- 1 - BÀI TẬP ÔN HỌC KỲ 1 (09-10) TOÁN ĐẠI SỐ 9 Bài1 : 1) Trục căn thức ở mẫu : 532 26 + 2) Rút gọn biểu thức : A = 32)62( −+ Giải 1)Trục căn thức ở mẫu : 532 26 + 532 26 + = )532)(532( )532(26 −+ − = 22 5)32( )532(26 − − = 2512 )532(26 − − = 13 )532(26 − − = –2(2 3 – 5) =–4 3 +10 = 10– 4 3 2)Rút gọn biểu thức : A = 32)62( −+ A= 2 . 32 − + 6 . 32 − = )32(2 − + )32(6 − = 324 − + 3612 − = 3321 +− + 333.29 +− = 22 )3(321 +− + 22 )3(33.23 +− = 2 )31( − + 2 )33( − = 31− + 33 − = 3 –1+ 3 – 3 = 2 Bài 2: Giải phương trình : 1) 6459 3 4 53204 =+++−+ xxx 2) 3144 2 =+− xx Giải 1) 6459 3 4 53204 =+++−+ xxx ⇔ 6545352 =+++−+ xxx ⇔ 6)432(5 =+−+x ⇔ 653 =+x ⇔ 25 =+x ⇔ 5+x = 3 * x + 5 = 2 ( với x ≥ – 5 ) x = – 3 Nhận * – x – 5 = 2 (Với x < – 5 ) x = – 7 Nhận Vậy S = { } 7;2 − 2) 3144 2 =+− xx ⇔ 3)12( 2 =+x ⇔ 12 +x = 3 ⇔ * 2x + 1 = 3 ( x ≥ 2 1− ) x = 1 Nhận * – 2x – 1 = 3 ( x < 2 1− ) X= – 2 Nhận Vậy S = { } 2;1 − Bài 3 : Tìm x thỏa điều kiện sau a) x+3 = 3 b) x25 – x16 = 9 Giải Tìm x thỏa điều kiện sau a) x+3 = 3 Suy ra :3+ x =9 hay x = 6 = 36 Vậy x = 36 b) x25 – x16 = 9 Suy ra x5 – x4 = 9 Hay x = 9 = 81 Vậy x = 81 - 2 - Bài 4: 1/Giải phương trình : 699441 =−+−+− xxx 2/Tính : 324 − 3/Rút gọn biểu thức: A= 3 132324 ++− Giải 1/ Giải phương trình : 699441 =−+−+− xxx ⇔ 613121 =−+−+− xxx ⇔ )321(1 ++− x =6 ⇔ 6 x−1 =6 ⇔ x−1 =1 ⇔ x−1 =1 * 1– x = 1 ( với x ≤ 1 ) ⇔ x= –2 Nhận * –(1 – x) = 1 (với x > 1) ⇔ – 1+ x = 1 ⇔ x= 2 Nhận Vậy S = { } 2;2− 2/Tính : 324 − 324 − = 3321 +− = 22 )3(321 +− = 2 )31( − = 31− = 3 –1 Vậy 324 − = 3 –1 3/Rút gọn biểu thức: A= 3 132324 ++− = 3 13213 ++− = 3 33 = 3 Bài 5 : Cho biểu thức Q =         + + − x x x x 11 + 1 3 − − x x với x ≥0 và x ≠ 1 1) Rút gọn Q . 2) Tìm x để Q = – 1 Giải a) Q =         + + − x x x x 11 + 1 3 − − x x =         −+ − + +− + )1)(1( )1( )1)(1( )1( xx xx xx xx + 1 3 − − x x =         +− −++ )1)(1( )1()1( xx xxxx + 1 3 − − x x = +         − −++ x xxxx 1 1 3 − − x x = x x −1 2 + x x − − 1 3 = x x − − 1 33 b)Với Q = – 1 Ta có x x − − 1 33 = – 1 ⇔ )1)(1( )1(3 xx x +− − = – 1 ⇔ )1)(1( )1(3 xx x +− −− = – 1 ⇔ x+ − 1 3 = – 1 ⇔ 1+ x = 3 ⇔ x = 2 ⇔ x = 4 Bài 6 : Cho biểu thức P =         + + − 22 x x x x . x x 4 4− với x > 0 ; x ≠ 4 a/ Rút gọn biểu thức P. b/ Tìm x để cho biểu thức P = 6 c/ Tìm x để P > 3 - 3 - a/ P =         + + − 22 x x x x . x x 4 4− =         −+ − + +− + )2)(2( )2( )2)(2( )2( xx xx xx xx . x x 4 4− =         − −++ 2 2 )2()2( x xxxx . x x 4 4− =         − −++ 4 22 x xxxx . x x 4 4− = 4 2 −x x . x x 4 4− = x x 2 2 = x x = xx xx = x b) P = 6 ⇔ x = 6 ⇔ x = 36 ⇔ x = 36 c) P > 3 ⇔ x > 3 ⇔ x > 9 ⇔ x > 9 Bài 7: a / Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng mặt phẳng toạ độ : (d) : y = 3x – 3 (d ’ ) : y = -2x +4 b/ Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (d ’ ) Giải 1)Tìm 2 giao điểm của (d) với 2 trục là A(0; -3) , B(1; 0) Tìm 2 giao điểm của (d’) với 2 trục là A’(0:3) , B’(2;0) Vẽ đúng 2 đồ thị Đường thẳng (d) đi qua A và B Đường thẳng (d’) đi qua A’ và B’ 2) 3x-3 = - 2x +4 ⇔ 3x+2x = 4+3 ⇔ 5x=7 ⇔ x = 5 7 Thay vào tìm được y = 5 6 Vậy Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (d ’ ) là điểm M ( 5 7 ; 5 6 ). Bài 8: a / Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng mặt phẳng toạ độ : (d) : y = 2 1 x -2 (d ’ ) : y = -2x +3 b/ Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (d ’ ) . Giải a/ (d):y = 2 1 x -2 Có giao điểm với trục hoành x= 0 ⇔ y=-2 A(0;-2) Giao điểm trục tung y=0 ⇔ 0 = 2 1 x -2⇔ x=4 B(4;0) (d ’ ) : y = -2x +3 Có giao điểm với trục hoành x= 0 ⇔ y=3 A’(0;3) Giao điểm trục tung Y=0 ⇔ 0 = -2x +3 ⇔ x= 2 3 =1,5 B’(1,5;0) b/ Tìm hoành độ của giao điểm là 2 1 x -2 = -2x +3 ⇔ 2 1 x +2x=3+2 ⇔ 2 5 x =5 ⇔ x = 2 Thay x=2 vào một trong hai phương trình ta tìm được tung độ của giao điểm là y = -2.2 +3 = -1 Vậy toa độ của giao điểm là I(2;-1) - 4 - Vẽ đồ thị hai hàm số -Xác định cá điểm A(0;-2) ,B(4;0), A’(0;3) , B’(1,5;0) Đường thẳng (d) đi qua A và B Đường thẳng (d’) đi qua A’ và B’ Bài 9: Cho biểu thức A = xx xx 12241224 12241224 −−+ −++ 1) Tính giá trị của biểu thức khi x = 1 . Sau đó rút gọn biểu thức . 2 Làm mất căn ở mẫu của biểu thức A . Sau đó rút gọn biểu thức . 3) Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định . Giải 1)Khi x=1 ta có A = 1.12241.1224 1.12241.1224 −−+ −++ = 1236 1236 − + = A = 1236 )1236( 2 − + = 24 121236236 ++ = 24 3.26248 22 + = 24 3.2.6.248 + = 24 3.2448 + = 24 )3.2(24 + = 2 + 3 2) Làm mất căn thức A = xx xx 12241224 12241224 −−+ −++ = xx xx 24121224 )12241224( 2 −+ −++ = x xxxx 24 12241224.122421224 −+−+++ = x xx 24 36.362.2.248 −++ = x xx 24 )2(3.)2(32.2.248 −++ = x xx 24 )2)(2(3.2.2.248 −++ = x x 24 22448 22 −+ = x x 24 )22(24 22 −+ = x x 22 22 −+ 3)Tìm điều kiện của x để biểu thứcA xác định . Biểu thức xác định khi mẫm khác 0 và căn thúc có nghĩa Nên x1224 + ≠ x1224 − Suy ra x ≠0 Và 24+12x ≥ 0 và 24 -12x ≥ 0 Suy ra x ≥ -2 và x ≤ 2 Hay -2 ≤x ≤ 2 Vậy điều kiện của x để biểu thức xác dịnh là -2 ≤x ≤ 2 và x ≠0 Bài 10 : 1) Rút gọn các biểu thúc sau : M= xx 21−+ và N = xx 21++ 2 ) Giải phương trình M+N = 4 Giải 1) rút gọn M= xx 21−+ = 1.21)( 22 xx −+ = 2 )1)( −x = x -1 N = xx 21++ = 1.21)( 22 xx ++ = 2 )1)( +x = x +1 2)Giải phương trình M+N = 4 M+N = 4 ⇔ x -1 + x +1 =4 ⇔ 2 x = 4 ⇔ x =2 ⇔ x = 4 ⇔ x = 4 Vậy : Tập nghiệm của phương trình là S = { } 4 - 5 - Bài 11 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho đường thẳng (d m ) có phương trình y = (2m+4)x– 3 1)Với giá trị nào của m thì hàm số y = (2m+4)x– 3 là hàm đồng biến . 2) Khi m = 1 ta có đường thẳng (d), Viết phương trình đường thẳng (∆)qua điểm M(1;2) và song song với đường thẳng (d) 3) Vẽ (d) và biểu diễn M lên mặt phẳng tõa độ Oxy . 1) Hàm số đồng biến khi : 2m +4> 0 ⇔ 2m > -4 ⇔ m > -2 Vậy với m > -2 thì hàm số y = (2m+4)x– 3 là hàm đồng biến . 2)Khi m = 1 ta có đường thẳng (d) : y=(2.1+4)x -3 ⇔ y=6x-3 Phương trình đường thẳng (∆)có dạng y =ax+b vì song song với đường thẳng (d) Nên a= 6 Phương trình đường thẳng (∆)có dạng y = 6x +b Phương trình đường thẳng (∆)qua điểm M(1;2) nên ta có 2 = 6.1 +b ⇔ b= -4 Vậy phương trình đường thẳng (∆)là y= 6x – 4 3)Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) với hai trục tọa độ: (d) : y=6x-3 Với x=0 ⇒ y= -3 nên giao điểm với trục tung tại điểm A(0;-3) Với y=0 ⇒ 0= 6x -3 ⇒ 6x=3 ⇒ x = 2 1 nên giao điểm với trục hoành tại điểm B( 2 1 ;0) Vẽ đường thẳng đi qua A và B ta được phương trình đường thẳng (d) Bài 12 : a/ Tìm giá trị của x để biều thức 1 1 −x có nghĩa . b/ Trục căn thức ở mẫu : 57 4 + c/ Tính giá trị của biểu thức : 32 1 + + 32 1 − Giải a/ Tìm giá trị của x để biều thức 1 1 −x có nghĩa . 1 1 −x có nghĩa nếu 1 1 −x ≥0 x – 1 > 0 x > 1 Vậy : Để biều thức 1 1 −x có nghĩa thì x > 1 b/ Trục căn thức ở mẫu : 57 4 + 57 4 + = )57)(57( )57(4 −+ − = 57 )57(4 − − = 2 )57(4 − = )57(2 − c/ Tính giá trị của biểu thức : 32 1 + + 32 1 − 32 1 + + 32 1 − = )32)(32( 32 −+ − + )32)(32( 32 +− + = 32 3232 2 − ++− = 4 - 6 - Bài 13: Viết phương trình của đường thẳng có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm A(-2;1). Giải Phương trình đường thẳng có dạng y=ax+b . Vì hệ số góc bằng 3 nên a = 3 , ta có phương trình y= 3x +b Vì đi qua điểm A(-2;1) nên ta có 1= 3.(-2)+b ⇔ b = 7 Vậy phương trình cần viết là y=3x+7 - 7 - BÀI TẬP ÔN HỌC KỲ 1 (09-10) TOÁN HÌNH HỌC 9 Bài 1 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R . Gọi Ax và By là các tia vuông góc với AB ( Ax , By và nửa đường tròn cùng một nửa mặt phẳng bờ AB ) . Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc Ax . Qua M Kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn , cắt By tại N . a/ Tính số đo góc MON . b/ Chứng minh rằng : MN=AM + BN c/ Chứng minh rằng : AM . BN =R 2 Giải: Vẽ hình đúng Gọi I là tiếp tuyến của MN với nửa đường tròn a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có M ^ O A = M ^ O I ( = 2 ^ IOA ) N ^ O I = N ^ O B ( = 2 ^ IOB ) Mà A ^ O I và B ^ O I kề bù Do đó M ^ O I + I ^ O N = 90 0 hay M ^ O N = 90 0 b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AM=MI và MI = BN Mà MI+IN = MN Nên MN=AM+BN c) Trong tam giác vuông OMN Ta có OI 2 = MI . IN (hệ thức h 2 = b’. c’) Mà AM=MI và MI = BN Suy ra R 2 = AM.BN Bài 2 : Cho ΔABC vuông tại A có AB = 6 cm , AC = 8 cm .Kẻ đường cao AH . a)Tính BC , AH , HB , HC . b)Tính giá trị của biểu thức Q = sinB + cosB . Giải: a)Vẽ hình đúng ∗Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC Ta có :BC 2 = AB 2 +AC 2 =10 2 BC = 10 (cm) ∗AH = BC ACAB. = 10 8.6 = 4,8 (cm) ∗HB = BC AB 2 = 10 6 2 = 3,6 (cm) ∗HC = 10 -3,6 = 6,4 (cm) b)Q = sinB + cosB . = 10 8 + 10 6 = 10 14 = 5 7 - 8 - Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A . Trên nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ BC vẽ tia Bx vuông góc với BC . Gọi M là trung điểm của đoạn BC . Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AB , cắt Bx tại O . 1)Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (O;OA). 2) Chứng minh rằng bốn điểm O,A,M,B cùng nằm trên một đường tròn Giải: Vẽ hình đúng 1)Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (O;OA). Gọi I là giao điểm của MO vá AB Theo đề bài MI là đường trung bình của tam giác ABC nên IA=IB Do đó tam giác OAB cân tại O (MI vừa là đường cao vừa là trung tuyến) Suy ra : OA =OB Mà OB vuông góc với BC Vì vậy BC là tiếp tuyến của đường tròn (O;OA). 2)Chứng minh rằng bốn điểm O,A,M,B cùng nằm trên một đường tròn Tam giác BOM vuông tại B nên ba điểm B,O,M cùng nằm trên đường tròn có tâm là trung điểm cạnh huyền MO Xét hai tam giác BOM và AOM có OA=OB ^ AOM = ^ BOM (do tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) MO là cạnh chung ) Vì vậy ΔBOM=ΔAOM (c,g,c) Do đó Tam giác AOM vuông tại A nên ba điểm A,O,M cùng nằm trên đường tròn có tâm là trung điểm cạnh huyền MO Vậy bốn điểm O,A,M,B cùng nằm trên một đường tròn Bài 4 : Một cái thang dài 4 m , đặt dựa vào tường , góc giữa thang và mặt đất là 60 0 . Hãy vẽ hình minh họa và tính khoảng cách từ chân thang đến tường . Giải: Vẽ hình đúng Khoảng cách chân thang đến tường là : 4. cos 60 0 = 4 . 2 1 = 2 (m) Bài 5: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB =2R .Kẻ các tiếp tuyến Ax ; By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB . Vẽ bán kính OE bất kỳ . Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E cắt Ax , By theo thứ tự tại C và D . Chứng minh rằng : a/CD=AC+BD B/ ^ COD =90 0 C/ Tích AC.BD = R 2 Giải: Vẽ hình Chứng minh - 9 - a/ CD=AC+BD Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau Thì AC= EC và BD=ED mà DC = EC+ED Nên CD = AC+BD b/ ^ COD =90 0 Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có C ^ O A = C ^ O E ( = 2 ^ EOA ) E ^ O D = B ^ O D ( = 2 ^ BOE ) Mà A ^ O E và E ^ O B kề bù Do đó C ^ O E + EB = 90 0 hay C ^ O D = 90 0 c/ Tích AC.BD = R 2 Trong tam giác vuông OCD Ta có OE 2 = EC . ED (hệ thức h 2 = b’. c’) mà AC= EC và BD=ED Suy ra R 2 = AC.BD Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A , có BC= 5 Cm , AB =2AC a/Tính AB b/Kẻ đường cao AH .Tính HB , AH c/Tính tg ^ BAH , Suy ra giá trị gần đúng của số đo ^ BAH d/Vẽ hai đường tròn (B;BA) và (C;CA) . Gọi E là giao điểm thứ hai của hai đường tròn . Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường tròn (B). Giải: Vẽ hình a)Tính AB Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông , ta có AB 2 + 2 2       AB = BC 2 AB 2 + 4 2 AB = BC 2 4 4 2 AB + 4 2 AB = BC 2 4 5 2 AB = BC 2 5AB 2 = 4BC 2 AB 2 = 5 4 2 BC = 5 5.4 2 = 20 AB= 20 = 2. 5 (cm) b)Kẻ đường cao AH .Tính HB , AH Ta có AC= 2 AB = 2 52 = 5 (cm) AH.BC=AB.AC (hệ thức h.a=b.c ) AH= BC ACAB. = 5 5.5.2 = 2 (cm) - 10 - AB 2 = BC.HB ( Hệ thức c 2 =a.c’) Suy ra HB= BC AB 2 = 5 )52( 2 = 4 (cm) c)Tính tg ^ BAH , Suy ra giá trị gần đúng của số đo ^ BAH Ta có tg ^ BAH = AH HB = 2 4 = 2 Suy ra ^ BAH ≈ d) Xét hai tam giác ABC và EBC có BA=BE (là bán kính đường tròn (B;BA) ) CA =CE (là bán kính đường tròn (C;CA) ) BC là cạnh chung Suy ra ΔABC=ΔEBC (c,c,c) Mà ^ A =90 0 nên ^ E = 90 0 Hay CE vuông góc với bán kính BE tại tiếp điểm E Vậy : CE là tiếp tuyến của đường tròn (B;BA). . b) x25 – x16 = 9 Giải Tìm x thỏa điều kiện sau a) x+3 = 3 Suy ra :3+ x =9 hay x = 6 = 36 Vậy x = 36 b) x25 – x16 = 9 Suy ra x5 – x4 = 9 Hay x = 9 = 81 Vậy x = 81. x = 81 - 2 - Bài 4: 1/Giải phương trình : 699 441 =−+−+− xxx 2/Tính : 324 − 3/Rút gọn biểu thức: A= 3 132324 ++− Giải 1/ Giải phương trình : 699 441 =−+−+− xxx ⇔ 613121 =−+−+− xxx ⇔ )321(1. + 333. 29 +− = 22 )3(321 +− + 22 )3(33.23 +− = 2 )31( − + 2 )33( − = 31− + 33 − = 3 –1+ 3 – 3 = 2 Bài 2: Giải phương trình : 1) 64 59 3 4 53204 =+++−+ xxx 2) 3144 2 =+− xx Giải 1) 64 59 3 4 53204