a = 1m K i = 1.8 q = 3 KN/m P 1 = K i qa = 5,4 KN M = K i qa 2 = 5,4 KNm Xác định phản lực gối tựa: • ΣX =0 ⇒ H A = 0 KN • ΣY =0 ⇒ V B + V C – P 1 – qa = 0 ⇒ V B + V C = K i qa + qa = (K i + 1)qa = (1,8 +1).3.1 = 8,4 KN • Σm B =0 ⇒ M – V C K i a – P 1 a – qa 2 /2 = 0 ⇒ V C K i a = -P 1 a - qa 2 /2 + M = -K i qa 2 - qa 2 /2 + K i qa 2 = -qa 2 /2 ⇒ V C = -qa/2Ki = -3.1/2.1,8 = -0,83 KN (ngược chiều giả thiết) 1 V B = 9,23KN 1m 1,8m 1m q D B C A M V C = -0,83 KN P 1 N z Q y M x + 8.4 KN 5.4 KN 0.83 KN 6,9 KNm 5,4 KNm A5 ⇒ V B = 9,23 KN Dùng mặt cắt 1-1 cắt đoạn AB cách A một khoảng 0 ≤ z 1 ≤ 1m. Xét phần bên trái. Dầm cân bằng ta có: • ΣX =0 ⇒ N z = 0 KN • ΣY =0 ⇒ Q y = -P 1 – qz 1 = (-5,4 - 3z 1 ) KN • Σm o =0 ⇒ M x = -P 1 z 1 – qz 1 2 /2 = -5,4z 1 - 1,5z 1 2 KNm Khi z 1 = 0: Q y = -5,4 KN M x = 0 KNm Khi z 1 = 1: Q y = -P 1 - qz 1 = -5,4 - 3 = -8,4 KN M x = -P 1 z 1 - qz 1 2 /2= -P 1 - q/2 = -6,9 KNm Dùng mặt cắt 2-2 cắt đoạn BC cách C một khoảng 0 ≤ z 2 ≤ 1,8m. Xét phần bên phải. Dầm cân bằng ta có: • ΣX =0 ⇒ N z = 0 KN • ΣY =0 ⇒ Q y = -V C = 0,83 KN • Σm o =0 ⇒ M x = V C z 2 - M = -0,83z 2 - 5,4 Khi z 2 = 0: Q y = 0,83 KN M x = -5,4 KNm Khi z 2 = 1,8: Q y = 0,83 KN M x = V C z 2 - M = 1,8.V C - M = -6,9KNm Dùng mặt cắt 3-3 cắt đoạn BC cách C một khoảng 0 ≤ z 3 ≤ 1m. Xét phần bên phải. Dầm cân bằng ta có: • ΣX =0 ⇒ N z = 0 KN • ΣY =0 ⇒ Q y = 0 KN • Σm o =0 ⇒ M x = - M = -5,4 KNm Kiểm tra lại: • AB o Qy  Q A = -P 1 = -5,4 KN  Q B = Q A - S q AB = -5,4 - 3.1= - 8,4 KN (q hướng xuống dưới) o Mx  M A = 0 KNm 2 M M x Q y N z z 3 M x Q y N z z 1 P 1 q M M x Q y N z z 2 V C = -0,83 KN  M B = M A + S Q AB = 0 + (-5,4 - 8,4)/2 = -6,9 KNm  |Q y | tăng trên AB ⇒ tga tăng. • BC o Qy  Q B = -5,4 + V A = -5,4 + 9,23 = 0,83 KN  Q C = Q B - S q BC = 0,83 - 0 = 0,83 KN o Mx  M B = -6,9 KNm  M C = M B + S Q BC = -6,9 + 0,83.1,8 = -5,4 KNm  |Q y | = const ⇒ tga không đổi. • CD o Qy  Q C = 0,83 - V C = 0,83 - 0,83 = 0 KN  Q D = Q C - S q CD = 0 - 0 = 0 KN o Mx  M C = -5,4 KNm  M D = M C + S Q CD = -5,4 + 0 = -5,4 KNm  |Q y | = 0 ⇒ tga = 0 3 B5 a = 3m b = 2,7m c = 1,2m K i = 1.8 q o = 3 KN/m P 1 = K i qa = 16,2 KN M = K i qa 2 = 48,6 KNm Xác định phản lực liên kết: • X =0 ⇒ H D = 0 KN • Y =0 ⇒ V D – P 1 – q o c = 0 ⇒ V D = P 1 +q o c = 16,2 + ½ .3.1,2 = 18 KN • m D =0 ⇒ M D + M - P 1 a - ½. q o c.1/3c = 0 ⇒ M D = -M + P 1 a + 1/6q o c 2 1,2m 2,7m 3,0m V D =18KN M D = 0,72 P 1 M q 0 =3 KN A B C D M x N z Q y 16,2 KN 18 KN Đường B2 Cực trị Đường B3 0,72 KN KN 19,44 KN KN 43,74 KN KN 4,86 KN KN 4 Q y z 1 M x N z A P 1 P 1 M q 1 =(z 3 /1,2).3= 2,5z 3 KN A B C M x Q y N z z 3 ⇒ M D = -48,6 + 16,2.3 + 1/6.3.1,2 2 ⇒ M D = 0,72 KNm Dùng mặt cắt 1-1 cắt đoạn AB cách A một khoảng 0 ≤ z 1 ≤ 0,3m. Xét phần bên trái. Dầm cân bằng ta có: • X =0 ⇒ Nz = 0 KN • Y =0 ⇒ Q y = -P 1 = -16,2 KN • m o =0 ⇒ M x = -P 1 z 1 = -16,2z 1 KNm  z 1 = 0 ⇒ M x = 0  z 1 = 0,3 ⇒ M x = -4,86 KNm Dùng mặt cắt 2-2 cắt đoạn BC cách B một khoảng 0 ≤ z 2 ≤ 1,5m. Xét phần bên trái. Dầm cân bằng ta có: • X =0 ⇒ N z = 0 KN • Y =0 ⇒ Q y = -16,2 KN • m o =0 ⇒ M x = -P 1 .z 2 + M - P 1 .0,3 = -16,2z 2 + 48,6 - 4,86 = -16,2z 2 + 43,74  z 2 = 0 ⇒ M x = 43,74 KNm  z 2 = 1,5 ⇒ M x = 19,44 KNm Dùng mặt cắt 3-3 cắt đoạn CD cách C một khoảng 0 ≤ z 3 ≤ 1,2m. Xét phần bên trái. Dầm cân bằng ta có: • X =0 ⇒ N z = 0 KN • Y =0 ⇒ Q y = -P 1 - ½.q 1 .z 3 = -16,2 -1,25z 3 2 • m o =0 ⇒ M x = -P 1 .z 3 -1/3z 3 .1/2.q 1 z 3 + M - P 1 .1,8 = -16,2z 3 -(5/12)z 3 3 + 48,6 - 29,16 = -(5/12)z 3 3 -16,2z 3 + 19,44 5 z 2 M x Q y N z P 1 M A B C5  Khi z 3 = 0 ⇒ M x = 19,44 KNm ⇒ Q y = -16,2 KN  Khi z 3 = 1,2 ⇒ M x = -0,72 KNm ⇒ Qy = -18 KN Kiểm tra lại: • AB o Qy  Q A = -P 1 = -16,2 KN  Q B = Q A - S q AB = -16,2 - 0 = - 16,2 KN o Mx  M A = 0 KNm  M B = M A + S Q AB = 0 -16,2.0,3 = -4,86 KNm  |Q y | = const  tga = const. • BC o Qy  Q B = -16,2 KN  Q C = Q B - S q BC = -16,2 - 0 = -16,2 KN o Mx  M B = -4,86 + M = -4,86 + 48,6 = 43,74 KNm  M C = M B + S Q BC = 43,74 - 16,2.1,5 = 19,44 KNm  |Q y | = const ⇒ tga không đổi. • CD o Qy  Q C = -16.2 KN  Q D = Q C - S q CD = -16,2 - ½.3.1,2 = -18 KN o Mx  M C = 19,44 KNm  M D = M C + S Q CD = 19.44 - 1,2 2 3 3 0 (16,2 +1,25z )dz ∫ = -0,72KNm  |Q y | = 0 ⇒ tga = 0 2m 2m 2m M P 2 q A B C D EF V A =13,5 H A =0,3 5,7=H F 6 M x Q y N z z 1 V A H A z 2 H A a = 2m K i = 1.8 q = 3 KN/m P 1 = K i qa = 10,80 KN P 2 = 1.25.P 1 = 13,50 KN M = K i qa 2 = 21,60 KNm H A = 0,3 KN V A = P 2 = 13,50 KN H F = 5,7 KN Xác định phản lực gối tựa: • ΣX =0 ⇒ H A - qa + H F = 0 KN ⇒ H F + H A = qa = 6 KN • ΣY =0 ⇒ V A – P2 = 0 ⇒ V A = P 2 = 13,50 KN • Σm A =0 ⇒ M - qa.a/2 - P 2 a + a.H F = 0 ⇒ H F = 1/a.(-M + qa.a/2 + P 2 a) = ½ (-21,6 + 6 + 13,50.2) H F = 5,7 KN ⇒ H A = 6 - K F = 6 - 5,7 H A = 0,3 KN Dùng mặt cắt 1-1 cắt đoạn AB cách A một khoảng 0 ≤ z 1 ≤ 2m. Xét phần bên trái. Dầm cân bằng ta có: • ΣX =0 ⇒ N z = -H A = -0,3 KN • ΣY =0 ⇒ Q y = V A = 13,50 KN • Σm o =0 ⇒ M x = V A .z 1 = 13,5z 1  Khi z 1 = 0 ⇒ M x = 0  Khi z 1 = 2 ⇒ M x = 27 KNm Dùng mặt cắt 2-2 cắt đoạn BC cách B một khoảng 0 ≤ z 2 ≤ 2m. Xét phần bên trái. Dầm cân bằng ta có: 7 M x Q y N z V A M A B • ΣX =0 ⇒ N z = -H A = -0,3 KN • ΣY =0 ⇒ Q y = V A = 13,50 KN • Σm o =0 ⇒ M x = V A .z 2 - M + V A .a =13,5z 2 + 5,4 KNm  Khi z 2 = 0 => M x = 5,4 KNm  Khi z 2 = 2 => M x = 32,4 KNm Dùng mặt cắt 3-3 cắt đoạn CD cách C một khoảng 0 ≤ z 3 ≤ 2m. Xét phần bên trên. Dầm cân bằng ta có: • ΣX =0 ⇒ N z = V A = 13,5 KN • ΣY =0 ⇒ Q y = H A - qz 3 = 0,3 - 3z 3 KN • Σm o =0 ⇒ M x = V A .2a + H A .z 3 - M - qz 3. z 3 /2 = 54 + 0,3.z 3 - 21,6 - 1,5.z 3 2 = 32,4 + 0,3.z 3 - 1,5.z 3 2 KNm  Khi z 3 = 0 ⇒ M x = 32,4 KNm ⇒ Q y = 0,3 KN  Khi z 3 = 2 ⇒ M x = 27 KNm ⇒ Q y = -5,7 KN  Khi z 3 = 0,1 ⇒ M xMax = 32,415 KNm Dùng mặt cắt 4-4 cắt đoạn DE cách E một khoảng 0 ≤ z 4 ≤ 2m. Xét phần bên trái. Dầm cân bằng ta có: M q A B C V A H A M x Q y N z z 3 8 M x Q y N z z 5 H F • ΣX =0 ⇒ N z = -H F = -5,7KN • ΣY =0 ⇒ Q y = -P 2 = -13,5 KN • Σm o =0 ⇒ M x = - P 2 .z 4 = -13,5.z 4  Khi z 4 = 0 => M x = 0 KNm  Khi z 4 = 2 => M x = -27 KNm Dùng mặt cắt 5-5 cắt đoạn FE cách F một khoảng 0 ≤ z 5 ≤ 2m. Xét phần bên trái. Dầm cân bằng ta có: • ΣX =0 ⇒ N z = -H F = -5,7 KN • ΣY =0 ⇒ Q y = 0 KN • Σm o =0 ⇒ M x = 0 KNm Kiểm tra lại: • AB o Qy  Q A = V A = 13,5 KN  Q B = Q A - S q AB = 13,5 -0 = 13,5 KN o Mx  M A = 0 KNm  M B = M A + S Q AB = 0 + 13,5.2 = 27 KNm  |Q y | = const ⇒ tga không đổi. • BC o Qy  Q B = 13,5 KN  Q C = Q B - S q BC = 13,5 - 0 = 13,5 KN o Mx  M B = 27 - M = 27 - 21,6 = 5,4 KNm  M C = M B + S Q BC = 5,4 + 13,5.2 = 32,4 KNm  |Q y | = const ⇒ tga không đổi. • CX (X là điểm cực trị của M x ) o Qy  Q C = H A = 0,3 KN  Q X = Q C - S q CX = 0 => CX = 0,3/q = 0,1m o Mx  M C = 32,4 KNm  M D = M C + S Q CX = 32,4 + ½.0,1.0,3 = 32,415 KNm  |Q y | giảm ⇒ tga giảm M x Q y N z z 4 H F F P 2 E 9 F • XD (X là điểm cực trị của M x ) o Qy  Q X = 0 KN  Q D = Q X - S q CX = 0 - 3.1,9 = -5,7 KN o Mx  M X = 32,415 KNm  M D = M X + S Q CX = 32,415 - ½.5,7.1,9 = 27 KNm  |Q y | giảm ⇒ tga giảm • FE o Qy  Q F = 0 KN  Q E = Q F - S q FE = 0 - 0 = 0 KN o Mx  M F = 0 KNm  M E = M F + S Q FE = 0 + 0 = 0 KNm  |Q y | = 0 ⇒ tga = 0. • ED o Qy  Q E = 0 - P 2 = -13,5 KN  Q D = Q E - S q BC = -13,5 - 0 = -13,5 KN o Mx  M E = 0 KNm  M D = M E + S Q ED = 0 - 13,5.2 = -27 KNm  |Q y | = const ⇒ tga không đổi. Kiểm tra hai nút C,D • ΣX = N z1 + Q y2 = -0,3 + 0,3 = 0 : Đúng • ΣY = Q y1 - N z2 = 13,5 – 13,5 = 0 : Đúng • Σm C = M x1 – M x2 = 32,4 – 32,4 = 0 : Đúng Q y2 = 0,3 KN N z2 = 13,5 KN M x1 = 32,4 KNm M x2 = 32,4 KNm N z1 = - 0,3 KN Q y1 = 13,5 KN C 10 . Q y = -P 1 - ½.q 1 .z 3 = -16, 2 -1,25z 3 2 • m o =0 ⇒ M x = -P 1 .z 3 -1/3z 3 .1/2.q 1 z 3 + M - P 1 .1,8 = -16, 2z 3 -(5/12)z 3 3 + 48,6 - 29 ,16 = -(5/12)z 3 3 -16, 2z 3 + 19,44 5 z 2 M x Q y N z P 1 M A B C5 . = 19,44 KNm ⇒ Q y = -16, 2 KN  Khi z 3 = 1,2 ⇒ M x = -0,72 KNm ⇒ Qy = -18 KN Kiểm tra lại: • AB o Qy  Q A = -P 1 = -16, 2 KN  Q B = Q A - S q AB = -16, 2 - 0 = - 16, 2 KN o Mx  M A =. = 0 KNm  M B = M A + S Q AB = 0 -16, 2.0,3 = -4,86 KNm  |Q y | = const  tga = const. • BC o Qy  Q B = -16, 2 KN  Q C = Q B - S q BC = -16, 2 - 0 = -16, 2 KN o Mx  M B = -4,86 + M = -4,86