Nguyễn Hồng Điệp Bài tập Hình học không gian ✬ ✫ ✩ ✪ ✬ ✫ ✩ ✪ ✬ ✫ ✪ ✩ ✪ ✞ ✝ ☎ ✆ Nguyễn Hồng Điệp Vĩnh Bình - Gò Công Tây - Tiền Giang www.MATHVN.com mathvn.com Lời mở đầu • Quyển sách nhỏ này không cung cấp lại các kiến thức cơ bản về hình không gian. Xuyên suốt tài liệu là các dạng bài tập và phương pháp để giải chúng 1 . Đa phần là các dạng bài tập được biên soạn lại từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau và bổ xung thêm một số vấn đề người soạn cảm thấy cần thiết. • Tài liệu được soạn bằng L A T E X phiên bản L A T E X 2 ε . Muốn biết cụ thể L A T E X là gì các bạn lên google là có ngay kết quả, sau đây là một số điều mà tác giả tâm đắc 2 : • Người soạn thảo văn bản không có kiếu thường mắc phải sai lầm nghiêm trọng vì quan điểm: “Nếu một tài liệu trông sắc sảo thì nó đã được thiết kế tốt”. Tuy nhiên các tài liệu được in ấn để đọc chứ không phải để trưng bày trong phòng triển lãm nghệ thuật. • Tính rõ ràng, dễ đọc, dễ hiểu của tài liệu phải được đặt lện hàng đầu. L A T E X làm rất tốt điều này, L A T E X yêu cầu người soạn định nghĩa cấu trúc logic của tài liệu, và chương trình sẽ lựa chọn cách trình bày tốt nhất. Nhờ đó tài liệu soạn thảo trông thật chuyên nghiệp. Các bạn sẽ thấy một số trang trong tài liệu này có nhiều phần trắng hơn các trang khác, tất cả đều do L A T E X. • Tác giả gởi lời cám ơn đến tất cả mọi người đã giúp đỡ trong thời gian qua; nhờ có bạn Võ Nguyễn Hoàng Tâm và Lê Thanh Chung mà tác giả bắt đầu học cách sử dụng L A T E X và cảm thấy ngày càng hứng thú. Ngày 21 tháng 10 năm 2013. 1 Một số phương pháp được người biên soạn tài liệu này đưa ra, tự tác giả cũng thấy còn nhiều hạn chế, mong được sự đóng góp thêm của các bạn. 2 Đáng lẽ phần Lời mở đầu không có chú thích cuối trang nhưng trong T E X footnote thật hấp dẫn (ˆ.ˆ). ♥ Nguyễn Hồng Điệp 3 www.MATHVN.com mathvn.com MỤC LỤC MỤC LỤC Mục lục I Mở đầu 7 1 Mở đầu về hình không gian 7 1.1 Mở rộng mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Giao tuyến của hai mặt phẳng 11 2.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 15 3.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng 19 4.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 23 5.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6 Chứng minh ba đường thẳng đồng qui 25 6.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 II Quan hệ song song 26 7 Giao tuyến của hai mặt phẳng 27 7.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4 ♥ Nguyễn Hồng Điệp www.MATHVN.com mathvn.com MỤC LỤC MỤC LỤC 8 Đường thẳng song song mặt phẳng 29 8.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 8.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 9 Hai đường thẳng song song 31 9.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 9.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 10 Bài toán thiết diện 1 33 10.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 10.1.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 10.1.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 10.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 11 Hai mặt phẳng song song 38 11.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 11.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 12 Bài toán thiết diện 2 39 12.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 12.1.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 12.1.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 12.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 13 Hình lăng trụ - Hình hộp 41 14 Chứng minh 4 điểm đồng phẳng 44 14.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 14.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 15 Chứng minh sự thẳng hàng của 3 điểm 45 15.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 15.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 16 Chứng minh ba đường thẳng đồng qui 47 16.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 16.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ♥ Nguyễn Hồng Điệp 5 www.MATHVN.com mathvn.com MỤC LỤC MỤC LỤC 17 Bài tập tổng hợp 48 6 ♥ Nguyễn Hồng Điệp www.MATHVN.com mathvn.com 1 MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN Phần I Mở đầu 1 Mở đầu về hình không gian 1.1 Mở rộng mặt phẳng Trong phần bài tập mặt phẳng thường bị “thu gọn” thành tam giác, tứ giác. . . khi “mở rộng” mặt phẳng thì ta sẽ có cách nhìn rõ ràng hơn đối với một số dạng toán (không có quan hệ song song, vuông góc trong không gian) như : giao tuyến hai mặt phẳng, giao điểm đường và mặt, bài toán thiết diện . . . . • Lưu ý: 1. “Mở rộng” bằng cách kéo dài các “đoạn thẳng giới hạn mặt phẳng”. 2. Khi mở rộng ta nên tìm tất cả các giao điểm có thể có. 3. Hai đường thẳng cắt nhau thì chúng phải đồng phẳng, tức chúng cắt nhau trong mp (α) nào đó. b α a Ví dụ: Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng hình thang ABCD (AB  CD, AB > CD). Tìm giao tuyến (SAD) và (SBC). Phân tích • Dựa vào tên gọi ta có ngay giao điểm thứ nhất là S. ♥ Nguyễn Hồng Điệp 7 www.MATHVN.com mathvn.com 1.1 Mở rộng mặt phẳng 1 MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN • Ta chọn (SAD) để “mở rộng” : nhận xét : nếu kéo dài SA, SD cũng chưa thấy giao điểm mới. • Kéo dài AD sẽ cắt BC (do cùng nằm trong (ABCD) và AD không song song BC) nên giao điểm AD và BC là giao điểm thứ hai cần tìm. Khi ta nối SI, BI thì DC bị khuất. A B C D I S Giải Ta có: S ∈ (SAD) S ∈ (SBC)  ⇒ S ∈ (SAD) ∩ (SBC) (1) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I là giao điểm AD và BC ⇒  I ∈ AD I ∈ BC ⇒  I ∈ (SAD) I ∈ (SBC) ⇒ I ∈ (SAD) ∩ (SBC) (2) Từ (1), (2) ⇒ SI = (SAD)∩(SBC) Khi đó (SAD) “mở rộng” ra thành (SAI). Ví dụ: Cho tứ diện ABCD; gọi I, J, K là các điểm trên cạnh AB, BC, CD sao cho AI = 1 3 AB, BJ = 2 3 BC, CK = 4 5 CD. Tìm giao điểm của (IJK) với AD. 8 ♥ Nguyễn Hồng Điệp www.MATHVN.com mathvn.com 1 MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN 1.1 Mở rộng mặt phẳng Phân tích • Tỉ số CK CD = CJ CB (trong ∆CBD) nên JK không song song BD. • Kéo dài AD ta chưa thấy giao điểm mới. Tránh nhầm lẫn AD cắt IK, các điểm A, D, I cùng thuộc mặt phẳng (ABD) nhưng K không thuộc (ABD) nên AD và IK không đồng phẳng. • "Mở rộng" mặt phẳng (IJK) : – Kéo dài IJ cắt BD ở E (trong mp (BCD)), khi đó (IJK) “mở rộng” thành (IJE). – E ∈ BD ⇒ E ∈ (ABD) – Gọi F là giao điểm IE và AD thì F là điểm cần tìm. B E C D A I J K F Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là điểm tùy ý trong tam giác SCD. Tìm thiết diện 3 tạo bởi mặt phẳng (ABM) với hình chóp. Phân tích • AB kéo dài cắt CD ở E (trong mp(ABCD)). Lúc này (ABM) trở thành (AEM). • ME cắt SC và SD lần lượt tại K, H (trong mp(SCD)). Lúc này (ABM) trở thành (HAE). 3 Thiết diện sẽ nói rõ hơn ở những phần sau ♥ Nguyễn Hồng Điệp 9 www.MATHVN.com mathvn.com 1.2 Bài tập 1 MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN • Khi đó giao thiết diện là tứ giác AHKB. A D E S B C H M K 1.2 Bài tập 1. Cho tứ diện SABC. Gọi M, N, P là điểm thuộc SA, SB, SC. (a) Kéo dài NM cắt AB ở H, H thuộc các mp nào? (b) MP cắt AC không? Vì sao? (c) MP có thể cắt đường thẳng nào? Gọi giao điểm (nếu có) là J, J thuộc mp nào? (d) HJ có thuộc mp(ABC), mp(MNP) không? 2. Cho hình chóp SABC, gọi M, N là các điểm thuộc SA, SB, P là điểm nào trong mp(SBC) (a) Các đường thẳng qua MN, MP, SP có thể cắt các đường thẳng nào? (b) MP cắt AB, BC không? Vì sao? 10 ♥ Nguyễn Hồng Điệp www.MATHVN.com mathvn.com [...]... minh MG song song BI, MG song song (ABD) 2 Cho tứ diện ABCD gọi E, F là trọng tâm tam giác ACD và BCD Chứng minh EF song song (ABC) và (ABD) 3 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau Gọi O là giao điểm AC và BD, O’ là giao điểm AE và BF (a) Chứng minh OO’ song song (ADF) và (BCE) (b) Gọi M, N là trọng tâm tam giác ABD và ABE Chứng minh MN song song (CEF) 4 Cho hình chóp... điểm chung S • Tìm trong (α) và (β) hai đường thẳng a, b song song nhau • Giao tuyến là đường thẳng Sx qua S và song song cả a và b β b x S a α 7.2 Bài tập 1 Cho hình bình hành ABCD và S là một điểm không thuộc mặt phẳng hình bình hành Tìm giao tuyến của : (a) (SAD) và (SBC) (b) (SAB) và (SDC) 2 Cho tứ diện ABCD Trên AB, AC lần lượt lấy M, N sao cho AN AM = Tìm giao tuyến của (DBC) và (DMN) AB AC mathvn.com... 2.2 Bài tập 1 Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thang (AB song song DC và AB > CD) Tìm giao tuyến các mp: (a) (SAB) và (ABCD) (b) (SAD) và (SBC) (c) (SAC) và (SBD) 2 Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là tứ giác lồi (AD > CD) (a) Tìm giao tuyến các mặt phẳng sau: i (SAC) và (SBD) mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp 11 2 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG 2.2 Bài tập www.MATHVN.com ii (SBC) và (SCD) iii (SAD) và. .. tạo bởi (KMN) và hình chóp 4 Cho tứ diện ABCD, lấy M thuộc BC, N thuộc AC Qua M, N vẽ (P) Tìm thiết diện của (P) với hình chóp biết : (a) (P) song song CD (b) (P) song song CD và AB 5 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành, O là giao điểm AC và BD, M là trung điểm SA Tìm thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp biết (P) qua M và song song SC, AD 6 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành... điểm SD Chứng minh CM song song (SAB) 30 mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp 9 HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG www.MATHVN.com (c) Giả sử I thuộc SC sao cho SC:SI = 3:2 Chứng minh SA song song (BID) 6 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N, P là trung điểm AB, CD, SA (a) Chứng minh MN song song (SBC), (SAD) (b) SB song song (MNP), SC song song (MNP) 7 Cho hình chóp SABC và điểm K là trung điểm... (b) PR cắt AC 11 Cho hình bình hành ABCD và tam giác CDM nằm trong hai mặt phẳng khác nhau Trên các cạnh AB và BC lấy các điểm I và K Mặt phẳng (P) qua IK và song song đường trung tuyến CE của tam giác MCD cắt (MCD) theo một giao tuyến Tìm giao tuyến đó 12 Cho hình bình hành ABCD và CDEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau Trên AE lấy M Tìm giao tuyến của (P) qua M và song song với AC và DE cắt đồng... M thuộc AC Mp(P) qua M và song song SA, BD Xác định giao tuyến (P) và hình chóp 9 Hình chóp SABCD có đáy là hình thang ABCD, AB song song CD (a) Tìm giao tuyến d của (SAB) và (SCD) (b) Trên đường chéo BD ta lấy M Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng qua d và M mathvn.com ♥ Nguyễn Hồng Điệp 35 10 BÀI TOÁN THIẾT DIỆN 1 10.2 Bài tập www.MATHVN.com 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi K, G... SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, I là trung điểm AB Lấy M trong AD sao cho AD = 3AM (a) Đường thẳng qua M và song song AB cắt CI tai N Chứng minh rằng : NG song song (SCD) (b) Chứng minh MG song song (SCD) 5 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang (AD là đáy lớn) AD = 2BC Gọi O là giao điểm AC và BD, G là trọng tâm tam giác SCD (a) Chứng minh OG song song (SBC) (b) Cho... (GOP) và hình chóp 11 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm AB, BC, SD Tìm thiết diện tạo bởi (MNE) và hình chóp 12 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAD Tìm thiết diện tạo bởi (MGC) và hình chóp 13 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi H là giao điểm các đường chéo đáy và M,... là các điểm trên SA, BK sao cho : AM:AS = BM:2BK Chứng minh MN song song (ABC) 8 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau Trên BD, CE lấy M, N sao cho : MD:MB = NE:NC Chứng minh MN song song (ADE) Hai đường thẳng song song 9 9.1 Phương pháp giải • Đưa về cùng mặt phẳng và áp dụng các tính chất đã học trong hình học phẳng để chứng minh • Áp dụng tính chất6  a b  a ∈ (α) . thức cơ bản về hình không gian. Xuyên suốt tài liệu là các dạng bài tập và phương pháp để giải chúng 1 . Đa phần là các dạng bài tập được biên soạn lại từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau và bổ. (β) α β M N 2.2 Bài tập 1. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thang (AB song song DC và AB > CD). Tìm giao tuyến các mp: (a) (SAB) và (ABCD). (b) (SAD) và (SBC). (c) (SAC) và (SBD). 2. Cho hình chóp. nhìn rõ ràng hơn đối với một số dạng toán (không có quan hệ song song, vuông góc trong không gian) như : giao tuyến hai mặt phẳng, giao điểm đường và mặt, bài toán thiết diện . . . . • Lưu ý: 1.