TỔNG LIÊN ĐOÀN LAO ĐỘNG VIỆT NAM TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÔN ĐỨC THẮNG KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-TOÁN ỨNG DỤNG ĐỒ ÁN TOÁN  ỨNG DỤNG MAPLE GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Giảng viên hướng dẫn Ths LÊ TRUNG NGHĨA Sinh viên thực hiện: LÊ ĐỨC HÙNG 081343T ĐẶNG QUỐC THÁI 081350T ĐẶNG THỊ TUYẾT VÂN 081355T ĐỖ THANH TƠ 083163T BÙI THỊ TUYẾT NGA 083154T Thành Phố Hồ Chí Minh, ngày 8 tháng 12 năm 2011 1 NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN HƢỚNG DẪN .…………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… .…………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… .………………………………………………………………………………………….………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………. .…………………………………………………………………………………………………………………………………………………… .…………………………………………………………………………………………………………………………………………………… .…………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… 2 MỤC LỤC Phần 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUÁT VỀ PHẦN MỀM MAPLE 5 Phần 2 ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 14 CHƢƠNG 1: SỐ PHỨC 14 1.1 VÌ SAO PHẢI CÓ SỐ PHỨC: 14 1.2 DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 14 1.3 DẠNG LƢỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: 16 1.4 CĂN CỦA SỐ PHỨC: 19 1.5 ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOAN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC: 20 CHƢƠNG 2: MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 28 2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ KÝ HIỆU: 28 2.2 CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN: 28 2.3 PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP – HẠNG CỦA MA TRẬN: 31 2.4 MA TRẬN KHẢ NGHỊCH: 33 2.5 PHƢƠNG TRÌNH MA TRẬN: 34 2.6 KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH: 34 2.7 PHƢƠNG PHÁP GAUSS GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH: 36 2.8 ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ MA TRẬN: 36 CHƢƠNG 3: ĐỊNH THỨC 48 3.1 HOÁN VỊ 48 3.2 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN. 48 3.3 ĐỊNH THỨC VÀ MA TRẬN KHẢ NGHỊCH 53 3.4 QUY TẮC CRAMER 54 3.5. ĐỊNH THỨC VÀ HẠNG CỦA MA TRẬN 56 3.6 ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỊNH THỨC 57 CHƢƠNG 4 KHÔNG GIAN VECTƠ 63 4.1 ĐỊNH NGHĨA 63 4.2 TỔ HỢP TUYẾN TÍNH 64 4. 3. ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH – PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 65 4 .4 KHÔNG GIAN – TẬP SINH – CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU 67 4.5 KHÔNG GIAN DÒNG 70 4.6 KHÔNG GIAN NGHIỆM 71 4.7 KHÔNG GIAN TỔNG 73 4.8 TỌA ĐỘ VÀ MA TRẬN CHUYỂN CƠ SỞ 73 4. 9. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ KHÔNG GIAN VECTOR 78 4. 10. ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ KHÔNG GIAN VECTOR 83 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 89 5.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 89 5.2 NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 91 5.3 MA TRẬN BIÊ ̉ U DIỄN ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 93 3 5.4 KHÔNG GIAN ĐỐI NGẪU. 97 5.5 MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH 98 5.6 ỨNG DỤNG MAPLE GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 100 CHƢƠNG 6: SỰ CHÉO HÓA 104 6.1. TRỊ RIÊNG VÀ VECTOR RIÊNG 104 6.2 CHÉO HÓA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH – CHÉO HÓA MA TRẬN 108 6.3. MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA CHÉO HÓA 113 6.4. ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHÉO HÓA 116 4 LỜI NÓI ĐẦU Tiến sĩ Thân Nhân Trung - vị quan dƣới thời vua Lê Thánh Tông đã từng nói: “Hiền tài là nguyên khí của quốc gia,nguyên khí thịnh thì thế nƣớc mạnh mà hƣng thịnh,nguyên khí suy thì thế nƣớc yếu mà thấp hèn. Vì thế các bậc đế vƣơng thánh minh không đời nào không coi việc giáo dục nhân tài, kén chọn kẻ sĩ, vun trồng nguyên khí quốc gia làm công việc cần thiết”. Câu nói này luôn đúng với mọi thời đại và ngay cả ngày nay trong thời đại của tri thức thì câu nói trên càng chứng minh đƣợc tính đúng đắn một cách toàn diện của nó. Và mới hơn cả, Thứ Trƣởng Bộ Giáo Dục và Đào Tạo Nguyễn Vinh Hiển đã từng nói: “Đổi mới phƣơng pháp dạy học phù hợp với mục tiêu, nội dung dạy học là yếu tố có thể coi là xƣơng sống của đổi mới giáo dục phổ thông”. Vì vậy, từ hai câu nói trên đã cho ta thấy rõ tầm quan trọng của giáo dục đối với đất nƣớc Việt Nam và việc đổi mới phƣơng pháp dạy học đang trở thành một bài toán khó hay một vấn đề nan giải đối với nhà quản lý giáo dục. Làm sao để thu hút ngƣời học tham gia vào bài nhiều hơn trƣớc đây để tránh tái diễn một hình ảnh không đẹp vốn dĩ có từ lâu đời thầy đọc trò chép? Nếu ta để hình ảnh này còn xuất hiện nhiều tức là ta đang đi vào vết xe đổ của quá khứ.Vậy đổi mới giáo dục nhƣ thế nào? Môn Toán có một vai trò hết sức quan trọng. Bởi, nó là môn học nền tảng giúp ta nhận thức mọi môn học khác nhƣ Vật lý, Hóa học, Sinh học hay áp dụng trong các vấn đề bài toán kinh tế hay kỹ thuật…Nhƣng nó lại đƣợc đánh giá là môn học khó ở hai nghĩa đó là khó cả về ngƣời dạy và khó cả về ngƣời học. Câu hỏi đặt ra là: Làm sao để học môn Toán vừa thuận lợi vừa hiệu quả hơn? Maple là một phần mềm Toán học có khả năng ứng dụng trong mọi nội dung, mọi lĩnh vực nhƣ vật lý, Hóa học hay áp dụng vào bài toán kinh tế…Với khả năng tính toán, minh họa trực quan, Maple là một công cụ rất tốt giúp cho ngƣời học và ngƣời dạy thuận lợi hơn trong quá trình tìm hiểu nó ở các lĩnh vực khác nhau. Nhƣng cũng chính vì sự đa dạng của phần mềm này nên trong khuôn khổ có hạn của bài báo cáo, nhóm chỉ tập trung khai thác Maple ở lĩnh vực quan trọng nhất của nó đó là: Toán học. Đặc biệt, nhóm xin khai thác tập trung ở mảng Đại số tuyến tính với những phạm trù không gian vectơ và ánh xạ tuyến tính vì nó có mặt trong mọi ngõ ngách của Toán học và Khoa học ứng dụng… Vì vậy, nhóm quyết định chọn đề tài báo cáo của nhóm là: “ỨNG DỤNG MAPLE GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH”. Với sự hƣớng dẫn tận tình của Thầy Lê Trung Nghĩa, nhóm em đã hoàn thành bài báo cáo đồ án toán này. Dù đã cố gắng hết sức nhƣng do năng lực còn hạn chế nên nhóm không thể không tránh khỏi những khiếm khuyết và thiếu sót. Kính mong Thầy thông cảm và đóng góp ý kiến cho nhóm để báo cáo ngày càng tốt hơn. Nhóm em xin chân thành cảm ơn Thầy. TPHCM, ngày 8 tháng 12 năm 2011 Sinh viên thực hiện LÊ ĐỨC HÙNG 081343T ĐẶNG QUỐC THÁI 081350T ĐẶNG THỊ TUYẾT VÂN 081355T ĐỖ THANH TƠ 083163T BÙI THỊ TUYẾT NGA 083154T 5 PHẦN 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUÁT VỀ PHẦN MỀM MAPLE 1.GIỚI THIỆU Maple là gói phần mềm toán học thƣơng mại phục vụ cho nhiều lĩnh vực đƣợc xây dựng và phát triển bởi của hãng Waterloo http://www.maplesoft.com/http://www.Maplesoft.com phiên bản mới nhất là Maple 15. Maple là một công cụ tuyệt vời hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu toán học.Với Maple ta có thể thực hiện đƣợc mọi điều từ những phép toán đơn giản nhất, sơ cấp nhất cho đến những tính toán phức tạp nhất. Không chỉ dừng lại ở việc hỗ trợ tính toán, Maple còn có khả năng lập trình. Ở phƣơng diện này, có thể xem Maple nhƣ là một ngôn ngữ lập trình trong đó chúng ta có thể tạo ra những chƣơng trình và những gói (package) để tái sử dụng. Maple cung cấp nhiều công cụ trực quan, nhiều gói lệnh chuyên ngành phù hợp với các tính toán phổ thông và bậc đại học, giao diện hoàn thiện hơn và hỗ trợ soạn thảo tốt hơn. Nhiều trƣờng đại học sử dụng Maple để giảng dạy một số môn trong khung chƣơng trình đào tạo đã góp phần làm thay đổi cách học toán, song song với lối giải toán truyền thống sinh viên có thể giải quyết bài toán với sự giúp đỡ của Maple. 1.1 Các cửa sổ giao diện Maple 13 Maple 13 cung cấp hai loại giao diện:  Classic Worksheet  Standard Worksheet Hình 1 . Giao diện classic 6 Hình 2 . Giao diện Standard 1.2. Quy tắc gõ lệnh - Các lệnh của Maple đƣợc gõ sau dấu nhắc lệnh > , kết thúc lệnh bằng dấu chấm phẩy (;) nếu muốn Maple hiển thị kết quả của việc tính toán, hoặc dấu hai chấm(:) nếu chỉ yêu cầu Maple tính toán mà không hiển thị kết quả. Các bạn dùng phím Enter để yêu cầu Maple bắt đầu thực hiện tính toán. - Để viết các lời giải thích câu lệnh bạn có thể viết chúng sau dấu thăng (#). - Để xuống dòng trên cùng một dấu nhắc lệnh các bạn dùng tổ hợp phím Shift-Enter. 7 - Để gán giá trị cho biến ta dùng dấu hai chấm bằng (:=) . - Có thể gọi lại kết quả vừa thực hiện bằng lệnh % (%% lấy kết quả trƣớc kết quả vừa thực hiện ). - Các lệnh của Maple có thể chỉnh sửa, copy,… 1.3. Các thành phần cơ sở của Maple 1.3.1 Tập ký tự - Bao gồm bảng chữ cái tiếng Anh  Chữ hoa : A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z.  Chữ thƣờng : a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z. - Chữ số : 0, 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9. Chú ý : Maple phân biệt chữ hoa – thƣờng . - Tập các ký hiệu đặc biệt : 8 1.3.2 Toán tử cơ bản 1.3.3 Các hàm toán học cơ bản Hàm Ý nghĩa Hàm Ý nghĩa Hàm Ý nghĩa abs(x) x sqrt(x) x exp(x) e x ln(x) Log e (x) log10(x) Log 10 (x) max(x 1 ,x 2 , …) Tính giá trị lớn nhất của x 1 ,x 2 ,… min(x 1 ,x 2 ,…) Tính giá trị nhỏ nhất của x 1 ,x 2 , … round(x) Hàm làm tròn giá trị x sin(x) Sin(x) cos(x) Cos(x) tan(x) Tg(x) arcsin(x) Arcsin(x) arccos(x) Arccos(x) arcsin(x) Arctg(x) 2. Tính toán trên Maple - Maple có khả năng tính toán với những con số rất lớn với độ chính xác cao. > 1000000!:# Tinh 1000000! > length(%);#Chieu dai cua 1000000! 5565709 - Maple có đầy đủ các hàm tính toán từ đơn giản đến phức tạp. > 2011+2012; 4023 > 30*11*2011; 663630 2.1 Tính toán trên số nguyên Các hàm thông dụng : Hàm Ý nghĩa Hàm Ý nghĩa Hàm Ý nghĩa factorial(n) Tính n giai thừa isqrt(n) Căn bậc hai nguyên của n iroot(x,n) Căn bậc n nguyên của x ifactor(n) Phân tích n thành tích các thừa số nguyên tố irem(m,n) Số dƣ khi chia m cho n iquo(m,n) Thƣơng khi chia m cho n igcd(x 1 ,x 2 , ) Ƣớc số chung lớn nhất của x 1 , x 2 , ilcm(x 1 ,x 2 , ) Bội số chung nhỏ nhất của x 1 , x 2 , m mod n Số dƣ khi chia m cho n Phép tóan Kí hiệu Phép tóan Kí hiệu Phép tóan Kí hiệu Cộng + Nhân * Giai thừa ! Trừ - Chia / Mũ ^ 9 isprime(n) n có là số nguyên tố không?Trả về True / False nextprime(n) Số nguyên tố liền sau n prevprime(n ) Số nguyên tố liền trƣớc n Ví dụ : > factorial(5); 120 > ifactor(%); ( ) 2 3 ( ) 3 ( ) 5 > isprime(17); true > nextprime(17); 19 > prevprime(17); 13 > isqrt(12); 3 > igcd(24,18); 6 > a:=123:b:=32: >irem(a,b); >iquo(a,b); 27 2.2 Tính toán trên biểu thức Hàm Ý nghĩa Hàm Ý nghĩa Hàm Ý nghĩa expand(bt) Khai triển biểu thức bt simplify(bt) Đơn giản biểu thức factor(bt) Phân tích đa thức thành nhân tử nomal(pt) Tối giản phân thức divide(bt1,bt2 ) Kiểm tra xem bt1 có chia hết cho bt2 không? subs([x1=a1 ,x2=a2, ],f( x1,x2, )) Tính giá trị của f(x1,x2, ) với x1=a1,x2=a2 collect (bt,x) Gom hạng tử của bt theo biến x degree(bt) Bậc của đa thức bt coeff(bt,x^n ) Hệ số của x^n trong đa thức bt Ví dụ : > bt1:=(x+y)*(2*x-1); := bt ( )x y ( )2 x 1 > expand(bt1);   2 x 2 x 2 y x y > collect(bt1,x);  2 x 2 ( )2 y 1 x y [...]... luôn có các nghiệm Với quy ước  là một trong hai căn bậc hai của số phức  1.5 Ứng dụng Maple để giải các bài toán liên quan đến số phức Trong Maple quy định số phức i là I 1.5.1 Tạo số phức Ta có các lệnh cơ bản sau : - Để gán biến z là số phức a + bi ta nhập lệnh: z:=a+b*I - Để tạo số phức a +bi ta nhập lệnh: complex(a,b) - Để tạo số phức bi ta nhập lệnh: complex(b) 20 1.5.2 Các phép toán trên số phức... CHƢƠNG 1 SỐ PHỨC 1.1 Vì sao phải có số phức Đối với trƣờng số ta có rất nhiều trƣờng số nhƣ: N(tập hợp các số tự nhiên), Z( tập hợp các số nguyên), Q( trƣờng số hữu tỷ), R(trƣờng số thực) Theo những kết quả mà các nhà toán học đã có đƣợc trƣờng số thực là một trong những trƣờng số lớn nhất và có thể giải đƣợc nhiều bài toán khác nhau Nhƣng sau đó họ đã nhận thấy có nhiều bài toán không thể giải đƣợc... trên số phức Các phép toán cộng , trừ, nhân, chia hay lũy thừa tƣơng ứng là các ký hiệu +, -,*, / Nhƣng thông thƣờng kết quả thu đƣợc khi ta thực hiện những phép toán trên các số phức không phải là dạng đại số do đó ta sử dụng hàm sau để cho kết quả dạng đại số nhƣ mong muốn: evalc(…) - Để xác định phần thực của z ta nhập lệnh: re(z); - Để xác định phần ảo của z ta nhập lệnh: im(z); - Để xác định modun... Vẽ đồ thị hàm số f theo biến x trên miền [a;b].Nếu không khai báo miền giá trị của x thì Maple mặc định là [-10;10] > plot(sin(x),x=-Pi Pi); > plot(cos(x)+sin(x)); 12 2.5.2 Hàm hai biến : đồ thị 3D Cú pháp : plot3d(f , x = a b ); > plot3d({sin(x*y), x + 2*y}, x=-Pi Pi, y=-Pi Pi); > plot3d(x*exp(-x^2-y^2), x=-2 2, y=-2 2, color=x); 13 PHẦN 2 ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH... bởi:  Về loại : C có loại m x p  Về hệ số: C có hệ số ở dòng i, cột j đƣợc tính bởi công thức: Cách nhân Hệ số dòng i, cột j của AB có đƣợc bằng cách nhân các hệ số ở dòng i của ma trận A với các hệ số tƣơng ứng ở cột j của ma trận B rồi lấy tổng của chúng: Ví dụ Cho A= AB = 30 Tính chất 2.2.7 Lƣu ý: 1) Phép nhân ma trận không có tính giao hoán nghĩa là thông thƣờng ta có: AB BA 2) Nhiều tính chất... dạng bậc thang rút gọn ( hay có dạng rút gọn theo dòng từng bậc) nếu các tính chất sau đƣợc thỏa: 1) A có dạng bậc thang 2) Các hệ số khác 0 đầu tiên trên dòng khác 0 của A đều bằng 1 3) Trên các cột có chứa các số 1 là các hệ số khác 0 đầu tiên trên các dòng khác 0, tất cả các hệ số khác đều bằng 0 Ngoài ra,trên các cột… tất cả các hệ số còn lại đều bằng 0 Định lý 2.3.4 Cho A là một ma trận loại mxn... đƣợc xem là tính chất 1 của dạng đại số của số phức Tính chất 2: Vì trường số phức là tập lớn hơn trường số thực nên các phép tính thông thường trong R vẫn đúng với C với điều kiện = -1 (đã chứng minh ở trên) Ta gọi hai số phức bất kỳ có dạng:z=a+ib và z’=c+id Ta có:  z+z’= (a+c) +i(b+d);  z-z’= (a-c)+i(b-d);  z.z’=(a+ib)(c+id) = ac + iad + ibc + i2bd = (ac-bd) + i(ad+bc)  = = Ví dụ: Cho số phức z=(3,1)... sau đây: solve(eqns,vars) Trên đây là những dòng lệnh cơ bản nhất khi tính toán trên số phức Để hiểu rõ hơn về những dòng lệnh này, ta sẽ xét những ví dụ cụ thể với mục đích duy nhất là làm sáng tỏ những dòng lệnh trên Bài 1.1 Nhập vào Maple ta có: > (1+I)^3 + (3-I)*(1+I); Nhập vào Maple ta có: > (2-I)^5 +(2+I)^5; Bài 1.2 Nhập vào Maple ta có: > Z:=x+iy; 21 > solve({(1+2*i)*x + (2+i)*y +(3+2*i)*z =... này chứng tỏ căn bậc n có đƣợc ứng với k trùng với căn bậc n ứng với r Từ đó kết luận u có đúng n căn bậc n ứng với k Ví dụ Tìm căn bậc 5 của 1 Ta viết 1 dƣới dạng lƣợng giác: 1=cos0+isin0 Theo công thức trên ta có căn bậc 5 của 1 là: Đó là các số phức: 19 Nhận xét Để tìm căn của số phức ta thƣờng viết dƣới dạng lƣợng giác rồi áp dụng công thức để tính Nhƣng không phải lúc nào cũng dễ dàng tính đƣợc... trƣờng số thực, kết luận vô nghiệm điển hình là các phƣơng trình bậc 2.Chúng ta cũng biết không phải phƣơng trình bậc 2 nào cũng có nghiệm trong R Ví dụ +1=0 (1) Phƣơng trình trên hoàn toàn không có nghiệm thực Điều này đồng nghĩa nếu ta giải phƣơng trình trên trƣờng số thực ta sẽ kết luận nó vô nghiệm Bài toán đặt ra là phải mở rộng trƣờng số thực bằng cách xây dựng một trƣờng số mới lớn hơn trƣờng số . ĐỘNG VIỆT NAM TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÔN ĐỨC THẮNG KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-TOÁN ỨNG DỤNG ĐỒ ÁN TOÁN  ỨNG DỤNG MAPLE GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Giảng viên. THIỆU TỔNG QUÁT VỀ PHẦN MỀM MAPLE 5 Phần 2 ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 14 CHƢƠNG 1: SỐ PHỨC 14 1.1 VÌ SAO PHẢI CÓ SỐ PHỨC: 14 1.2 DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 14 1.3. 5.5 MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH 98 5.6 ỨNG DỤNG MAPLE GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 100 CHƢƠNG 6: SỰ CHÉO HÓA 104 6.1. TRỊ RIÊNG VÀ VECTOR RIÊNG 104 6.2 CHÉO HÓA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH –