NHĐ 16 Chương I 1. Đònh nghóa: Giả sử hàm số f xác đònh trên miền D (D  R). a) 0 0 ( ) , max ( ) : ( ) D f x M x D M f x x D f x M            b) 0 0 ( ) , min ( ) : ( ) D f x m x D m f x x D f x m            2. Tính chất: a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì [ ; ] [ ; ] max ( ) ( ), min ( ) ( ) a b a b f x f b f x f a   . b) Nếu hàm số f nghòch biến trên [a; b] thì [ ; ] [ ; ] max ( ) ( ), min ( ) ( ) a b a b f x f a f x f b   . VẤN ĐỀ 1: TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG BẢNG BIẾN THIÊN Bài toán 1 : Phương pháp khảo sát trực tiếp : Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.  Tìm miền xác đònh D  Tính f(x), giải phương trình f(x) = 0  Xét dấu f(x) và lập bảng biến thiên.  Dựa vào bảng biến thiên để kết luận. Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].  Tính f (x).  Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x 1 , x 2 , …, x n trên [a; b] (nếu có).  Tính f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ), …, f(x n ).  So sánh các giá trò vừa tính và kết luận.   1 2 [ ; ] max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( ) n a b M f x f a f b f x f x f x   (lấy số lớn nhất)   1 2 [ ; ] min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ), , ( ) n a b m f x f a f b f x f x f x   (lấy số nhỏ nhất) Bài toán 2 : Phương pháp khảo sát gián tiếp : Bước 1 : Biến đổi hàm số ban đầu về dạng mới để xác đònh ẩn phụ :     y F x   Bước 2 : Đặt   t x   . Điều kiện của ẩn t là D t .   y F t  Bước 3 : Tìm giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số   y F t  trên D t III. GIÁ TR Ị LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT C ỦA HÀM SỐ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ NHĐ 17 Bài 35. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) 2 4 3 y x x    b) 3 4 4 3 y x x   c) 4 2 2 2 y x x    d) 2 2 y x x    e) 2 1 2 2 x y x x     f) 2 2 2 4 5 1 x x y x     g) 2 1 ( 0) y x x x    h) 2 2 1 1 x x y x x      i) 4 2 3 1 ( 0) x x y x x x      Bài 36. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) 3 2 2 3 12 1 y x x x     trên [–1; 5] b) 3 3 y x x   trên [–2; 3] c) 4 2 2 3 y x x    trên [–3; 2] d) 4 2 2 5 y x x    trên [–2; 2] e) 3 1 3 x y x    trên [0; 2] f) 1 1 x y x    trên [0; 4] g) 2 4 7 7 2 x x y x     trên [0; 2] h) 2 2 1 1 x x y x x      trên [0; 1] i) 2 100 y x   trên [–6; 8] k)             sin2 , , 2 y x x x Bài 37. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) cos2 2sin 1 y x x    b) 2 2sin cos 1 y x x    c) 2 1 cos cos 1 y x x    d) 2sin 1 sin 2 x y x    e) 3 3 sin cos y x x   f) 2 4 2 1 1 x y x x     g) 2 2 4 2 5 2 3 y x x x x       h) 2 2 4 4 3 y x x x x       VẤN ĐỀ 2: DÙNG BẤT ĐẢNG THỨC TÌM GTLN, GTNN Cách này dựa trực tiếp vào đònh nghóa GTLN, GTNN của hàm số.  Chứng minh một bất đẳng thức.  Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trò ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở thành đẳng thức. Bài 38. Giả sử   ( ; ; ) / 0, 0, 0, 1 D x y z x y z x y z        . Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 x y z P x y z       . HD: 1 1 1 3 1 1 1 P x y z              Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:   1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 9 1 1 1 x y z x y z                   P  3 4 . Dấu “=” xảy ra  x = y = z = 1 3 . Vậy 3 min 4 D P  . Bài 39. Cho D = 5 ( ; )/ 0, 0, 4 x y x y x y           . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: 4 1 4 S x y   . NHĐ 18 HD:   1 1 1 1 1 4 25 4 x x x x y x x x x y                 4 1 4( ) 25 4 x y x y           S  5. Dấu “=” xảy ra  x = 1, y = 1 4 . Vậy minS = 5. Bài 40. Cho D =   ( ; )/ 0, 0, 1 x y x y x y     . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 1 1 1 x y P x y x y x y         . HD: 2 2 1 (1 ) (1 ) 2 1 1 x y P x y x y x y            = 1 1 1 2 1 1x y x y       . Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:   1 1 1 (1 ) (1 ) ( ) 9 1 1 x y x y x y x y                   1 1 1 9 1 1 2 x y x y        P  5 2 . Dấu “=” xảy ra  x = y = 1 3 . Vậy minP = 5 2 . Bài 41. Cho D =   ( ; )/ 0, 0, 4 x y x y x y     . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 3 4 2 4 x y P x y     . HD: 2 1 1 2 4 8 8 2 x y y x y P x y              (1) Theo bất đẳng thức Cô–si: 1 1 2 . 1 4 4 x x x x    (2) 3 2 2 1 1 3 3 . . 8 8 8 8 4 y y y y y y     (3)  P  9 2 . Dấu “=” xảy ra  x = y = 2. Vậy minP = 9 2 . VẤN ĐỀ 3: DÙNG MIỀN GIÁ TRỊ TÌM GTLN, GTNN Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước.  Gọi y 0 là một giá trò tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm: 0 ( ) (1) (2) f x y x D       Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường điều kiện ấy (sau khi biến đổi) có dạng: m  y 0  M (3)  Vì y 0 là một giá trò bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được: min ( ) ; max ( ) D D f x m f x M   Bài 42. Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của các hàm số sau: a) 2 2 1 1 x x y x x      b) 2 2 2 7 23 2 10 x x y x x      c) 2sin cos 1 sin 2cos 3 x x y x x      NHĐ 19 d) 2sin cos 3 2cos sin 4 x x y x x      VẤN ĐỀ 4: DÙNG GTLN, GTNN GIẢI PT, HỆ PT, BẤT PT Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có min ( ) ; max ( ) D D f x m f x M   . 1) Hệ phương trình ( )f x x D       có nghiệm  m    M. 2) Hệ bất phương trình ( )f x x D       có nghiệm  M  . 3) Hệ bất phương trình ( )f x x D       có nghiệm  m  . 4) Bất phương trình f(x)   đúng với mọi x  m  . 5) Bất phương trình f(x)   đúng với mọi x  M  . Bài 43. Giải các phương trình sau: a) 4 4 2 4 2 x x     b) 3 5 6 2 x x x    c) 5 5 1 (1 ) 16 x x    Bài 44. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a) 2 2 1 x x m    b) 2 2 (2 )(2 ) x x x x m        c) 3 6 (3 )(6 ) x x x x m        d) 7 2 (7 )(2 ) x x x x m        Bài 45. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x  R: a) 2 2 1 x x m    b) 2 2 9 m x x m    c) 4 4 0 mx x m    Bài 46. Cho bất phương trình: 3 2 2 1 0 x x x m      . a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2]. b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2]. Bài 47. Tìm m để các bất phương trình sau: a) 3 1 mx x m     có nghiệm. b) ( 2) 1 m x m x     có nghiệm x  [0; 2]. c) 2 2 ( 1) 1 m x x x x      nghiệm đúng với mọi x  [0; 1]. .   b) 0 0 ( ) , min ( ) : ( ) D f x m x D m f x x D f x m            2. Tính chất: a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì [ ; ] [ ; ] max ( ) ( ), min ( ) ( ) a b a b f. ), ( ), ( ), , ( ) n a b M f x f a f b f x f x f x   (lấy số lớn nhất)   1 2 [ ; ] min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ), , ( ) n a b m f x f a f b f x f x f x   (lấy số nhỏ nhất) Bài toán. b f x f b f x f a   . b) Nếu hàm số f nghòch biến trên [a; b] thì [ ; ] [ ; ] max ( ) ( ), min ( ) ( ) a b a b f x f a f x f b   . VẤN ĐỀ 1: TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG BẢNG BIẾN