145 Chơng 10 : Giải hệ phơng trình đại số tuyến tính Đ1.Phơng pháp Gauss Có nhiều phơng pháp để giải một hệ phơng trình tuyến tính dạng AX = B. Phơng pháp giải sẽ đơn giản hơn nếu ma trận A có dạng tam giác nghĩa là có dạng : 333231 2221 11 aaa 0aa 00a hay 33 2322 131211 a00 aa0 aaa Trong trờng hợp đầu tiên,ma trận đợc gọi là ma trận tam giác dới và trờng hợp thứ hai ma trận đợc gọi là ma trận tam giác trên.Phơng trình tơng ứng với ma trận tam giác dới có dạng tờng minh là : 11 1 2 3 1 21 1 2 32 31 1 23 3 0 0 0 22 32 33 ax x x b ax a x xb ax a x a x b ++ = ++= ++ = Với phơng trình dạng này chúng ta sẽ giải phơng trình từ trên xuống. Chơng trình giải phơng trình ma trận tam giác dới là : Chơng trình 10-1 #include <conio.h> #include <stdio.h> #include <math.h> #include <stdlib.h> #include <ctype.h> #define max 10 void main() { float a[max][max]; float b[max],x[max]; int i,j,k,n,t; float s,c; char tl; clrscr(); printf("Cho so phuong trinh n = "); scanf("%d",&n); printf("Cho cac phan tu cua ma tran a\n"); for (i=1;i<=n;i++) for (j=1;j<=n;j++) { printf("a[%d][%d] = ",i,j); scanf("%f",&a[i][j]); } printf("\n"); printf("Ma tran a ma ban da nhap\n"); printf("\n"); 146 for (i=1;i<=n;i++) { for (j=1;j<=n;j++) printf("%15.5f",a[i][j]); printf("\n"); } printf("\n"); t=1; flushall(); while (t) { printf("Co sua ma tran a khong(c/k)?"); scanf("%c",&tl); if (toupper(tl)=='C') { printf("Cho chi so hang can sua : "); scanf("%d",&i); printf("Cho chi so cot can sua : "); scanf("%d",&j); printf("a[%d][%d] = ",i,j); scanf("%f",&a[i][j]); } if (toupper(tl)=='K') t=0; } printf("Ma tran a ban dau\n"); printf("\n"); for (i=1;i<=n;i++) { for (j=1;j<=n;j++) printf("%15.5f",a[i][j]); printf("\n"); } printf("\n"); printf("Cho cac phan tu cua ma tran b\n"); for (i=1;i<=n;i++) { printf("b[%d] = ",i); scanf("%f",&b[i]); } printf("\n"); printf("Ma tran b ma ban da nhap"); printf("\n"); for (i=1;i<=n;i++) printf("b[%d] = %10.5f\n",i,b[i]); printf("\n"); flushall(); t=1; while (t) { 147 printf("Co sua ma tran b khong(c/k)?"); scanf("%c",&tl); if (toupper(tl)=='C') { printf("Cho chi so hang can sua : "); scanf("%d",&i); printf("b[%d] = ",i); scanf("%f",&b[i]); } if (toupper(tl)=='K') t=0; } printf("\n"); printf("Ma tran b ban dau"); printf("\n"); for (i=1;i<=n;i++) printf("%15.5f\n",b[i]); { if (a[1][1]==0) if (b[1]!=0) printf("He da cho vo nghiem\n"); else { printf("He da cho co vo so nghiem"); x[n]=c; } else x[1]=b[1]/a[1][1]; for (i=2;i<=n;i++) { s=0; for (k=1;k<=i-1;k++) s=s+a[i][k]*x[k]; x[i]=(b[i]-s)/a[i][i]; } printf("\n"); printf("Nghiem cua he da cho la"); printf("\n"); for (i=1;i<=n;i++) printf("x[%d] = %10.5f\n",i,x[i]); getch(); } } Phơng trình tơng ứng với ma trận tam giác trên có dạng tờng minh là : 11 1 2 3 1 1 23 2 1 2 3 3 12 13 22 23 33 0 0 0 ax a x a x b x a x a x b x x a x b ++ = ++ = ++ = Với phơng trình này chúng ta giải từ dới lên. 148 Ch−¬ng tr×nh gi¶i ph−¬ng tr×nh ma trËn tam gi¸c trªn lµ : Ch−¬ng tr×nh 10-2 #include <conio.h> #include <stdio.h> #include <math.h> #include <stdlib.h> #include <ctype.h> #define max 10 void main() { float a[max][max]; float b[max],x[max]; int i,j,k,n,t; float s,c; char tl; clrscr(); printf("Cho so phuong trinh n = "); scanf("%d",&n); printf("Cho cac phan tu cua ma tran a :\n"); for (i=1;i<=n;i++) for (j=1;j<=n;j++) { printf("a[%d][%d] = ",i,j); scanf("%f",&a[i][j]); } printf("\n"); printf("Ma tran a ma ban da nhap\n"); printf("\n"); for (i=1;i<=n;i++) { for (j=1;j<=n;j++) printf("%15.5f",a[i][j]); printf("\n"); } printf("\n"); t=1; flushall(); while (t) { printf("Co sua ma tran a khong(c/k)?"); scanf("%c",&tl); if (toupper(tl)=='C') { printf("Cho chi so hang can sua : "); scanf("%d",&i); 149 printf("Cho chi so cot can sua : "); scanf("%d",&j); printf("a[%d][%d] = ",i,j); scanf("%f",&a[i][j]); } if (toupper(tl)=='K') t=0; } printf("Ma tran a ban dau"); printf("\n"); for (i=1;i<=n;i++) { for (j=1;j<=n;j++) printf("%15.5f",a[i][j]); printf("\n"); } printf("\n"); printf("Cho cac phan tu cua ma tran b : \n"); for (i=1;i<=n;i++) { printf("b[%d] = ",i); scanf("%f",&b[i]); } printf("\n"); printf("Ma tran b ma ban da nhap"); printf("\n"); for (i=1;i<=n;i++) printf("b[%d] = %10.5f\n",i,b[i]); printf("\n"); flushall(); t=1; while (t) { printf("Co sua ma tran b khong(c/k)?"); scanf("%c",&tl); if (toupper(tl)=='C') { printf("Cho chi so hang can sua : "); scanf("%d",&i); printf("b[%d] = ",i); scanf("%f",&b[i]); } if (toupper(tl)=='K') t=0; } printf("\n"); printf("Ma tran b ban dau\n"); printf("\n"); for (i=1;i<=n;i++) printf("b[%d] = %10.5f\n",i,b[i]); 150 printf("\n"); { if (a[n][n]==0) if (b[n]!=0) printf("He da cho vo nghiem"); else { printf("He da cho co vo so nghiem"); x[n]=c; } else x[n]=b[n]/a[n][n]; for (i=n-1;i>=1;i ) { s=0; for (k=i+1;k<=n;k++) s=s+a[i][k]*x[k]; x[i]=(b[i]-s)/a[i][i]; } printf("\n"); printf("Nghiem cua he da cho la\n"); printf("\n"); for (i=1;i<=n;i++) printf("x[%d] = %10.5f\n",i,x[i]); getch(); } } Tuy nhiên, các hệ phơng trình đơn giản hiếm khi gặp trong thực tế. Các hệ phơng trình tuyến tính có thể biểu diễn dới dạng tam giác nếu định thức của nó khác không, nghĩa là phơng trình có nghiệm.Chúng ta biết rằng các nghiệm của hệ không đổi nếu ta thay một hàng bằng tổ hợp tuyến tính của các hàng khác.Nh vậy bằng một loạt các biến đổi ta có thể đahệ ban đầu về dạng tam giác. Đó chính là nội dung của phơng pháp loại trừ Gauss. Chúng ta hãy xét hệ phơng trình : 11 1 2 3 1 21 1 2 3 2 31 1 23 3 12 13 22 23 32 33 ax a x a x b ax a x a x b ax a x a x b ++ = ++ = ++ = Nhân hàng thứ nhất với a 21 /a 11 ta có : 21 1 21 11 12 2 21 11 13 3 21 11 1 ax a a ax a a ax a a b ++= Số hạng đầu của phơng trình bằng số hạng đầu của hàng thứ hai trong hệ phơng trình ban đầu.Khi trừ hàng một đã đợc biến đổi cho hàng 2 ta nhận đợc hàng 2 mới 0 1 22 21 11 12 223 21 11 13 3 2 21 11 1 x a a a a xa a a a x b a a b + + = ()() Ta tiếp tục cách này để loại trừ x 1 ra khỏi hàng thứ 3.Phơng trình trở thành : 11 12 13 22 23 32 33 1 2 3 1 2 3 0 0 ,, , ,, ,, , ' , aa a aa aa x x x b b b ì= 151 với a , 11 = a 11 ; a , 12 = a 12 ; a , 13 = a 13 ; a , 13 = a 13 ; b , 1 = b 1 22 22 21 11 12 , aa a a a = 23 23 21 11 13 , aa a a a = 32 32 31 11 12 , aa a a a = 33 33 31 11 13 , aa a a a = 22 21 11 1 , bb a a b = 33 31 11 1 , bb a a b = Ta loại trừ số hạng chứa x 3 trong dòng thứ 3 bằng cách tơng tự.Ta nhân hàng thứ 2 trong hệ A ' X = B ' với a , 32 /a , 22 và đem trừ đi hàng thứ 3 trong hệ mới.Nh vậy số hạng chứa x 3 biến mất và ta nhận đợc ma trận tam giác trên. 11 12 13 22 23 33 1 2 3 1 2 3 0 0 0 ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, aa a aa a x x x b b b ì= với 11 11 ,, , aa = 12 12 ,, , aa = 13 13 ,, , aa = 11 ,, , bb = 22 22 ,, , aa = 23 23 ,, , aa = 22 ,, , bb = 33 33 32 22 23 ,, , , , , aa a a a = 33 33 22 2 ,, , , , , bb a a b = Các phép tính này chỉ thực hiện đợc khi a 11 0 và a , 11 0. Với một hệ có n phơng trình,thuật tính hoàn toàn tơng tự.Sau đây là chơng trình giải hệ phơng trình n ẩn số bằng phơng pháp loại trừ Gauss. Chơng trình 10-3 #include <conio.h> #include <stdio.h> #include <math.h> #include <stdlib.h> #include <ctype.h> #define max 10 void main() { float b[max],x[max]; float a[max][max]; int i,j,k,n,t; float c,s,d; char tl; clrscr(); printf("Cho so phuong trinh n = "); scanf("%d",&n); printf("Cho cac phan tu cua ma tran a :\n"); for (i=1;i<=n;i++) for (j=1;j<=n;j++) { printf("a[%d][%d] = ",i,j); scanf("%f",&a[i][j]); } printf("\n"); printf("Ma tran a ma ban da nhap\n"); printf("\n"); 152 for (i=1;i<=n;i++) { for (j=1;j<=n;j++) printf("%15.5f",a[i][j]); printf("\n"); } printf("\n"); t=1; flushall(); while (t) { printf("Co sua ma tran a khong(c/k)?"); scanf("%c",&tl); if (toupper(tl)=='C') { printf("Cho chi so hang can sua : "); scanf("%d",&i); printf("Cho chi so cot can sua : "); scanf("%d",&j); printf("a[%d][%d] = ",i,j); scanf("%f",&a[i][j]); } if (toupper(tl)=='K') t=0; } printf("Ma tran a ban dau\n"); printf("\n"); for (i=1;i<=n;i++) { for (j=1;j<=n;j++) printf("%15.5f",a[i][j]); printf("\n"); } printf("\n"); printf("Cho cac phan tu cua ma tran b : \n"); for (i=1;i<=n;i++) { printf("b[%d] = ",i); scanf("%f",&b[i]); } printf("\n"); printf("Ma tran b ma ban da nhap\n"); printf("\n"); for (i=1;i<=n;i++) printf("b[%d] = %15.5f\n",i,b[i]); printf("\n"); flushall(); t=1; while (t) { 153 printf("Co sua ma tran b khong(c/k)?"); scanf("%c",&tl); if (toupper(tl)=='C') { printf("Cho chi so hang can sua : "); scanf("%f",&i); printf("b[%d] = ",i); scanf("%f",&b[i]); } if (toupper(tl)=='K') t=0; } printf("\n"); printf("Ma tran b\n"); for (i=1;i<=n;i++) printf("b[%d] = %15.5f\n",i,b[i]); printf("\n"); for (k=1;k<=n-1;k++) { for (i=k+1;i<=n;i++) { b[i]=b[i]-b[k]*a[i][k]/a[k][k]; for (j=k+1;j<=n;j++) a[i][j]=a[i][j]-a[k][j]*a[i][k]/a[k][k]; } } { if (a[n][n]==0) if (b[n]==0) printf("He da cho vo nghiem"); else { printf("He da cho co vo so nghiem"); x[n]=c; } else x[n]=b[n]/a[n][n]; for (i=n-1;i>=1;i ) { s=0; for (k=i+1;k<=n;k++) s=s+a[i][k]*x[k]; x[i]=(b[i]-s)/a[i][i]; } printf("\n"); printf("Nghiem cua he da cho la\n"); printf("\n"); for (i=1;i<=n;i++) printf("x[%d] = %15.5f\n",i,x[i]); 154 getch(); } } Đ2.Phơng pháp Gauss-Jordan Xét hệ phơng trình AX=B. Khi giải hệ bằng phơng pháp Gauss ta đa nó về dạng ma trận tam giác sau một loạt biến đổi. Phơng pháp khử Gauss-Jordan cải tiến khử Gauss bằng cách đa hệ về dạng : EX = B * và khi đó nghiệm của hệ chính là B * .Trong phơng pháp Gauss-Jordan mỗi bớc tính phải tính nhiều hơn phơng pháp Gauss nhng lại không phải tính nghiệm.Để đa ma trận A về dạng ma trận E tại bớc thứ i ta phải có a ii = 1 và a ij =0.Nh vậy tại lần khử thứ i ta biến đổi : 1.a ij = a ij /a ii (j=i+1,i+2, ,n) 2.k=1,2, ,n a kj = a kj - a ij a ki (j=i+1,i+2, ,n) b k = b k - b i a ki Ví dụ : Cho hệ = ì 21 26 32 24 x x x x 9440 45.652 45104 0248 4 3 2 1 Biến đổi lần 1 : ta chia hàng 1 cho a 11 = 8;nhân hàng 1 vừa nhận đợc với 4 và lấy hàng 2 trừ đi; nhân hàng 1 vừa nhận đợc với 2 và lấy hàng 3 trừ đi;giữ nguyên hàng 4 vì phần tử đầu tiên đã bằng 0 ta có = ì 21 20 20 3 x x x x 9440 4640 4480 025.05.01 4 3 2 1 Biến đổi lần 2 : ta chia hàng 2 cho a 22 = 8;nhân hàng 2 vừa nhận đợc với 0.5 và lấy hàng 1 trừ đi; nhân hàng 2 vừa nhận đợc với 4 và lấy hàng 3 trừ đi; nhân hàng 2 vừa nhận đợc với 4 và lấy hàng 4 trừ đi ta có : = ì 11 10 5.2 75.1 x x x x 7200 2400 5.05.010 25.0001 4 3 2 1 Biến đổi lần 3 : ta chia hàng 3 cho a 33 = 4;giữ nguyên hàng 1;nhân hàng 3 vừa nhận đợc với 0.5 và lấy hàng 2 trừ đi; nhân hàng 3 vừa nhận đợc với 2 và lấy hàng 4 trừ đi ta có : = ì 6 5.2 25.1 75.1 x x x x 6000 5.0100 25.0010 25.0001 4 3 2 1 . 145 Chơng 10 : Giải hệ phơng trình đại số tuyến tính Đ1.Phơng pháp Gauss Có nhiều phơng pháp để giải một hệ phơng trình tuyến tính dạng AX = B. Phơng pháp giải sẽ đơn giản hơn. , , , , bb a a b = Các phép tính này chỉ thực hiện đợc khi a 11 0 và a , 11 0. Với một hệ có n phơng trình, thuật tính hoàn toàn tơng tự.Sau đây là chơng trình giải hệ phơng trình n ẩn số bằng phơng pháp. (i=1;i<=n;i++) printf("x[%d] = %10. 5f ",i,x[i]); getch(); } } Tuy nhiên, các hệ phơng trình đơn giản hiếm khi gặp trong thực tế. Các hệ phơng trình tuyến tính có thể biểu diễn dới dạng