Bài 25: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao cho CN = 2 NA . K là trung điểm của MN. Chứng minh: a). AK = 4 1 AB + 6 1 AC b). KD = 4 1 AB + 3 1 AC . Bài 26 : Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng: a) AM = 2 1 OB - OA b) BN = 2 1 OC - OB c) MN = 2 1 ( OC - OB ). Bài 27: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng : a) AB = - 3 2 CM - 3 4 BN b) AC = - 3 4 CM - 3 2 BN c) MN = 3 1 3 1 −BN CM . Bài 28: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G a) Chứng minh: AH = 3 2 AC - 3 1 AB và CH = - 3 1 ( AB + AC ). b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: MH = 6 1 AC - 6 5 AB Bài 29: Cho hình bình hành ABCD, đặt AB = a , AD = b . Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của tam giác BCI. Phân tích các vectơ BI , AG theo a , b . Bài 30: Cho lục giác đều ABCDEF. Phân tích các vectơ CB , BD theo các vectơ AB và AF Bài 31: Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ AM theo các vectơ OCOBOA ,, Bài 32: Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho =MB 3 MC , NA = 3 CN , +PA PB = 0 a) Tính PM , PN theo AB , AC b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng Bài 33: Cho tam giác ABC. Gọi A 1 , B 1 , C 1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB a) Chứng minh: AA 1 + BB 1 + CC 1 = 0 b) Đặt BB 1 = u , CC 1 = v . Tính ABCABC ,, theo u và v Bài 34: Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC a) Tính AFAI , theo AB và AC b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính AG theo AI và AF Bài 35: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của G qua B a) Chứng minh: HA - 5 HB + HC = 0 b) Đặt AG = a , AH = b . Tính ACAB, theo a và b Bài 25: Giải A K D M B C N a) Chứng minh: AK = 4 1 AB + 6 1 AC Điểm K là trung điểm của MN (gt) AN + AM = 2 AK => AK = 2 1 ( AN + AM ) Nhưng theo giả thiết, ta có: AM = 2 1 AB và AN = 3 1 AC => AK = 2 1 ( 2 1 AB + 3 1 AC ) = 4 1 AB + 6 1 AC b) Chứng minh: KD = 4 1 AB + 3 1 AC Ta có: KD = AD - AK = 2 1 ( AB + AC ) – ( 4 1 AB + 6 1 AC ) = 4 1 AB + 3 1 AC Bài 26 Giải N M O C A B a) Chứng minh: AM = 2 1 OB - OA Theo giả thiết: 2 1 OB = OM Ta có: 2 1 OB - OA = OM - OA = AM b) Chứng minh: BN = 2 1 OC - OB Theo giả thiết: 2 1 OC = ON Ta có: 2 1 OC - OB = ON - OB = BN c) Chứng minh: MN = 2 1 ( OC - OB ). Ta có: 2 1 ( OC - OB ) = 2 1 OC - 2 1 OB = ON - OM = MN Bài 27 Giải N M A B C a) C/m: AB = - 3 2 CM - 3 4 BN . Gọi G là giao điểm của 2 đường trung tuyến BN, CM tức là trực tâm của tam giác ABC Ta có: GB - GA = AB (1) Mặt khác: GA + GB + GC = 0 => GA + GB = - GC (2) Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được:      =+ =− GCGAGB ABGAGB  2 GB = AB - GC  AB = 2 GB + GC = 2. 3 2 . BN + 3 2 CM = - 3 4 BN - 3 2 CM b) C/m: AC = - 3 4 CM - 3 2 BN Ta có: GC - GA = AC (1) Lại có: GA + GB + GC = 0  GA + GC = - GB (2) Cộng vế theo vế (1) và (2), ta được 2 GC = AC - GB  AC = 2 GC + GB = 2. 3 2 CM + 3 2 BN = - 3 4 CM - 3 2 BN c) C/m: MN = 3 1 3 1 −BN CM Ta có: MN = GN - GM mà GN = 3 1 BN ; GM = 3 1 CM => MN = 3 1 3 1 −BN CM Bài 28 Giải G M A' B A C H a) Chứng minh: AH = 3 2 AC - 3 1 AB và CH = - 3 1 ( AB + AC ). Ta có: AH = 3 2 ( AH + HC ) - 3 1 ( AH + HB ) = 3 2 AH + 3 2 HC - 3 1 AH - 3 1 HB = 3 1 AH + 3 2 HC - 3 1 HB = 3 1 AH + 3 2 ( HA + AC ) - 3 1 ( HA + AB ) = 3 1 AH + 3 2 HA + 3 2 AC - 3 1 HA - 3 1 AB AH = 3 2 AC - 3 1 AB Ta có: 3 CH = 2 CH + GC + CH + CG = 2 CH + GH + HA = 2 CH + BG + HA = BG + GA + CH + HA = CABA + 3 CH = - AB - AC => CH = - 3 1 ( AB + AC ). Bài 29 Giải G B' I' I A B D C • Phân tích các vectơ BI , AG theo a , b . Ta có: CI = - 2 1 a BI = CI + BC = - 2 1 a + b Ta có: CH = - 4 1 a BH = CH + BC = - 4 1 a + b BG = 3 2 BH = 3 2 (- 4 1 a + b ) = - 6 1 a + 3 2 b AG = AB + BG = a - 6 1 a + 3 2 b = 6 5 a + 3 2 b Bài 30 Giải C D B A E F • Phân tích các vectơ BC , BD theo các vectơ AB và AF Xét lục giác ABCDEF, có góc A + góc F 1 = 180 o =>AB // FC nên AB ↑↑ FC và 2 AB = FC => BC = - AB + AF + 2 AB = AB + AF => BD = CD + BC = BC + AF = AF + AB + AF = 2 AF + AB Bài 31 Giải M O C B A • Phân tích vectơ AM theo các vectơ OCOBOA ,, Ta có: AM = 2 1 ( AC + AB ) = 2 1 ( OAOC − + OAOB − ) = 2 1 ( OC + OB - 2 OA ) = 2 OBOC + - OA Bài 32 Giải P A B C M N a) Tính PM , PN theo AB , AC PB = 2 1 AB BC = BA + AC = - AB + AC BM - 3 BC = - 2 3 ( AB - AC ) PM = PB + BM = 2 1 AB - 2 3 ( AB - AC ) = 2 1 AB - 2 3 AB + 2 3 AC = - AB + 2 3 AC Bài 33 Giải A1 B1 C1 A B C a) Chứng minh: AA 1 + BB 1 + CC 1 = 0 Gọi G là giao điểm của các đường trung tuyến AA 1 , BB 1 , CC 1 . Tức G là trọng tâm của ∆ ABC ⇒ GA + GB + GC = 0 Ta có: AA 1 = GA 1 - GA (1) BB 1 = GB 1 - GB (2) CC 1 = GC 1 - GC (3) Cộng vế theo vế (1), (2), (3), được AA 1 + BB 1 + CC 1 = GA 1 + GB 1 + GC 1 – ( GA + GB + GC ) = 2 1 ( GA + GB + GC ) = 0 b) Đặt BB 1 = u , CC 1 = v . Tính ABCABC ,, theo u và v Ta có: CB1 = GB1 + GC = 3 1 − u 3 2 − v BC = BB 1 + CB1 = u 3 1 − u 3 2 − v = 3 2 u 3 2 − v Ta có: AC1 = 1BC = 3 2 u 3 2 − v AC = CC 1 + AC1 = v + 3 2 u 3 2 − v = 3 2 u 3 1 − v Ta có: AB1 = GB1 + GA = 3 1 − u 3 2 − v ⇒ AB 1 = 3 1 u + 3 2 v AB = AB 1 + BB1 = 3 1 u + 3 2 v – u = 3 2 − u + 3 2 v Bài 35 Giải G A1 C1 A B C H b) Đặt AG = a , AH = b . Tính ACAB, theo a và b Ta có: HG = HA + AG = - b + a BG = 2 1 HG = 2 1 (- b + a ) AB = AG + GB = a - 2 1 (- b + a ) = a + 2 1 b - 2 1 a = 2 1 a + 2 1 b Gọi M là trung điểm của AC Ta có: AM = AB + BM = AB + 2 3 BG = 2 1 a + 2 1 b + 2 3 . 2 1 (- b + a ) = 2 1 a + 2 1 b - 4 3 b + 4 3 a = 4 5 a - 4 1 b AC = 2 AM = 2( 4 5 ba − )= 2 5 a - 2 1 b . - GA (1 ) BB 1 = GB 1 - GB (2 ) CC 1 = GC 1 - GC (3 ) Cộng vế theo vế (1 ), (2 ), (3 ), được AA 1 + BB 1 + CC 1 = GA 1 + GB 1 + GC 1 – ( GA + GB + GC ) = 2 1 ( GA . + AB Bài 31 Giải M O C B A • Phân tích vectơ AM theo các vectơ OCOBOA ,, Ta có: AM = 2 1 ( AC + AB ) = 2 1 ( OAOC − + OAOB − ) = 2 1 ( OC + OB - 2 OA ) = 2 OBOC + - OA Bài. MN = 3 1 3 1 −BN CM Bài 28 Giải G M A' B A C H a) Chứng minh: AH = 3 2 AC - 3 1 AB và CH = - 3 1 ( AB + AC ). Ta có: AH = 3 2 ( AH + HC ) - 3 1 ( AH + HB ) = 3 2 AH