về tính chất cofinite của môđun đối đồng điều địa phương

35 495 0
về tính chất cofinite của môđun đối đồng điều địa phương

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————— HOÀNG MINH GIANG VỀ TÍNH CHẤT COFINITE CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG Phản biện 1: GS. TSKH. PHÙNG HỒ HẢI Phản biện 2: PGS. TS. LÊ THANH NHÀN Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn họp tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Ngày 16 tháng 10 năm 2011 Có thể tìm hiểu tại Thư viện Đại học Thái Nguyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn 2 Mở đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Hàm tử mở rộng và hàm tử xoắn . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Biểu diễn thứ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Môđun Artin và đối ngẫu Matlis . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Tính cofinite cho trường hợp iđêan có chiều một 14 2.1 Môđun minimax và môđun cofinite . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Chứng minh Định lý 0.0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Một số hệ quả của Định lý 0.0.1 . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Tính cofinite cho trường hợp iđêan chính và chiều cao nhất 25 3.1 Trường hợp I là iđêan chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Chứng minh Định lý 0.0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành trong khóa 17 đào tạo Thạc sĩ của trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hoàng, Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người đã tạo cho tôi một phương pháp nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên; Trường THPT Cao Lộc, sở GD&ĐT - Tỉnh Lạng Sơn đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã động viên, ủng hộ tôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của mình. 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Cho R là vành giao hoán Noether, I là iđêan của R, và K là R−môđun. K được gọi là môđun I−cofinite nếu Supp(K) ⊆ V (I) và Ext i R (R/I, K) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 (xem [7]). Tính cofinite cho các môđun được giới thiệu bởi Hartshorne trên một bài báo đăng trên tạp chí nổi tiếng Inventiones Mathematica năm 1970, ở đó ông chứng minh rằng H j I (M) là I−cofinite với mọi j nếu R là vành chính quy địa phương đầy đủ và I là iđêan chính hoặc I là iđêan nguyên tố chiều bằng 1. Cụ thể là kết quả sau: Định lý. (Hartshorne [7]) Nếu R là vành chính quy địa phương đầy đủ, M là R−môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R thỏa mãn một trong hai điều kiện sau (a) I là iđêan nguyên tố p sao cho dim R/p = 1; (b) I là iđêan chính khác không. thì H j I (M) là môđun I−cofinite với mọi j. Một khoảng thời gian sau đó, kết quả (a) của Hartshorne đã được mở rộng tới một số trường hợp vành R giao hoán địa phương Noether tổng quát hơn: I không nhất thiết là iđêan nguyên tố, nhưng vẫn có điều kiện dim R/I = 1. C. Huneke-J. Koh [8] chứng minh kết quả này khi R là miền nguyên Gorenstein địa phương đầy đủ. Tiếp đến, Delfino [4] đã mở rộng kết quả tới miền nguyên địa phương đầy đủ chứa một trường. Đến năm 1997, Delfino-T. Marley [5], và K. Yoshida [19] đã chứng minh được các kết quả đó vẫn đúng cho iđêan I có dim R/I = 1 trong vành địa phương 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Noether tùy ý. Gần đây nhất, năm 2009, K. Bahmanpour-N. Naghipour [2] đã mở rộng kết quả tới trường hợp R là vành giao hoán Noether (không nhất thiết địa phương). Cụ thể là định lý sau đây: Định lý 0.0.1. ([2, Định lý 2.6]) Giả sử R là vành giao hoán Noether, I là iđêan của R, và M là R−môđun hữu hạn sinh. Cho t là số nguyên không âm sao cho dim Supp(H i I (M)) ≤ 1 với mọi i < t. Khi đó các phát biểu sau là đúng: (i) R−môđun H i I (M) là I−cofinite với mọi i < t; (ii) R−môđun Hom R (R/I, H t I (M)) là hữu hạn sinh. Bên cạnh những bài toán mở rộng kết quả (a) của Hartshorne như đã nêu trên, người ta cũng quan tâm đến việc mở rộng kết quả (b) của Hartshorne. Năm 1998, K. Kawasaki [9] đã chứng minh được kết quả sau: Định lý 0.0.2. [9, Định lý 1] Cho R là vành giao hoán Noether, I = Rx là iđêan chính, và M là R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó Ext i R (R/I, H j I (M)) là R−môđun hữu hạn sinh với mọi i, j. Lưu ý rằng trong trường hợp (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether, người ta thấy rằng một môđun là m−cofinite nếu và chỉ nếu nó là môđun Artin. Mặt khác, L. Melkersson [12] đã chứng minh được H n I (M) là môđun Artin với mọi iđêan I và M là R−môđun hữu hạn sinh chiều n. Từ đó, như hệ quả hiển nhiên, ta suy ra rằng H n I (M) là môđun m−cofinite. Sau đó, Delfino-Marley [5] chứng minh được kết quả mạnh hơn như sau: Định lý 0.0.3. ([5, Định lý 3]) Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether, I là iđêan của R và M là R−môđun hữu hạn sinh chiều n. Khi đó H n I (M) là I−cofinite. Mục đích của luận văn này là trình bày chi tiết lại các chứng minh của các Định lý 0.0.1, 0.0.2, 0.0.3 như đã nêu trên, các chứng minh này dựa 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn trên bốn bài báo chính là [1], [2], [5], [9]. Luận văn được chia làm 3 chương. Chương 1 trình bày những kiến thức cơ sở cần thiết được dùng để chứng minh các kết quả ở các chương sau. Một số kiến thức được trình bày ở đây là: môđun Ext, biểu diễn thứ cấp của môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phương, Định lý triệt tiêu Grothendieck, đối ngẫu Matlis. Chương 2 dành để trình bày chứng minh chi tiết cho Định lý 0.0.1. Bên cạnh đó một số hệ quả quan trọng của Định lý 0.0.1 cũng được trình bày. Chương 3 sẽ chứng minh chi tiết các Định lý 0.0.2 và 0.0.3. 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản cần thiết để sử dụng trong các chương về sau. Một số kiến thức được trình bày ở đây là: môđun Ext, biểu diễn thứ cấp của môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phương, đối ngẫu Matlis, Định lý triệt tiêu Grothendieck. 1.1 Hàm tử mở rộng và hàm tử xoắn Các kiến thức của mục này được trích theo cuốn sách [15]. Định nghĩa 1.1.1. Cho M, N là các R−môđun và n ≥ 0 là một số tự nhiên. Môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử Hom(−, N) ứng với M được gọi là môđun mở rộng thứ n của M và N và được kí hiệu là Ext n R (M, N). Cụ thể, để xây dựng Ext n R (M, N) ta lấy một giải xạ ảnh của M . . . −→ P 2 u 2 −→ P 1 u 1 −→ P 0  −→ M −→ 0. Tác động hàm tử Hom(−, N) vào dãy khớp trên ta có đối phức 0 −→ Hom(P 0 , N) u ∗ 1 −→ Hom(P 1 , N) u ∗ 2 −→ Hom(P 2 , N) −→ . . . . Khi đó Ext n R (M, N) = Ker u ∗ n+1 / Im u ∗ n là môđun đối đồng điều thứ n của đối phức trên (môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải xạ ảnh của M). 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lưu ý rằng người ta cũng có thể xây dựng Ext n R (M, N) như sau: lấy giải nội xạ của N 0 →N α −→ E 0 v 0 −→ E 1 v 1 −→ v n−1 −−→ E n v n −→ Tác động hàm tử Hom(M, −) vào dãy trên ta được phức 0 →Hom(M, E 0 ) v 0 ∗ −→ Hom(M, E 1 ) v 1 ∗ −→ Hom(M, E 2 ) → v n−1 ∗ −−→ Hom(M, E n ) v n ∗ −→ Khi đó Ext n R (M, N) = Ker v n ∗ / Im v n−1 ∗ . Định nghĩa 1.1.2. Cho M, N là các R-môđun và n ≥ 0 là một số tự nhiên. Môđun dẫn xuất trái thứ n của hàm tử −⊗N ứng với M được gọi là môđun xoắn thứ n của M và N và được kí hiệu là Tor R n (M, N). Cụ thể, để xây dựng Tor n R ta lấy một dải xạ ảnh của M . . . −→ P 2 v 2 −→ P 1 v 1 −→ P 0  −→ M −→ 0. Tác động hàm tử − ⊗N vào dãy khớp trên ta có phức . . . −→ P 2 ⊗ N v ∗ 2 −→ P 1 ⊗ N v ∗ 1 −→ P 0 ⊗ N −→ 0. Khi đó Tor R n (M, N) = Ker v ∗ n / Im v ∗ n+1 là môđun đồng điều thứ n của phức trên (môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải xạ ảnh của M). Sau đây là một số tính chất cơ sở của các môđun Ext và Tor được dùng trong luận văn. Mệnh đề 1.1.3. (a) Ext 0 R (M, N) ∼ = Hom(M, N) và Tor R 0 (M, N) ∼ = M ⊗ N. (b) Nếu M hoặc N là xạ ảnh thì Tor R n (M, N) = 0 với mọi n ≥ 1. (c) Nếu M là xạ ảnh hoặc N là nội xạ thì Ext n R (M, N) = 0 với mọi n ≥ 1. 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (d) Nếu 0 −→ N  −→ N −→ N  −→ 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấu nối Ext n R (M, N  ) −→ Ext n+1 R (M, N  ) với mỗi n ≥ 0 sao cho ta có dãy khớp dài 0 −→ Hom(M, N  ) −→ Hom(M, N) −→ Hom(M, N  ) −→ Ext 1 R (M, N  ) −→ Ext 1 R (M, N) −→ Ext 1 R (M, N  ) −→ Ext 2 R (M, N  ) −→ . . . (e) Nếu 0 −→ M  −→ M −→ M  −→ 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấu nối Ext n R (M  , N) −→ Ext n+1 R (M  , N) với mỗi n ≥ 0 sao cho ta có dãy khớp dài 0 −→ Hom(M  , N) −→ Hom(M, N) −→ Hom(M  , N) −→ Ext 1 R (M  , N) −→ Ext 1 R (M, N) −→ Ext 1 R (M  , N) −→ Ext 2 R (M  , N) −→ . . . Hệ quả 1.1.4. Nếu M, N hữu hạn sinh thì Ext n R (M, N) và Tor R n (M, N) là hữu hạn sinh với mọi n. Kết quả dưới đây cho ta tính chất giao hoán giữa môđun Ext, Tor với hàm tử địa phương hóa và sự tương đương giữa hai hàm tử Ext và Tor trên vành địa phương đầy đủ. Mệnh đề 1.1.5. Nếu S là tập đóng nhân của R thì ta có các đẳng cấu S −1 (Ext n R (M, N)) ∼ = Ext n S −1 R (S −1 M, S −1 N), S −1 (Tor R n (M, N)) ∼ = Tor S −1 R n (S −1 M, S −1 N), trong đó S −1 là hàm tử địa phương hóa. Đặc biệt, (Ext n R (M, N)) p ∼ = Ext n R p (M p , N p ), (Tor R n (M, N)) p ∼ = Tor R p n (M p , N p ) với mọi iđêan nguyên tố p của R. 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... vành giao hoán Noether, I là iđêan của R, M là R môđun Khi đó hàm tử dẫn xuất phải thứ i của I−xoắn ΓI là Ri ΓI được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i đối với iđêan I , kí hiệu i là HI (−) Môđun Ri ΓI (M ) gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i i đối với iđêan I , kí hiệu là HI (M ) Bổ đề 1.3.2 Cho R là vành giao hoán Noether, I là iđêan của R, M là R môđun Khi đó 0 (a) HI (M ) = ΓI (M... trọng của môđun đối đồng điều địa phương Mệnh đề 1.3.4 ([3, Định lý 7.1.3]) Cho (R, m) là vành giao hoán địa i phương Noether, M là R môđun hữu hạn sinh Khi đó Hm (M ) là môđun Artin với mọi i Định lý 1.3.5 (Định lý triệt tiêu Grothendieck) Cho R là vành giao hoán i Noether, I là iđêan của R và M là R môđun Khi đó HI (M ) = 0 với mọi i > dim(M ) Định lý 1.3.6 ([3, Định lý 3.3.1]) Cho I là iđêan của vành... R môđun Khi đó K là môđun Artin khi và chỉ khi tồn tại iđêan I của R sao cho K là I−xoắn và (0 : I)K là R môđun Artin Cho (R, m) là vành địa phương, đầy đủ Đặt E = E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m Kí hiệu D(−) = HomR (−, E) là hàm tử từ phạm trù các R môđun và R đồng cấu vào chính nó Với mỗi R môđun K , ta gọi D(K) là đối ngẫu Matlis của K Ta kí hiệu R và K là đầy đủ m−adic của R và K đối. .. 0.0.3 trong luận văn) Kết quả chính của luận văn gồm các nội dung sau: 1 Hệ thống lại một số kiến thức cơ sở cần thiết được dùng để chứng minh các kết quả chính của luận văn Kiến thức cơ sở được trình bày trong luận văn là: môđun Ext, biểu diễn thứ cấp của môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phương, đối ngẫu Matlis, Định lý triệt tiêu Grothendieck 2 Trình bày Tính cofinite cho trường hợp iđêan có chiều... sinh L của K sao cho K/L là môđun Artin Ta thấy rằng lớp các môđun minimax chứa đựng tất cả các môđun hữu hạn sinh và tất cả các môđun Artin Tiếp theo ta sẽ nghiên cứu một số tính chất của môđun minimax và môđun cofinite (trong [13] và [1]) 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bổ đề 2.1.3 ([1, Bổ đề 2.1]) Giả sử 0→N →N →N →0 là dãy khớp của các R môđun Khi... hoán địa phương Noether đầy đủ Khi đó (a) Nếu N là R môđun Noether thì D(N ) là R môđun Artin (b) Nếu A là R môđun Artin thì D(A) là R môđun Noether 13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Tính cofinite cho trường hợp iđêan có chiều một Trong cả chương này ta luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether (không nhất thiết địa phương) 2.1 Môđun minimax và môđun. .. môđun cofinite Trước hết ta nhắc lại khái niệm môđun I cofinite do Hartshorne [7] định nghĩa Định nghĩa 2.1.1 Một R môđun K được gọi là môđun I cofinite nếu thỏa mãn các điều kiện Supp(K) ⊆ V (I) và Exti (R/I, K) là R môđun R hữu hạn sinh với mọi i Mặt khác, trong [20], H Zoschinger đã định nghĩa một lớp môđun minimax như sau Định nghĩa 2.1.2 Một R môđun K gọi là môđun minimax nếu tồn tại một môđun. .. R môđun Nếu I được sinh bởi t phần tử thì HI (M ) = 0 với mọi i > t Mệnh đề 1.3.7 ([3, Định lý 7.1.6] ) Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether, I là iđêan của R, M là R môđun hữu hạn sinh khác 0 n có chiều bằng n Khi đó HI (M ) là môđun Artin Cho I là iđêan của vành giao hoán Noether R và M là R môđun Ta đặt DI (M ) = lim HomR (I n , M ), và gọi là I−biến đổi của M Khi đó ta ← − n có tính chất. .. iđêan của R, và 0 → M → M → M → 0 là dãy khớp các R môđun Khi đó ta có dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương 1 0 → ΓI (M ) → ΓI (M ) → ΓI (M ) → HI (M ) → 1 1 2 → HI (M ) → HI (M ) → HI (M ) → 2 2 3 → HI (M ) → HI (M ) → HI (M ) → i i i+1 → HI (M ) → HI (M ) → HI (M ) → 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tiếp theo ta xét thêm một số tính chất. .. R môđun k = R/m Kí hiệu D(K) = HomR (K, E(k)) là đối ngẫu Matlis của R môđun K Để chứng minh Định lý 0.0.3 ta cần một số kiến thức chuẩn bị dưới đây Bổ đề 3.2.1 Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether và R là vành đầy đủ của R theo tôpô m−adic Lấy I là iđêan của R và K là i i R môđun Khi đó HI (K) là I cofinite nếu và chỉ nếu HI R (K ⊗R R) là I R cofinite Chứng minh Vì i i Extj (R/I, HI (K)) . số tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địa phương. Mệnh đề 1.3.4. ([3, Định lý 7.1.3]) Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether, M là R môđun hữu hạn sinh. Khi đó H i m (M) là môđun Artin. thiết để sử dụng trong các chương về sau. Một số kiến thức được trình bày ở đây là: môđun Ext, biểu diễn thứ cấp của môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phương, đối ngẫu Matlis, Định lý triệt tiêu. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————— HOÀNG MINH GIANG VỀ TÍNH CHẤT COFINITE CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã

Ngày đăng: 05/10/2014, 06:34

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan