Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa H ÌNH H ỌC 10 Ch ư ơng 2. Tích Vô Hướng Và Ứng Dụng http://www.saosangsong.com.vn/ Save Your Time and Money Sharpen Your Self-Study Skill Suit Your Pace Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng www.saosangsong.com.vn/ 2 2 §1.Tích vô hướng của hai vectơ A .Tóm tắt giáo khoa : 1 . Góc giữa hai vectơ : a) Góc hình học : Góc hình học là hình tạo bởi hai tia có chung gốc .Số đo a ( tính bằng độ ) của một góc hình học thỏa : 0 180 oo a≤≤ • Nếu và a không phải là góc đặc biệt càc giá trị lượng giác của a được tính bằng máy tính bỏ túi 09 o a≤≤0 o o (0 ;30 ;45 ;60 ;90 ) ooooo • Nếu , ta dùng góc bù để tính giá trị lượng giác của a : 90 180 o a<≤ sin sin(180 ) cos cos(180 ) tan tan(180 ) cot cot(180 ) o o o o aa aa aa aa =− =− − =− − =− − b) Góc giữa hai vectơ : Cho 2 vectơ ;(0ab≠ ) G GG ; Vẽ các vectơ OA Góc AOB được gọi là góc giữa 2 vectơ ;a OB b== JJJGGJJJGG ;ab GG Ký hiệu : (,)ab GJJG 2 . Tích vô hướng của hai vectơ : a ) Định nghĩa : Tích vô hướng của hai vectơ ,ab G G .ab ký hiệu là G G là một số xác định bởi : .cos(ab a b a b= JG G G G G G ,) b) Tính chất : GG GG .( ) . () (.) .() ab ba ab c ab ac ka b k ab a kb = += + == GG G JGG GG GG GG G JJG Ta cũng có các kết qủa sau : 2 2 ;.0aa ab ab==⇔⊥ GG GG GG 22 2 22 () 2. ()() ab a abb abab a b +=+ + +−=− JJGG G GGG GGGG G G Chú ý : Sử dụng các tính chất ta sẽ có các hệ thức : c) Công thức hình chiếu : Cho hai vectơ bất kỳ , ; A BCD J JJGJJJG . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C , D xuống đường thẳng AB . Ta có công thức : d) Công thức về tọa độ : GG Cho các vectơ : . Ta có các công thức : 12 12 (, ); (,)aaa bbb== A BCD ABEF= J JJG JJJG JJJGJJJG O x y a G b G A B C D E F Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng www.saosangsong.com.vn/ 3 3 22 12 11 22 11 22 11 2 2 222 1212 . 0 cos( , ) . aaa ab ab ab ab abab ab a b ab aa bb =+ =+ ⊥⇔ + = + = ++ G GG GG GG 2 3 . Áp dụng : Bài toán 1 : Tìm tập hợp điểm M thỏa : .(1) M AMB k= J JJG JJJG ( A , B cố định ; k là hằng số ) Gọi I là trung điểm của AB , ta có : 22 22 (1) ( )( ) M IIAMIIB k MI IA k IM k IA ⇔+ +=⇔−= ⇔=+ JJJGJJGJJJGJJG Tập hợp các điểm M là đường tròn ( I , 2 0:kIA•+ > 2 kIA+ ) Tập hợp các điểm M là : 2 0:kIA•+ = { } I : Tập hợp các điểm M là tập rỗng 2 0kIA•+ < Bài toán 2 : Phương tích của một điểm đối với một đường tròn . Cho đường tròn tâm I , bán kính R và một điểm M . Một đường thẳng bất kỳ qua M cắt đường tròn taị A và B . Biểu thức . M AMB JJJ J được gọi là G JJG phương tích của điểm M đối với đường tròn (I) . Ta có : 22 22 /( ) . . ' ( ).( ') (') M I I A M B B' T MA MB MB MB MI IB MI IB MI IB do IB IB MI R Ρ= = =+ + =− =− =− JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJG JJJGJJJG JJJGJJG Chú ý : Do biểu thức trên , ta cũng có : 2 /( ) M I MTΡ= ( MT là tiếp tuyến vẽ từ M đến đường tròn (I) ) B . Giải toán : Dạng toán 1 : Sử dụng máy tính fx-500MS để tính giá trị lượng giác của một góc Ví dụ 1 : Tính các giá trị sau )sin 65 43'36"; ) tan(62 25'16"); ) cot(42 12') oo ab c o Giải : Ấn phím MODE nhiều lần để màn hình hiện lên dòng chữ Deg Rad Gra 1 2 Ấn phím 1 để chọn đơn vị đo góc là độ a) Ấn liên tíêp các phím : sin 6 5 o’” 4 3 o’” 3 6 o’” = 0,9115 b) Ấn liên tiếp các phím :tan 6 2 o’” 2 5 o’” 1 6 o’” = 1,9145 c) Ấn liên tiếp các phím : 1 tan 4 2 o’” 1 2 o’” = 1,1028 ÷ Vậy sin 65 43'36" 0,9115;tan(62 25'16") 1,9145;cot(42 12') 1,1028 oo o === Ví dụ 2 : Tính x biết : a) sinx = 0,3502 b) tanx = 2 c) cotx = 2,619 Giải : Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng www.saosangsong.com.vn/ 4 a) Ấn liên tiếp các phím : shift sin 0 . 3 5 0 2 = o’” màn hình hiện lên Vậy : x = 20 o 20 29'58" 29'58" o b) Ấn liên tíêp các phím : shift tan 2 = o’” màn hình hiện lên 63 Vậy : x = 26'5" o 63 26'5" o c) Án liên tiếp các phím :shift tan ( 1 ÷ 2 . 6 1 9 ) = o’” màn hình hiện lên Vậy : x = 20 53'53" o 20 53'53" o Dạng toán 2 : Tính giá trị lượng giác của góc giữa 2 vectơ 4 A B D C E A B C E N M Ví dụ 1 : Cho hình vuông ABCD ; tính giá trị lượng giác của góc giữa các cặp vectơ sau : (;).(;) A CBC CADC JJJ JJJ J JJJJJG G JJG JG G JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG Giải : Ta có : JJJ : (,)(,) 45 o BC AD AC BC AC AD DAC=⇒ = = = Do đó : 2 sin( , ) sin 45 2 o AC BC == JJJG JJJG 2 cos( , ) cos45 2 tan( , ) tan 45 1 cot( , ) o o AC BC AC BC AC BC == === JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG Tương tự , vẽ CE và ta có : ; ( , ) ( , ) 135 o DC CA DC CA CE α == = = JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 22 sin sin135 sin 45 ;cos cos135 cos 45 ; 22 tan tan135 tan 45 1; cot 1 oo o o oo αα αα − === ==−= ==−=−=− o )CADbCABC== G JJG JJG G (vì 135 bù nhau ) ; 45 o Ví dụ 2 : Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4cm ; AD =3cm . Tính các góc : JJJ J J JJJ aA (,); (, Giải : Ta có : a = góc CAD Suy ra : 4 tan 1,333 53 7 3 o CD aa ' A D === ⇒= (, )(, );( )bCABC CACE CEBC== = JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 53 7' 126 53 oo o −= Suy ra b = gócACE .Mà gócACE và góc CAD bù nhau Nên b = 180 ' Dạng toán 3 : Tinh tích vô hướng Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 3a . M , N là hai điểm thuộc cạnh AC sao cho AM = MN = NC Tính những tích vô hướng sau : .;.; . A BAC ACCB BMBN JJJ JJJ JJJ JG G G JJG JJJJG JJJG Giải : Ta có 2 19 . . cos60 3 .3 . 22 o a AB AC AB AC a a== JJJG JJJG = A B D E C Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng www.saosangsong.com.vn/ 5 5 Vẽ ; ( , ) ( , ) 120 o CE AC AC CB CE CB BCE=== JJJG JJJG JJJJG JJJJGJJJJGJJJG = 2 19 . . cos120 3 .3 .( ) 22 o a AC CB AC CB a a −− == JJJG JJJG = A B D C M N A B C B C A A' M M' 2 2 2 .( )( ) . . cos 0 . cos 60 . cos60 11 .2 .1 3 . ( ) 3 .2 ( ) 3 .3 22 13 2 ooo BM BN AM AB AN AB AM AN AB AM AB AN AB AM AN AB AM AB AN AB aa aa aa aa a =− − =−−+ =− −+ =− − + = JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG M ộ ểm ên 0 Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC , trọng tâm G ; là m t đi tr đường thẳng (d) qua G và vuông góc với cạnh BC . Chứng minh rằng ().MA MB MC BC + += J JJG G JG G 3( ).3.0MA MB MC MG MA MB MC BC MG BC++ = ⇒ ++ = = JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJ JJJ JJJ Giải : J JJG vì M GBC⊥ JJJJGJJJG ạnh bằng a ; M , Ta có : Ví dụ 3 : Cho hình vuông ABCD c N lần lượt là trung điểm của BC và CD . Tính các tích vô hướng sau : .; A BAM AMAN JJJGJJJJGJJJJG JJJG 2 22 .() . 0( .0) ()() . . AB AM AB AB BM AB AB BM a a AB BM AB BM AM AN AB BM AD DN AB AD AB DN BM AD BM =+=+ =+= ⊥ ⇒ = =+ + =++ + JJJG JJJJG JJJG JJJGJJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJGJJJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJJG Giải : Ta có : 2 0.cos0 .cos00 1 1 ( ; ) 22 oo DN AB DN BM AD aa aaaABADBMDN =+ + + =+= ⊥ ⊥ J JJJG Dạng toán 4 : Sử dụng định lý chiếu Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A và .4;.AB CB AC BC 9 = = J JJGJJJG JJJG JJJG . Tính ba cạnh của tam giác Giải : Ta có : C , B có hình chiếu xuống đường thẳng AB lần lượt là A , B .Do đó : JJJ JJJ JJJ . Tương tự : 2 4. . 2AB CB AB AB AB AB===⇒= GJJJG G G 2 9. . 3AC BC AC AC AC AC===⇒= JJJG JJJG JJJG JJJG 22 49 13BC AB AC=+=+= G JGJJJG Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thỏa hệ thức: JJJ JJJ .(2 ) 0 (1)BC AM BC−= Giải : 2 2 (1) 2 . . 2 A MBC BC B C AM BC ⇔= ⇔= JJJJG JJJG JJJG JJJJGJJJG Gọi A’ , M’ lần lượt là hình chiếu của A , M xuống đường Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng www.saosangsong.com.vn/ 6 6 thẳng BC , theo định lý hình chiếu , ta có : .''. A MBC AM BC= J JJJG JJJG JJJJJJG JJJG Do đó : 2 ''. 0 2 BC AM BC=> J JJJJJG JJJG Suy ra 2 vectơ '', A MBC JJJJJJG JJJG cùng hướng Do đó ; 22 ''. ''. '' 222 B CBC AM BC AM BC AM=⇔ =⇔ = JJJJJJG JJJG BC Vậy điểm M’ cố định ( vì A’ cố định và BC khôngđổi ) Do đó : Tập hợp các điểm M là đường thẳng ( d ) vuông góc với BC tại M’ A B C C' A' B' O P M N Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC có ba đường cao là : AA’ , BB’ ,CC’. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , CA , AB . Chứng minh : '. '. '. 0A M BC B N CA C P AB + += J JJJJG G JGJJJG G G lần lư JJJ JJJJ JJJJ JJJ Giải : Gọi O là tâm đường tròn ngọai tiếp và H là trực tâm của tam giác , ta có : A’ , B’ , C’ lần lượt là hìmh chiếu của H xuống BC , CA , AB . M , N , P ợt là hìmh chiếu của O xuông BC , CA , AB Do đó : '. . A MBC HOBC= JJJJJ JJJ JJJ JJJG G G G (theo định lý hình chiếu ) Tương tự : '. . : '. . B NCA HOCA C PAB HOAB== JJJJJGJJJGJJJGJJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG '. '. '. .( ) . 0A M BC B N CA C P AB HO BC CA AB HO O++= ++== JJJJJG JJJG JJJJJGJJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJ G JJJG JJJG JG Do đó : Dạng toán 5 : Chứng minh một hệ thức giữa các độ dài Ta thường sử dụng các tính chất của tích vô hướng và tính chất 2 2 A J BAB= JJG Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có góc BAC = 120 ; AB =3 ; AC = 6 Tính cạnh BC o Giải : Ta có 222 22 ( ) 2 36 2.6.3cos120 9 36 18 9 63 63 3 7 o BC BC AC AB AC AC AB AB BC ==− =− +=− + =++= ⇒= = G JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJGJJJ Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC trọng tâm G ; BC = a ; CA = b ; AB = c a) Chứng minh rằng 22 . 2 AB AC BC AB AC +− = JJJGJJJG 2 2 2222 () 2BC BC AC AB AC AB AC AB==− =+− JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG b) Tính AG theo ba cạnh a , b , c Giải : Ta có : ⇔ 22 . 2 AB AC BC AB AC +− = 2 J JJGJJJG Gọi M là trung điểm của BC , ta có : 221 .( ) 332 A GAM ABAC== + JJJG JJJJG JJJG JJJG 2 2222 11 ()( 2. 99 ) A GAG ABAC ABAC ABAC== + = ++ JJJG JJJG JJJG JJJGJJJG 22222 2 22 11 ()(2 99 bcbca b ca=+++−= +− 2) Vậy : 22 1 22 3 2 A Gbc=+−a Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng www.saosangsong.com.vn/ 7 7 A D B C Ví dụ 3 : Cho hình vuông ABCD tâm là O , cạnh bằng a .Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có : 22 2 2 2 42 2 M AMBMCMD MO a+++ = + Giải : Ta có : 2 2222 2 2222 2 2222 2 2222 () 2. () 2. () 2. () 2 MA MA MO OA MO OA MO OA MB MB MO OB MO OB MO OB MC MC MO OC MO OC MO OC MD MD MO OD MO OD ==+ =++ ==+=++ ==+ =++ ==+ =++ JJJG JJJJGJJJG JJJJGJJJG JJJG JJJJGJJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG 22 2 2 2 2 22 22 . 442( ) 2 44()0 2 42 2 (; ) 2 MO OD M AMBMCMD MO OA MOOAOBOCOD a MO MO a a OA OB OC OD O OA OB OC OD +++ = + + +++ =+ + =+ +++ = == = = JJJJG JJJG J JJJGJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JG Dạng toán 6 : Chứng minh 2 vectơ vuông góc (hay 2 đường thẳng vuông góc) Ví dụ 1 : Cho 1 6; 4 ;cos( , ) 6 ab ab== = GG JGJJG Chứng minh rằng hai vectơ () ;(2ab a b+− GG GJJJG ) vuông góc Giải : Ta có 22 ( ).( 2 ) 2 . 2 36 . 2.16 11 36 .32366.4.320 66 ()(2) ababa abbab ab ab ab a b +−=−+−=−− =− −=− −= ⇒+⊥− GGGGG GGGGG GG GG GG G G Ví dụ 2 : Cho hình thang vuông ABCD có 2 đáy là AD = 2a ; BC = 4a ; đường cao AB = 2a 2 . Chứng minh rằng hai đừơng chéo AC và BD thì vuông góc với nhau Giải : Ta có 22 .( )( ). . . . . cos180 0 0 . cos0 22.22(1)4.2.1 8 8 0 oo A CBD ABBCBAAD ABBAABADBCBABCAD AB BA BC AD aa aa aa AC BD =+ += + + + =+++ =−+=−+= ⇒⊥ G JJG GJJJGJJJG JJJG JJJGJJJG JJJG JJJG JJJ J JJJ J JJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG Vậy hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau Dạng toán 7 : Sử dụng công thức về tọa độ Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC vớí A( 10 , 5 ) ; B( 3 , 2 ) ; C( 6 , -5 ) .Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại B . Giải : JJJ Ta có : (3 10,2 5) ( 7, 3) ; (6 3, 5 2) ( 3, 7)AB BC=− −=−− =−−−=−− G JJJG Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng www.saosangsong.com.vn/ 8 8 Suy ra : . (7).(3) (3).(7) 0 A BBC AB BC=− +− − = ⇒ ⊥ JJJG JJJG JJJG JJJG . Vậy tam giác ABC vuông tại B Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC có A( 3 , 1 ) ; B( -1 , -1 ) ; C( 6 , 0 ) a) Tính góc A của tam giác ABC . *b) Tính tọa độ giao điểm của đường tròn đường kính AB và đường tròn đường kính OC Giải : Ta có : (4,2); (3,1)AB AC=− − = − JJJG JJJG 4.3 ( 2).( 1) 10 1 cos cos( , ) 16 4. 9 1 10 2 2 AABAC −+−− − − == = ++ JJJG JJJG = (3,1); (1,1); (6,); (,) Vậy góc A bằng 135 o *b) Gọi M là giao điểm của đường tròn đường kính AB và đường tròn đường kính OC , ta có : M ( x , y ) ; M A x yMB x yMC x yMO x y= − − =−− −− = − − =− − G G JG JG JJJ JJJ JJJ JJJ và 22 22 22 2 . 0 (3 )( 1 ) (1 )( 1 ) 0 (6 )( ) ( )( ) 0 .0 440[(1)(2)] 240(1) 60 60(2) 1 1 160 5 MA MB MA MB x x y y MC MO x x y y MC MO x xy x xy x xy x x x y y ⎧ ⎧ ⊥=−−−+−−−= ⎧ ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ ⎨ ⊥−−+−−= = ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ −= − ⎧ +−−= ⎧ ⇔⇔ ⎨⎨ +−= +−= ⎩ ⎩ = ⎧ = ⎧ ⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ +−= =± ⎪ ⎩ ⎩ JJJG JJJG JJJJG JJJJG Vậ y có hai giao điểm M : 12 (1, 5) ; (1, 5 )MM− ( 5, 3); ( 3,6); ( 2, 1); ( 6,2)AH x y BC BH x y AC=− − =− =− + =− JG G G JJJG .0(5)(3)(3)(6)0 ( 2)( 6) ( 1)(2) 0 .0 21 3 37 2 AH BC AH BC x y BH AC x y BH AC xy x xy y ⎧ ⎧ ⊥=−−+−= ⎧ ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ ⎨ ⊥−−++= = ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎧− =− = ⎧ ⇔⇔ ⎨⎨ −= = ⎩ ⎩ JJJJG JJJG JJJG JJJG 1(1) JG G Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC có A( 5 , 3 ) ; B( 2 , - 1 ) ; C( -1 , 5 ) a) Tính tọa độ trực tâm H của tam giác b) Tính tọa độ chân đường cao vẽ từ A Giải : a) Gọi H( x , y ) là tọa độ trực tâm , ta có : JJJ JJJ JJJ Vậy tọa độ trực tâm H là : H( 3 , 2 ) b) Gọi A’( x , y ) là tọa độ chân đường cao vẽ từ A , ta có : JJJ JJJ ( tương tự câu a ) '2AA BC x y⊥⇔−=− ; '( 2, 1)BA x y=− + JJJG ' B A JJJG cùng phương (3,6)BC =− J JJG . Suy ra : 6( x – 2 ) + 3( y + 1 ) = 0 (2) .Giải (1) và (2) ta có : x = y = 1 Vậy tọa độ chân đường cao A’ vẽ từ A là : A’( 1 , 1 ) Dạng toán 8 : Tìm tập hợp điểm Ví dụ 1 :Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thỏa : 2 )( ).( ) 0(1) ).0(2) aMAMBMCMB bMA MAMB +−= += J JJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng www.saosangsong.com.vn/ 9 9 Giải : a) Ta có : 2; M AMB MIMCMB BC+= −= JJJG JJJG JJJGJJJJG JJJG JJJG ( I là trung điểm của AB ) ( 1 ) 2. 0 M IBC MI BC⇔=⇔⊥ JJJGJJJG : Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng ( d ) qua I và vuông góc với BC b) 2 (2) . 0 .( ) 0 2. 0 MA MA MB MA MA MB MA MI MA MI ⇔+ =⇔ += ⇔=⇔⊥ JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AI ( I là trung điểm của AB ) *Ví dụ 2 : Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a . Tìm tập hợp các điểm M thỏa : 2 2 2 ). 4 ). . )( ).( ) a aMAMC bMAMC MBMD a cMAMBMC MAMC a =− += ++ + = JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG Giải : Gọi O là tâm hình vuông ( cũng là trung điểm AC ) . Ta có : 22 2 22 2222 22 .().() 44 () 4 2 4444 2 aa MA MC MO OA MO OC a MO OA do OC OA aaaa a OM OA OM =− ⇔ + + =− ⇔ − =− =− ⇔=−=−=⇔= JJJG JJJJG JJJJGJJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O , bán kính bằng 2 a T ng tự , cóươ ta : 222222 22 2 () 2 MA MC MB MD a MO OA MO OB a a MO a OM a doOA OB +=⇔−+−= ⇔=⇔= == G JG G JG 3; 2 JJJ JJJ JJJ JJJ Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O , bán kính bằng a AMBMC MGMAMC MO++ = + = G G JG JG G JG JG Ta có M JJJ JJJ JJJ JJJ JJJ JJJ JJJ ( G là trọng tâm tam giác ABC ) . Do đó : 2 2 22 2 2 22 2 2 2 ().(). 6 11226 () (.) 6 6 2 6 6 2 144 26 12 a MA MB MC MA MC a MG MO aa aaa MJ JO JM GO a JM ++ + =⇔ = ⇔−=⇔=+ =+ = ⇔= JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJJG ( J là trung điểm của OG ; JO = 111 ;. 233 a GO GO BO== 2 2 ) Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O , bán kính bằng 26 12 a Dạng toán 9 : Tính phương tích . Tính đoạn tiếp tuyến . Ví dụ 1 : Cho 4 điểm A( - 2 , 1 ) ; B( 4 , 7 ) ; M( 0 , 2) ; N(- 3 , - 5 ) Tính phương tích của điểm M , N đối với đường tròn đường kính AB Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng www.saosangsong.com.vn/ 10 10 Giải : Ta có : tọa độ tâm I của đường tròn ( cũng là trung điểm của AB ) : I ( 2417 ,) 22 −+ + ⇒ I( 1 , 4 ) Ta cũng có : 22 22 22 (2 1,1 4) (3,3) 9 9 18 (0 1, 2 4) ( 1, 2) /( ) (1 4) 18 13 ( 3 1, 5 4) ( 4, 9) /( ) (16 81) 18 79 M N IA R IA IM I IM R IN I IN R =−− − =− − ⇒ = = + = =− −=−−⇒Ρ = − =+−=− =−− −− =− − ⇒Ρ = − = + − = JJG JJJG JJG Ví dụ 2 : Cho 4 điểm A( - 2 , - 1 ) ; B( - 1 , 4 ) ; C( 4 , 3 ) ; M( 5 ,- 2 ). Chứng minh rằng điểm M ở ngoài đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC và tính đoạn tiếp tuyến MT vẽ từ M đến đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC ( T là tiếp điểm ) Giải : Gọi I ( x , y ) là tâm đường tròn (ABC) ,ta có : JJ 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 ( 2, 1); ( 1, 4); ( 4, 3) (2)(1)(1)(4) (2)(1)(4)(3)` 56 1 32 5 1 IA x y IB x y IC x y IA IB x y x y IA IC x y x y xy x xy y =+ + =+ − =− − ⎧ ⎧ = + ++ =+ +− ⎪ ⇔ ⎨⎨ =+++=−+− ⎪ ⎩ ⎩ += = ⎧⎧ ⇔⇔ ⎨⎨ += = ⎩⎩ GJJGJJG 22 2 22 (5 1) ( 2 1) 16 9 25 ; 9 4 13MI R IA=− +−− =+= = =+= 22 /( ) 25 13 12 M ABC MI R MI RΡ=−=−=⇒> Suy ra : I( 1 , 1 ) ; Do đó : Vậy điểm M ở ngoài đường tròn (ABC) Ta cũng có : 2 /( ) 12 12 2 3 M MT ABC MT=Ρ = ⇔ = = .;. ;( 2) . C . Bài tập rèn luyện : 2 .1 Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a . Tinh các tích vô huớng sau : A BGB ABCM AB AB AC− G G G JG G G G ín cá óc (, );(, ) JJJ JJJ JJJ JJJ JJJ JJJ JJJ ( G là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm của BC ) 2 . 2 .Cho tam giác ABC vuông tại A : AB = 3 ; AC = 4. T h c g A BBC ACBC JG JJG JJG G JJ J J JJJ và các tích vô hướng sau : .;. A BBC ACBC J JJG G JG JJJGJJJ JJJ 2. 3 .Cho tam giác ABC vuông tại A ; AB = 3 , AC = 4 . Trên tia AB lấy điểm D sao cho BD = 4 Tính các tích vô hướng sau : .;. B CBD ACBI J JJJG G JJG JG , c nh ng a , G là trọn ) JJJ J J ( I là trung điểm của CD ) 2 .4 . Cho tam giác ABC đều ạ bằ g tâm tam giác ; M là một điểm bất kỳ . Chứng minh rằng T = ( . M AGB MBGC MCGA++ JJJ J JJJ J J có giá trị không đổi . Tính giá trị G JJG G JJG JJJGJJJG au : này . 2 .5 . Cho hình vuông ABCD , cạnh bằng a . Dùng định lý hình chiếu tính các tích vô hướng s .;( ).( );( ). A BBD AB AD BD BC OA OB OC AB+− ++ JJJ JJJG G JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJ G ( O là tâm hình vuông ) * 2 .6 . Cho tam giác ABC đều , cạnh bằng a . Tìm tập hợp các điểm M thỏa : 2 3 (2). 4 a CA BC CM+= JJJG JJJG JJJJG 2 . 7 .Cho tam giác ABC có trọng tâm là G .Chứng minh rằng : [...]... phương trình đường tròn ngọai tiếp tam giác AT1T2 và đường thẳng qua hai tiếp điểm T1, T2 *3.54.Cho hai đường tròn : x2 + y2 – 2x - 2y – 2 = 0 và x2 + y2 – 8x – 4y + 16 = 0 a) Chứng minh hai đường tròn bằng nhau và cắt nhau b) Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm của hai đường tròn b) Tìm phương trình tiếp tuyến chung của chúng *3.55 Cho A(3 ; 0) và B(0 ; 4) OAB Viết phương trình đường tròn... ngòai đường tròn b) Tính phương tích của M đối với đường tròn và tính độ dài tiếp tuyến MT * 3.50 Cho hai đường tròn (C ) : x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0 và (C’) : x2 + y2 – 4x + 6y + 9 = 0 a) Chứng minh hai đường tròn có 4 tiếp tuyến chung b) Chứng minh bốn điểm chia các đọan tiếp tuyến chung theo tỉ số - 2 cùng nằm trên một đường tròn 3.51 a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn x2 + y2 – 2x +... luận theo m vị tri tương đối của đường thẳng Δ và đường tròn (C ) www.saosangsong.com,vn Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 30 a) Δ : x + 3y + m = 0 ; (C) : (x – 2)2 + y2 = 10 b) Δ : x – my + m – 4 = 0 ; (C ) : x2 + y2 - 2x – 4y + 4 = 0 *3.57 Cho hai đường thẳng Δ : x + 1 = 0 và Δ’ : x – 1 = 0 , cắt Ox tại A và B M và N là hai điểm di động trên Δ và Δ’ có tung độ là m và n sao cho ln có : mn = 4 a)... biết nó có hồnh độ dương * 3.34 Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(2 ; 2) , AB : x – 2y – 3 = 0 và AB = 2AD và yA > 0 a) Tìm tọa độ hình chiếu K của I lên AB b) Tìm tọa độ A và B * 3.35 Cho đường thẳng d : x + 2y – 4 = 0 và A(1 ; 4) , B(6 ; 4) a) Chứng minh A, B nằm một phía đối với d Tìm tọa độ A’ đối xứng của A qua d www.saosangsong.com,vn Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 19 b) Tìm M ∈ d sao cho tổng... 4) và qua gốc tọa độ c) có tâm I(1 ; - 2) và tiếp xúc đường thẳng x – y 0 * 3 44 Lập phương trình đường tròn : a) qua A(1 ; 2) và tiếp xúc hai trục tọa độ b) tiếp xúc hai đường thẳng song song : 2x – y – 3 = 0 , 2x – y + 5 = 0 và có tâm trên Oy c) tiếp xúc đường thẳng 2x + y – 5 = 0 tại điểm T(2 ; 1) và có bán kính 2 5 www.saosangsong.com,vn Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 29 * d) tiếp xúc với hai. .. với hai đường thẳng x – 2y + 5 = 0 và x + 2y + 1 = 0 và qua gốc O 3.45 Lập phương trình đường tròn : a) qua A(0 ; 4) , B( - 2; 0) và C(4 ; 3) b) qua A(2 ; - 1), B(4 ; 1) và có tâm trên Ox c) qua A(3 ; 5) và tiếp xúc đường thẳng x + y – 2 = 0 tại điểm T(1 ; 1) 3.46 Cho đường tròn (C) : (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4 a) Tìm trên Oy điểm từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến của (C) và hai tiếp tuyến vng góc nhau b) Tìm... 3.47 Chứng minh đường thẳng Δ :2x – y = 0 và đường tròn : x2 + y2 – 4x + 2y – 1 = 0 cắt nhau Tìm độ dài dây cung tạo thành 3.48 Cho hai đường tròn ( C) : x2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0 và (C’) : x2 + y2 + 4x + 4y - 1 = 0 a) Chứng minh hai đường tròn tiếp xúc ngòai Tìm tọa độ tiếp điểm T b) Viết phương trình tiếp tuyến chung tại T * 3 49 Cho đường tròn (x – 3)2 + (y + 2)2 = 9 và điểm M(- 3 ; 1) a) Chứng... 6 a) Tìm một VTCP của d có tọa độ ngun và một điểm của d Viết một phương trình tham số khác của d b) Tìm trên d một điểm A có hồnh độ gấp đơi tung độ c) Tìm trên d một điểm B cách gốc O một khoảng là 58 3 13 phương a) b) c) d) e) Cho tam giác ABC có A(1 ; - 2) , B(0 ; 4) và C(6; 3) Tìm một VTCP, suy ra trình tham số và chính tắc của các đường thẳng sau : Đường thẳng d qua A và có một VTCP là (3... BC và BH cắt nhau tại B(2 ; 0) BC và CK cắt nhau tại C(1 ; - 2) Phương trình AB qua B và vuông góc CK là : 3(x – 2) – 1(y – 0) = 0 3.15 AD qua M và vuông góc AB có phương trình : 1.(x – 3) + 2(y – 1) = 0 x + 2y – 5 = 0 Suy ra tọa độ A = AB ∩ AD = (7/5 ; 9/5) Suy ra toạ độ C, đối xứng của A qua I *3 16 a) Phương trình AB qua H và M : 2x + y + 1 = 0 b) B thuộc AB B = (b ; - 2b – 1) A đối xứng... + 203 = 0 5 13 Thế tọa độ B(- 2 ; 0) vào (1) : 64(-2) – 47 < 0 Thế tọa độ C(5 ; 0) vào (1) : 64.5 – 47 > 0 Vậy B và C nằm khác phía đối với (t) , nên (t) là phân giác trong của góc A (t’) : * Ví dụ 4 : Cho d : 3x – 4y + 5 = 0 và d’ : 5x + 12y – 1 = 0 a) Viết phương trình các phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng b) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua gốc O và tạo với d, d’ một tam giác cân có . có : 22 2 22 2 22 2 22 2 22 222 2 2 22 222 22 2( ) 2( ) 2( ) 55 44 4 2 2 2 2 10 10 5 99( ) bc a ca b ab c bc a mm m cababc b ca abc bc +− +− − += ⇔ + = ⇔+−++−= + − ⇔= + + Ta có : + 2 a⇔= Vậy. là O , cạnh bằng a .Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có : 22 2 2 2 42 2 M AMBMCMD MO a+++ = + Giải : Ta có : 2 222 2 2 222 2 2 222 2 2 222 2 () 2. () 2. () 2. () 2 MA MA MO OA MO OA MO. =− +7') 22 2 2 2( ) a bc a AM m +− == 2 2 22 2 22 2 2( ) 444 2 c bc a ac b +− ⇔= ⇔−= có : a = 2RsinA ; b =2RsinB ; c = 2 22 22 22 2 222 4sin 4sin 2( sin sin 2sin sin 2sin sin Theo