1Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn Môc lục Lời nói đầu KiÕn thøc chuÈn bÞ 1.1 BiĨu diƠn thø cÊp 1.2 Mét sè tÝnh chÊt c¬ së vỊ tÝnh catenary 1.3 Một số chuẩn bị môđun đối đồng điều địa phương Chiều môđun Artin mét tÝnh chÊt linh ho¸ tư 10 13 17 2.1 17 2.2 Chiều Noether môđun Artin 19 2.3 Mét tÝnh chÊt linh ho¸ tư cho môđun Artin 22 Tính catenary môđun Artin tựa không trộn lẫn 27 3.1 Môđun Artin tựa không trộn lẫn 28 3.2 Tính catenary môđun Artin tùa kh«ng trén lÉn 32 3.3 Môđun đối đồng điều địa phương tựa không trộn lẫn Tập iđêan nguyên tố gắn kết cho môđun Artin 36 40 Tài liệu tham khảo S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn Lêi nãi đầu Trong toàn luận văn ta giả thiết Noether, địa phương, (R, m) vành giao hoán M R-môđun hữu hạn sinh, A R-môđun Artin Ta lu«n cã AnnR (M/pM ) = p víi mäi iđêan nguyên tố p chứa AnnR M Vì hoàn toàn tự nhiên, Nguyễn Tự Cường Lê Thanh Nhàn [CN] ®· xÐt tÝnh chÊt ®èi ngÉu víi tÝnh chÊt cho môđun Artin sau: AnnR (0 :A p) = p với iđêan nguyên tố p Ann A () Khi vành R đầy đủ theo tôpô m-adic, tính chất (*) cho môđun Artin A môđun đối ngẫu Matlis D(A) A hữu hạn sinh Một cách tổng quát, R đầy đủ việc dùng Đối ngẫu Matlis, việc nghiên cứu mối quan hệ phạm trù R-môđun Artin phạm trù R- môđun Noether thuận lợi Tuy nhiên, R không đầy đủ, người ta quan tâm xét tính chất (*) cho nhiều thông tin vành sở R môđun Artin môđun hữu hạn sinh R Cụ thể, năm 2002, Nguyễn Tự Cường Lê Thanh Nhàn [CN] đà giới thiệu tính chất (*) nhằm trả lời câu hỏi chiều Noether N-dim A chiều dim R/ AnnR A Năm 2007, [CDN], Nguyễn Tự Cường, Lê Thanh Nhàn, Nguyễn Thị Dung đà xét tính chất (*) môđun đối đồng điều địa phương cấp cao d Hm (M ) môđun thỏa mÃn tính chất (*) vµ chØ vµnh d R/ AnnR (Hm (M )) catenary Năm 2009, Lê Thanh Nhàn Trần Nguyên An [NA1] đà nghiên cứu tính chất (*) cho môđun đối đồng điều địa phương bậc thấp hơn, họ chứng tỏ R catenary phổ dụng tất thớ hình thức Cohen- Macaulay i Hm (M ) thoả mÃn (*) víi mäi i ≥ Ngoµi hä cịng chØ r»ng nÕu i Hm (M ) tháa m·n tính chất (*) với i < d vành Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn R/ AnnR M lµ catenary phỉ dơng vành R/p không trộn lẫn với p ∈ Ass M, tøc lµ dim R/p = dim(R/p) víi p Ass(R/pR) Đặc biệt, năm 2010, Lê Thanh Nhàn Trần Nguyên An [NA2] đà giới thiệu khái niệm môđun Artin tựa không trộn lẫn: Môđun Artin gọi tựa không trộn lẫn A dim(R/p) = dim(R/ AnnR A) víi p ∈ AttR A Sau ®ã hä ®· xÐt tÝnh chÊt (*) cho líp môđun mối quan hệ với tính catenary vành sở chiều môđun Kết thứ báo định lí sau Định lí vành Giả sử A tựa không trộn lẫn Nếu A thoả mÃn tính chất (*) R/ AnnR A lµ catenary vµ dim(R/ AnnR A) = dim(R/ AnnR A) RÊt tù nhiªn, ng­êi ta hái r»ng liƯu chiều ngược lại định lí Định lí kết thứ hai báo này, cho ta câu trả lời khẳng định Định lí Giả sử i Hm (M ) (*) nÕu vµ chØ nÕu vµ vµnh i A = Hm (M ) tựa không trộn lẫn Khi i Hm (M ) tho¶ m·n i i dim R/ AnnR (Hm (M )) = dim R/ AnnR Hm (M )) i R/ AnnR (Hm (M )) lµ catenary Mơc đích luận văn trình bày lại chi tiết kết báo [NA2]: L T Nhan and T N An, On the catenaricity of Noethe- rian local rings and quasi unmixed Artinian modules , Communications in Algebra, 38, (10), 2010 Luận văn gồm chương Chương I kiến thức sở phục vụ cho chương sau Chương II trình bày kiến thức chiều tính chất (*) môđun Artin Chương III nội dung chính, chứng minh kết tính chất (*) môđun Artin tựa không trộn lẫn mối quan hệ với tính catenary vành sở đẳng thức chiều môđun S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn Lời cảm ơn Luận văn hình thành hướng dẫn tận tình nghiêm khắc PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Nhân dịp xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô gia đình Xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô Viện Toán học Hà Nội, Khoa Toán Khoa Sau Đại học trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đà tận tình giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập trường S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn Ch­¬ng Kiến thức chuẩn bị Trong suốt chương giả thiết R vành giao hoán Noether L R-môđun Mục đích Chương I nhắc lại số kiến thức sở phục vụ cho chương sau Tiết 1.1 trình bày lí thuyết biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin giới thiệu I G Macdonald 1973 [Mac] Tiết 1.2 nhắc lại số khái niệm tính chất sở vành catenary [Mat] Tiết cuối 1.3 nhắc lại số khái niệm tính chất cần thiết môđun đối đồng điều địa ph­¬ng [BS] 1.1 BiĨu diƠn thø cÊp KiÕn thøc tiết tham khảo báo [Mac] I G Macdonald 1.1.1 Định nghĩa Cho L R-môđun i) Cho x R Nếu tồn số tự nhiên n để xn L = ta nói phép nhân x L luỹ linh Nếu xL = L ta nói phép nhân x L toàn cấu ii) Ta nói L môđun lũy linh với thứ cấp phép nhân x L toàn cấu x R Trong trường hợp này, tập hợp phÇn tư Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin tựa không trộn lẫn x ∈ R cho phép nhân x L lũy linh làm thành iđean nguyên tố p ta gọi L p-thứ cấp iii) Một biểu diễn gọi lµ L = L1 + + Ln , Li pi -thứ cấp, biĨu diƠn thø cÊp cđa L BiĨu diƠn thø cÊp gọi tối thiểu L = L1 + + Li−1 + Li+1 + + Ln víi mäi i) iv) NÕu nÕu pi đôi khác Li không thừa (tức L có biểu diễn thứ cấp tối thiểu ta nói L biểu diễn Phần tiết biĨu diƠn thø cÊp ®Ịu cã thĨ quy vỊ tèi thiểu Trước hết ta cần bổ đề sau 1.1.2 Bổ đề Cho L R-môđun i) Tổng trực tiếp hữu hạn môđun ii) Môđun thương khác iii) Nếu môđun L1 , , Lr p-thø cÊp p-thứ cấp môđun p- thứ cấp p-thứ cấp môđun p-thứ cấp L L1 + + Lr p-thứ cấp L Chứng minh (i) Giả sử phép nhân bëi L1 , , Ln lµ p-thø cấp Cho x p Khi x L1 , , Ln lµ lịy linh Do ®ã tån t¹i t ∈ N cho xt Li = víi mäi i V× thÕ xt (⊕n Li ) = 0, tức phép nhân x i=1 ⊕n Li lµ lịy linh Cho x ∈ p Khi ®ã xLi = Li víi mäi i Suy / i=1 x(⊕n Li ) = ⊕n Li , tøc phÐp nhân x n Li toàn cấu Vậy i=1 i=1 i=1 n i=1 Li lµ (ii) Cho p-thø cấp L p-thứ cấp B môđun cđa L cho L/B = Ta cÇn chøng minh cho L/B lµ p-thø cÊp Cho x ∈ p Khi tồn t N xt L = Suy xt (L/B) = (xt L + B)/B = Vì phép nhân x L/B lũy linh Cho x p Khi xL = L Suy / x(L/B) = (xL + B)/B = (L + B)/B = L/B V× thÕ phÐp nhân x L/B toàn cấu S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn (iii) Đặt B = L1 + + Lr Hiển nhiên B = Xét ánh x¹ ϕ : ⊕r Li −→ B cho bëi ϕ(x1 , , xr ) −→ x1 + + xr DƠ thÊy ϕ lµ toµn i=1 cÊu Suy r i=1 Li lµ B môđun thương r i=1 Li Theo (i) theo giả thiết, p-thứ cấp Theo (ii) ta suy B p-thứ cấp 1.1.3 Mệnh đề Chứng minh Mỗi biểu diễn thứ cấp quy tèi thiĨu Gi¶ sư L = L1 + + Ln lµ mét biĨu diƠn thø cÊp cđa R-môđun L Nếu tồn i = j cho Li Lj p-thứ cấp theo Bổ đề 1.1.2, Li + Lj p-thứ cấp Vì thế, cách loại thành phần thứ cấp thừa ghép lại thành phần thứ cấp ứng với iđêan nguyên tố, ta rút gän biĨu diƠn thø cÊp nµy thµnh mét biĨu diƠn thứ cấp tối thiểu Phần trình bày 02 ®Þnh lÝ nhÊt vỊ biĨu diƠn thø cÊp, tõ dẫn đến khái niệm tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun biểu diễn 1.1.4 Bổ đề Gi¶ sư L = L1 + + Ln R-môđun L, Li là biểu diƠn thø cÊp tèi thiĨu pi -thø cÊp Cho p iđêan nguyên tố Khi phát biểu sau tương đương: i) p {p1 , , pn } ii) L có môđun thương p-thứ cấp iii) L có môđun thương Q cho AnnR (Q) = p Chøng minh (i⇒ii) Gi¶ sư biểu diễn thứ cấp p = pi Đặt Pi = j=i Lj Vì Li không thừa L = L1 + + Ln nªn L/Pi = Hơn nữa, L/Pi = (Li + Pi )/Pi Li /(Li Pi ) = Vì L/Pi môđun thương khác Li Vì Li pi -thứ cấp nên theo Bổ đề 1.1.2, L/Pi môđun thương pi -thứ cấp L S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn (iiiii) Giả sử P môđun thương p-thứ cấp L Vì R vành Noether nên p hữu hạn sinh Giả sử p = (a1 , , at ) Vì P p-thứ cấp nên với i = 1, , t, tån t¹i ni cho ani P = Chän n = max{n1 , , nt } Khi pk P định = với k nt Do P p-thứ cấp nên P = Ta kh¼ng P = pP ThËt vËy, nÕu P = pP th× víi k ≥ nt ta cã = pk P = pk−1 (pP ) = pk−1 P = = pP = P, điều mâu thuẫn Vì Q = P/pP môđun thương khác L Do P p-thứ cấp nên Q p-thứ cấp Do AnnR Q p Râ rµng p ⊆ AnnR Q Suy AnnR Q = p (iiii) Giả sử Q = L/B môđun thương L cho AnnR (Q) = p Ta cã n n Q = L/B = ( Li )/B = i=1 (Li + B)/B i=1 Với i ta cã (Li + B)/B ∼ Li /(Li ∩ B) Do ®ã, theo Bỉ ®Ị 1.1.2(ii), = nÕu (Li + B)/B = pi -thứ cấp Bằng việc bỏ thành phần thừa biểu diễn Q = n i=1 (Li +B)/B ta biểu diễn tối thiểu Q Do việc đánh lại thứ tự số ta giả thiÕt Q cã mét biĨu diƠn thø cÊp tèi thiĨu Q = m i=1 Qi , Qi pi -thø cÊp víi i = 1, , m với số tự nhiên m n ®ã Do Qi lµ pi -thø cÊp víi √ mäi i = 1, , m nªn dƠ kiểm tra AnnR Q = p1 pm Vì thế, theo giả thiết (iii) ta cã cho p = p1 ∩ pm Do tồn i {1, , m} p = pi Định lí sau hệ trực tiếp Bổ đề 1.1.4 1.1.5 Định lý (Định lí nhÊt thø nhÊt) L = L1 + + Lm Li Giả sử L = L1 + + Ln lµ hai biĨu diƠn thø cÊp tèi thiĨu cđa pi -thø cÊp vµ Li R-môđun L, qi -thứ cấp Khi m = n vµ {p1 , , pn } = {q1 , , qn } Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trn ln 1.1.6 Định nghĩa Giả sử thứ nhất, tập L R-môđun biểu diễn Theo §Þnh lý {p1 , , pn } phụ thuộc vào L mà không phụ thuộc vào biĨu diƠn thø cÊp tèi thiĨu cđa g¾n kÕt cđa L Ta gọi tập iđêan L kí hiệu AttR L Nếu p phần tử tối thiểu tập AttR L thành phần thứ cấp tương ứng gọi thành phần thứ cấp cô lập L Chú ý tồn hai biểu diễn thứ cấp tối thiểu L mà thành phần thứ cấp ứng với iđêan nguyên tố gắn kết khác Tuy nhiên, iđêan nguyên tố gắn kết tối thiểu tập AttR L thành phần thứ cấp tương ứng xác định Đó nội dung định lí sau 1.1.7 Định lý (Định lý thứ hai) pi AttR L diễn Giả sử Giả sử R-môđun biểu Khi thành phần thứ cấp ứng với không phụ thuộc vào biểu diƠn thø cÊp tèi thiĨu cđa Chøng minh L pi L L = L1 + + Ln vµ L = L1 + + Ln lµ hai biĨu diƠn thø cÊp tèi thiĨu cđa L, Lj Lj pj -thứ cấp Vì pi ∈ AttR L nªn pj ⊆ pi víi j = i Do tồn phần tử a ∈ (∩j=i pj ) \ pi Víi j = i, a ∈ pj nªn an Lj = = an Lj víi n ®đ lín Do a pi nên an Li = Li an Li = Li với n Vì với n đủ / lín ta cã an L = Li = Li Phần cuối trình bày tính biểu diễn môđun Artin Trước hết ta cần bổ đề sau 1.1.8 Bổ đề Giả sử A = R-môđun Artin A không tổng hai môđun thực Chứng minh Giả sử phép nhân A Khi A thứ cấp A không thứ cấp Khi tồn x R cho x A không toàn cấu không luỹ linh V× thÕ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn 10 A = xA vµ xn A = víi mäi n > Do A Artin nên dÃy môđun {xn A} A dừng Do tồn k > cho xn A = xk A víi gi¶m mäi n k Đặt A1 = {a A | xk a = 0} A2 = xk A Vì xk A1 = xk A = nên A1 = A Vì A = xA nên A2 = A Do A1 , A2 môđun thực sù cđa víi v víi ∈ A, suy xk (u−xk v) = Do ®ã u−xk v ∈ A1 Suy u ∈ z+xk v z ∈ A1 V× thÕ u ∈ A1 + A2 Suy A = A1 + A2 , m©u thuÉn 1.1.9 §Þnh lý Chøng minh Gäi A LÊy u ∈ A Do xk A = x2k A nªn xk u = x2k v, Mọi môđun Artin biểu diễn Cho A R-môđun Artin Giả sử A không biểu diễn tập môđun không biểu diễn A Vì A nên = Do A Artin nên có phần tử cực tiểu, gọi B Vì B nên B = B không môđun thứ cấp Theo bổ đề trên, B biểu diễn thành tổng hai môđun thực B , tức lµ B = B1 + B2 víi B1 , B2 hai môđun thực B Vì B cùc tiĨu nªn B1 , B2 ∈ Γ, / tøc B1 , B2 biểu diễn Vì B = B1 + B2 biểu diễn được, vô lý 1.2 Mét sè tÝnh chÊt c¬ së vỊ tÝnh catenary Luôn giả thiết R vành giao hoán, Noether Trong tiết nhắc lại số khái niệm tính chất sở tính cartenary vành Các thuật ngữ kết tiết tham khảo sách H Matsumura [Mat] Tính catenary cho vành đà quan tâm nghiên cứu W Krull từ năm 1937 Sau nhiều kết tính catenary vành cho W Krull, M Nagata, I S Cohen, D Ferand vµ M Raynaud, L J Ratliff, R Heitmann, M Brodmann , kết đà làm lµm cho tÝnh catenary cđa vµnh trë thµnh mét lÝ thuyÕt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa khụng trn ln Chương Tính catenary môđun Artin tựa không trộn lẫn Trong suốt chương giả thiết (R, m) vành giao hoán, Noether, địa phương với iđêan tối đại Cho m Cho A R-môđun Artin M R-môđun hữu hạn sinh víi chiỊu dim M = d Mơc ®Ých cđa Chương III nghiên cứu loại môđun Artin đặc biệt gọi môđun tựa không trộn lẫn quan hệ mật thiết tính chất (*) lớp môđun với tính catenary vành sở đẳng thức chiều Tiết 3.1 dành để trình bày tính chất quan trọng môđun Artin tựa không trộn lẫn, kết thu cho thấy chóng cã nhiỊu tÝnh chÊt tèt t­¬ng tù nh­ tÝnh chất môđun hữu hạn sinh tựa không trộn lẫn Bằng việc áp dụng tính chất thu Tiết 3.1, trình bày Tiết 3.2 quan hệ tính chất (*) môđun Artin tựa không trộn lẫn A với tính catenary vành sở R/ AnnR A đẳng thức chiều, ®ång thêi ®­a c¸c vÝ dơ nh»m chØ tầm quan trọng giả thiết tựa không trộn lẫn A kết Tiết cuối 3.3 dành để nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương tùa kh«ng trén lÉn i Hm (M ), tr­êng hợp này, tính chất (*) chúng tương đương với tính catenary vành sở đẳng thức vỊ chiỊu 27 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin ta khụng trn ln 28 3.1 Môđun Artin tựa không trộn lẫn Trước định nghĩa khái niệm môđun Artin tựa không trộn lẫn, ta nhắc lại khái niệm môđun Noether tựa không trộn lẫn theo thuật ngữ M Nagata [Na] Một R-môđun hữu hạn sinh M gọi đẳng chiều dim(R/p) = dim M với p Ass M Môđun M gọi không trộn lẫn nếu tựa M đẳng chiều NÕu dim(R/p) = dim M víi mäi p ∈ AssR M M gọi không trộn lẫn Theo suy nghĩ đối ngẫu, ta định nghĩa khái niệm đẳng chiều, tựa không trộn lẫn, không trộn lẫn cho môđun Artin sau 3.1.1 Định nghĩa Nếu nguyên tố gắn kết p AttR A ta nói A Artin A gọi tức dim(R/p) = dim(R/ AnnR A) với iđêan tựa không trộn lẫn Môđun đẳng chiều R-môđun A đẳng chiỊu, dim(R/p) = dim(R/ AnnR A) víi mäi p ∈ AttR A NÕu dim(R/p) = dim(R/ AnnR A) víi p AttR A ta nói A không trộn lẫn Có lớp môđun Artin không trộn lẫn quan trọng, môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá cực đại d Hm (M ), M R-môđun hữu hạn sinh chiều d Điều suy từ d đẳng cấu R-môđun Hm (M ) H d (M ) Định lí 1.3.8 = mR d AttR Hm (M ) = {p ∈ AssR M | dim(R/p) = d} Chú ý với iđêan d I t ý ta cịng cã HI (M ) lµ R-môđun Artin (Định lí 1.3.7) d AttR HI (M ) ⊆ {p ∈ AssR M | dim(R/p) = d} Vì d HI (M ) môđun Artin kh«ng trén lÉn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin tựa không trộn lẫn 29 Ta biÕt r»ng nÕu môđun Noether phần hệ tham số M tựa không trén lÉn th× víi mäi (x1 , , xr ) M , môđun M/(x1 , , xr )M tựa không trộn lẫn Sau điều tương tự cho môđun Artin tựa không trộn lẫn, tính chất quan trọng phục vơ chøng minh kÕt qu¶ chÝnh ë tiÕt sau 3.1.2 Mệnh đề Nếu A tựa không trộn lẫn :A (x1 , , xr )R tựa không trộn lẫn với phần hệ tham sè cđa Chøng minh cđa Cho cịng (x1 , , xr ) cña A N-dimR A = s vµ (x1 , , xr ) phần hệ tham số A Theo Bổ đề 2.3.4 ta cã dim(R/ AnnR A) = s vµ dim(R/ AnnR (0 :A (x1 , , xr )R)) = N-dim(0 :A (x1 , , xr )R) = s − r LÊy p ∈ AttR (0 :A (x1 , , xr )R) Khi ®ã, theo Bỉ ®Ị 2.3.4 ta suy víi dim(R/p) ≤ s − r Chó ý r»ng p ⊇ AnnR A Do ®ã p1 ⊆ p, p1 ∈ AttR A Mặt khác A tựa không trộn lẫn nên dim(R/p1 ) = s Lại cã p ∈ Var(p1 + (x1 , , xr )R) nªn ht(p/p1 ) ≤ r (theo [Mat, Theorem 18]) Do ®ã ta cã dim(R/p) = s − ht(p/p1 ) ≥ s − r V× thÕ dim(R/p) = s r Chú ý môđun Noether chiều Thật vậy, giả sử M tựa không trộn lẫn M đẳng dim M = d p ∈ Ass M V× Ass M = {p ∩ R | p ∈ Ass M } nªn tån t¹i p ∈ Ass M cho p ∩ R = p Gäi q ∈ Ass M cho q p Đặt q = q R Khi ®ã q ∈ Ass M vµ q ⊆ p Do p cực tiểu nên S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn 30 q = p V× thÕ p = q ∩ R víi q Ass M Do M tựa không trén lÉn nªn d ≥ dim(R/p) ≥ dim(R/q) = dim M = d Vì dim(R/p) = d Do M đẳng chiều Tuy nhiên, môđun Artin tựa không trộn lẫn điều tương tự không đúng, tức có môđun Artin tựa không trộn lẫn không đẳng chiều Sau ví dụ 3.1.3 Ví dụ Tồn môđun Artin A tựa không trộn lẫn không đẳng chiều Chứng minh Cho R miền nguyên Noether địa phương có số chiều xây dựng Brodmann Rotthaus [BR] cho R miền nguyên có iđêan nguyên tố lẫn Khi tồn p Spec R để R/p không trộn p Ass(R/pR) với dim(R/p) < dim(R/p) Vì R miền nguyên nên ta suy p = vµ p = m Do dim(R/p) = dim(R/p) = Lấy = x ∈ p vµ chän y, z ∈ m cho (x, y, z ) lµ mét hƯ tham số Đặt 1 A = B C , B = Hm (R/p) C = Hm (R/q) Khi A R-môđun Artin Theo [BS, 11.3.9], p ∈ AttR B Do vËy p AttR B ta có Vì p R Chän q ∈ Ass(R/(y, z)R) cho dim(R/q) = AttR B = {p} Theo [BS.7.3.2] ta cã AttR C = {q} dim(R/q) = vµ dim(R/p) = nªn ta cã q q ThËt vËy, nÕu p ⊆ q th× dim(R/q) ≤ dim(R/(x, y, z)R) = 0, điều vô lí Do AttR A = {p, q} Vì A không đẳng chiều Chú ý có đẳng cấu p Ta chứng minh Hm (R/p) Do R-môđun Hm (R/p) HmR (R/pR) HmR (R/qR) Do ®ã dim(R/q) ≤ víi mäi q ∈ AttR A A lµ tựa không trộn lẫn Định lí sau kết tiết này, đưa tiêu chuẩn cho môđun Artin tựa không trộn lẫn đẳng chiều Kết đóng vai S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn 31 trß quan trọng việc chứng minh kết luận văn tiết sau 3.1.4 Định lý không trộn lẫn Giả sử A dim(R/ AnnR A) = N-dimR A đẳng chiều với iđêan NÕu I cđa A R lµ tùa ta cã dim(R/ AnnR (0 :A I)) = N-dimR (0 :A I) Chøng minh Giả sử theo Bổ đề 2.3.4 ta có Bổ đề 2.3.4 ta có cho Do nên dim(R/ AnnR A) = N-dim A = s Khi ®ã dim(R/ AnnR A) = s LÊy p ∈ AttR A Theo dim R/p ≤ s Theo Bỉ ®Ị 2.1.3, tån t¹i p ∈ AttR A p ∩ R = p Khi ®ã p ⊇ q víi mét q ∈ AttR A q R AttR A theo Bổ đề 2.1.3 Vì p tối thiểu AttR A q ∩ R = p Do A tựa không trộn lẫn nên dim(R/p) = s Do dim(R/p) ≥ s Bëi vËy dim(R/p) = s VËy, A đẳng chiều Trước tiên, cho phần hệ tham sè (x1 , , xr ) cña A, ta chứng minh đẳng thức dim(R/ AnnR (0 :A (x1 , , xr )R)) = N-dim(0 :A (x1 , , xr )R) = sr Ta chứng minh đẳng thức quy nạp theo r Cho r = đặt x = x1 LÊy p ∈ Var(AnnR A) cho dim R/p = s Khi ®ã, theo Bỉ ®Ị 2.1.1 ta suy tån t¹i p ∈ AttR A Do ®ã, theo Bỉ ®Ị 2.1.3, p ∈ AttR A cho p = p ∩ R V× A tựa không trộn lẫn, dim(R/p) = s Do dim(R/ AnnR (0 :A x)) = N-dim(0 :A x) = s − nªn ta suy p ⊇ Rad(AnnR (0 :A x)) = Rad(AnnR A + xR) Do ®ã x p, x p Suy x phần tử tham số vành / / địa phương R/ AnnR A, tức dim(R/(AnnR A + xR)) = s − VËy, dim(R/ AnnR (0 :A x)) s − Theo Bỉ ®Ị 2.2.8, dim(R/ AnnR (0 :A x)) ≥ N-dim(0 :A x) = s − 1, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa khụng trn ln 32 đẳng thức với r = Cho r > Đặt B = :A (x1 , , xr−1 )R Theo gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã N-dim B = dim(R/ AnnR B) = s r + Vì B tựa không trộn lẫn theo Mệnh đề 3.1.2 xr phần tử tham số B nên áp dụng kết cho trường hợp r = ta nhận ®­ỵc N-dim(0 :B xr ) = dim(R/ AnnR (0 :B xr )) = s r Vậy, đẳng thức chứng minh Bây ta xét I iđêan R Đặt N-dim(0 :A I) = s r Khi đó, theo Mệnh đề 2.2.9, tồn phÇn hƯ tham sè (x1 , , xr ) A I Vì thế, theo đẳng thức theo Bổ đề 2.2.8 ta có s − r = N-dim(0 :A (x1 , , xr )R) = dim(R/ AnnR (0 :A (x1 , , xr )R) ≥ dim(R/ AnnR (0 :A I)) ≥ N-dim(0 :A I) = s − r Vậy, định lí chứng minh 3.2 Tính catenary môđun Artin tựa không trộn lẫn Định lí sau đây, kết chương kết luận văn, mối quan hệ tính chất (*) môđun Artin tựa không trộn lẫn tính catenary vành sở 3.2.1 Định lý (*) vành Giả sử A tựa không trộn lẫn Nếu A thỏa mÃn tÝnh chÊt R/ AnnR A lµ catenary vµ dim(R/ AnnR A) = N-dimR A = dim(R/ AnnR A) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn 33 Chøng minh Cho N-dim A = s Do A thỏa mÃn tính chất (*) nên theo Bổ đề 2.2.8 Bổ đề 2.3.4 ta có dim(R/ AnnR A) = N-dim A = dim(R/ AnnR A) = s Mặt khác A tựa không trộn lẫn dim(R/ AnnR A) = N-dim A nên theo Định lí 3.1.4 ta có A đẳng chiều Theo Bổ đề 2.3.4 ta suy vành R/ AnnR A đẳng chiều Vì thế, theo Mệnh đề 1.2.6, để chứng minh vành R/ AnnR A catenary ta cần dim(R/p) + ht(p/ AnnR A) = s víi mäi idean nguyªn tè p ⊇ AnnR A LÊy p ∈ Var(AnnR A) Đặt N-dim(0 :A p) = s k Theo Mệnh đề 2.2.9, tồn phần hệ tham số (x1 , , xk ) cña A chứa p Đặt J0 = Ji = (x1 , , xi )R víi mäi i = 1, , k Với i cho trước, :A Ji tựa không trộn lẫn theo Mệnh đề 3.1.2 Hơn nữa, dim(R/ AnnR (0 :A Ji )) = N-dim(0 :A Ji ) = s i theo Định lí 3.1.4 Vì thế, theo Định lí 3.1.4, thoả mÃn tính chất (*) nên Theo Bổ đề 2.1.1 ta có :A Ji đẳng chiều V× A p = AnnR (0 :A p) Suy p ⊇ AnnR (0 :A Jk ) p ⊇ pk víi mét pk ∈ AttR (0 :A Jk ) Tiếp tục lập luận trên, ta nhận dÃy iđêan nguyên tố p pk pk1 ⊇ ⊇ p0 ⊇ AnnR A, ®ã pi ∈ AttR (0 :A Ji ) víi mäi i = 0, , k Vì :A Ji đẳng chiều nên dim(R/pi ) = s − i V× thÕ pi = pi+1 víi mäi i Suy ht(p/ AnnR A) ≥ k, vµ dim(R/p) + ht(p/ AnnR A) = s Giả thiết tựa không trộn lẫn A Định lí 3.2.1 không bỏ Ví dụ sau điều S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn 34 3.2.2 VÝ dô cho vành Tồn Artin A không tùa kh«ng trén lÉn A tháa m·n tÝnh chÊt (*), dim(R/ AnnR A) = N-dimR A, nh­ng R/ AnnR A không catenary Chứng minh số chiều Đặt R-môđun Cho (R, m) miền nguyên Noether không catenary có d Kí hiệu E(R/m) bao nội xạ trường thặng dư R/m A = E(R/m) Khi A R-môđun Artin Theo [CN, Lemma 4.4], A thỏa mÃn tính chất (*) Vì R miền nguyên nên theo [Sh, Theorem 2.6] ta cã AttR A = Ass R = {0} Do ®ã, theo Bỉ ®Ị 2.1.1 ta có AnnR A = Vì vành R/ AnnR A = R không catenary Chú ý có đẳng cấu R-môđun E(R/m) E(R/m) Do theo [Sh, Theorem 2.6] ta cã AttR A = Ass R Suy AnnR A = vµ Ass(R) = AttR A Vì R không catenary nên không catenary phổ dụng Do theo [Mat, Định lí 31.6] ta suy R không đẳng chiều Vì tån t¹i p ∈ Ass R cho dim(R/p) < dim R = dim(R/ AnnR A) V× thÕ A không tựa không trộn lẫn Tiếp theo ®­a vÝ dơ chøng tá r»ng tÝnh tùa kh«ng trộn lẫn Định lí 3.2.1 quan trọng 3.2.3 Ví dụ Tồn R-môđun Artin A không tựa không trộn lẫn cho R/ AnnR A catenary vµ dim(R/ AnnR A) = dim(R/ AnnR A), nh­ng A kh«ng tháa m·n tÝnh chÊt (*) Chøng minh Gäi R miền nguyên Noether địa phương chiều xây dựng M Brodmann C Rotthaus [BR] cho R miền nguyên R/p trộn lẫn với p Spec R Chọn p Ass(R/pR) cho dim(R/p) < dim(R/p) Nh­ VÝ dô 3.1.3, ta cã dim(R/p) = 2, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn 35 dim(R/p) = vµ p ∈ AttR (Hm (R/p)) Chó ý thành phần p- thứ cấp của Hm (R/p) không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tèi thiÓu 1 Hm (R/p) (xem [Mac]) Gäi B thành phần p-thứ cấp Hm (R/p) xét R-môđun Khi AttR B = {p} AttR B = {p} LÊy x ∈ m \ p vµ chän p1 ∈ Ass(R/(p + xR)) cho dim(R/p1 ) = LÊy y ∈ m \ p1 Khi ®ã dim(R/yR) = Chän q ∈ Ass(R/yR) dim(R/q) = Đặt C = Hm (R/q) Vì ta có đẳng cấu R-môđun H (R/q) H (R/qR) nªn theo [BS, 7.3.2] ta suy AttR C = {q} vµ = cho m mR AttR C = {q Ass(R/qR) | dim(R/q) = 2} Đặt A = B C Khi A R-môđun Artin, AttR A = {p, q} vµ AttR A = {p} ∪ {q ∈ Ass(R/qR) | dim(R/q) = 2} V× y q \ p1 p p1 nên ta cã q ⊆ p Do ®ã q ⊆ p víi mäi q ∈ AttR C V× thÕ V× p AttR A Vậy A không tựa không trộn lẫn R miền nguyên nên R catenary phổ dụng (xem [Mat, Theorem 31.6]) Vì vành có R/ AnnR A catenary Hơn nữa, theo Bổ đề 2.1.1 ta dim(R/ AnnR A) = vµ dim(R/ AnnR A) = Cuèi cïng ta chøng minh A kh«ng tho¶ m·n (*) Chó ý r»ng p1 ⊇ p ⊇ AnnR A Vì y q \ p1 nên ta suy p1 ⊇ q Chó ý r»ng AttR C = {q} dim(R/p1 ) = Vì dim R/ AnnR (0 :C p1 ) dim R/(p1 + AnnR C) = dim R/(p1 + q) = Do ®ã AnnR (0 :C p1 ) m-nguyên sơ Vì AnnR (0 :C p1 ) = p1 Tõ d·y khíp x −→ R/p −→ R/p −→ R/(p + xR) −→ 0, ta cã d·y khíp c¶m sinh x 1 −→ Hm R/(p + xR) −→ Hm (R/p) −→ Hm (R/p) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn 36 Suy 1 :Hm (R/p) x ∼ Hm R/(p + xR) :Hm (R/p) x có độ dài = hữu hạn Vì x p1 nên :B p1 R-môđun có độ dài hữu hạn Suy AnnR (0 :B p1 ) = p1 V× thÕ AnnR (0 :A p1 ) = AnnR (0 :B p1 ) ∩ AnnR (0 :C p1 ) = p1 Vậy, A không thoả mÃn tính chất (*) 3.3 Môđun đối đồng điều địa phương tựa không trộn lẫn Tiết dành để trình bày đặc trưng cho môđun đối đồng điều địa phương tựa không trộn lẫn thoả mÃn tính chất (*) thông qua tính catenary vành sở 3.3.1 Định lý Giả sử i Hm (M ) tựa không trộn lẫn Khi mệnh đề sau tương đương (i) i Hm (M ) tháa m·n tÝnh chÊt (*) (ii) Vµnh i R/ AnnR Hm (M ) lµ catenary vµ ta cã c«ng thøc chiỊu i i dim(R/ AnnR Hm (M )) = dim(R/ AnnR Hm (M )) Để chứng minh Định lí 3.3.1, ta cần kết quan trọng sau đà chứng minh [NA1] Với số nguyªn i PsuppR M i−dim(R/p) = {p ∈ Spec R | HpRp i 0, đặt (Mp ) = 0} Tập Psuppi M định nghĩa M Brodmann R Y Sharp 2002, R gọi giả giá 3.3.2 Bổ đề thứ i M (Xem [NA1, Theorem 3.1]) Cho i ≥ lµ mét sè nguyên Các phát biểu sau tương đương: (i) (ii) i Hm (M ) thoả mÃn điều kiện (*) i Var AnnR (Hm (M )) = Psuppi M R Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn 37 Chøng minh (i)⇒(ii) Cho tháa m·n tÝnh chÊt (*) Cho i i ≥ lµ mét sè nguyên giả sử Hm (M ) idim(R/p) p Psuppi M Khi HpRp R Do tồn iđêan nguyên tố gắn kết với iđêan nguyên tố (Mp ) = i−dim(R/p) qRp ∈ AttRp HpRp (Mp ) q p Theo [BS, 11.3.8] ta suy q ∈ i i AttR (Hm (M )) Bëi vËy ta cã p ⊇ q ⊇ AnnR (Hm (M )) Do i PsuppR M Ngược lại, cho (*) nªn ta cã i ⊆ Var AnnR (Hm (M )) i i p ∈ Var AnnR (Hm (M )) V× Hm (M ) tháa m·n tÝnh chÊt i i AnnR :Hm (M ) p = p Suy Var AnnR (0 :Hm (M ) i i p) = {p} LÊy q ⊇ AnnR (0 :Hm (M ) p) Khi q p Vì Hm (M ) tháa m·n tÝnh chÊt (*) nªn i AnnR (0 :0:H i (M ) p q) = AnnR (0 :Hm (M ) q) = q m Do ®ã i :Hm (M ) p còng tháa m·n tÝnh chÊt (*) V× thÕ i dim(R/p) = dim R/ AnnR (0 :Hm (M ) p) i = N-dimR :Hm (M ) p i = dim R/ AnnR (0 :Hm (M ) p) i = max{dim(R/p) : p ∈ AttR :Hm (M ) p } Do vËy tån t¹i Chó ý r»ng i p ∈ AttR :Hm (M ) p cho dim(R/p) = dim(R/p) i p ∈ Var AnnR (Hm (M )) vµ p ∩ R ⊇ p Vì dim(R/p) = dim(R/p) nên p iđêan nguyên tố tèi thiĨu cđa pR Chó ý r»ng ta cã i đẳng cấu R-môđun Hm (M ) H i (M ) V× thÕ ta cã thĨ kiĨm tra = mR đẳng thức sau vành đầy đủ i M R Psupp Suy i = Var AnnR (Hm (M )) i−dim(R/p) p ∈ Psuppi M , tøc lµ HpR R p tè tèi thiĨu cđa R (Mp ) = Vì p iđêan nguyên pR dim(R/p) = dim(R/p) nên theo Định lí chuyển S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn 38 së ph¼ng (xem [BS, 4.3.2]) ta cã i−dim(R/p) HpRp i−dim(R/p) i−dim(R/p) (Mp ) = (Mp ) ⊗ Rp ∼ HpR (Mp ⊗ Rp ) ∼ HpR = = p p Do vËy i−dim(R/p) HpRp (Mp ) = 0, tức p Psuppi M Do R i Var AnnR (Hm (M )) ⊆ Psuppi M R (ii)⇒(i) Gi¶ sư i Var AnnR (Hm (M )) = Psupp i M Cho p iđêan R i nguyên tố chứa AnnR (Hm (M )) Khi theo giả thiết ta có p tức idim(R/p) HpRp iđêan nguyên tè ∈ Psuppi M , R (Mp ) = Vì dim(R/p) = dim(R/pR) nên tồn p Ass(R/pR) cho dim(R/p) = dim(R/p) Suy p ∩ R = p p iđêan nguyên tố tối thiểu pR Chú ý ánh xạ cảm sinh Rp Rp phẳng Do vậy, theo Định lí chuyển sở phẳng ta có idim(R/p) HpR p Do i−dim(R/p) (Mp ) ∼ HpRp (Mp ) ⊗ Rp = = i i p ∈ Psuppi (M ) = Var AnnR (Hm (M )) Chó ý r»ng Hm (M ) R i R-môđun Artin thỏa mÃn tính chÊt (*) Bëi vËy AnnR (0 :Hm (M ) p) = p Do ®ã ta cã i i p ⊆ AnnR (0 :Hm (M ) p) ⊆ AnnR (0 :Hm (M ) p) ∩ R = p ∩ R = p Do ®ã i i AnnR (0 :Hm (M ) p) = p VËy, Hm (M ) tháa m·n tÝnh chất (*) Bây ta chứng minh Định lí 3.3.1, kết tiết hai kết luận văn Chứng minh (i)(ii) suy từ Định lí 3.2.1 Ta chøng minh (ii)⇒(i) i Theo Bỉ ®Ị 3.3.2, ta chØ cÇn chøng minh Psupp Cho i−dim(R/p) p ∈ Psuppi M Khi ®ã HpRp R i−dim(R/p) AttRp HpRp i (M ) = Var(AnnR Hm (M )) (Mp ) = V× thÕ tån t¹i qRp ∈ (Mp ) víi q ⊆ p Theo [BS, 11.3.8] ta có S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn 39 i i q ∈ AttR (Hm (M )) V× thÕ p ⊇ q ⊇ AnnR (Hm (M )) Suy Psuppi M ⊆ R i Var AnnR (Hm (M )) Ngược lại, cho Khi i i p Var(AnnR (Hm (M ))) Đặt N-dim Hm (M ) = k i i dim(R/ AnnR Hm (M )) = k vµ dim(R/ AnnR Hm (M )) = k theo giả thiết Theo Bổ đề 2.1.1 ta có Vì V× i p ⊇ q víi q ∈ AttR (Hm (M )) i Hm (M ) đẳng chiều nên theo Định lí 3.1.4 ta có dim(R/q) = k i i q ∈ AttR (Hm (M )) nên tồn q AttR (Hm (M )) cho i q∩R = q Do Hm (M ) không trộn lẫn nên dim R/q = k Chú ý r»ng q ∈ i−dim R/q i Var(AnnR Hm (M )) V× thÕ q ∈ Psuppi (M ) Suy HqR Vì đồng cấu tự nhiên q (Mq ) = Rq Rq phẳng nên theo Định lí chuyển sở phẳng [BS, Theorem 4.3.2] ta có idim R/q HqR Do ®ã i−dim R/q HqRq q i−dim R/q (Mq ) ∼ HqRq (Mq ) ⊗ Rq = idim R/q (Mq ) = AttRq (HqRq (Mq )) = ∅ Theo [BS, 11.3.8] ta suy i−dim R/q+ht p/q AttRp (HpRp Do ®ã i−dim R/q+ht p/q HpRp (Mp )) = ∅ i (Mp ) = Vì R/ AnnR (Hm (M )) catenary i p ⊇ q ⊇ AnnR (Hm (M )) nªn ta cã i − dim R/q + ht p/q = i − dim R/p Do ®ã i−dim R/p HpRp (Mp ) = 0, tøc lµ p ∈ Psuppi (M ) VËy R i Var(AnnR Hm (M )) = Psuppi M R Chú ý môđun đối đồng điều địa phương cấp cao A không trộn lẫn d = Hm (M ) dim(R/ AnnR A) = dim(R/ AnnR A) = d Vì thế, d từ Định lí 3.3.1 ta nhận lại kết [CDN]: Hm (M ) thoả mÃn điều kiện (*) chØ nÕu d R/ AnnR Hm (M ) lµ vµnh catenary Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa khụng trn ln Tài liệu tham khảo [BR] M Brodmann and C Rotthaus, A peculiar unmixed domain , Proc AMS., (4)87 (1983), 596-600 [BS] M Brodmann and R Y Sharp, ``Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications", Cambridge University Press, 1998 [CN] N T Cuong and L T Nhan, tinian modules On the Noetherian dimension of Ar- , Vietnam J Math., (2)30 (2002), 121-130 [CDN] N T Cuong, N T Dung, L T Nhan, Top local cohomology and the catenaricity of the unmixed support of a finitely generated mod- , Comm Algebra, (5)35 (2007), 1691-1701 ule [FR] D Ferrand and M Raynaud, Noetherian, [K1] D Kirby, Fibres formelles d'un anneau local Ann Sci E'cole Norm Sup., (4)3 (1970), 295-311 Artinian modules and Hilberts polynomials , Quart J Math Oxford, (2) 24 (1973), 47-57 [K2] D Kirby, Dimension and length of Artinian modules, Quart J Math Oxford, (2)41 (1990), 419-429 [Mac] I G Macdonald, Secondary representation of modules over a commutative ring , Symposia Mathematica, 11 (1973), 23-43 [Mat] H Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn 41 [Na] M Nagata, ``Local rings", Interscience, New York, 1962 [NA1] L T Nhan and T N An, On the unmixedness and the universal catenaricity of local rings and local cohomology modules, 321 J Algebra, (2009), 303-311 [NA2] L T Nhan and T N An, On the catenaricity of Noetherian local rings and quasi unmixed Artinian modules, Comm Algebra, 38 (10) (2010), To appear [Ro] R N Roberts, Krull dimension for Artinian modules over quasi-local commutative rings [Sh] R Y Sharp, commutative , Quart J Math Oxford, 26 (1975), 269-273 Secondary representations for injective modules over Noetherian rings , Proc Edinburgh Math Soc., 20 (1975), 143-151 [TZ] Z Tang and H Zakeri, Co-Cohen-Macaulay modules and modules , Comm Algebra., (6)22 (1994), 2173-2204 of generalized fractions Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn Ch­¬ng Tính catenary môđun Artin tựa không trộn lẫn Trong suốt chương giả thiết (R, m) vành giao hoán, Noether, địa phương. .. 28Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn 28 3.1 Môđun Artin tựa không trộn lẫn Trước định nghĩa khái niệm môđun Artin tựa không trộn lẫn, ta nhắc lại... http://www.lrc-tnu.edu.vn 12Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin tựa không trộn lẫn 12 ii) NÕu dim R iii) Giả sử R catenary (R, m) vành Noether địa phương Khi R vành cate- nary nÕu vµ