Khoa CNTT - DDHBK Hà nội hunglt@it-hut.edu.vn 8682595 1 1 Bài 4 Các phép biến đổi Đồ hoạ Transformations Le Tan Hung Email: hunglt@it-hut.edu.vn 2 Phép biến đổi - Transformations z Trong kỹ thuật đồ hoạ 3 bước: Mô hình, Tô trát và Hiên thị (modeling, rendering, displaying) z Với Modeling ( Mô hình hóa) : z Transformation: là phép ánh xạ tọa độ điểm hay vector thành tọa độ hay vector khác modeling coordinate Modeling transformation Viewing transformation world coordinate viewing coordinate (eye coordinate) 3 Phép biến đổi Transformations z Biến đổi mô hình hoá - Modeling transformations – build complex models by positioning simple components z Biến đổi tạo góc nhìn - Viewing transformations – placing virtual camera in the world – transformation from world coordinates to camera coordinates z Biến Phép chiếu – Projection Transform 4 Transformations - Modeling world 5 Phép biến đổi Affine Affine Transformations? z Phép biến đổi Affine là phép biến đổitọa độ điểm đặctrưng của đốitượng thành tậptương ứng các điểmmới để tạoracáchiệu ứng cho toàn đốitượng. – Vídụ: phép biến đổitọa độ vớichỉ 2 điểm đầucuốicủa đoạnthẳng tạo thành 2 điểmmớimàkhinối chúng với nhau tạo thành đoạnthẳng mới. z Các điểmnằmtrênđoạnthẳng sẽ có kếtquả là điểmnằmtrênđoạnthẳng mớivới cùng phép biến đổi thông qua phép nộisuy. 6 Modeling Transformations Transform objects/points Transform coordinate system Khoa CNTT - DDHBK Hà nội hunglt@it-hut.edu.vn 8682595 2 7 Biểu diễn Ma trận z Việc biến đối các đối tượng làm thay đổi các điểm P thành các điểm Q theo thuật toán z Việc biến đổi P sử dụng tọa độ của P (P x ,P y ) ánh xạ thành các tọa độ mới Q (Q x ,Q y ) z Việc biến đổi có thể biểu diễn thông qua hàm T, hàm ánh xạ của điểm: – T(P x ,P y ) = (Q x ,Q y ) – or: – T(P) = Q 8 Matrix Representation z Phép biến đổi đồ họa - affine transformation T ánh xạ tập P sang tập Q: – – – where a, b, c, d, tx and ty là các hệ số z Biểu diễn ma trận: z i.e. ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ y x y x y x t t P P dc ba Q Q xxxx t bP aP Q + + = yyyy t dP cP Q ++= Tr MP Q + = 9 Các phép biến đổihìnhhọchai chiều z Phương pháp biểudiễn đốitượng P = [ x y ] z Phép biến đổivị trí điểm z Thực thi phép biến đổi đúngtrên1 điểm ảnh sẽđúng trên toàn bộđốitượng ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = dc ba T [][][ ] ()( ) [] [] '' y dybx *y * xcyax dc ba xTX =++= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = y x z p M p W 10 Phép biến đổi z Phép bấtbiến z Phép biến đổitỉ lệ - Scaling z A scaling changes the size of an object with two scale factors, S x and S y z Phép biếndạng z A shearing shears an object in a particular direction, (in 2D, it’s either in the x or in the y direction ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 10 01 T [][][ ] () [][] '' 10 0 ** yxyax a yxTX == ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = [][][ ] [ ][ ] '' 10 1 ** yxdybx b yxTX =+= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = x z y 11 Phép quay- Rotation x = ρ cos α, y = ρ sin α ; x’ = ρ cos (θ +α ), y’ = ρ sin (θ +α ) ; x’ = ρ ( cosθ cosα - sinθ sinα ) = x cosθ - y sinθ y’ = ρ ( sinθ cosα + cosθ sinα ) = x sinθ + y cosθ [x' y']= [xcosθ - ysinθ xsinθ + ycosθ] y ( x, y ) x α ρ θ ρ ( x’, y’ ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = θθ θθ cossin sincos ][T 12 Thuộc tính cơ bản của phép biến đổi Affine Transformations z Preservation of lines: – They preserve lines, so the image of a straight line is another straight line. – This vastly simplifies drawing transformed line segments. – We need only compute the image of the two endpoints of the original line and then draw a straight line between them – Preservation of collinearity guarantees that polygons will transform into polygons – Affine transformations map lines to lines; Khoa CNTT - DDHBK Hà nội hunglt@it-hut.edu.vn 8682595 3 13 Thuộc tính z Preservation of parallelism – Preservation of parallelism guarantees that parallelograms will transform into parallelograms z Preservation of proportional distances – Preservation of proportional distances means that mid- points of lines remain mid-points z Affine transformations change volume by | Det(M) |; 14 Kếthợp các phép biến đổi Composition of Affine Transforms z Any affine transformation can be decomposed into elementary transformations. z Mọi phép biến đổiphứctạp đều có thể tạo thành từ các phép biến đổicơ sở như: – Dịch chuyển - Translation – Tỉ lệ - Scaling – Quay- Rotation – Biếndạng - Shearing 15 Affine transformations preserve affine combinations z It is rare that we want to perform just one elementary transformation. z Usually an application requires that we build a complex transformation out of several elementary ones – e.g. translate an object, rotate it, and scale it, all in one move z These individual transformations combine into one overall transformation z This is called the composition of transformations. z The composition of two or more affine transformations is also an affine transformation 16 Thuộc tính z Tác động lên tập các điểm đặc trưng của đối tượng tạo thành phép biến đổi cho đối tượng z We have defined each transformation by their effects on single points z In practice these will be applied to multiple points to transfer entire scenes or objects made up of many defining points T 17 Điểm gốc - Pivotal points Cho phép quay và tỉ lệ Rotation and Scaling z The simple versions of rotation and scaling have been based around the origin. z This means that when we rotate or scale, the object will also move, with respect to the origin z Translate all points through (-c1,-c2) z Rotate all points about the origin by z Translate all points back through (c1,c2) (c 1 ,c 2 ) (0,0) 18 Pivotal points z Often we wish to rotate or scale with respect to some pivotal point, not the origin z Most significantly, we often wish to rotate or scale an object about its centre, or midpoint z In this way, the object’s location does not change z To do this, we relate the rotation or scaling about the pivotal point V, to an elementary rotation or scaling about the origin – We first translate all points so that V coincides with the origin – We then rotate or about the origin – then all points are translated back, so that V is restored to its original location Khoa CNTT - DDHBK Hà nội hunglt@it-hut.edu.vn 8682595 4 19 Hệ toạ độ đồng nhất z Vấn đề gặp phải: z An affine transformation is composed of a linear transformation followed by a translation z Unfortunately, the translation portion is not a matrix multiplication but must instead be added as an extra term, or vector z What we need is a “trick”, so that translations can be represented in matrix multiplication form z This then means that they can be easily composed with other transformations, by simply multiplying the matrices together 20 Tọa độ đồng nhất Homogeneous Transform – x' = ax + by + n – y' = cx + dy + m z Phương pháp biểudiễnmở rộng thông qua tọa độ đồng nhấtcủa các vector vị trí z Với ứng dụng của phép chiếuhìnhhọcmà ở đótọa độ điểm đượcmôtả dướima trận[ x* y* h] – với x = x*/h, y = y*/h, z = z*/h và h là mộtsố thựctuỳ ý 21 Ưu điểmcủaHệ tọa độ đồng nhất Homogeneous Transform z Ðưaracáinhìnhợpnhấtcủa các phép biến đổi dưới phép nhân ma trận, hỗ trợ cho việcxử lý bằng cả phầncứng và phầnmềm z Kếthợp các các phép biến đổitạo thành ma trận tích đơngiản duy nhất. Tránh nhầmlẫnvề thứ tự của các phép nhân khi sử dụng. – Order matters: AB is generally not the same as BA z Cho phép kếthợpvớicả các phép biến đổi đặc biệt không tuyến tính khác(non-affine) như: – Phép chiếuphốicảnh - Perspective projections! – Uốn - Bends, Vuốt tapers v.v.v 22 Phép biến đổivớitọa độ đồng nhất z Ma trậnbiến đổi đồng nhất z Phép tịnh tiến ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 ][ nm dc ba T ]1[ 1 010 001 ]1[]1''[ nymx nm yxyx ++= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = (t x , t y , t z ) 23 Phép tỉ lệ ]12.1.[ 100 020 001 ]1[]1''[ SySxS S yxyx = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 24 Phép quay y ( x, y ) x α ρ θ ρ ( x’, y’ ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= 100 0cossin 0sincos ]1[]1''[ φφ φφ yxyx ]1cos.sin.sin.cos.[ φφφφ yxyx +−= Khoa CNTT - DDHBK Hà nội hunglt@it-hut.edu.vn 8682595 5 25 Phép biến đổitổng hợp 26 Ma trận biến đổi 3 chiều 3D Matrix Transformations z Các phép biến đổi chuyển vị - translation, tỉ lệ- scaling và quay-rotation sử dụng trong không gian 2D đều co thể mở rộng trong không gian 3D z Again, using homogeneous coordinates it is possible to represent each type of transformation in a matrix form z In 3D, each transformation is represented by a 4x4 matrix 27 Các phép biến đổihìnhhọc3 chiều z Biểudiễn điểm trong không gian 3 chiều z [ x* y* z* h ] = [ x y z 1 ]. [ T ] z [x' y' z' 1 ]= [ x*/h y*/h z*/h 1 ][ T ] z Ma trậnbiến đổi ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = snml rjig qfed pcba ][T 28 Phép tịnh tiến – [X'] = [ X ] . [ T(dx,dy,dz) ] – [ x' y' z' 1 ] = – [ x y z 1 ].[ T(dx,dy,dz) ] z = [ x+dx y+dy z+dz 1 ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0100 0010 0001 )],,([ dzdydx dzdydxT 29 Phép tỉ lệ z s1, s2, s3 là các hệ số tỉ lệ tương ứng trên các trụctoạ độ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1000 0300 0020 0001 11 s s s zyxzyx ][]'''[ ]13.2.1.[ szsysx= 30 Rotation z In 2D, the only rotation possible was about the origin. z In 3D, there are 3 possible rotations, one about each of the x, y and z axes z Positive rotations are anti-clockwise, negative rotations are clockwise, when looking down a positive axis towards the origin x y z x y z x y z Khoa CNTT - DDHBK Hà nội hunglt@it-hut.edu.vn 8682595 6 31 Phép quay 3 chiều z Quay quanh các trụctoạđộ z Quay quanh trụcx z Quay quanh trụcz ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1000 00 00 0001 φφ φφ cossin sincos ][Tx ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1000 0100 00cossin 00sincos ][ ϕϕ ϕϕ Tz 32 Quay quanh trụcy ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1000 0cos0sin 0010 0sin0cos ][ θθ θθ Ty 33 Phép biếndạng (secondary translation) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1000 01 01 01 11 ig fd cb zyxzyx ][]'''[ ]1[ zfycxizybxgzydx ++++++= 34 Phép lấy đốixứng (reflections-secondary translation) 35 Quay quanh mộttrụcbấtkỳ song song với các trụctọa độ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 10 0100 0010 0001 ][ zy Tr , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1000 00 00 0001 φφ φφ φ cossin sincos )]([T , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− = − 10 0100 0010 0001 1 zy Tr][ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−+− − = 1sin)cos1(sin)cos1(0 0cossin0 0sincos0 0001 ][ φφφφ φφ φφ yzzy Tth 36 Quay quanh mộttrụcbấtkỳ Khoa CNTT - DDHBK Hà nội hunglt@it-hut.edu.vn 8682595 7 37 Solution z ChuyểnP1 về gốctọa độ. z Quay quanh trục y sao cho P1P2 nằmtrênmặtphẳng (y, z) z Quay quanh trục x sao cho P1P2 trùng vớitrụcz. z Quay quanh trục z sao cho P1P3 nằmtrênmặtphẳng (y, z) z Euler’s Theorem: Every rotation around the origin can be decomposed into a rotation around the x-axis followed by a rotation around the y-axis followed by a rotation around the z-axis. 38 Biến đổi góc nhìn Viewing Transformation Lê Tấn Hùng 39 Nội dung z Phép biến đổi nhìn cơ bản z Biến đổi hệ thống tọa độ z Camera z Biến đổi 3D viewing z Ví dụ 40 Hệ tọa độ thực (WCS-World Coordinate System) z Là hệ tọa độ của đốitượng được các chương trình ứng dụng sử dụng để mô tả tọa độ của các đối tượng trong thế giớithực. z Đơnvị trong hệ thống tọa độ phụ thuộc vào không gian và kích thướccủa đối tượng đượcmôtả, có thể từ A 0 , nm, mm đếnm, km z Modeling Coordinate 41 Hệ tọa độ thiếtbị (DCS-Device Coordinate System) z Là hệ thống tọa độ củathiếtbị nơihiểnthị hình ảnh và không gian của đốitượng mà ứng dụng mô tả. ThiÕt bÞ hiÓn thÞ subselect.me Vïng täa ®é thiÕt bÞ VGA=640x480 42 Hệ tọa độ chuẩn (NCS - Normalized Coordinate System) z Chuyển đổi hệ tọa độ z Giải quyếtvấn đề khi ứng dụng chạytrêncác thiếtbị khác nhau z Có kích thước1x1 Wcs chuyÓn ®æi 1 NCS Dcs chuyÓn ®æi 2 Khoa CNTT - DDHBK Hà nội hunglt@it-hut.edu.vn 8682595 8 43 Phép biến đổi nhìn cơ bản Basic Viewing Transform z Phép biến đổi góc nhìn cơ bản là chuyển đổi từ hệ tọa độ mô hình sang hệ tọa độ mà hình (Modelling co-ordinates to Screen Coordinates) z Vấn đề: z Thay đổi tỷ lệ hình ảnh z Hiệu ứng về tỉ lệ khi Zoom hình ảnh z Phần nào của hình vẽ sẽ hiển thị ? z Hiển thị tại đâu trên màn hình ? z Chuyển đổi sẽ được thực hiện ra sao? 44 2-Dimensional Views z A Window : Cửa sổ, Phần hình ảnh của thế giới thực sẽ được hiển thị z A Viewport : Cổng nhìn, vùng màn hình nơi hình ảnh thế giới thực sẽ hiển thị (wx min ,wy min ) (wx max ,wy max ) (vx min ,vy min ) (vx max ,vy max ) (wx,wy) (vx,vy) 45 Phép chuyển đổi 46 Phép biến đổitheoma trận z Ma trậnchuyểnvị theo Window z Ma trậnbiến đổitỉ lệ z Ma trậnchuyểnvị theo tọa độ viewport ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− = 1 010 001 1 YwXw T ][ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 100 0 minmax minmax 0 00 Xwmin-Xwmax Xvmin-Xvmax ]1[ YwYw YvYv S ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 010 001 ]2[ YyXv T 47 Ma trậnbiến đổitổng hợpcủaphép chuyển đổi tọa độ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − −− − − = = 1 minmax minmax minmin Xwmin-Xwmax Xvmin-Xvmax minmin 0 minmax minmax 0 00 Xwmin-Xwmax Xvmin-Xvmax ][ ]2[]1[]1[][ YwYw YvYv YwYvXwXv YwYw YvYv T TxSxTT 48 Ví dụ OpenGL - Windows and Viewports z Plotting a function revisted //set the viewing coordinates setWindow(xmin, xmax, ymin, ymax); setViewport(0,640,0,480); glBegin(GL_POINTS); for(GLdouble x = xmin; x < xmax; x+=0.005 ) { glVertex2d(x, pow(2.7183,-x) *cos(2*3.14*x)); } glEnd(); // setWindow void setWindow(GLdouble left, Gldouble right, GLdouble bottom, GLdouble top) { glMatrixMode(GL_PROJECTION); glLoadIdentity(); gluOrtho2D(left, right, bottom, top); } // setViewport void setViewport(GLdouble left, Gldouble right, GLdouble bottom, GLdouble top) { glViewport(left, bottom, right – left, top - bottom);} Khoa CNTT - DDHBK Hà nội hunglt@it-hut.edu.vn 8682595 9 49 Biến đổi hệ tọa độ Coordinate Transforms (1,1) u’ v’ (1,1) u v x y Hệ tọa độ cục bộ Đối tượng sau biến đổi trên tđ toàn cục z Là phép biến đổi trên hệ tọa độ của đối tượng. Việc thay đổi hệ tọa độ của đối tượng với hệ thống tọa độ chung tao nên sự thay đổi toàn cảnh 50 x y x y Các phép biến đổi P 100 010 001 Q ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = (1,1) u v (1,1) u’ v’ 51 x y Translation x y P 100 10 01 Q ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ty tx (1,1) u v (1+tx,1+ty) u’ v’ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 11 0 0 ty tx ty tx 100 10 01 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 1 1 0 1 ty tx ty tx 100 10 01 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ += ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 1 1 1 0 ty tx ty tx 100 10 01 origin v (1, 0, 0) u (0, 1, 0) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 ty tx O 52 x y Rotation x y P 100 0 0 Q ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = θθ θθ cossin sincos (1,1) u v u ’ v ’ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 sin cos θ θ v ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 cos sin θ θ u ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 O 53 x y Scaling x y P 100 0 0 Q ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = sy sx 0 0 (1,1) u v (sx*1,sy*1) u v ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 O ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 syu ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 sx v 54 Composite Transformations ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− +−− = 100 sin)cos1(cossin sin)cos1(sincos 11 11 θθθθ θθθθ xy yx M x y x y (1,1) u v u ’ v ’ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− +− 1 sin)cos1( sin)cos1( 11 11 θθ θθ yy yx ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−+ +−+ 1 sin)cos1(sin sin)cos1(cos 11 11 θθθ θθθ yy yx ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−+ +−+− 1 sin)cos1(cos sin)cos1(sin 11 11 θθθ θθθ yy yx O = v = u = Khoa CNTT - DDHBK Hà nội hunglt@it-hut.edu.vn 8682595 10 55 + = + transform + transform + transform Obviously we want something more versatile 56 Quan sát 3D - 3D Viewing z Hiển thị hình ảnh 3D trên các thiết bị 2D z Mỗi 1 quan sát 3D trên cùng 1 đối tượng chỉ ra trạng thái chiếu của điểm quan sát đó. – HÌnh ảnh chiếu 2D của đối tượng 3D phụ thuộc vào người quan sát z Các quan sát khác nhau được phân biệt bởi thông số: vị trí position, hướng orientation, và vùng nhìn field of view 57 Viewing x W z W y W y M x M z M p M y V x V - z V p V p W modeling coordinate Modeling transformation world coordinate viewing coordinate (eye coordinate) Viewing transformation 58 The Viewing Process z Để tạo 1 cảnh nhìn gồm các bước – Mô tả biểu diễn hình học – Định nghĩa điểm nhìn – Camera z Chuyển đổi từ đối tượng 3D sang 2D z Xác định vùng hiển thị của đố tượng z Xác định camera để có thể tạo thành phép chiếu từ 3D thành 2D. 59 Khái quát về - Camera Analogy z Khái niệm z camera location: Vị trí trong thế giới thực z viewing direction: Hướng chiếu của Camera. z up vector: Hướng phía trên của Camera z aperture size: Vùng nhìn thấy của Camera 60 Viewing Coordinates z Có thể sử dụng mô hình hệ thống tọa độ quan sát trên các thông số gồm: – Điểm nhìn (VRP View Reference Point ): điểm gốc quan sát. Vị trí của Camera) – Vector mặt phẳng quan sát (VPN View Plane Normal vector ): viewing direction) – Vector hướng quan sát (VUP View UP vector ): establishes orientation of “camera” ),,( 321 nnn== N N n ),,( 321 uuu= × × = NV NV u ),,( 321 vvv = ×= unv Three mutually orthogonal basis vectors: [...]...Khoa CNTT - DDHBK Hà nội hunglt@it-hut.edu.vn 868 259 5 Ví dụ: Viewing Transformation (i) simple cases ( always view along negative z-axis ) Điểm nhìn trên trục Z zW -axis (xw, yw, zw) and (u, v, n) 2 hệ tọa độ với cùng 1 gốc Vector đơn vị (u, v, n) được định nghĩa theo WCS Nhìn ở vị trí (a, b, c) theo trục Z và ngược hướng zW-axis yW ⎛u ⎞ ⎛v ⎞ ⎛n ⎞ ⎜ 1⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 1⎟ u =... xM zM xW • To do projection, we use a synthetic camera by introducing a viewing frustum after the viewing transformation yV yW pM zW 65 yW xV -zV pW pV pV = MWC,VC pW pM xW pW xW zW 65 66 66 11 Khoa CNTT - DDHBK Hà nội hunglt@it-hut.edu.vn 868 259 5 Camera trong OpenGL Các hàm cơ bản – – glOrtho() and gluLookAt() these created parallel projections Demo : Viewing from Nate Robins (Utah) We now want to... the image on the projection plane 81 82 Viewing Transformations 2 Basic Steps Create a camera-centered view Align the two coordinate frames by rotation Camera is at origin Camera is looking along negative z-axis Camera’s ‘up’ is aligned with y-axis 83 84 14 Khoa CNTT - DDHBK Hà nội hunglt@it-hut.edu.vn 868 259 5 Creating Camera Coordinate Space 2 Basic Steps Specify a point where the camera is located... around the vertical is called YAW 78 13 Khoa CNTT - DDHBK Hà nội hunglt@it-hut.edu.vn 868 259 5 The Camera The Camera v Pitch v Roll n v’ = cos(θ)v – sin(θ)n n’ = sin(θ)n + cos(θ)v u u’ = cos(θ)u + sin(θ)v v’ = cos(θ)v - sin(θ)u 79 80 The Camera Yaw A 3D Scene n Notice the presence of the camera, the projection plane, and the world coordinate axes u n’ = cos(θ)n - sin(θ)u u’ = sin(θ)n + cos(θ)u Viewing transformations... results 89 90 15 Khoa CNTT - DDHBK Hà nội hunglt@it-hut.edu.vn 868 259 5 Compositing Vectors to Form V Compositing Vectors to Form V Remember – – Therefore, rotation component of viewing transformation is just transpose of computed vectors Each camera axis vector is unit length Each camera axis vector is perpendicular to others Camera matrix is orthogonal and normalized – Orthonormal Therefore, M-1 = MT 91... to align origins 85 86 Constructing Viewing Transformation, V Constructing Viewing Transformation, V Create a vector from eye-point to lookat-point Construct another important vector from the cross product of the lookat-vector and the vupvector Normalize the vector This vector, when normalized, should align with [1, 0, 0]T Why? Desired rotation matrix should map this vector to [0, 0, -1 ]T Why? 87 88... ⎛v ⎞ ⎛n ⎞ ⎜ 1⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 1⎟ u = ⎜ u2 ⎟, v = ⎜ v2 ⎟, and n = ⎜ n2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ u3 ⎟ ⎜ v3 ⎟ ⎜ n3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ yW (a, b, c) xW n (0, 0, z) Ma trận biến đổi tọa độ thế giới sang tọa độ quan sát : xW MWC,VC = R T zW zW MWC,VC = T (0, 0, z,) MWC,VC = T (-a, -b, -c ) 61 61 62 3D Viewing Transformation Viewing Transformation We might also achieve this in terms of the following transformation sequence: Với... positioned using a combination of translations and rotations Think if the camera being in the same location as the viewers eye up(x,y,z) eye(x,y,z) lookat(x,y,z) 71 72 12 Khoa CNTT - DDHBK Hà nội hunglt@it-hut.edu.vn 868 259 5 The Camera The Camera The camera can have an arbitrary orientation and position Therefore we can think of the camera having its own axes glMatrixMode(GL_MODELVIEW); glLoadIdentity();... 0 − y0 ⎟ 0 1 − z0 ⎟ ⎟ 0 0 1 ⎟ ⎠ This is used to determine the location of each vertex in the camera co-ordinate system r r x′ = M wc ,vc x 63 64 where ⎛u u 2 ⎜ 1 ⎜ v1 v2 R = ⎜ ⎜ n1 n2 ⎜0 0 ⎜ ⎝ u3 v3 n3 0 0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟, 0⎟ 1⎟ ⎟ ⎠ • Recall we’ve re-expressed our world geometry in eye’s frame yV reference -zV pV yM pW pM ⎡ u1 ⎤ ⎢u ⎥ R u = R ⎢ 2 ⎥ = ? , etc ⎢u 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1⎦ Verification: xV yW zW xM zM xW • To... the camera Camera Movement – To move the camera along the u axis you would simply perform – To move slide the camera in any direction: eye = eye + Du eye.x = dU*u.x + dV*v.x + dN*n.x eye.y = dU*u.y + dV*v.y + dN*n.y eye.z = dU*u.z + dV*v.z + dN*n.z v n Camera Movement – – 75 76 The Camera The Camera - Camera Movement We use a plane analogy to describe the cameras movement Camera Movement – – 77 u Besides . - DDHBK Hà nội hunglt@it-hut.edu.vn 868 259 5 1 1 Bài 4 Các phép biến đổi Đồ hoạ Transformations Le Tan Hung Email: hunglt@it-hut.edu.vn 2 Phép biến đổi - Transformations z Trong kỹ thuật đồ hoạ. nội hunglt@it-hut.edu.vn 868 259 5 5 25 Phép biến đổitổng hợp 26 Ma trận biến đổi 3 chiều 3D Matrix Transformations z Các phép biến đổi chuyển vị - translation, tỉ l - scaling và quay-rotation sử dụng trong. transformations. z Mọi phép biến đổiphứctạp đều có thể tạo thành từ các phép biến đổicơ sở như: – Dịch chuyển - Translation – Tỉ lệ - Scaling – Quay- Rotation – Biếndạng - Shearing 15 Affine transformations