ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HÀ THỊ KIM DUNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HÀ THỊ KIM DUNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS. HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i LỜI NÓI ĐẦU 1 Nội dung 3 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 3 1.1 Về việc giải phương trình Điôphăng . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Phương trình Điôphăng tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Phương trình Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Các bộ số Pitago . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Phương trình Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Phương trình Pell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 Phân số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.2 Phương trình Pell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 39 2.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 Về cấu trúc của S: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3 Chứng minh định lí 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.1 Chứng minh T ⊂ S . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.2 Xây dựng hoàn chỉnh tập S : . . . . . . . . . . . . . 48 Kết luận 52 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Tài liệu tham khảo 54 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 LỜI NÓI ĐẦU Số học là một trong những lĩnh vực cổ xưa nhất của Toán học, và cũng là lĩnh vực tồn tại nhiều nhất những bài toán, những giả thiết chưa có câu trả lời. Một trong những bộ phận quan trọng của Số học được nhiều nhà toán học lớn trên thế giới nghiên cứu, đó chính là "Phương trình nghiệm nguyên". Trong các kì thi chọn học sinh giỏi trong và ngoài nước, các bài toán về phương trình nghiệm nguyên vẫn luôn là một đề tài hay và khó đối với học sinh. Là một giáo viên dạy bộ môn Toán ở các trường phổ thông, chắc chắn ai cũng muốn trang bị cho mình những kiến thức đầy đủ nhất về vấn đề này. Chính vì vậy, tôi đã chọn "Phương trình nghiệm nguyên" làm luận văn tốt nghiệp của mình. Nội dung luận văn được chia thành hai chương: Chương 1: “Đại cương về phương trình nghiệm nguyên”, trình bày về việc giải phương trình Điôphăng và phương pháp giải phương trình Điôphăng tuyến tính, phương trình Fermat, phương trình Pell. Chương 2: “Một lớp phương trình nghiệm nguyên”, giới thiệu một lớp phương trình nghiệm nguyên được quan tâm nhiều. Nội dung của chương được viết theo bài báo "The equation 9  i=1 1 x i = 1 in distinct odd integers has only the five known solutions" đăng trên tạp chí "Journal of Number Theory" số 127 năm 2007. Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên trong quá trình viết luận văn cũng như trong xử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi những sai sót nhất định. Tác giả luận văn rất mong nhận được sự góp ý của các thầy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS.TSKH. Hà Huy Khoái đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học -Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, tổ Khoa học tự nhiên Trường THCS Trần Phú và tập thể bạn bè đồng nghiệp cùng gia đình đã quan tâm giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành tốt luận văn này. Thái Nguyên, tháng 07 năm 2012. Người thực hiện Hà Thị Kim Dung Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 1.1 Về việc giải phương trình Điôphăng Trong chương này, chúng ta sẽ làm quen với phương pháp giải các phương trình Điôphăng bậc nhất (tuyến tính) hoặc bậc 2. Đối với các phương trình bậc cao hơn, tồn tại hay không một phương pháp chung để giải? Đó là câu hỏi đã được đặt ra từ thời Điôphăng, và là nội dung của Bài toán Hilbert thứ 10 nổi tiếng. Xin nhắc lại rằng, tại Đại hội Toán học Quốc tế đầu thế kỉ 20, Hilbert, một trong những nhà toán học lớn nhất của mọi thời đại, đã đề ra 23 bài toán cho toán học của thế kỉ 20. Cho đến nay, nhiều bài toán trong số đó vẫn đang chờ lời giải. Bài toán thứ 10 mà ta nhắc đến ở đây là: Có hay không một thuật toán để giải các phương trình Điôphăng? Nói một cách "nôm na" là: có hay không một phương pháp để khi cho một phương trình Điôphăng tùy ý, ta dùng phương pháp đó để, sau một thời gian hữu hạn, tìm ra nghiệm, hoặc chỉ ra rằng phương trình không tồn tại nghiệm (nguyên). Bài toán Hilbert thứ 10 đã được nhà toán học Nga Yuri Matijasievich giải năm 1970 khi ông mới 21 tuổi. Câu trả lời là: không tồn tại thuật toán giải phương trình Điôphăng tổng quát. Như vậy, với các phương trình Điôphăng bậc lớn hơn 2, ta chỉ có thể tìm cách giải từng phương trình cụ thể! Tuy nhiên, cũng có thể kể ra đây một Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 vài phương pháp hay được dùng để giải các phương trình Điôphăng được cho trong chương trình toán phổ thông. Tư tưởng chung của các phương pháp đó là, do chỉ xét các nghiệm nguyên (nhiều khi là nghiệm nguyên dương) nên nếu ta thu hẹp được tập hợp chứa nghiệm (nếu có) thì có thể dùng cách thử toàn bộ để xác định nghiệm. 1. Sử dụng các tính chất chia hết để thu hẹp tập hợp nghiệm có thể 2. Dùng các ước lượng về độ lớn của nghiệm để thu hẹp tập hợp nghiệm có thể. Thông thường, để làm việc đó, cần dựa vào một "nghiệm cực trị" (nhỏ nhất hoặc lớn nhất theo một nghĩa nào đó). Các "phương pháp" vừa nêu chỉ là các gợi ý. Việc vận dụng chúng một cách linh hoạt được cho qua các bài tập. 1.2 Phương trình Điôphăng tuyến tính Sách "Đại thành toán pháp" của Lương Thế Vinh đã có hướng dẫn giải bài toán sau đây: Một trăm con trâu Một trăm bó cỏ Trâu đứng ăn năm Trâu nằm ăn ba Trâu già ba con một bó Hỏi mỗi loại trâu có mấy con ? Theo ngôn ngữ toán học bây giờ, ta có thể giải bài toán trên đây như sau. Gọi x là số trâu đứng, y là số trâu nằm và z là số trâu già (theo quy ước của bài toán, trâu già không đứng, mà cũng không nằm !). Theo bài Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 ra ta có:    x + y + z = 100 5x + 3y + z 3 = 100 Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3 rồi trừ từng vế cho phương trình thứ nhất, ta được: 14x + 8y = 200 (1.1) Phương trình thu được có hai ẩn x, y. Vì x, y là "số trâu" nên rõ ràng x, y phải nhận các giá trị nguyên không âm. Như vậy, phương trình (1.1) thuộc vào lớp phương trình Điôphăng tuyến tính. Định nghĩa 1.1. Phương trình Điôphăng tuyến tính là phương trình có dạng ax + by = c, (1.2) trong đó a, b, c là các số nguyên, đồng thời các biến x, y cũng chỉ nhận các giá trị nguyên. Giải phương trình Điôphăng (1.2) tức là tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn (1.2). Định lý sau đây trả lời câu hỏi khi nào thì phương trình Điôphăng tuyến tính có nghiệm, đồng thời chỉ ra các nghiệm khi chúng tồn tại. Định lý 1.2. Giả sử a, b là các số nguyên dương, d là ước chung lớn nhất của a và b, d = (a, b). Khi đó phương trình ax + by = c không có nghiệm nguyên nếu d không chia hết c. Nếu d | c thì phương trình có vô số nghiệm. Hơn nữa, nếu x = x 0 , y = y 0 là một nghiệm nào đó của phương trình, thì mọi nghiệm của phương trình có dạng: x = x 0 +  b d  n, y = y 0 −  a d  n, trong đó n là số nguyên. Chứng minh. Giả sử (x, y) là một nghiệm của phương trình. Do d | a, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 d | b nên d | c. Như vậy, nếu d không chia hết c thì phương trình không có nghiệm nguyên. Bây giờ giả sử d | c. Khi đó, tồn tại các số nguyên s, t sao cho d = as + bt (1.3) Do d | c nên tồn tại e nguyên sao cho de = c. Nhân hai vế của (1.3) với e ta được: c = de = (as + bt)e = a(se) + b(te). Như vậy, ta có một nghiệm của phương trình cho bởi x = x 0 = se, y = y 0 = te. Ta sẽ chứng tỏ tồn tại vô số nghiệm. Đặt x = x 0 + b d n, y = y 0 − a d n, trong đó n nguyên. Ta thấy (x, y) xác định như trên là một nghiệm, vì ax + by = ax 0 + a. b d n + by 0 − b. a d n = ax 0 + by 0 = c. Chỉ còn phải chứng tỏ rằng, mọi nghiệm của phương trình phải có dạng nêu trên. Giả sử (x, y) là một nghiệm tùy ý, tức là x.y nguyên và thỏa mãn ax + by = c. Khi đó (ax + by) − (ax 0 + by 0 ) = 0, suy ra a(x −x 0 ) + b(y −y 0 ) = 0. Tức là a(x −x 0 ) = b(y 0 − y). Chia hai vế của đẳng thức cho d, ta được a d (x −x 0 ) = b d (y 0 − y) (1.4) Do d = (a, b) nên a d và b d nguyên tố cùng nhau. Từ đó suy ra y 0 − y . . . a d , tức là tồn tại n nguyên sao cho a d n = y 0 − y. Suy ra y = y 0 − a d n. Thay Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... 1.4 Phương trình Pell Trước tiên ta sẽ trình bày một số tính chất cơ sở nhất của phân số liên tục, những tính chất này sẽ cung cấp công cụ cần thiết để giải các phương trình Điôphăng bậc 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 1.4.1 Phân số liên tục a Số hữu tỉ và số vô tỉ a Định nghĩa 1.9 Số thực α được gọi là số hữu tỉ nếu α = , trong đó b a, b là các số nguyên, ... đó, chỉ có hữu hạn nghiệm, vì tồn tại nhiều nhất là một nghiệm nguyên của hai phương trình trên ứng với một cách phân tích n = ab Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Trong phần còn lại, ta quan tâm phương trình x2 − dy 2 = n, trong đó d và n là các số nguyên, d là số nguyên dương không chính phương Định √ lí sau đây chỉ ra rằng, phân số liên tục đơn giản... giải các phương trình nghiệm nguyên thuộc một số lớp thường gặp Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 Định nghĩa 1.11 Phân số liên tục là một biểu thức có dạng 1 a0 + a1 + 1 a2 + + 1 an−1 + 1 an trong đó a0 , a1 , a2 , , an là các số thực; a1 , a2 , , an dương Các số thực a1 , a2 , , an được gọi là các thương riêng của phân số liên tục Một phân số liên tục... này của y vào phương trình (1.4) ta được x = x0 + n d Định lý trên đây cho phương pháp giải phương trình Điôphăng tuyến tính Ví dụ xét phương trình (1.1) 14x + 8y = 200 Ta có (14, 8) = 2 Do 2 | 200 nên phương trình có nghiệm Dễ thấy 2 = 14.(−1) + 8.(+2) Nhân hai vế với 100 ta có: 14.(−100) + 8.(200) = 200 Như vậy, ta được nghiệm x0 = −100, y0 = 200 Theo Định lí 1.2, các nghiệm của phương trình có dạng:... bình phương các cạnh góc vuông Như vậy, một bộ ba số nguyên dương (x, y, z) là một bộ số Pitago khi và chỉ khi tồn tại tam giác vuông có số Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 đo các cạnh góc vuông là x và y , số đo cạnh huyền là z (Chẳng hạn bộ {3, 4, 5} , {6, 8, 10}, ) Rõ ràng rằng, nếu {x, y, z} là một bộ số Pitago thì {kx, ky, kz} cũng là một bộ số Pitago... và n < 0, phương trình vô nghiệm Khi d < 0 và n > 0, phương trình chỉ có thể có hữu hạn √ n Khi d nghiệm, vì đẳng thức x2 − dy 2 = n suy ra |x| ≤ n, |y| ≤ |d| là một số chính phương, chẳng hạn d = D2 thì x2 − dy 2 = x2 − D2 y 2 = (x + Dy)(x − Dy) = n Vậy, mọi nghiệm của (1.8) khi d chính phương sẽ tương ứng với nghiệm của hệ phương trình x + Dy = a x − Dy = b, trong đó a và b là các số nguyên sao... số tự nhiên k Do đó, ta chỉ cần xét các bộ ba số nguyên tố cùng nhau Định nghĩa 1.3 Bộ số Pitago {x, y, z} được gọi là nguyên thủy nếu (x, y, z) = 1 Ví dụ: Các bộ số {3, 4, 5} , {5, 12, 13} là nguyên thủy, bộ số {6, 8, 10} không nguyên thủy Nếu bộ số Pitago {x, y, z} là không nguyên thủy, chẳng hạn (x, y, z) = d, x y z , , là một bộ số Pitago nguyên thủy Để tìm các bộ số Pitago, thì d d d ta cần một. .. số liên tục [a0 ; a1 , a2 , , ak ] Ta kí hiệu hội tụ thứ k là Ck Sau đây, ta sẽ xét một số tính chất của phân số liên tục Các tính chất này sẽ được dùng khi giải một số lớp phương trình nghiệm nguyên Định lí 1.15 Giả sử a0 , a1 , a2 , an là các số thực, trong đó ai > 0 với Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 19 i ≥ 1 Xét dãy p0 , p1 , , pn và q0 , q1 , , qn... hai số nguyên với số chia khác 0 a Khi viết các số vô tỉ như phân số , trong đó a, b nguyên và b = 0, ta b thường dùng dạng tối giản, tức là a, b nguyên tố cùng nhau b Phân số liên tục hữu hạn Trong phần này, ta sẽ nghiên cứu cách biểu diễn một số dưới dạng phân số liên tục Ví dụ: 2 7 =1+ =1+ 5 5 1 1 2 Biểu diễn một số nhờ phân số liên tục có nhiều ứng dụng khác nhau, trong 2+ đó có việc ứng dụng để giải. .. là một bộ số Pitago nguyên thủy Từ Định lí 1.7 ta có thể thu được các ví dụ về bộ số Pitago nguyên thủy Chẳng hạn lấy m = 5, n = 2, ta có m không đồng dư với n mod 2 và (m, n) = 1, m > n Theo Định lí 1.7, bộ ba số x = m2 − n2 = 52 − 22 = 21 y = 2mn = 2.5.2 = 20 z = m2 + n2 = 52 + 22 = 29 là một bộ số Pitago nguyên thủy 1.3.2 Phương trình Fermat Ta thấy rằng, phương trình x+y =z có vô hạn nghiệm nguyên . phương trình Điôphăng và phương pháp giải phương trình Điôphăng tuyến tính, phương trình Fermat, phương trình Pell. Chương 2: Một lớp phương trình nghiệm nguyên , giới thiệu một lớp phương trình nghiệm. liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HÀ THỊ KIM DUNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HÀ THỊ KIM DUNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu