BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ KIỀU NGA MỘT SỐ QUỸ TÍCH CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 62.46.01.04 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn - ĐHKH Thái Nguyên TS. Nguyễn Thị Hồng Loan - Đại học Vinh Phản biện 1: GS. TSKH. Ngô Việt Trung - Viện Toán học Phản biện 2: PGS. TS. Đàm Văn Nhỉ - ĐHSP Hà Nội Phản biện 3: TS. Trần Nguyên An - ĐHSP Thái Nguyên Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họp tại Trường Đại học Vinh, Số 182, Lê Duẩn, Tp. Vinh, Nghệ An, vào hồi giờ ngày tháng năm Có thể tìm hiểu Luận án tại: - Thư viện quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện Nguyễn Thúc Hào, Trường Đại học Vinh 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Cho R, m là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại duy nhất m. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M d. Ta luôn có depth M dim M. Nếu depth M dim M thì ta nói M là môđun Cohen-Macaulay. Lớp vành và môđun Cohen-Macaulay đóng vai trò trung tâm trong Đại số giao hoán và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như Đại số đồng điều, Tổ hợp và Hình học đại số. Nhiều mở rộng của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay đã được giới thiệu và quan tâm nghiên cứu. Hai mở rộng đầu tiên là lớp vành (môđun) Buchsbaum và lớp vành (môđun) Cohen- Macaulay suy rộng. Với mọi hệ tham số x của M , đặt I x; M  M xM e x; M , trong đó e x; M là số bội của M ứng với hệ tham số x. Ta luôn có I x; M 0 với mọi hệ tham số x của M và M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu I x; M 0 với một (hoặc với mọi) hệ tham số x của M . Vì thế, năm 1965, D. A. Buchsbaum đã đưa ra giả thuyết rằng I x; M là một hằng số không phụ thuộc vào hệ tham số x của M. Năm 1973, W. Vogel và J. Stuckrad đã xây dựng hàng loạt ví dụ chứng tỏ giả thuyết của D. A. Buchsbaum là không đúng, đồng thời họ nghiên cứu lớp vành và môđun thỏa mãn điều kiện trong giả thuyết của D. A. Buchsbaum. Các môđun này được gọi là môđun Buchsbaum. Sau đó, năm 1978, N. T. Cường, P. Schenzel và N. V. Trung đã giới thiệu và nghiên cứu lớp môđun M thỏa mãn điều kiện sup I x; M , trong đó cận trên lấy theo mọi hệ tham số x của M, và họ gọi chúng là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Ngày nay, khái niệm môđun Buchsbaum và môđun Cohen-Macaulay suy rộng đã trở nên rất quen biết trong Đại số giao hoán. 2 Hai mở rộng tiếp theo dựa vào tính chất không trộn lẫn của môđun Cohen-Macaulay. Ta biết rằng nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì dim R p d với mọi p Ass R M. Khi nghiên cứu cho trường hợp môđun trộn lẫn, R. P. Stanley đã giới thiệu khái niệm môđun Cohen-Macaulay dãy cho các môđun phân bậc, sau đó được P. Schenzel, N. T. Cường và L. T. Nhàn định nghĩa cho môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương. Mở rộng khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng cho trường hợp môđun trộn lẫn, N. T. Cường và L. T. Nhàn đã giới thiệu khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy. Hai mở rộng khác của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay là lớp vành (môđun) giả Cohen-Macaulay và lớp vành (môđun) giả Cohen-Macaulay suy rộng. Cho x x 1 , . . . , x d là hệ tham số của M. Đặt Q M x t 0 x t 1 1 , . . . , x t 1 d M : M x t 1 . . . x t d . Khi đó Q M x là môđun con của M và xM Q M x . Năm 1966, R. Hartshorne đã chỉ ra rằng, nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì xM Q M x với một (hoặc với mọi) hệ tham số x của M , tức là J x; M e x; M  M Q M x 0. Hơn nữa, nếu M là Cohen-Macaulay suy rộng thì sup J x; M , trong đó cận trên lấy theo các hệ tham số x của M. Vì thế, năm 2003, N. T. Cường và L. T. Nhàn đã nghiên cứu lớp môđun M thỏa mãn điều kiện J x; M 0 với một (hoặc với mọi) hệ tham số x của M. Họ gọi lớp môđun này là môđun giả Cohen- Macaulay. Đồng thời N. T. Cường và L. T. Nhàn cũng nghiên cứu lớp môđun M với tính chất sup J x; M trong đó cận trên lấy theo tập tất cả các hệ tham số x của M và họ gọi chúng là môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng. Tóm lại, cùng với lớp môđun Cohen-Macaulay, các lớp môđun Buchsbaum, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun 3 Cohen-Macaulay dãy và môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, môđun giả Cohen-Macaulay và môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng đã trở thành những lớp môđun được quan tâm trong Đại số giao hoán. Tuy nhiên, nghiên cứu các quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay là một hướng nghiên cứu thời sự cần được quan tâm của Đại số giao hoán. Các nghiên cứu trước đây về quỹ tích không Cohen- Macaulay chỉ tập trung chủ yếu về tính chất đóng theo tôpô Zariski hoặc về chiều của quỹ tích khi vành cơ sở R "tốt”, chẳng hạn khi R là thương của một vành Gorenstein địa phương. Trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến vấn đề mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay với vành cơ sở tùy ý, đồng thời nghiên cứu tính chất của quỹ tích này trong mối quan hệ với tính cate- nary, catenary phổ dụng, tính không trộn lẫn của vành, các điều kiện Serre của môđun và tính Cohen-Macaulay của các thớ hình thức. Chúng tôi cũng đặt vấn đề nghiên cứu một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay như quỹ tích không Cohen- Macaulay suy rộng, quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy, quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen- Macaulay và quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng. Với các lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: "Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether ". 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là mô tả quỹ tích không Cohen- Macaulay và một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay như quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả Cohen- Macaulay suy rộng. Đồng thời chứng minh một số kết quả mới về các quỹ tích này trong mối quan hệ với tính catenary, tính catenary phổ dụng, các điều kiện Serre, tính Cohen-Macaulay 4 của các thớ hình thức, chiều của các môđun đối đồng điều địa phương và kiểu đa thức. 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán địa phương Noether liên quan đến tính Cohen-Macaulay. 4. Phạm vi nghiên cứu Lĩnh vực nghiên cứu của luận án là Đại số giao hoán. Luận án tập trung nghiên cứu về môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán địa phương Noether. 5. Phương pháp nghiên cứu Về mặt kỹ thuật, chúng tôi sử dụng các tập giả giá giới thiệu bởi M. Brodmann và R. Y. Sharp đồng thời đưa ra khái niệm giá suy rộng để mô tả các quỹ tích. Ngoài ra, chúng tôi sử dụng một số lý thuyết quan trọng của Đại số giao hoán để nghiên cứu như lý thuyết đối đồng điều địa phương, lý thuyết biểu diễn thứ cấp, kiểu đa thức 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Các kết quả của luận án làm phong phú hướng nghiên cứu về các quỹ tích của môđun hữu hạn sinh, đồng thời làm rõ thêm cấu trúc một số lớp môđun đang được quan tâm trong Đại số giao hoán như môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Cohen-Macaulay dãy, môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, môđun giả Cohen-Macaulay, môđun giả Cohen- Macaulay suy rộng. 7. Tổng quan và cấu trúc luận án Trong luận án, chúng tôi quan tâm đến vấn đề mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay, quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy và không Cohen- Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay và giả 5 Cohen-Macaulay suy rộng. Đồng thời chúng tôi nghiên cứu các quỹ tích này trong mối quan hệ với tính catenary, tính catenary phổ dụng, điều kiện Serre, chiều của môđun đối đồng điều địa phương và kiểu đa thức. Kết quả đầu tiên của luận án là đưa ra một số công thức tính quỹ tích không Cohen-Macaulay và chiều của nó. Chúng tôi mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay nCM M của M qua các tập giả giá giới thiệu bởi M. Brodmann và R. Y. Sharp (Định lý 2.1.5). Tiếp theo, chúng tôi xét mối quan hệ giữa quỹ tích không Cohen-Macaulay với các môđun đối đồng điều địa phương (Định lý 2.2.1) và tính không trộn lẫn của các vành R p với p Supp R M (Định lý 2.2.3). Khái niệm kiểu đa thức của M , kí hiệu là p M , được giới thiệu bởi N. T. Cường nhằm nghiên cứu cấu trúc của các môđun hữu hạn sinh trên vành Noether. Nếu ta kí hiệu bậc của đa thức không là 1 thì M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu p M 1 và M là Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu p M 0. N. T. Cường đã nghiên cứu chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của M trong mối quan hệ với chiều của các môđun đối đồng điều địa phương H i m M và kiểu đa thức p M của M. Ông đã chỉ ra rằng, trong trường hợp tổng quát, dim R a M p M dim nCM M , trong đó a M a 0 M . . . a d 1 M , với a i M Ann R H i m M . Khi R là thương của một vành Gorenstein địa phương thì ta có đẳng thức p M dim R a M và nếu thêm điều kiện M đẳng chiều thì p M dim nCM M . Điều này chứng tỏ khi p M càng lớn thì tính chất của M càng xa hơn tính Cohen-Macaulay. Trong luận án này, chúng tôi mở rộng các kết quả trên cho trường hợp vành R là catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức là Cohen- Macaulay và xét trong trường hợp môđun M bất kì, không nhất thiết đẳng chiều (Định lý 2.3.4). 6 Kết quả thứ hai của luận án là mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng và xét tính đóng của nó. Chú ý rằng tính Cohen-Macaulay được đặc trưng bởi tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương. Vì thế chúng tôi đã sử dụng các tập giả giá để mô tả thành công quỹ tích không Cohen-Macaulay của M (xem Định lý 2.1.5). Chúng ta đã biết rằng M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu  H i m M với mọi i d. Do đó, chúng tôi thấy rằng phải có một tập tương tự như tập giả giá để mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng. Vì thế, chúng tôi giới thiệu khái niệm giá suy rộng và nghiên cứu giá suy rộng trong mối quan hệ với giả giá, tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương, dịch chuyển qua đầy đủ m-adic và qua địa phương hóa. Sử dụng giá suy rộng, chúng tôi miêu tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng (Định lý 3.2.2). Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng nGCM M của M rất ít khi là tập con đóng của Spec R theo tôpô Zariski. Chúng tôi chỉ ra rằng, với điều kiện vành R là catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay và môđun M đẳng chiều thì nGCM M đóng khi và chỉ khi p M 1 (Mệnh đề 3.2.4). Kết quả thứ ba của luận án là mô tả một số quỹ tích khác như quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy, quỹ tích không Cohen- Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. Công cụ chính để chúng tôi nghiên cứu các quỹ tích này là các giả giá, giá suy rộng và lọc chiều của môđun. Chúng tôi mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy (quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy) qua quỹ tích không Cohen- Macaulay (quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng) của các môđun thương trong lọc chiều của M (Mệnh đề 3.2.9, Mệnh đề 3.2.12). Chúng tôi chỉ ra rằng, với một số điều kiện về chiều của các iđêan nguyên tố liên kết của M, quỹ tích giả Cohen-Macaulay (quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng) của M chính là phần 7 bù của quỹ tích không Cohen-Macaulay của M U M 0 (phần bù của quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của M U M 0 , với U M 0 là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d. Trong trường hợp tổng quát, chúng tôi đưa ra mối liên hệ giữa quỹ tích giả Cohen-Macaulay (quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng) với phần bù của hợp của các quỹ tích không Cohen-Macaulay (quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng) của các môđun thương của lọc chiều của M (Định lý 4.1.4, Định lý 4.1.10). Phần cuối của luận án là một số kết quả về quỹ tích không Cohen-Macaulay và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của môđun chính tắc K M của M (Mệnh đề 4.2.2). Về cấu trúc, ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án được chia làm 4 chương. Chương 1 nhắc lại một số kiến thức cơ sở nhằm thuận tiện cho việc theo dõi các kết quả trong các chương sau. Chương 2 trình bày về quỹ tích không Cohen-Macaulay. Chương 3 trình bày về quỹ tích không Cohen- Macaulay suy rộng. Chương 4 trình bày một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay như quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng và quỹ tích không Cohen- Macaulay suy rộng chính tắc. Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ sở nhằm thuận tiện cho việc theo dõi các kết quả trong các chương sau. Mục 1.1 nhắc lại khái niệm và một số kết quả về tính catenary của vành. Mục 1.2 dành để giới thiệu sơ lược lý thuyết đối đồng điều địa phương. Nhắc lại một số tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địa phương như Định lý độc lập đối với vành cơ sở, 8 Định lý chuyển cơ sở phẳng, Định lý triệt tiêu của Grothendieck và tính Artin của một số môđun đối đồng điều địa phương. Mục 1.3 nhắc lại khái niệm và một số kết quả về biểu diễn thứ cấp của môđun Artin. Trong Mục 1.4, chúng tôi nhắc lại khái niệm và một số kết quả về môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Chương 2 QUĨ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY Trong chương này, ta luôn giả thiết R, m là vành địa phương Noether và M là một R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M d. Với mỗi iđêan I của R, ký hiệu Var I là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I. Lớp môđun Cohen-Macaulay là lớp môđun đóng vai trò trung tâm trong Đại số giao hoán và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như Đại số đồng điều, Hình học đại số và Tổ hợp. Nhắc lại rằng M là môđun Cohen-Macaulay nếu depth M dim M. Quỹ tích không Cohen-Macaulay của M, kí hiệu nCM M , là tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố p sao cho M p không là Cohen-Macaulay. Quỹ tích không Cohen-Macaulay đã được nghiên cứu bởi một số nhà toán học như R. Hartshorne, P. Schenzel, N. T. Cường khi vành cơ sở là thương của một vành Gorenstein. Mục tiêu của chương này là sử dụng các tập giả giá định nghĩa bởi M. Brodmann và R. Y. Sharp để mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay trong trường hợp tổng quát (khi R là vành địa phương Noether tùy ý), đồng thời nghiên cứu quỹ tích không Cohen-Macaulay trong mối quan hệ với tính catenary, tính không trộn lẫn của vành, điều kiện Serre đối với môđun. Phần cuối của [...]... hoỏn, a phng, Noether v M l R-mụun hu hn sinh vi chiu Krull dim M  d Lp mụun Cohen-Macaulay suy rng c N T Cng- P Schenzel- N V Trung gii thiu v nghiờn cu l m rng ca lp mụun Cohen-Macaulay Cu trỳc ca mụun Cohen-Macaulay suy rng ó c lm rừ thụng qua a phng húa, y húa, lớ thuyt mụun i ng iu a 13 phng, lớ thuyt bi Mc tiờu ca chng ny l nghiờn cu qu tớch khụng Cohen-Macaulay suy rng ca mụun hu hn sinh nghiờn... nghiờn cu chiu ca qu tớch khụng CohenMacaulay 2.1 Qu tớch khụng Cohen-Macaulay Trong tit ny chỳng tụi mụ t qu tớch khụng CohenMacaulay ca mụun hu hn sinh qua cỏc tp gi giỏ v xột tớnh úng ca nú Trc ht, chỳng ta nhc li khỏi nim gi giỏ v gi chiu ca mt mụun hu hn sinh c nh ngha bi M Brodmann v R Y Sharp nh ngha 2.1.1 (i) Cho i Ơ 0 l mt s nguyờn Gi giỏ th i ca M , kớ hiu l Psuppi pM q, c cho bi cụng thc R Ă... Cohen-Macaulay dóy v qu tớch khụng Cohen-Macaulay suy rng dóy 18 Chng 4 MT S QU TCH LIấN QUAN N TNH COHEN-MACAULAY Trong sut chng ny, chỳng tụi luụn gi thit pR, mq l vnh giao hoỏn, a phng, Noether v M l R-mụun hu hn sinh vi chiu Krull dim M  d Lp mụun gi Cohen-Macaulay v gi Cohen-Macaulay suy rng c gii thiu bi N T Cng v L T Nhn tng ng l m rng ca cỏc lp mụun CohenMacaulay v mụun Cohen-Macaulay suy rng... AnnR Hm pLi q i 1 r 1 Trong trng hp ny, nSCMpM q l tp con úng ca SpecpRq Hn na, dim nSCMpM q  max ppLi q  i 1, ,t 17 Phn cũn li ca tit ny l mụ t qu tớch khụng CohenMacaulay suy rng dóy ca mụun hu hn sinh Trc ht chỳng tụi nhc li khỏi nim lc Cohen-Macaulay suy rng v mụun Cohen-Macaulay suy rng dóy c gii thiu bi N T Cng v L T Nhn 0 nh ngha 3.2.10.(i) Mt lc Hm pM q  N0 Nk  M cỏc mụun con ca M c... di vi mi i  1, , t Khi ú nPCMpM q ă r Var AnnR Hm pMi {MiĂ1 q nCMpMi {MiĂ1 q    i 1, ,t r 1, ,di 1 i 1, ,t  Ă Phn cui ca tit ny dnh mụ t qu tớch gi CohenMacaulay suy rng ca cỏc mụun hu hn sinh Trc ht, chỳng tụi nhc li khỏi nim ca mụun gi Cohen-Macaulay suy rng nh ngha 4.1.7 M gi l mụun gi Cohen-Macaulay suy rng nu pf pM q Ô 0 Cho M l mụun Cohen-Macaulay suy rng Khi ú R Y Sharp v M A Hamieh... chng minh rng JM,x pnq  Ă d 1Â á  i 1 dĂ1 iĂ1  i pHmpM qq vi n 4 0 Do ú nu M l mụun Cohen- Macaulay suy rng thỡ M l gi Cohen-Macaulay suy rng Nm 2000, N T Cng- N Minh chng minh rng nu M l Rmụun hu hn sinh chiu d Ă 1 thỡ pf pM q Ô d Ă 2 Vỡ th, nu dim M Ô 2 thỡ M l gi Cohen-Macaulay suy rng nh ngha 4.1.9 Qu tớch gi Cohen-Macaulay suy rng ca M , ký hiu pGCMpM q, l tp hp tt c cỏc iờan nguyờn t p sao cho . là: " ;Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether ". 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là mô tả quỹ tích không Cohen- Macaulay và một số quỹ tích liên. VINH NGUYỄN THỊ KIỀU NGA MỘT SỐ QUỸ TÍCH CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 62.46.01.04 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 Công. môđun đối đồng điều địa phương và kiểu đa thức. 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán địa phương Noether liên quan