Nội dung bồi dỡng học sinh giỏi toán 9 Năm học 2011-2012 Stt Nội dung Số buổi 1 Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng 1 2 Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai 1 3 Bất đẳng thức 1 4 Phơng trình bậc cao 1 5 Hàm số bậc nhất 1 6 Các bài toán nâng cao về diện tích tứ giác 1 7 Các bài toán về hệ thức lợng trong tam giác vuông 1 8 Các bài toán tổng hợp về đờng tròn 1 9 Luyện tập một số đề tổng hợp 1 Cẩm Văn, ngày 12 tháng 9 năm 2011 Giáo viên lập kế hoạch Trần Văn Toản Phân tích đa thức thành nhân tử Phần 1: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Các phơng pháp cơ bản I/ Ph ơng pháp đặt nhân tử chung Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có maởt trong tất caỷ các hạng tử. Phân tích mỗi hạng tử thành tích nhân tử chung và một nhân tử. Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc. Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 3xy + x 2 y 2 5x 2 y b) 2x(y z) + 5y(z y) c) 10x 2 (x + y) 5(2x + 2y)y 2 Bài laứm a) 3xy + x 2 y 2 5x 2 y = xy(- 3 + xy 5x) b) 2x(y x) + 5y(z y) = 2x(y z) 5y(y z) = (y z)(2x 5y) c) 10x 2 (x + y) 5(2x + 2y)y 2 = 10x 2 (x + y) 10y 2 (x + y) = 10(x + y)(x 2 y 2 ) = 10(x + y)(x + y)(x y) = 10(x + y) 2 (x y) II) Ph ơng pháp dùng hằng đẳng thức Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức đơn giản. Những hằng đẳng thức : (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2 A B = (A + B)(A B) (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 (A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 A 3 + B 3 = (A + B)(A 2 AB + B 2 ) A 3 - B 3 = (A - B)(A 2 + AB + B 2 ) (A + B + C) 2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2AB + 2BC + 2CA A n B n = (A B)(A 1n + A 2n B + + AB 2n + B 1n ) A k2 B k2 = (A +B)(A 12 k - A 22 k B + - B 12 k ) A 12 +K + B 12 +K = (A + B)(A k2 A 12 k B + A 22 k B 2 - +B k2 ) (A + B) n = A n + n A 1n B - 2.1 )1( nn A 2n B 2 + + 2.1 )1( nn A 2 B 2n + nAB 1n + B n (A - B) n = A n - n A 1n B + 2.1 )1( nn A 2n B 2 - +(-1) n B n Ví dụ 1 Phân tích đa thức tành nhân tử a) x 2 + 6xy 2 + 9y 4 b) a 4 b 4 c) (x 3) 2 - (2 3x) 2 d) x 3 3x 2 + 3x - 1 Bài Làm a) x 2 + 6xy 2 + 9y 4 = x 2 + 2x3y 2 + (3y) 2 = (x + 3y 2 ) 2 b) a 4 b 4 = (a 2 ) 2 (b 2 ) 2 = (a 2 + b 2 ) (a 2 b 2 ) = (a 2 + b 2 ) (a + b) (a b) c) (x 3) 2 - (2 3x) 2 = [(x 3) + (2 3x)][(x 3) (2 3x)]= (- 2x 1)(- 5 + 4x) d) x 3 3x 2 + 3x - 1 = (x 1) 3 VD 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) a 3 + b 3 + c 3 3abc b) (a + b + c) 3 a 3 b 3 c 3 Bài Làm a) a 3 + b 3 + c 3 3abc = (a + b) 3 3ab(a + b) + c 3 3abc = ( a + b + c)[(a + b) 2 (a + b)c + c 2 ] 3abc( a + b +c) = (a + b + c)( a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca) b) (a + b + c) 3 a 3 b 3 c 3 = (a + b) 3 + c 3 + 3c(a + b)(a + b + c) a 3 b 3 c 3 = 3(a + b)(ab + bc + ac + c 2 ) = 3(a + b)(b + c) (c + a) III/ Phân tích đa thức thành nhân tử, bằng ph ơng pháp nhóm nhiều hạng tử. Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử thích hợp vào từng nhóm. Ap dụng phơng pháp phân tích đa thức khác để giải toán. Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x 2 3xy + x 3y b) 7x 2 7xy 4x + 4y c) x 2 + 6x y 2 + 9 d) x 2 + y 2 z 2 9t 2 2xy + 6zt Bài Làm a) x 2 3xy + x 3y = (x 2 3xy) + (x 3y) = x(x 3y) + (x 3y)= (x 3y) (x + 1) b) 7x 2 7xy 4x + 4y = (7x 2 7xy) (4x 4y) = 7x(x y) 4(x y)=(x y) (7x 4) c)x 2 + 6x y 2 + 9 = (x 2 + 6x + 9) y 2 = (x + 3) 2 - y 2 = (x + 3 + y)(x + 3 y) d)x 2 + y 2 z 2 9t 2 2xy + 6zt = (x 2 2xy + y 2 ) (z 2 6zt + 9t 2 ) = (x y) 2 (z 3t) 2 = (x y + z 3t)(x y z + 3t Ví dụ 2 Phân tích đa thức thành nhân tử a) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 2xyz b) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 3xyz Bài Làm a) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 2xyz = (x 2 z + y 2 z + 2xyz) + x 2 y + xy 2 + xz 2 + yz 2 = z(x + y) 2 + xy(x + y) + z 2 (x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z 2 ) = (x + y) [(xz + xy) + (yz + z 2 )] = (x + y) [x(z + y) + z(z + y)] = (x + y)(y + z)(x + z) b) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 3xyz = (x 2 y + x 2 z + xyz) + ( xy 2 + y 2 z + xyz) + (x 2 z + yz 2 + xyz) = x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy) = (xy + yz + xz)( x + y + z) IV/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều ph ơng pháp 1. Ph ơng pháp Vận dụng linh hoạt các phơng pháp cơ bản đã biết và thờng tiến hành theo trình tự sau : - Đặt nhân tử chung - Dùng hằng đẳng thức - Nhóm nhiều hạng tử 2. Vớ dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử a) 5x 3 - 45x b) 3x 3 y 6x 2 y 3xy 3 6axy 2 3a 2 xy + 3xy Bài làm a) 5x 3 45x = 5x(x 2 9) = 5x(x +3) (x 3) b) 3x 2 y 6x 2 y 3xy 3 6axy 2 3a 2 xy + 3xy = 3xy(x 2 2y y 2 2ay a 2 + 1) = 3xy [( x 2 2x + 1) (y 2 + 2ay + a 2 )] = 3xy [(x 1) 2 (y + a) 2 ] = 3xy [(x 1) + (y + a)] [(x 1) (y + a)] = 3xy(x + y + a 1) (x y a 1) Bài 8. Phân tích đa thức thành nhân tử (x + y + z) 3 x 3 y 3 - z 3 H ớng dẫn (x + y + z ) 3 x 3 y 3 - z 3 =[(x + y + z) 3 x 3 ] (y 3 + z 3 ) = (x + y + z x) [(x+ y + z) 2 + (x + y + z)x + x 2 ] (y + z)(y 2 yz + z 2 ) = (y+z)[ x 2 + y 2 + z 2 +2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x 2 + x 2 y 2 + yz z 2 ] = (y + z)(3x 2 + 3xy + 3xz + 3yz) = 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)] = 3( x + y)(y + z)(x + z) V/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử 1. P h ơng pháp Ta phân tích một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử thích hợp, để xuất hiện những nhóm số hạng mà ta có thể phân tích thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung 2. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành thành nhân tử x 2 6x + 8 Bài làm Caựch 1: x 2 6x + 8 = (x 2 2x) (4x 8) = x(x 2) 4(x 2) = (x 2)(x 4) Caựch 2: x 2 6x + 8 = (x 2 6x + 9) 1 = (x 3) 2 1 = (x 3 + 1)(x 3 1) = (x 2)(x 4) Caựch 3: x 2 6x + 8 = (x 2 4) 6x + 12 = (x 2)(x + 2) 6(x 2) = (x 2)(x + 2 6) = (x 2) (x 4) Caựch 4: x 2 6x + 8 = (x 2 16) 6x + 24 = (x 4)(x + 4) 6(x 4) = (x 4)(x + 4 6) = (x 4) (x 2) Caựch 5: x 2 6x + 8 = (x 2 4x + 4) 2x + 4 = ( x 2) 2 2(x 2)= (x 2)(x 2 2) = (x 2) (x 4) VI/ Ph ơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử . Ta thêm hay bớt cùng một hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất hiện n nhóm số hạng mà ta có thể phân tích đợc thành nhân tử chung bằng các phơng pháp: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử. x 4 + 64 = x 4 + 64 + 16x 2 16x 2 = (x 2 + 8) 2 (4x) 2 = (x 2 + 4x + 8)(x 2 4x + 8) Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x 4 + 4y 4 b) x 5 + x + 1 Bài làm a) x 4 + 4y 4 = x 4 + 4y 4 + 4x 2 y 2 4x 2 y 2 = (x + 2y) 2 (2xy) 2 = (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy) b) x 5 + x + 1 = (x 5 + x 4 + x 3 ) (x 4 + x 3 + x 2 ) + (x 2 + x + 1) = x 3 (x 2 + x + 1) x 2 (x 2 + x + 1) + (x 2 + x +1) = (x 2 + x + 1)(x 3 x 2 +1) VII/ Ph ơng pháp đặt biên số (đặt biên phụ) Ph ơng pháp Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đa thức đã cho có biểu thức xuất hiện nhiều lần. Ta đặt biểu thức ấy là một biến mới. Từ đó viết đa thức đã cho thành đa thức mới dễ phân tích thành nhân tử hơn. Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử. a) 6x 4 11x 2 + 3 b) (x 2 + 3x + 1)(x 2 + 3x 3) 5 c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Bài Làm a) 6x 4 11x 2 + 3 - Đặt x 2 = y - Đa thức đã cho trở thành: 6y 2 11y + 3 = (3y 1)(2y 3) - Trả lại biến cũ: 6x 4 11x 2 + 3 = (3x 2 1) (2x 2 3) = ( 3 x 1)( 3 x + 1)( 2 x - 3 )( 2 x + 3 ) b) (x 2 + 3x + 1)(x 2 + 3x 3) 5 - Đặt x 2 + 3x + 1 = y x 2 3x 3 = y 4 - Đa thức đã cho trở thành y(y 4) 5 = y 2 4y 5 = (y + 1)(y + 5) - Trả lại biến cũ. (x 2 + 3x + 1)(x 2 + 3x 3) 5 = (x 2 + 3x + 1 + 1)(x 2 + 3x + 1 5) = (x 2 + 3x + 2)(x 2 + 3x 4)= (x + 1)(x + 2)(x 1)(x + 1) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 15 c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 - Đặt x 2 + 8x + 7 = y x 2 + 8x + 15 = y + 8 - Đa thức đã cho trở thành : y(y + 8) + 15 = y 2 + 8y + 15 = y 2 + 5y + 3y + 15= y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3) - Trả lại biến cũ (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 = (x 2 + 8x +7 + 5)(x 2 + 8x + 7 + 3) = (x 2 + 8x + 12)(x 2 + 8x + 10) = (x 2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) VIII/ Ph ơng Pháp hệ số bất định 1. Ph ơng Pháp : Sử dụng tính chất: Hai đa thức cùng bậc bằng nhau thì hệ số tơng ứng của chúng phải bằng nhau. a n x n + a 1=n x 1n + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = b n x n + b 1=n x 1n + + b 2 x 2 + b 1 x + b 0 a i = b i i = 1; n 2. Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 2.1 Vớ duù 1: A = x 3 + 11x + 30 Vì A là đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là 1. Nên nếu A phân tích đợc thì A có dạng. A = (x + a)(x 2 + bx + c) = x 3 + (a + b)x 2 + (ab + c)x + ac x 3 + 11x + 30 = x 3 + (a + b)x 2 + (ab + c)x + ac Đồng nhất hệ số, ta có = =+ =+ 30 11 0 ac cab ba Chọn a = 2 c = 15; b = -2 Vậy (x 3 + 11x + 30) = (x + 2)(x 2 2x + 15) 2.2 Ví dụ 2: B = x 4 14x 3 + 15x 2 14x +1 Vì B là đa thức bậc 4, hệ số cao nhất là 1 nên nếu B phân tích đợc thành nhân tử thì B có dạng: B = (x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d) B = x 4 + (a + c)x 3 + (ac + b + d)x 2 + (ad + bc)x + bd Đồng nhất hệ số, ta có: 14 15 14 1 a c ac b d ad bc bd + = + + = + = = = = = = 1 13 1 1 d c b a hoặc 13 1 1 1 a b c d = = = = Do vậy B = (x 2 x + 1)(x 2 13x + 1) hoặc B = (x 2 13x + 1)(x 2 x + 1) IX/ Ph ơng pháp xét giá trị riêng Ph ơng phá p: Khi các biến có vai trò nh nhau trong đa thức thì ta xét giá trị riêng. Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử. 2.1: Vớ duù 1: P = (x + y + z) 3 - x 3 y 3 z 3 Bài Làm Coi P là một đa thức biến x Khi đó nếu x = -y thì P = 0 P (x + y) Trong P, vai trò của x, y, z bình đẳng nên. P (x + z) P (y + z) P = (x + y)(x + z)(y + z).Q Mà P là đa thức bậc 2 đối với biế x, y, z nên Q là hằng số. Với x = 0 ; y = z = 1, ta có Q = 3 Vậy P = 3(x + y)(x + z)(y + z) Ví dụ 2: M = a(b + c)(b 2 - c 2 ) + b(c + a)(c 2 - a 2 ) + c(a + b)(a 2 - b 2 ) Bài Làm Coi M là đa thức biến a Khi a = b thì M = 0 M (a - b) Trong M vai trò của a, b, c bình đẳng nên : M (b - c) M (c - a) M = (a - b)(b c)(c a)N Vì M là đa thức bậc 3 đối với biến a nên N là đa thức bậc nhất đối với a. Nhng do a,b,c có vai trò bình đẳng nên: N = (a + b + c)R (R là hằng số) M = (a - b)(b c)(c a)(a + b + c)R Chọn a = 0, b = 1, c = 2 R = 1 Vậy B = (a b)(b c)(c a)(a + b + c) X. Ph ơng pháp tìm nghiệm của đa thức 1. Ph ơng pháp Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0. Nh vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a) thì phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ớc của hệ số tự do. 2. Ví dụ: x 3 + 3x - 4 Nếu đa thức trên có nghiệm là a ( đa thức có chứa nhân tử (x - a) thì nhân tử còn lại có dạng x 2 + bx = c suy ra - ac = - 4 suy ra a là ớc của - 4 Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ớc của hạng t không đổi. Ước của (- 4) là : -1; 1; -2; 2; - 4; 4. sau khi kiểm tra ta thấy1 là nghiệm của đa thức suy ra đa thức chứa nhân tử (x - 1) Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung (x 1) * Cách 1: x 3 + 3x 2 4 = x 3 x 2 + 4x 2 4 = x 2 (x 1) + 4(x 1) (x + 1)= (x 1) (x 2 + 4x + 4) = (x 1) (x + 2) 2 * Cách 2: x 3 + 3x 2 4 = x 3 1 + 3x 2 3 = (x 3 1) + 3(x 2 1) = (x 1) (x 2 + x + 1) + 3(x 2 1)= (x 1) (x + 2) 2 Chú ý: + Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì đa thức chứa nhân tử (x 1). + Nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử (x + 1). XI. Ph ¬ng ph¸p tÝnh nghiƯm cđa tam thøc bËc hai a) Ph ¬ng ph¸p : Tam thøc bËc hai ax 2 +bx + c NÕu b 2 – 4ac lµ b×nh ph¬ng cđa mét sè h÷u tû th× cã thĨ ph©n tÝch tam thøc thµnh thõa sè b»ng mét trong c¸c ph¬ng ph¸p ®· biÕt . NÕu b 2 – 4ac kh«ng lµ b×nh ph¬ng cđa mét sè h÷u tû nµo th× kh«ng thĨ ph©n tÝch tiÕp ®ỵc n÷a . b) VÝ dơ: 2x 2 – 7x + 3 Víi a =2 , b =- 7 , c = 3 XÐt b 2 - 4ac = 49 - 4.2.3 =25 = 5 5 Suy ra Ph©n tÝch ®ỵc thµnh nh©n tư : 2x 2 - 7x + 3 = ( x - 3)(2x - 1) Chó ý: P(x) = ax 2 + bx + c = 0 cã nghiƯm lµ x 1 , x 2 th× P(x) =a( x- x 1 )(x - x 2 ) PhÇn 2: CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ. I). Bµi to¸n rót gän biĨu thøc 1. Ph ¬ng ph¸p +Ph©n tÝch tư thøc vµ mÉu thøc thµnh nh©n tư nh»m xt hiƯn nh©n tư chung. +¸p dơng tÝnh chÊt c¬ b¶n cđa ph©n thøc ®¹i sè: Chia c¶ tư thøc vµ mÉu thøc cho nh©n tư chung. ⇒ Häc sinh thÊy ®ỵc sù liªn hƯ chỈt chÏ gi÷a c¸c kiÕn thøc gióp ph¸t triĨn t duy suy ln l«gic, s¸ng t¹o. 2)VÝ dơ: Rót gän biĨu thøc A = 342 1573 23 23 +−− −+− xxx xxx B = 1 3 1 12 1 3 2 − − − − − − + + x x x x x x Bµi Lµm a) A = 3322 14433 223 223 +−−+− −++−− xxxxx xxxxx A = )1(3)1()1(2 )1()1(4)1(3 2 2 −−−+− −+−−− xxxxx xxxxx A = )1)(32)(1( )13)(1)(1( )32)(1( )143)(1( 2 2 −+− −−− = −+− +−− xxx xxx xxx xxx A = 32 13 )32()1( )13()1( 2 2 + − = +− −− x x xx xx b) MTC = x 2 - 1 = (x + 1)(x - 1) B = )1)(1( )3()1)(12()1)(3( −+ −−+−−−+ xx xxxxx B = )1)(1( 31232 22 −+ +−++−−+ xx xxxxx B = 2 1 1 ( 1)( 1) x x x − = − + − Rót gän biĨu thøc chøa c¨n thøc bËc hai Bài 1: Chứng minh đẳng thức: 5 3 29 12 5− − − = cotg45 0 Bài 2: Cho biểu thức ( ) ( ) ( ) 2 4 1 4 1 1 1 1 4 1 x x x x Q x x x − − + + −   = × −  ÷ −   − − a) Tìm điều kiện của x để Q có nghĩa b) Rút gọn biểu thức Q Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 4y x x y M xy − + − = Híng dÉn gi¶i 5 3 29 12 5− − − ( ) 2 5 3 2 5 3 = − − − 5 6 2 5= − − ( ) 2 5 5 1 = − − = 1 = cotg45 0 Q có nghĩa 1x ⇔ > và 2x ≠ ( ) ( ) ( ) 2 4 1 4 1 1 1 1 4 1 x x x x Q x x x − − + + −   = × −  ÷ −   − − ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 4 x x x x x Q x x x − − − + + − + − + − = × − − + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 x x x Q x x − − + − + − = × − − 1 1 1 1 2 2 1 x x x Q x x − − + − + − = × − − * Nếu 1 < x < 2 ta có: 1 1 1 1 2 2 1 x x x Q x x − − + − + − = × − − 2 1 Q x = − * Nếu x > 2 ta có: 1 1 1 1 2 2 1 x x x Q x x − − + − + − = × − − 2 1 Q x = − Với điều kiện 1, 4x y ≥ ≥ ta có: M = 4 1 y x x y − − + Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, Ta có: ( ) 1 1 1 1 1 2 2 x x x x + − − = − ≤ = 1 1 2 x x − ⇒ ≤ (vì x dương) V: ( ) 1 1 4 4 4 4 4 2 2 2 4 y y y y + = ì = 4 1 4 y y (vỡ y dng) Suy ra: M = 4 1 1 1 3 2 4 4 y x x y + + = Vy giỏ tr ln nht ca M l 3 4 x = 2, y = 8 Bài 4 Rút gọn các biểu thức sau : a)A = 51 1 + + 95 1 + + 139 1 + + 20052001 1 + + 20092005 1 + b) B = x 3 - 3x + 2000 với x = 3 223 + + 3 223 Bi 5 Gii cỏc phng trỡnh sau: a) 3x 2 + 4x + 10 = 2 2 14 7x b) 2 4 2 2 4 4 4 16 4 1 2 3 5x x x x y y y + + + + = c) x 4 - 2y 4 x 2 y 2 4x 2 -7y 2 - 5 = 0; (vi x ; y nguyờn) Hớng dẫn giải Bài 4 a)Có A = 15 15 + 59 59 + 913 913 + + 20012005 20012005 + 20052009 20052009 Rút gọn, đợc A = 4 12009 . b)áp dụng công thức (a+b) 3 =a 3 +b 3 +3ab(a+b), với a= 3 223 + , b= 3 223 và biến đổi => x 3 = 6 + 3x Suy ra B = 2006 Bài 5 Gii, xỏc nh ỳng iu kin: 2 2 ; 2 2 x x < 2 2 2 4 4 2 1 2 2 1. 7 7x x x x+ + + + = 0 2 ( 2) ( 2 1 7) 0x x + + = 2 2 2 0 2 2 2 1 7 0 2 x x x x x x = + = = = = = (Tha món) iu kin : 2 2 2 2 4 0 (1) 16 0 (2) 4 1 0 (3) 2 3 0 (4) x x x x y y + + T (2) (x 2 4)(x 2 + 4) 2 0 4 0x kt hp vi (1) v (3) suy ra x = 2 Thay vo (4): y 2 2y + 1 0 ; ỳng vi mi giỏ tr ca y. Thay x = 2 vo phng trỡnh v gii ỳng, tỡm c y = 1,5 Vy nghim ca phng trỡnh: (x = 2; y = 1,5) Bin i a c pt v dng: (x 2 2y 2 5)(x 2 + y 2 +1) = 0 x 2 2y 5 = 0 x 2 = 2y 2 + 5 x l t x = 2k + 1 ; ( k Z ) 4k 2 + 4k +1 = 2y 2 + 5 2y 2 = 4k 2 + 4k 4 y 2 = 2(k 2 + k 1) y chn t y = 2n; (n Z ) 4n 2 = 2(k 2 + k 1) 2n 2 + 1 = k(k + 1) (*) Nhỡn vo (*) ta cú nhn xột: V trỏi nhn giỏ tr l, v phi nhn giỏ tr chn (Vỡ k v k + 1 l hai s nguyờn liờn tip) (*) vụ nghim pt ó cho vụ nghim Bài 6 a) Rút gọn các biểu thức sau: + = + 2 4 5 21 80 A 10 2 ; 5 7 5 7 10 6 2B = + + b) Tìm * n Ơ thoả mãn: 1 1 1 2010 1 1 2 2 1 2 3 3 2 1 ( 1) 2010 A n n n n = + + + = + + + + + Hớng dẫn giải a. + + = = + + + + = = + + + + + = = = + + + + + = = = + + 2 2 2 2 4 5 (2 5 1) 2 4 5 (2 5 1) A 10 2 10 2 2 4 ( 5 1) 2 4 6 2 5 10 2 10 2 2 4 5 1 2 3 5 6 2 5 2( 5 1) 5 1 5 1 ( 5 1) 5 1 1 5 1 5 1 5 7 5 7 10 6 2B = + + Đặt 5 7 5 7 0C C= + < 2 2 ( 5 7 5 7 ) 5 7 5 7 2 (5 7)(5 7) 10 2 18 10 6 2 C = + = + + + = = mà 0 10 6 2 10 6 2 0C C C< = + = Vậy B = 0 b. Nhận xét: Với mọi * n N ta có: [...]... x + x 2 + + 2 y + y 2 + + 2z + z 2 9 9 9 1 = + 2( x + y + z) + x 2 + y 2 + z 2 3 1 1 = + x 2 + y 2 + z 2 x , y, z 3 3 1 Dấu ''='' x = y = z = 0 a = b = c = 3 +Ta cũng có bài tán tổng quát Cho a 1 + a 2 + + a n = k Chứng minh : = k2 a + a + + a n 2 1 2 2 2 n một số bài toán chứng minh bất đẳng thức Trong phần này tôi trình bày theo hớng sau: 1 Nêu các bài toán cụ thể, hớng dẫn học sinh phân tích,... có: 1 1 1 (a + b + c)( + + ) > 9 Điều phải chứng minh b c Dấu đẳng thức xảyara khi a = b = c Nhận xét: + Học sinh phải biết suy đoán và tổng hợp các kiến thức cơ bản và các bất đẳng thức đặc biệt để áp dụng Dùng phơng pháp này ngắn gọn, nhng phải lý luận chặt chẽ đối với từng bài toán, tránh mắc phải sai lầm + Mở rộng từ bài toán trên với 3 số a, b, c dơng ta có bài toán tổng quát sau: Cho a1, a2, a3... ABC ta có ha + hb + hc 9r trong đó ha, hb, hc là 3 chiều cao của tam giác còn r là bán kính đờng tròn nội tiếp Hớng dẫn: 1 1 1 1 + + = ha hb hc r Trong mọi tam giác ta luôn có giác) (a + b + c) áp dụng bất đẳng thức: (dùng công thức tính diện tích tam 1 1 1 + + 9 a b c Ta có: (h + h + h ) 1 + 1 + 1 a b c h h h a b c 1 9 (h a + h b + h c ) 9 r ha + hb + hc 9 r (Điều phải chứng minh)... , a 3 = + x 3 , n n n an = k + xn , n II Các bài toán có điều kiện là đẳng thức kết hợp bất đẳng thức Bài 7: Cho x + y =3 và y 2 Chứng minh rằng: a) x + y3 9 b) 2x4 + y4 18 3 Giải: Do y 2 nên đặt y =2 + t 0 với t 0 Do x +y = 3 nên đặt y = 2 + t Thì x = 1 - t 1 - t và y= 2+t vào vế trái ta có: 3 3 3 x + y = (1 -t ) + ( t + 2)3= 9 +9 t +9t2 9 vì t 0 Dấu = xảy ra khi t = 0 hay x = 1 và y =... Đây là bài toán mà khi giải cần phải suy luận, phán đoán, tổng hợp các dạng mà chọn ta thấy rằng 3 số x, y, z đóng vai trò nh nhau Nên có thể giả sử: x y z Ta nhận thấy a2 - 3b = (x + y + z)2 - 3(xy + yz + zx) = x2 + y2 + z2 - (xy + yz + zx) 0 Khi có bất đẳng thức cần chứng minh có dạng tơng đơng sau: 4 2 z-x x + y 2 + z 2 - (xy + yz + xz) 3 9( z - x)2 16(x2 + y2 + z2 - xy - yz - xz) 9( z - x)2... )2 +5t2 +20 k > 62 k , t Suy ra ĐPCM Thay x = đặt Bài 9 Cho a + b > 8 và b > 3 Chứng minh rằng: 27a2 +10 b3 > 94 5 Giải Do a + b > 8 và b > 3 b = 3 + t a + b = 8 + k Nên ta đặt Với k,t > 0 a = 5 + k t b = 3 + t Thay vào vế trái của BĐT ta có: 27a2 + 10b3 = = 27( 5 + k t ) + 10( 3 + t ) = 2 3 = 94 5 + 27( k t ) + 270k + 90 t 2 + 10 t 3 94 5 Vì ,t,k >0 Suy ra ĐPCM Nhận xét6:Nếu điếu kiện cho là:... từng dạng đã đợc cụ thể ở phần II 2 Với từng bài toán, lựa chọn các phơng pháp giải ngắn gọn, hợp với khả năng của học sinh 3 Đi vào giải từng dạng cụ thể và đánh giá kết quả Bài số 1: Cho a, b, c > 0 chứng minh rằng: 1 1 1 (a + b + c) ( + + ) 9 a b c + Cách 1: Lựa chọn phơng pháp dùng định nghĩa: Hớng dẫn: 1 1 1 Xét hiệu A = (a + b + c) ( + + ) 9 a b c b a a c b c A = ( + - 2) + ( + - 2) + ( + -... chứng minh (2) là bất đẳng thức đã có (đề bài cho hoặc là hằng bất đẳng thức) *Ví dụ 3: Cho các số dơng a và b thỏa mãn điều kiện: a + b = 1 1 1 Chứng minh rằng: 1 + 1 + 9 ( 1) a b Hớng dẫn: a +1 b +1 (1) 9 a b ab +a+b+1 9ab (vì ab > 0) a+b+1 8ab 8ab (vì a + b =1) 2 4ab 1 2 (a+b) 4ab (vì a + b =1) 2 (a-b) 0 (2) Bất đẳng thức (2) đúng, mà các phép biến đổi là tơng đơng Vậy bất đẳng... 1 2k + 2 k + 1 2(k + 1)(2k + 1) 1 Hiện S k + 1 - S k = > 0 khi k > 1 2(k + 1)(2k + 1) 13 Vậy bất đẳng thức đã đợc chứng minh Do đó S > Sk > k +1 24 *Ví dụ 19: ( n N, n 5) Hớng dẫn: + Với n = 5 bất đẳng thức (1) đúng vì 25 > 52 + Giả sử bài toán đúng với n = k; k 5 Tức là ta có: 2k > k2 Ta phải đi chứng minh: 2k+1> (k+1)2 Thật vậy: Ta có 2k > k2 2k+1 > 2k2 (2) Ta đi chứng minh: 2k2 > (k+1)2 Xét... Ta có: 2.[(x - y)2 + (y - z)2] (x - z)2 (y - (2) Từ (2) suy ra (1) hiển nhiên đúng Đó là điều phải chứng minh Nhận xét: - Nhìn vào bài toán học sinh tởng rằng rất khó và rất phức tạp Nhng chỉ cần nhìn nhận rằng vai trò của x, y, z là đối xứng thì mấu chốt của bài toán đã đợc tháo gỡ - Đi đến áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Học sinh phải phân tích và tìm đợc hai dãy số x - y; y - z và 1; 1 thì mới . y nguyờn) Hớng dẫn giải Bài 4 a)Có A = 15 15 + 59 59 + 91 3 91 3 + + 20012005 20012005 + 200520 09 200520 09 Rút gọn, đợc A = 4 120 09 . b)áp dụng công thức (a+b) 3 =a 3 +b 3 +3ab(a+b),. bài toán nâng cao về diện tích tứ giác 1 7 Các bài toán về hệ thức lợng trong tam giác vuông 1 8 Các bài toán tổng hợp về đờng tròn 1 9 Luyện tập một số đề tổng hợp 1 Cẩm Văn, ngày 12 tháng 9 năm. 4) c)x 2 + 6x y 2 + 9 = (x 2 + 6x + 9) y 2 = (x + 3) 2 - y 2 = (x + 3 + y)(x + 3 y) d)x 2 + y 2 z 2 9t 2 2xy + 6zt = (x 2 2xy + y 2 ) (z 2 6zt + 9t 2 ) = (x y) 2 (z