BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ NGỌC DIỆP PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG CÁC HÀM HỮU TỶ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Nghệ An - 2013 Luận án hoàn thành Trường Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Tạ Thị Hoài An GS TSKH Hà Huy Khoái Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ Hội đồng đánh giá luận án cấp Trường họp Trường Đại học Vinh vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: Thư viện Nguyễn Thúc Hào - Trường Đại học Vinh Thư viện quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Một toán Lý thuyết số nhiều nhà toán học đặc biệt quan tâm tốn giải phương trình Diophant Ban đầu người ta nghiên cứu nghiệm nguyên phương trình Diophant với hệ số số nguyên Sau đó, việc xem xét nghiệm phương trình Diophant mở rộng tập số hữu tỷ trường hàm hàm phân hình phức, hàm phân hình khơng Acsimet, hàm hữu tỷ Cho P Q đa thức biến trường đóng đại số k Bài tốn tồn hay khơng hàm f g khác thoả mãn phương trình P (f ) = Q(g) từ lâu thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Bên cạnh đó, tốn phân tích đa thức P (x) − Q(y) thành nhân tử bất khả quy tính hữu hạn nghiệm nguyên đa thức k trường số nhiều nhà toán học nghiên cứu Theo Định lý Faltings Định lý Picard, hai toán liên quan chặt chẽ với Ngay từ năm đầu kỷ XX, số kết toán đưa cơng trình J F Ritt, A Ehrenfeucht, H Davenport, D J Lewis, A Schinzel, M Fried Khi Q = cP , C C Yang P Li giới thiệu khái niệm đa thức mạnh Cụ thể, đa thức P (x) trường đóng đại số k gọi đa thức mạnh họ hàm F với hàm f, g ∈ F số c khác khơng mà P (f ) = cP (g) c = f = g Cho đến tốn tìm điều kiện để đa thức đa thức mạnh họ hàm giải trọn vẹn trường hợp phức trường hợp p-adic cho họ hàm phân hình, hàm nguyên hay hàm hữu tỷ Thời gian gần đây, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu mở rộng tự nhiên vấn đề đa thức mạnh, nghiên cứu tồn nghiệm phương trình P (x) = Q(y) Theo Định lý Picard, phương trình P (f ) = Q(g) khơng có nghiệm hàm phân hình (f, g) khác đường cong P (x) − Q(y) = không chứa thành phần có giống Một số điều kiện cần để đường cong P (x) − Q(y) = khơng có nhân tử có giống đưa J F Ritt U M Zannier R M Avanzi U M Zannier đưa điều kiện cần để đường cong P (x) − Q(y) = khơng có nhân tử có giống Trong trường số phức, số điều kiện bậc P Q để phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm phân hình khác xem xét tác giả H H Khoái, C C Yang, P Li Gần đây, T T H An A Escassut xem xét vấn đề trường không Acsimet Họ đưa điều kiện đủ P Q thoả mãn Giả thiết I, giả thiết giới thiệu lần Fujimoto, điều kiện cần đủ degP = degQ Cho đến nay, vấn đề thiết lập đặc trưng đầy đủ đường cong khơng có nhân tử có giống bé vấn đề mở Đồng thời, vấn đề xem xét phương trình P (x) = Q(y) trường hàm hữu tỷ đề tài thời nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm Để góp phần làm sáng tỏ vấn đề nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: Phương trình đa thức trường hàm hữu tỷ ứng dụng Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu tồn nghiệm hàm hữu tỷ phương trình đa thức hai biến trường đóng đại số, đồng thời xem xét điều kiện để đa thức hai biến có nhân tử có giống thấp Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu phương trình đa thức hai biến trường đóng đại số Phạm vi nghiên cứu Luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu tồn nghiệm hàm hữu tỷ, hàm phân hình phương trình đa thức hai biến trường đóng đại số Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp giải tích phức hình học đại số, lý thuyết số trình thực đề tài luận án, đặc biệt lý thuyết độ cao, lý thuyết kỳ dị, phương pháp xây dựng 1-dạng quy kiểu Wronskian đường cong đại số Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án góp phần làm sáng tỏ vấn đề phương trình đa thức hai biến trường đóng đại số có nghiệm hàm hữu tỷ, hàm phân hình khác Luận án tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh, giúp ích cho việc xây dựng nhóm nghiên cứu giải tích phức, số học hình học đại số Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án Bài tốn giải phương trình Diophant từ lâu ln hấp dẫn nhà tốn học Một tốn khó tiếng Bài tốn Fermat: khơng tồn nghiệm ngun khác không x, y z thoả mãn xn + y n = z n , n số nguyên lớn Bài toán Fermat toán mở suốt ba kỷ vừa qua cuối chứng minh Andrew Wiles năm 1993 Bên cạnh việc xem xét nghiệm nguyên phương trình Diophant ban đầu với hệ số nguyên, người ta mở rộng hướng nghiên cứu với việc xét phương trình Diophant trường hàm trường hàm phân hình phức, trường hàm phân hình khơng Acsimet, trường hàm hữu tỷ Cho phương trình P (x) = Q(y), P Q đa thức biến trường đóng đại số k Có hai vấn đề đặt cách tự nhiên: Thứ nhất, tồn hay không hàm f g khác thoả mãn phương trình P (f ) = Q(g)? Thứ hai, vấn đề phân tích đa thức P (x) − Q(y) thành nhân tử bất khả quy tính hữu hạn nghiệm nguyên đa thức k trường số Liên quan tới hướng nghiên cứu ta có kết Faltings Picard Khi k trường số phức, Định lý Picard nói phương trình P (f ) = Q(g) khơng có nghiệm hàm phân hình khác f g đường cong phẳng P (x) = Q(y) khơng có thành phần bất khả quy có giống Tương tự, định lý Faltings nói đường cong phẳng P (x) = Q(y) khơng có thành phần bất khả quy có giống bé 2, với trường số k mà P Q xác định, phương trình P (x) = Q(y) có hữu hạn nghiệm k- hữu tỷ Như vậy, thực chất hai vấn đề hai hướng nghiên cứu nêu có liên quan chặt chẽ với Cả hai hướng nghiên cứu liên quan đến vấn đề nêu D Hilbert toán thứ 10 ông Đại hội Toán học giới lần thứ hai Paris năm 1900, tồn hay khơng thuật tốn tổng qt để giải phương trình Diophant? Câu trả lời phủ định đưa Yu Matijasievich năm 1970 Như vậy, vấn đề nhà tốn học quan tâm tìm điều kiện đa thức P Q để phương trình P (x) = Q(y) có hữu hạn nghiệm nguyên, xem xét tính bất khả quy đa thức P (x) − Q(y), đồng thời xem xét tồn nghiệm hàm khác phương trình P (x) = Q(y) Những vấn đề thu hút nhiều tác giả nghiên cứu Khi bậc P Q nguyên tố nhau, theo tiêu chuẩn Ehrenfeucht, đường cong P (x) − Q(y) bất khả quy Trong số trường hợp đặc biệt với giả thiết P khơng phân tích (nghĩa là, P khơng thể viết dạng hợp thành hai đa thức có bậc lớn 1), Tverberg xác định P (x) − P (y) chứa nhân tử x−y tuyến tính bậc hai Tương tự, Bilu xác định tất cặp đa thức cho P (x) − Q(y) chứa nhân tử bậc hai Trong trường hợp đa thức Q = cP với c khác 0, toán với phương trình hàm P (f ) = cP (g) giải trọn vẹn Trong trường hợp tổng quát, tốn tìm điều kiện để đường cong P (x) − Q(y) = khơng có nhân tử có giống nhiều vấn đề cần quan tâm J F Ritt U M Zannier đưa số điều kiện cần để đường cong P (x) − Q(y) = khơng có nhân tử có giống Sau đó, R M Avanzi, U M Zannier đưa điều kiện cần để đường cong P (x) − Q(y) = khơng có nhân tử có giống Bằng cách sử dụng lý thuyết kỳ dị tính tốn giống đường cong đại số dựa vào đa giác Newton, H H Khoái C C Yang đưa số điều kiện đủ bậc P Q Trong trường số phức, điều kiện chi tiết bậc P Q 2, 3, xác định C C Yang P Li Với trường hợp trường số phức, R M Avanzi U M Zannier mơ tả đường cong có dạng P (x) = P (y) có giống Khi đa thức P thoả mãn Giả thiết I Fujimoto (tức P đơn ánh tập nghiệm đạo hàm P ), đặc trưng đầy đủ đường cong P (x) − cP (y) = có tất thành phần bất khả quy có giống đưa ra, c số phức khác Năm 2008, T T H An A Escassut xem xét vấn đề trường không Acsimet Họ đưa điều kiện đủ P Q thoả mãn Giả thiết I, điều kiện cần đủ P Q có bậc Cho đến nay, vấn đề thiết lập đặc trưng đầy đủ đường cong khơng có nhân tử có giống bé vấn đề mở Để tiếp cận toán nêu trên, người ta thường sử dụng hai phương pháp Phương pháp thứ dùng Lý thuyết phân bố giá trị R Nevanlinna để đánh giá hàm đặc trưng Phương pháp thứ hai sử dụng kết cổ điển Lý thuyết số để nghiên cứu tính bất khả quy giống đường cong P (x) − Q(y) Tuy nhiên hai phương pháp có mặt hạn chế Năm 2003, T T H An, J T Y Wang P M Wong đưa phương pháp tiếp cận mới, xây dựng 1-dạng quy không tầm thường Với phương pháp này, tác giả khơng cần quan tâm đến tính bất khả quy đường cong, đồng thời việc ước lượng, tính tốn đơn giản nhờ vào việc xem xét điểm kỳ dị đường cong Tiếp tục sử dụng phương pháp nói T T H An, J T Y Wang P M Wong, luận án này, đưa số điều kiện đủ để đường cong phẳng P (x) = Q(y) thành phần bất khả quy có giống 1, P Q đa thức biến trường số phức Khi hai đa thức thoả mãn Giả thiết I Fujimoto có bậc nhau, đưa điều kiện cần đủ để đường cong phẳng có thành phần bất khả quy có giống Khi k trường đóng đại số có đặc số 0, C đường cong trơn có giống g k, K trường hàm nó, chúng tơi đưa số điều kiện P Q cho f g phần tử K thoả mãn phương trình P (f ) = Q(g), độ cao f g bị chặn Từ chúng tơi đưa điều kiện P, Q để phương trình P (x) = Q(y) có nghiệm hàm hữu tỷ khác 7.2 Cấu trúc luận án Nội dung luận án trình bày ba chương Chương 1, chúng tơi trình bày kiến thức đa tạp đại số, cấu xạ đa tạp, đường cong phẳng, khơng gian hyperbolic, làm sở cho việc trình bày chương sau Chương 2, nghiên cứu nhân tử bất khả quy có giống thấp đường cong xác định đa thức biến tách trường số phức Cụ thể chúng tơi trình bày số điều kiện đủ để thành phần bất khả quy đường cong P (x) = Q(y) có giống lớn 1; thiết lập điều kiện cần đủ để đường cong P (x) = Q(y) có thành phần bất khả quy có giống 1, với P Q đa thức biến trường số phức; trình bày số ứng dụng ví dụ cụ thể tồn khơng tồn nghiệm hàm phân hình khác phương trình P (x) = Q(y) Chương 3, chúng tơi trình bày kết độ cao hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách Cụ thể kết chặn độ cao hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách P (x) = Q(y) với P, Q đa thức biến trường đóng đại số có đặc số Đồng thời, chúng tơi trình bày điều kiện để phương trình biến tách có nghiệm hàm hữu tỷ khác Các kết luận án đăng tạp chí: International Journal of Mathematics, Journal of Number Theory, Journal of Science Vinh university CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức dùng việc nghiên cứu toán chương sau, bao gồm bốn mục Trong mục 1.1, nhắc lại số khái niệm đa tạp đại số Trong mục 1.2, chúng tơi trình bày cấu xạ đa tạp Cụ thể khái niệm hàm đa thức, ánh xạ đa thức, cấu xạ đa tạp, ánh xạ hữu tỷ, ánh xạ song hữu tỷ đa tạp, đa tạp tương đương song hữu tỷ Trong mục 1.3, chúng tơi trình bày khái niệm đường cong phẳng: thành phần đa thức xác định đường cong phẳng, phân tích đường cong phẳng thành thành phần bất khả quy, hoá đa thức xác định đường cong phẳng, điểm đơn, điểm kỳ dị đường cong Trong mục 1.4, chúng tơi trình bày ngắn gọn không gian hyperbolic với khái niệm không gian hyperbolic Kobayashi không gian hyperbolic Brody CHƯƠNG CÁC NHÂN TỬ BẤT KHẢ QUY CÓ GIỐNG THẤP CỦA ĐƯỜNG CONG TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC Trong chương này, đưa số điều kiện đủ để thành phần bất khả quy đường cong phẳng P (x) = Q(y) có giống lớn 1, P Q đa thức biến trường số phức C Khi hai đa thức P, Q thoả mãn Giả thiết I Fujimoto có bậc nhau, đưa điều kiện cần đủ 2.1 Phương pháp xây dựng 1-dạng quy kiểu Wronskian Giả sử F (z0 , z1 , z2 ) đa thức bậc n C C đường cong đại số (có thể khả quy) P2 (C) xác định F (z0 , z1 , z2 ) C = {[z0 , z1 , z2 ] ∈ P2 (C) | F (z0 , z1 , z2 ) = 0} Đặt W (zi , zj ) := zi zj = zi dzj − zj dzi dzi dzj Theo Định lý Euler, với [z0 , z1 , z2 ] ∈ C , ta có z0 ∂F ∂F ∂F (z0 , z1 , z2 ) + z1 (z0 , z1 , z2 ) + z2 (z0 , z1 , z2 ) = ∂z0 ∂z1 ∂z2 (2.1) Phương trình siêu phẳng tiếp xúc với C điểm [z0 , z1 , z2 ] ∈ C xác định dz0 ∂F ∂F ∂F (z0 , z1 , z2 ) + dz1 (z0 , z1 , z2 ) + dz2 (z0 , z1 , z2 ) = ∂z0 ∂z1 ∂z2 (2.2) 11 Không tính tổng qt, ta ln giả thiết n ≥ m Nếu hai đa thức P Q tuyến tính, chẳng hạn P (x) = ax + b, a b a ( Q(f ) − , f ) nghiệm phương trình P (x) = Q(y), f hàm phân hình khác Vì vậy, từ luôn giả sử P Q đa thức khơng tuyến tính Giả sử F (z0 , z1 , z2 ) đa thức bậc n P (x) − Q(y), C đường cong xác định F (z0 , z1 , z2 ) = P2 (C) Ta có n n−n n−n n n n n−1 F (z0 , z1 , z2 ) = a0 z2 + a1 z0 z2 + + an0 −1 z0 −1 z2 +1 + an0 z0 z2 + an z0 m n−m n−m m n m n−m n−1 − b0 z2 − b1 z1 z2 − − bm0 −1 z1 −1 z2 +1 − bm0 z1 z2 − bm z1 z2 Ký hiệu P (z0 , z2 ) Q (z1 , z2 ) đa thức đa thức P (x) Q (y) tương ứng Khi đó, ∂F = P (z0 , z2 ) = nan (z0 − α1 z2 )p1 (z0 − αl z2 )pl , ∂z0 ∂F n−m n−m = z2 Q (z1 , z2 ) = mbm z2 (z1 − β1 z2 )q1 (z1 − βh z2 )qh , ∂z1 ∂F m n n−m −1 m m [sz2 −n0 z0 + tz2 −m z1 + z2 E(z0 , z1 , z2 )] = z2 ∂z2 s := (n − n0 )an0 t := −(n − m0 )bm0 số mà st = 0, E(z0 , z1 , z2 ) đa thức bậc m − 1, m = max{n0 , m0 } n = m m = max{n0 , m} n > m, m = m0 n = m m = m n > m 2.2.3 Bổ đề Các điểm kỳ dị đường cong xạ ảnh C (αi : βj : 1), αi , βj thoả mãn P (αi ) = Q(βj ), với ≤ i ≤ l, ≤ j ≤ h (0 : : 0) Hơn nữa, n = m đường cong khơng có kỳ dị (0 : : 0) Để phát biểu kết rõ ràng, ta cần ký hiệu sau 2.2.4 Ký hiệu Ta đặt: A0 := {(i, j) | ≤ i ≤ l, ≤ j ≤ h, P (αi ) = Q(βj )}, A1 := {(i, j) | (i, j) ∈ A0 , pi > qj }, A2 := {(i, j) | (i, j) ∈ A0 , pi < qj } l0 := #A0 12 2.2.5 Định nghĩa Đa thức P (x) gọi thoả mãn Giả thiết I P (αi ) = P (αj ) với i = j, i, j = 1, 2, , l, hay nói cách khác, P đơn ánh tập nghiệm đạo hàm P 2.2.6 Bổ đề Giả sử P (x) Q(y) thoả mãn Giả thiết I Khi đó, với i, ≤ i ≤ l, tồn nhiều j , ≤ j ≤ h, cho P (αi ) = Q(βj ) Hơn nữa, l0 ≤ min{l, h} Theo Bổ đề 2.2.6, đa thức P Q thoả mãn Giả thiết I, khơng tính tổng qt ta giả sử A0 = {(1, τ (1)), , (l0 , τ (l0 ))}, A1 = {(1, τ (1)), , (l1 , τ (l1 ))} Gọi Li,j , ≤ i = j ≤ l0 , dạng tuyến tính đường thẳng qua hai điểm (αi , βτ (i) , 1) (αj , βτ (j) , 1) Lưu ý Li,j xác định βτ (i) − βτ (j) (z0 − αj z2 ) αi − αj βτ (i) − βτ (j) = (z1 − βτ (i) z2 ) − (z0 − αi z2 ) αi − αj Li,j : = (z1 − βτ (j) z2 ) − Một ánh xạ chỉnh hình φ = (φ0 , φ1 , φ2 ) : ∆ = {t ∈ C | |t| < } −→ C, φ(0) = p gọi tham số hố chỉnh hình C p Một tham số hố chỉnh hình địa phương ln tồn với đủ bé Một hàm hữu tỷ Q đường cong C biểu diễn dạng A/B A B đa thức theo z0 , z1 , z2 cho B|C không đồng khơng Vì vậy, Q ◦ φ hàm phân hình xác định tốt ∆ với khai triển Laurent ∞ t i , Q ◦ φ(t) = am = i=m Ta nói bậc Q ◦ φ t = m ký hiệu ordp,φ Q = ordt=0 Q(φ(t)) (2.6) Không sợ nhầm lẫn, ta viết ordp Q thay viết ordp,φ Q với tham số hố chỉnh hình C 13 2.2.7 Bổ đề Giả sử pi = (αi , βτ (i) , 1) ∈ C, i = 1, , l0 (1) Giả sử Li,j , ≤ i = j ≤ l0 , không đồng không thành phần C Khi đó, ordpi Li,j ≥ min{ordpi (z0 − αi z2 ), ordpi (z1 − βτ (i) z2 )}, với tham số hoá địa phương pi với tham số hoá địa phương pj ordpj Li,j ≥ min{ordpj (z0 − αj z2 ), ordpj (z1 − βτ (j) z2 )} (2) (pi + 1) ordpi (z0 − αi z2 ) = (qτ (i) + 1) ordpi (z1 − βτ (i) z2 ) (3) ordpi W (z1 , z2 ) ≥ ordpi (z1 − βτ (i) z2 ) − 2.3 Một số điều kiện đủ để thành phần bất khả quy đường cong P (x) = Q(y) có giống lớn Trong mục đưa điều kiện đủ để thành phần bất khả quy đường cong P (x) = Q(y) có giống lớn 2.3.1 Các đa thức thoả mãn Giả thiết I Trong mục ta giả thiết đa thức P Q thoả mãn Giả thiết I 2.3.1 Định lý Giả sử P (x) Q(y) thoả mãn Giả thiết I P (x) − Q(y) khơng có nhân tử tuyến tính Nếu (pi − qj ) + (i,j)∈A1 pi ≥ n − m + 3, 1≤i≤l,(i,j)∈A0 / thành phần bất khả quy đường cong P (x) − Q(y) = có giống 2.3.2 Hệ Với điều kiện Định lý 2.3.1, đường cong P (x) − Q(y) = khơng có nhân tử có giống (qj − pi ) + (i,j)∈A2 qj ≥ 1≤j≤h,(i,j)∈A0 / Bổ đề sau cần dùng cho chứng minh Định lý 2.3.1 14 2.3.3 Bổ đề Trên đường cong C , khẳng định sau (1) Với j ∈ {l0 + 1, , l}, η1 := W (z1 , z2 ) quy điểm hữu hạn (z0 − αj z2 )pj (tức điểm mà z2 = 0) (2) Cho i ∈ {1, 2, , l0 } Khi đó, η2 := (z1 − βτ (i) z2 )qτ (i) W (z1 , z2 ) quy (z0 − αi z2 )pi điểm hữu hạn (3) Nếu |pi −qτ (i) | ≤ 2, η3 := ngoại trừ pi = qτ (i) (z1 − βτ (i) z2 )W (z1 , z2 ) quy pi = (αi , βτ (i) , 1), (z0 − αi z2 ) = (4) Cho i, j ∈ {1, 2, , l0 } số nguyên u, v, ta đặt ζu,v Lu W (z1 , z2 ) i,j := (z0 − αi z2 )v Khi đó, (a) ζu,v quy pi = (αi , βτ (i) , 1) |pi − qτ (i) | ≤ 1, u ≥ v pi ≥ v Hơn nữa, ζ2,1 quy pi = (αi , βτ (i) , 1) |pi − qτ (i) | ≤ (b) ζ1,2 ζ2,3 quy pi = (αi , βτ (i) , 1) pi = qτ (i) + 2.3.2 Các đa thức không thoả mãn Giả thiết I Trong mục này, đưa điều kiện đa thức P Q không thoả mãn Giả thiết I 2.3.4 Định lý Giả sử m = n n ≥ max{n0 , m0 } + Giả sử P (x) − Q(y) khơng có nhân tử tuyến tính Khi đó, thành phần bất khả quy đường cong P (x) = Q(y) có giống lớn 2.4 Điều kiện cần đủ để đường cong P (x) = Q(y) có thành phần bất khả quy có giống 2.4.1 Bội giao Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm bội giao, tính chất bội giao bổ đề cần dùng cho phép chứng minh phía sau 15 2.4.3 Định lý (Định lý Bezout) Cho F G đường cong phẳng xạ ảnh có bậc tương ứng m n Giả sử F G khơng có thành phần chung Khi đó, I(P, F ∩ G) = m n P 2.4.4 Định nghĩa Cho R(z0 , z1 , z2 ) = đường cong bậc degR C Ký hiệu δR số khuyết đường cong phẳng R(z0 , z1 , z2 ) = 0, nghĩa 1 δR = (deg R − 1)(deg R − 2) − 2 mp (mp − 1) p đó, tổng lấy tất điểm thuộc R(z0 , z1 , z2 ) = mp số bội R(z0 , z1 , z2 ) = p 2.4.5 Bổ đề Giả sử C đường cong bậc n P2 (C) (1) Nếu C có điểm kỳ dị tắc bội µ, µ n − n − 2, C bất khả quy (2) Nếu C có hai điểm kỳ dị tắc có bội tương ứng n − 2, C có thành phần tuyến tính 2.4.2 Phép biến đổi tồn phương Trong mục chúng tơi trình bày kiến thức sở phép biến đổi toàn phương bổ đề cần cho việc chứng minh định lý mục 2.4.3 2.4.11 Bổ đề Giả sử đường cong C = {F (z0 , z1 , z2 ) = 0} có điểm kỳ dị (α1 , βτ (1) , 1) thoả mãn p1 = qτ (1) = Khi đó, đường cong C song hữu tỷ với đường cong R(z0 , z1 , z2 ) = có điểm kỳ dị tắc Hơn nữa, δR = δC − 2.4.3 Điều kiện cần đủ để đường cong P (x) = Q(y) có thành phần bất khả quy có giống Khi hai đa thức P Q thoả mãn Giả thiết I có bậc nhau, chúng tơi đưa điều kiện cần đủ để đường cong P (x) = Q(y) có thành phần bất khả quy có giống Điều kiện thể định lý sau 16 2.4.12 Định lý Giả sử P Q đa thức thoả mãn Giả thiết I degP = degQ Khi đó, đường cong P (x) = Q(y) có thành phần bất khả quy có giống P Q thoả mãn điều kiện sau (1) P (x) − Q(y) có nhân tử tuyến tính (2) n = n = (3) n = tồn hai số i cho P (αi ) = Q(βi ) tồn i cho P (αi ) = Q(βi ) |pi − qi | = (4) n = p1 +1, l = 1, h = 2, p1 = q1 +1, q2 = P (α1 ) = Q(β1 ); n = p1 +2, h = 1, l = 2, q1 = p1 + 1, p2 = P (α1 ) = Q(β1 ) (5) l = h = 2, p2 = q2 = 1, p1 = q1 , n = p1 + P (α1 ) = Q(β1 ) (6) n = 5, l0 = l = h = 3, p3 = p2 = q2 = q3 = 1, p1 = q1 = 2, P (αi ) = Q(βi ), với i = 1, 2, (7) n = 5, l0 = l = h = 2, pi = qi = 2, P (αi ) = Q(βi ), với i = 1, Bổ đề sau cần dùng cho chứng minh Định lý 2.4.12 2.4.13 Bổ đề Giả sử đường cong C khơng có nhân tử tuyến tính Nếu điều kiện sau thành phần bất khả quy C có giống lớn l1 l (a) l0 ≥ pi = 2; (pi − qτ (i) ) + i=1 i=l0 +1 l (b) l0 ≥ pi = 2, ngoại trừ trường hợp l0 = p1 = 1, qτ (1) = 3; i=l0 +1 (c) l0 ≥ l = l0 + 1, trừ l0 = 2, pl0 +1 = p1 = p2 = 2.5 Một số ứng dụng ví dụ 2.5.1 Định lý (Định lý Picard) Khơng có ánh xạ chỉnh hình khác f từ C vào đường cong C P2 (C) thành phần bất khả quy đường cong C có giống 2.5.2 Định lý (Định lý Faltings) Giả sử C đường cong xác định trường số k có giống g(C) ≥ Khi đó, C có hữu hạn điểm k-hữu tỷ 17 Áp dụng Định lý Picard Định lý Faltings, từ Định lý 2.3.1, 2.3.4 2.4.12 ta có kết sau 2.5.3 Hệ Giả sử P (x) Q(y) thoả mãn Giả thiết I, P (x) − Q(y) khơng có nhân tử tuyến tính C đường cong P2 (C) xác định đa thức P (x) − Q(y) Giả sử (pi − qj ) + (i,j)∈A1 pi ≥ n − m + 1≤i≤l,(i,j)∈A0 / Khi đó, (1) Đường cong C hyperbolic Brody (2) Đường cong C hyperbolic Kobayashi (3) Phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm phân hình khác (4) Đường cong C có hữu hạn điểm hữu tỷ 2.5.4 Hệ Giả sử n = m n ≥ max{n0 , m0 } + Giả sử P (x) − Q(y) khơng có nhân tử tuyến tính C đường cong P2 (C) xác định đa thức P (x) − Q(y) Khi đó, (1) Đường cong C hyperbolic Brody (2) Đường cong C hyperbolic Kobayashi (3) Phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm phân hình khác (4) Đường cong C có hữu hạn điểm hữu tỷ 2.5.5 Hệ Giả sử P Q đa thức thoả mãn Giả thiết I, degP = degQ C đường cong P2 (C) xác định đa thức P (x) − Q(y) Khi đó, (1) Đường cong C hyperbolic Brody, (2) Đường cong C hyperbolic Kobayashi, (3) Phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm phân hình khác hằng, (4) Đường cong C có hữu hạn điểm hữu tỷ P Q không thoả mãn điều kiện sau: (1) P (x) − Q(y) có nhân tử tuyến tính 18 (2) n = n = (3) n = tồn hai số i cho P (αi ) = Q(βi ) tồn i cho P (αi ) = Q(βi ) |pi − qi | = (4) n = p1 +1, l = 1, h = 2, p1 = q1 +1, q2 = P (α1 ) = Q(β1 ); n = p1 +2, h = 1, l = 2, q1 = p1 + 1, p2 = P (α1 ) = Q(β1 ) (5) l = h = 2, p2 = q2 = 1, p1 = q1 , n = p1 + P (α1 ) = Q(β1 ) (6) n = 5, l0 = l = h = 3, p3 = p2 = q2 = q3 = 1, p1 = q1 = 2, P (αi ) = Q(βi ), với i = 1, 2, (7) n = 5, l0 = l = h = 2, pi = qi = 2, P (αi ) = Q(βi ), với i = 1, 2.5.6 Ví dụ Phương trình −3x9 + 5x8 = 7y + y khơng có nghiệm hàm phân hình khác Sau chúng tơi đưa ví dụ để chứng tỏ điều kiện giả thiết Định lý 2.3.4 khơng thoả mãn phương trình P (x) = Q(y) có nghiệm hàm phân hình khác Điều chứng tỏ điều kiện đủ mà đưa Định lý 2.3.4 chặt 2.5.7 Ví dụ Phương trình −3x6 + 11x5 = 7y − y ln có nghiệm hàm phân hình khác Hơn nữa, điều kiện thứ giả thiết Định lý 2.3.4 không thoả mãn 2.5.8 Ví dụ Cho P (x) đa thức bậc n C[x] P (x) − y n khơng có nhân tử tuyến tính Giả sử P (x) có đạo hàm P (x) = a(x − α1 )p1 (x − α2 )p2 (x − αl )pl , l ≥ P (x) thoả mãn Giả thiết I Khi đó, P (αi ) = 0, ≤ i ≤ l p2 + p3 + + pl ≥ 3, đường cong C = [P (x) − y n = 0] hyperbolic Brody phương trình P (f ) = g n khơng có nghiệm hàm phân hình khác Tương tự Ví dụ 2.5.7, chúng tơi đưa ví dụ để chứng tỏ điều kiện giả thiết Định lý 2.3.1 khơng thoả mãn phương trình P (x) = Q(y) có nghiệm hàm phân hình khác 2.5.9 Ví dụ (a) Phương trình −3x9 + x7 = 7y có nghiệm hàm phân hình khác (b) Phương trình −3x12 + x8 = 7y có nghiệm hàm phân hình khác 19 CHƯƠNG ĐỘ CAO CỦA CÁC HÀM HỮU TỶ THOẢ MÃN PHƯƠNG TRÌNH BIẾN TÁCH Cho k trường đóng đại số có đặc số 0, P Q đa thức biến trường k Giả sử C đường cong trơn có giống g k, K trường hàm Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tốn tìm nghiệm hàm hữu tỷ phương trình biến tách P (x) = Q(y) Theo hệ trực tiếp Định lý Hurwitz khơng tồn ánh xạ phân hình khác từ đường cong C có giống g vào đường cong C có giống lớn g Do đó, giống đường cong C lớn phương pháp sử dụng chương khơng cịn phù hợp Vì vậy, để giải tốn phương trình biến tách cho đối tượng hàm hữu tỷ, sử dụng lý thuyết độ cao Với việc đưa phương pháp này, T T H An J T Y Wang (2007) số điều kiện đủ đa thức P thoả mãn Giả thiết I cho độ cao f g bị chặn với f, g ∈ K thoả mãn P (f ) = cP (g), đồng thời đưa điều kiện đa thức P để phương trình P (f ) = cP (g) khơng có nghiệm hàm hữu tỷ khác Trong chương này, sử dụng phương pháp hai tác giả để xem xét phương trình biến tách tổng quát có dạng P (x) = Q(y) đưa số điều kiện P Q cho f g phần tử K thoả mãn phương trình P (f ) = Q(g), độ cao f g bị chặn Từ đó, chúng tơi đưa điều kiện P, Q để phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm hữu tỷ khác 20 3.1 Một số kết bổ trợ Với điểm p ∈ C, ta có hàm bậc p vp := ordp : K → R ∪ {∞} 3.1.1 Định nghĩa Với phần tử khác không f ∈ K, độ cao h(f ) đếm số cực điểm f kể số bội, tức − min{0, vp (f )} h(f ) := p∈C Với [f, g] ∈ P1 (K), độ cao xác định − min{vp (f ), vp (g)} h(f, g) := p∈C Trong suốt chương này, giả sử P (x) Q(y) đa thức khác trường k, có bậc tương ứng n m Nếu hai đa thức P Q tuyến tính, chẳng hạn P (x) = ax + b, b a a ( Q(f ) − , f ) nghiệm phương trình P (x) = Q(y), f phần tử khác K Vì vậy, từ luôn giả sử P Q đa thức khơng tuyến tính Khơng tính tổng qt, ta giả sử n ≥ m Ta ký hiệu α1 , α2 , , αl β1 , β2 , , βh nghiệm phân biệt P (x) Q (y) tương ứng Ta dùng p1 , p2 , , pl q1 , q2 , , qh để ký hiệu số bội nghiệm P (x) Q (y) tương ứng Khi đó, với a, b k, P (x) = a(x − α1 )p1 (x − α2 )p2 (x − αl )pl , Q (y) = b(y − β1 )q1 (y − β2 )q2 (y − βh )qh Để đơn giản ký hiệu, với i ≥ 1, t ∈ K \ k η ∈ K, ta ký hiệu di η := t di η , dti di η := p di η dti p 3.1.2 Mệnh đề Giả sử η = ∈ K [f, g] ∈ P1 (K) Ta có (1) vp (dp η) = 2g − η không hàm p∈C 21 (2) vp (η) = p∈C (3) h(ηf, ηg) = h(f, g) Để nghiên cứu điều kiện đủ để phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm hữu tỷ khác hằng, ý tưởng sau Giả sử có hai hàm hữu tỷ khác phân biệt f g K cho P (f ) = Q(g) Chúng nghiên cứu độ cao f g đưa chặn h(f ) h(g) Đầu tiên đưa chặn h(P (f ), Q (g)) nhờ bổ đề sau 3.1.3 Bổ đề Giả sử f g hàm hữu tỷ khác phân biệt K cho P (f ) = Q(g) Khi đó, (1) n h(f ) = m h(g) 0 min{vp (dp f ), vp (dp g)} ≤ (2) h(P (f ), Q (g)) + p∈C m+n h(f ) + 2g − 2, m vp (η) := max{0, vp (η)} với η ∈ K∗ 3.1.4 Nhận xét Ta lưu ý Bổ đề 3.1.3 đưa chặn h(P (f ), Q (g)) : m+n h(P (f ), Q (g)) ≤ h(f ) + 2g − (3.1) m Để chứng minh kết chương này, cần thêm số bổ đề sau 3.1.5 Bổ đề Giả sử f g hàm hữu tỷ khác phân biệt K cho P (f ) = Q(g) Khi đó, − min{vp (P (f )), vp (Q (g))} = (n − 1) h(f ) = (n − 1) p∈C,vp (f ) vp (g − βj ) > điểm p ∈ C, (pi + 1)vp (f − αi ) = (qj + 1)vp (g − βj ) 22 3.2 Chặn độ cao hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách Trong mục chúng tơi trình bày kết cận độ cao hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách Đồng thời, đưa điều kiện đủ để phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm hữu tỷ khác 3.2.1 Định lý Giả sử f g hai hàm hữu tỷ khác phân biệt K cho P (f ) = Q(g) Đặt B0 = {i | ≤ i ≤ l, P (αi ) = Q(βj ) với j = 1, , h}, B1 = {i | ≤ i ≤ h, Q(βi ) = P (αj ) với j = 1, , l} Khi đó, (1) n h(f ) = m h(g) pi − m+n m qi − (2) 2m n i∈B0 (3) i∈B1 h(f ) ≤ 2g − h(g) ≤ 2g − Từ Định lý 3.2.1, chúng tơi đưa điều kiện để có cận độ cao f g Đồng thời, đưa điều kiện đủ để phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm hữu tỷ khác 3.2.2 Hệ Với giả thiết Định lý 3.2.1 (1) Nếu pi − i∈B0 m+n > m qi − i∈B1 2m > 0, độ cao f g bị n chặn trên; (2) Nếu pi − i∈B0 m+n > max{0, 2g − 2} m qi − i∈B1 2m > max{0, 2g − 2}, f n g 3.3 Phương trình biến tách P (x) = Q(y) với P, Q thoả mãn Giả thiết I Trong mục này, chúng tơi trình bày kết cận độ cao hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách P (x) = Q(y) với P, Q thoả 23 mãn Giả thiết I Đồng thời, đưa điều kiện đủ để phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm hữu tỷ khác trường hợp P, Q thoả mãn Giả thiết I 3.3.1 Định lý Giả sử P (x) Q(y) thoả mãn Giả thiết I Giả sử f g hai hàm hữu tỷ khác phân biệt K cho P (f ) = Q(g) Khi đó, pi − (i,j)∈A1 n qj + m pi − 1≤i≤l,(i,j)∈A0 / m+n m h(f ) ≤ 2g − Từ Định lý 3.3.1, đưa điều kiện đủ để phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm hữu tỷ khác 3.3.2 Hệ Giả sử P (x) Q(y) thoả mãn Giả thiết I Giả sử f g hàm hữu tỷ K cho P (f ) = Q(g) Nếu (pi − (i,j)∈A1 n qj ) + m pi − 1≤i≤l,(i,j)∈A0 / m+n > max{0, 2g − 2}, m f g 3.4 Điều kiện để phương trình biến tách có nghiệm hàm hữu tỷ khác Trong trường hợp đặc biệt, giống g = bậc P Q nhau, đưa điều kiện cần đủ để phương trình P (x) = Q(y) có nghiệm hàm hữu tỷ khác hằng, thể định lý sau 3.4.1 Định lý Giả sử g = 0, P (x), Q(y) thoả mãn Giả thiết I n = m Khi đó, tồn hai hàm hữu tỷ f g khác K thoả mãn P (f ) = Q(g) P (x) Q(y) thoả mãn điều kiện sau (A) P (x) − Q(y) có nhân tử tuyến tính (B) l = 1, h = 2, p1 = q1 + 1, q2 = P (α1 ) = Q(β1 ); h = 1, l = 2, q1 = p1 + 1, p2 = P (α1 ) = Q(β1 ) (C) l = h = 2, p2 = q2 = 1, p1 = q1 P (α1 ) = Q(β1 ) (D) l = h = 3, pi = qi = với i = 1, 2, P (αi ) = Q(βi ) với i = 1, 2, (sau thay đổi số) (E) l = h = p1 = q1 = 24 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Luận án thu kết sau: Đưa điều kiện đủ để phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm phân hình khác hằng, P Q đa thức biến trường số phức Thiết lập điều kiện cần đủ để đường cong P (x) − Q(y) có thành phần bất khả quy có giống hai đa thức P Q thoả mãn Giả thiết I Fujimoto có bậc Chỉ số điều kiện để có cận độ cao h(f ) h(g), f, g hàm hữu tỷ thoả mãn P (f ) = Q(g); đồng thời đưa điều kiện đủ để phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm hữu tỷ khác với P, Q đa thức biến trường đóng đại số đặc số Đưa điều kiện đa thức P Q thoả mãn Giả thiết I Fujimoto để độ cao h(f ) h(g) bị chặn với f, g hàm hữu tỷ thoả mãn P (f ) = Q(g) Từ thu điều kiện đủ để phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm hữu tỷ khác với P, Q thoả mãn Giả thiết I Fujimoto Thiết lập điều kiện cần đủ để phương trình P (x) = Q(y) có nghiệm hàm hữu tỷ khác trường hợp đường cong C có giống g = đa thức P, Q bậc, thoả mãn Giả thiết I Fujimoto Kiến nghị Trong thời gian tới tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau: Tìm điều kiện cần đủ để đường cong P (x) − Q(y) có thành phần bất khả quy có giống đa thức P Q không thiết thoả mãn Giả thiết I Fujimoto điều kiện bậc Nghiên cứu tồn nghiệm hàm hữu tỷ phương trình P (x) = Q(y) trường hợp đường cong C có giống g = đa thức P, Q không thoả mãn Giả thiết I Fujimoto điều kiện bậc DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA NGHIÊN CỨU SINH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] T T H An and N T N Diep (2012), Heights of function field points on curves given by equations with separated variables, International Journal of Mathematics, 23 (9), 1250089 (18 pages) DOI: 10.1142/SO129167X12500899 [2] T T H An and N T N Diep (2013), Genus one factors of curves defined by separated variable polynomials, Journal of Number Theory, 133, 2616–2634 [3] N T N Diep (2012), A method of constructing regular 1-forms of Wronskian type, Vinh University Journal of Science , 41 (3A), 26–30 [4] N T N Diep (2012), A special case of functional equation, Vinh University Journal of Science, 41 (4A), 33–36 ... trình bày cấu xạ đa tạp Cụ thể khái niệm hàm đa thức, ánh xạ đa thức, cấu xạ đa tạp, ánh xạ hữu tỷ, ánh xạ song hữu tỷ đa tạp, đa tạp tương đương song hữu tỷ Trong mục 1.3, chúng tơi trình bày khái... thức trường hàm hữu tỷ ứng dụng Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu tồn nghiệm hàm hữu tỷ phương trình đa thức hai biến trường đóng đại số, đồng thời xem xét điều kiện để đa thức. .. cứu với việc xét phương trình Diophant trường hàm trường hàm phân hình phức, trường hàm phân hình khơng Acsimet, trường hàm hữu tỷ Cho phương trình P (x) = Q(y), P Q đa thức biến trường đóng đại