Trường THCS DTNT Quan Hóa Năm 2011 Đề 96 Bài 1: (4,0 điểm). Cho biểu thức: A =         +++ − +         + − 1 2 1 1 : 1 2 1 aaaa a a a a a.Rút gọn biểu thức A. b.Tính giá trị biểu thức A khi 2011 2 2010a = − . Bài 2: (4,0 điểm).a) Giải hệ phương trình:    +=+ =++ yxyx xyyx 3 1 33 22 b) Giải phương trình: + = x 2 - 10x + 27 Bài 3: (4,0 điểm). a) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn xyz =1. Tìm GTNN của biểu thức: E = )( 1 )( 1 )( 1 333 yxzxzyzyx + + + + + . b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 3=++ y xz x yz z xy Bài 4: (6,0 điểm). Cho hình vuông ABCD. Điểm M thuộc cạnh AB ( M khác A và B ). Tia CM cắt tia DA tại N. Vẽ tia Cx vuông góc với CM và cắt tia AB tại E. Gọi H là trung điểm của đoạn NE. 1/ Chứng minh tứ giác BCEH nội tiếp được trong đường tròn. 2/ Tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác NACE gấp ba diện tích hình vuông ABCD. 3/ Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cạnh AB thì tỉ số bán kính cácđường tròn nội tiếp tam giác NAC và tam giác HBC không đổi. Bài 5: (2,0 điểm). Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm tại D, E, F . Chứng minh rằng tích các khoảng cách hạ từ một điểm M bất kỳ trên đường tròn xuống các cạnh của tam giác ABC bằng tích các khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác DEF Đề 97 Hãy thư giản !!! Trường THCS DTNT Quan Hóa Năm 2011 Bài 1: (3,0 điểm).Cho biểu thức:P =         +− + + − + + − +         + − 65 2 3 2 2 3 : 1 1 xx x x x x x x x a) Rút gọn P; b) Tìm giá trị của a để P < 0 Bài 2: (4,0 điểm). a) Giải hệ phương trình      =+ =−++ 128 4 22 yx yxyx b) Giải phương trình: 2 1 3 1x x x+ − = − . Bài 3: (4,0 điểm). a) Cho a, b, c>0 chứng minh rằng: 1+ + + + + + ≥++ ba cb cb ba a c c b b a b) Cho a, b, c dương và a + b = c = 1. Chứng minh 6a b b c c a+ + + + + ≤ Bài 4: (6,0 điểm). Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là điểm trên cung nhỏ AB (I không trùng với A và B). Gọi M, N, P theo thứ tự là hình chiếu của I trên các đường thẳng BC, CA và AB. 1. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng. 2. Xác định vị trí của I để đoạn MN có độ dài lớn nhất. Bài 5: (3,0 điểm). Trong đường tròn O cho 2 dây cung AB và CD cắt nhau tại M gọi N là trung điểm của BD , đường thẳng MN cắt AC tại K .Chứng minh : 2 2 CM AM KC AK = Đề 98 Hãy thư giản !!! Trường THCS DTNT Quan Hóa Năm 2011 Bài 1: (3,0 điểm).Cho biểu thức:P =         + − −         − + + − − − 13 23 1: 19 8 13 1 13 1 x x x x xx x a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để P = 5 6 Bài 2: (4,0 điểm).a) Cho x, y, z> 0 thoả mãn: 3 111 =++ zyx Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: zx xz yz zy xy yx P 22 2222 2 22 + + + + + = b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x 3 y + xy 3 - 3x-3y = 17 Bài 3: (4,0 điểm). a) Giải phương trình: (x+1)(x+2)(x+4)(x+8) = 28x 2 b) Cho hệ phương trình:      ax + by = c bx + cy = a cx + ay = b (a, b, c là tham số) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ phương trình trên có nghiệm là: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc Bài 4: (6,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ) tâm O. M là điểm chính giữa cung BC không chứa điểm A. Gọi M ’ là điểm đối xứng với M qua O. Các đường phân giác trong góc B và góc C của tam giác ABC cắt đường thẳng AM ’ lần lượt tại E và F . a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp được trong đường tròn. b) Biết đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r. Chứng minh: IB.IC = 2r.IM. Bài 5: (3,0 điểm). Cho hình bình hành ABCD, từ B kẻ đường thẳng cắt cạnh CD tại M; từ D kẻ đường thẳng cắt cạnh BC tại N sao cho BM = DN. Gọi giao điểm của DN và BM là I. Chứng minh: Tia IA là tia phân giác của góc BID. Đề 99 Hãy thư giản !!! Trường THCS DTNT Quan Hóa Năm 2011 Bài 1: (5,0 điểm). Cho biểu thức:P =         −−+ − −         + + 1 2 1 1 : 1 1 aaaa a a a a a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a để P < 1 c) Tìm giá trị của P nếu 3819 −=a Bài 2: (4,0 điểm). a) Giải phương trình: 4 4 2 2 2011 . 2011 2010.2011x x x x + + + = b) Giải hệ phương trình:  ( ) ( ) 2 2 2 2 8 2 16 8 16 5 4 y x x x y x xy y  = + +   − + = + −   Bài 3: (2,0 điểm). Tìm a , b , c biết a , b ,c là các số dương và       +       +       + 8 1 2 1 1 1 222 cba = abc 32 Bài 4: (4,0 điểm). a) Cho a, b, c ∈ [0 ; 1]. Chứng minh rằng : 1)1)(1)(1( 111 ≤−−−+ ++ + ++ + ++ cba ba c ca b cb a b) Cho 3 số x, y, z thoả mãn x + y + z + xy + yz + zx = 6. Chứng minh rằng : x 2 + y 2 + z 2 ≥ 3 Bài 5: (5,0 điểm). Cho tam giác ABC có đường cao AH . Gọi I, K là các điểm nằm ngoài tam giác ABC sao cho các tam giác ABI và ACK vuông tại Ivà K hơn nữa = ,M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng : a) MI = MK b) Bốn điểm I, H, M, K thuộc cùng đường tròn Đề 100 Hãy thư giản !!! Trường THCS DTNT Quan Hóa Năm 2011 Bài 1: (5,0 điểm). Cho biểu thức:P =         − + − + + +         − − + + + + 12 2 12 1 1:1 12 2 12 1 x xx x x x xx x x a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi x ( ) 223. 2 1 += Bài 2: (4,0 điểm). a) Giải hệ phương trình sau: 2 x 1 2 y 1 2 y 1 2 x 1 =−+ =−+ b) Giải phương trình: x = 2005-2006 (2005-2006 x 2 ) 2 Bài 3: (4,0 điểm). a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = 2 4 2 1 x x x+ + b) Cho a 3 + b 3 + c 3 = 3abc với a,b,c khác 0 và a + b+ c ≠ 0 Tính P = (2008+ b a )(2008 + c b ) ( 2008 + a c ) Bài 4: (5,0 điểm). Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó.vẽ đường tròn tâm O qua B và C. Qua A vẽ tiếp tuyến AE, AF với đường tròn (O); Gọi I là trung điểm BC, N là trung điểm EF . a.Chứng minh rằng các điểm E, F luôn nằm trên 1 đường tròn cố định khi đường tròn (O) thay đổi. b.Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) tại K .Chứng minh rằng :EK song song với AB . c.Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạy trên một đường thẳng cố định khi đường tròn(O) thay đổi. Bài 5: (2,0 điểm). Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của (O) và các cạnh BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Kẻ BB 1 AO⊥ , AA 1 BO⊥ Chứng minh rằng 4 điểm D, E, A, B thẳng hàng. Đề 101 Hãy thư giản !!! Trường THCS DTNT Quan Hóa Năm 2011 Bài 1: (4,0 điểm). Cho biểu thức P =                 − + +         + − − + − a a a a a a a aa 1 1 . 1 1 : 1 )1( 332 a) Rút gọn P b) Xét dấu của biểu thức M = a.(P - 2 1 ) Bài 2: (4,0 điểm). a) Giải hệ phương trình 3 1 2 2 =++ y x y x 3 1 =++ y x y x b) Giải Phương trình: 4x 2 +3x(4 x+1 -9) = 27 Bài 3: (3,0 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 2 2 x y z x y y z z x + + + + + với x > 0; y > 0; z > 0 và xy yz zx 1 + + = Bài 4: (3,0 điểm).Cho hai dãy số cùng chiều : a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 b 1 ≤ b 2 ≤ b 3 Chứng minh rằng : (a 1 + a 2 +a 3 )(b 1 + b 2 + b 3 ) ≤ 3(a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 ) Áp dụng chứng minh rằng : với cba ≤≤≤0 thì cba cba cba ++ ≤ ++ ++ 3 200620062006 200520052005 Bài 5: (6,0 điểm). 1. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O ). , ,AD BE CF là ba đường cao ( ) , ,D BC E CA F AB∈ ∈ ∈ . Đường thẳng EF cắt BC tại ,G đường thẳng AG cắt lại đường tròn ( )O tại điểm M . a) Chứng minh rằng bốn điểm , , ,A M E F cùng nằm trên một đường tròn. b) Gọi N là trung điểm cạnh BC và H là trực tâm tam giác ABC . Chứng minh rằng GH AN ⊥ 2. Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB>CD). Hãy xác định điểm E thuộc cạnh bên BC sao cho đoạn thẳng AE chia hình thang thành hai hình có diện tích bằng nhau Đề 102 Hãy thư giản !!! Trường THCS DTNT Quan Hóa Năm 2011 Bài 1: (4,0 điểm). Cho biểu thức:P =         + +         − − −−+ 1 1: 1 1 1 2 x x xxxxx x a) Rút gọn P b) Tìm x để P ≤ 0 Bài 2: (4,0 điểm). a) Giải hệ phương trình : x + y = 1 x 5 + y 5 = 11 b) Giải phương trình: 3 3 3 6 1x x+ − − = Bài 3: (4,0 điểm). a) Cho a,b,c >0 và a+b+c = 1. Chứng minh b+c ≥ 16abc. b) Cho x 3 + y 3 + 3(x 2 +y 2 ) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 1 1 M x y = + . Bài 4: (6,0 điểm). 1. Cho hình vuông ABCD cạnh là a. Trên đường chéo AC lấy điểm E và F sao cho ∠ EBF = 45 0 . Đường thẳng BE, BF cắt AD và CD lần lượt tại M và N. MF và NE cắt nhau tại H, BH cắt MN tại I. a.Chứng minh AB = BI. b.Tìm vị trí của M và N sao cho diện tích tam giác MDN lớn nhất. 2. Cho tứ giác ABCD. Lấy điểm M tùy ý trên cạnh AB xác định điểm N trên cạnh DC sao cho MN chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau Bài 5: (2,0 điểm). Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 7 111 =+ yx Đề 103 Hãy thư giản !!! Trường THCS DTNT Quan Hóa Năm 2011 Bài 1: (4,0 điểm). Cho biểu thức:P =         − + +         ++ − + a a a aa a a a 1 1 . 1 12 3 3 a) Rút gọn P b) Xét dấu của biểu thức P. a−1 Bài 2: (5,0 điểm). a) Giải phương trình: ++− 12 2 xx 44 2 +− xx = 2006 2005 2006 2005 20051 2 2 2 +++ b) Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình    =++ =++ 3 3 333 zyx zyx Bài 3: (4,0 điểm). a) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x ≥ y ≥ z và 3z - 3x 2 = z 2 = 16 - 4y 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : zy + yz + zx b) Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c và chu vi 2p =a+ b + c Chứng minh rằng : ap − 1 + bp − 1 + cp − 1 ≥ 2 ( a 1 + b 1 + c 1 ) Bài 4. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là điểm trên cung nhỏ AB (I không trùng với A và B). Gọi M, N, P theo thứ tự là hình chiếu của I trên các đường thẳng BC, CA và AB. a) Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng. b) Xác định vị trí của I để đoạn MN có độ dài lớn nhất. c) Gọi E, F, G theo thứ tự là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC, CA và AB. Kẻ EQ vuông góc với GF. Chứng minh rằng QE là phân giác của góc BQC. Bài 5: (2,0 điểm). Ở miền trong hình vuông ABCD lấy điểm M sao cho 0 15=∠=∠ MABMBA Chứng minh rằng : Tam giác MCD đều Đề 104 Hãy thư giản !!! Trường THCS DTNT Quan Hóa Năm 2011 Bài 1: (4,0 điểm). Cho biểu thức:         − − − + + + − −+ −+ = 1 x1 1 x 2x 2x 1x 2xx 3)x3(x P a/ Rút gọn P b/ Tìm các giá trị x nguyên để P nguyên ; c/ Tìm các giá trị của x để xP = Bài 2: (5,0 điểm). a) Giải hệ phương trình:      −=+ −=+ 78)( 2156)( 22 224 baab baba b) Giải phương trình: x xx x x x 5 2 14 −+=−+ Bài 3: (4,0 điểm). a. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn 3 5 =++ zyx Chứng minh rằng yx 11 + < ) 1 1( 1 xyz + b. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác biết ( )( )( ) abcaccbba 8 =+++ Chứng minh rằng tam giác đã cho là tam giác đều Bài 4: (2,0 điểm). a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 7x 2 + 13y 2 = 1820. b) Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x) Bài 5: (5,0 điểm). Cho đoạn thẳng AB có trung điểm là O. Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa đường tròn (O). Từ C kẻ CH vuông góc với AB ( ) ABH ∈ . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AC và CB. a) Chứng minh rằng: OC vuông góc với MN; b) Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với AB. Tiếp tuyến với (O) tại điểm C cắt đường thẳng d ở K. Chứng minh rằng: BK; CH; MN đồng quy. Hãy thư giản !!! Trường THCS DTNT Quan Hóa Năm 2011 Đề 105 Bài 1: (4,0 điểm). Cho biểu thức : P =         + − + −         − xx x x x x x 11 : 1 a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P biết x = 32 2 + c) Tìm giá trị của x thỏa mãn : P 436 −−−= xxx Bài 2: (5,0 điểm). a) Giải hệ: ( ) ( )      =++− =+++ 65 185 2222 2222 yxyxyx yxyxyx b) Giải phương trình: 2 2 2 2 2 1 2 2 7 . 6 2 2 2 3 x x x x x x x x + + + + + = + + + + Bài 3: (4,0 điểm). a) Cho a , b, c, d > 0 . Chứng minh rằng : 1 < cba a ++ + dcb b ++ + adc c ++ + bad d ++ < 2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= cba c bca b acb a −+ + −+ + −+ 1694 Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác Bài 4: (5,0 điểm). Cho ∆ ABC có 3 góc nhọn. ở bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn có đường kính là AB và AC. Một đường thẳng d quay quanh A cắt hai nửa đường tròn lần lượt tại M và N (khác A) a) Chứng minh đường trung trực của MN đi qua một điểm cố định b) Giả sử ∆ ABC cân tại A. Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích tứ giác BCNM lớn nhất Bài 5: (2,0 điểm). Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH bằng 10cm, đường cao BK bằng 12cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC. Hãy thư giản !!! . 1 c) Tìm giá trị của P nếu 3819 −=a Bài 2: (4,0 điểm). a) Giải phương trình: 4 4 2 2 2011 . 2011 2010.2011x x x x + + + = b) Giải hệ phương trình:  ( ) ( ) 2 2 2 2 8 2 16 8 16 5 4 y x x x. tam giác ABC bằng tích các khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác DEF Đề 97 Hãy thư giản !!! Trường THCS DTNT Quan Hóa Năm 2011 Bài 1: (3,0 điểm).Cho biểu thức:P =         +− + + − + + − +         + − 65 2 3 2 2 3 : 1 1 xx x x x x x x x a). Hóa Năm 2011 Đề 96 Bài 1: (4,0 điểm). Cho biểu thức: A =         +++ − +         + − 1 2 1 1 : 1 2 1 aaaa a a a a a.Rút gọn biểu thức A. b.Tính giá trị biểu thức A khi 2011