2.4 ta có g(x) = ax, (a ∈ Q) suy f (x) = ax + Thử lại ta thấy hàm f (x) thỏa mãn phương trình (3.2.8) x2 Vậy phương trình (3.2.8) có nghiệm f (x) = ax + , với x ∈ Q (a ∈ Q) g(x + y) = f (x + y) − Bài toán 3.2.6 Chứng minh hàm f : (0, +∞) → R đơn điệu thỏa mãn điều kiện f (xy) = f (x)f (y), với x, y > f (x) = 0, với x > tồn c cho f (x) = xc , với x > Chứng minh Với x > 0, f (x) = f (x )2 ≥  f (1) = Ta có f (1) = f (1)f (1) ⇒  f (1) = 38 • Nếu f (1) = f (x) = f (x)f (1) = 0, với x > • Nếu f (1) = f (x) > 0, với x > (Vì f (x) = suy f (1) = f (x)f ( ) = điều mâu thuẫn) x Ta định nghĩa hàm g : R → R cho g(w) = ln f (ew ) Khi : g(x+y) = ln f (ex+y ) = ln f (ex ey ) = ln[f (ex )f (ey )] = ln f (ex )+ln f (ey ) = g(x)+g(y) Vì f hàm đơn điệu nên g hàm đơn điệu Khi theo Định lí 3.2.4 ta có g(w) = cw, với w c = g(1) Do f (x) = xc , với x > Bài tốn 3.2.7 Tìm tất hàm số: f :R→R thỏa mãn: f ((x − y)2 ) = f (x)2 − 2xf (y) + y Bài giải: Chọn x = ⇒ f (y ) = f (0)2 + y  Khi y = ⇒ f (0) = f (0)2 ⇔  f (0) = f (0) = • Nếu f (0) = ta có f (y ) = y + 1, với y ∈ R Do f (x) = x + 1, với x ≥ Ta có: f ((x − y)2 ) = (x − y)2 + 1, với x, y ∈ R ⇔ f (x)2 − 2xf (y) + y = (x − y)2 + 1, với x, y ∈ R Chọn x = f (1)2 − 2f (y) + y = − 2y + y + suy f (y) = y + 1, với y ∈ R • Nếu f (0) = f (x) = x với x ≥ Ta có: (x − y)2 = f (x)2 − 2xf (y) + y Chọn x = ta (1 − y)2 = − 2f (y) + y suy f (y) = y, với y ∈ R 39 (3.2.9) Thử lại ta thấy hàm f (x) = x f (x) = x + 1, với x ∈ R thỏa mãn phương trình (3.2.9) Vậy phương trình (3.2.9) có hai nghiệm hàm f (x) = x, với x ∈ R hàm f (x) = x + 1, với x ∈ R 40 KẾT LUẬN Trong khóa luận tốt nghiệp này, em trình bày số dạng phương trình hàm liên quan đến tốn tử khơng gian hàm, đặc biệt cố gắng nghiên cứu số tính chất phương trình hàm loại II với hạt nhân tốn tử compact thơng qua bổ đề định lí Ngoài em số tốn ứng dụng liên quan đến phương trình hàm Tuy nhiên hạn chế lực thời gian nên khóa luận chưa nghiên cứu sâu số tính chất liên quan đến đề tài Vì em mong quý thầy cô giáo bạn sinh viên đóng góp ý kiến cho khóa luận hoàn chỉnh Một lần em xin chân thành cảm ơn tất quý thầy cô giáo bạn sinh viên giúp đỡ em suốt q trình nghiên cứu hồn thành khóa luận Huế, tháng năm 2011 Sinh viên thực 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Dr.Kin-Yin LI, Mathematical Excalibur - Functional Equations, Hong Kong, 2003 [2] E Castillo, A.Iglesias and R.Ruiz-Cobo, Functional Equations in Applied Sciences, Elsevier, 2005 [3] L.V Kantorovich and G.P Akilov, Function ananlysis, Oxford, 1982 [4] Nguyễn Hồng Lê Văn Hạp, Giáo trình Giải tích hàm, Huế 2006 [5] Nguyễn Xuân Liêm, Bài tập Giải tích hàm, Nxb Giáo dục, 2000 [6] Phan Đức Chính, Giải tích hàm, T.1, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1978 [7] Http://en.wikipedia.org/wiki [8] Http://tailieu.vn/xem-tai-lieu//cac-phuong-phap-giai-phuong-trinh-hamthuong-dung [9] Marko Radovanovic, "Functional Equations", www.imomath.com, 2007 42 ... giải số phương trình khơng gian hàm mà ta gọi phương trình hàm Chính điều khố luận với đề tài: "Phương trình hàm số tốn ứng dụng" nghiên cứu dạng phương trình hàm ứng dụng giải số phương trình. .. Phương trình hàm 2.1 9 2.1.1 Dạng phương trình tổng quát 2.1.2 Điều kiện tồn nghiệm phương trình hàm loại I 10 2.1.3 Một số ví dụ phương trình hàm loại I 10 Phương trình. .. [0,1] Vậy phương trình (3.1.5) có nghiệm hàm y(s)ds − y(t), với t ∈ [0, 1] x(t) = −2t với hàm y(t) ∈ X 3.2 Một số phương trình hàm sơ cấp có liên quan Một số tốn giải phương trình hàm sơ cấp