Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề Một Số Ứng Dụng Của Lượng Giác Trong Đại Số Và Hình Học nhằm giúp các em học sinh có một cái nhìn khác về chuyên ngành lượng giác. Đó là việc sử dụng các công thức, tính chất lượng giác để giải quyết các bài toán về đại số và hình học. Bản thân các bài toán này có thể không liên quan gì tới lượng giác. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho thầy cô và các em học sinh có điều kiện nghiên cứu sâu hơn những điều thú vị trong các phép thế lượng giác.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH Mã số: (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC Người thực hiện: Phạm Hữu Danh Lĩnh vực nghiên cứu: Toán Học. Năm học: 2011-2012 SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN 1. Họ và tên: PHẠM HỮU DANH 2. Ngày tháng năm sinh: 01/02/1986 3. Nam, nữ: Nam 4. Địa chỉ: 177/2 Nguyễn Ái Quốc, phường Tân Biên, Biên Hòa, Đồng Nai 5. Điện thoại: 0904470753 6. E-mail: phithienlangtu2002@gmail.com 7. Chức vụ: Giáo viên 8. Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân. - Năm nhận bằng: 2008 - Chuyên ngành đào tạo: Toán học. III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán học. Số năm có kinh nghiệm: 4. - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 1 “Một số vấn đề cơ bản về lý thuyết chia hết, đồng dư”. Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác 2 Tên SKKN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lượng Giác là một trong những lĩnh vực cơ bản nhất của toán học, đã tồn tại và tiếp tục phát triển trong hàng ngàn năm qua. Lượng giác không chỉ là một nhánh của đại số mà còn là một ngành toán học độc lập, có nhiều ứng dụng trong khoa học và thực tiễn. Trong khuôn khổ toán phổ thông, lượng giác được giảng dạy vào cuối năm lớp 10 và đầu năm lớp 11 với những chủ đề cơ bản như: Công thức lượng giác, Phương trình lượng giác và Hệ thức lượng trong tam giác. Tuy nhiên lượng giác xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác của toán học như: Hình học, Tích phân. Chuyên đề Một Số Ứng Dụng Của Lượng Giác Trong Đại Số Và Hình Học nhằm giúp các em học sinh có một cái nhìn khác về chuyên ngành lượng giác. Đó là việc sử dụng các công thức, tính chất lượng giác để giải quyết các bài toán về đại số và hình học. Bản thân các bài toán này có thể không liên quan gì tới lượng giác. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho thầy cô và các em học sinh có điều kiện nghiên cứu sâu hơn những điều thú vị trong các phép thế lượng giác. II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 1. Cơ sở lý luận Những vấn đề cơ bản về lượng giác như công thức lượng giác, phương trình lượng giác… đều đã được đề cập tới trong chương trình Trung học phổ thông. Tuy nhiên trong khuôn khổ sách giáo khoa thì những ứng dụng của lượng giác hầu như không được nhắc đến. Chuyên đề này được viết nhằm giúp độc giả có thể thấy được những ứng dụng của lượng giác trong việc giải quyết các bài toán khác. Qua đó rèn luyên kĩ năng tư duy, phát triển bài toán ở nhiều góc độ khác nhau. Tài liệu không nhắc lại các công thức lượng giác cơ bản. Độc giả muốn tìm hiểu tất nhiên phải nắm các tính chất trong chương trình phổ thông. 2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài Trong $1, tác giả trình bày những kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc giải các bài tập về sau. Trong phần này, các Phép thế lượng giác phổ biến sẽ được đề cập đến. $2 nói về Một số ứng dụng của lượng giác trong đại số. Các dạng toán cơ bản như Giải phương trình, Hệ phương trình, Chứng minh bất đẳng thức sẽ được nhắc tới. Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác 3 $3 đề cập đến Ứng dụng của lượng giác trong hình học. Bản thân lượng giác xuất phát từ hình học. Tiêu biểu là Hệ thức lượng trong tam giác. Tài liệu còn đưa ra một số bài toán hình học phẳng mà có thể giải được bằng công cụ lượng giác. Do chuyên đề không nhắc lại những kiến thức về lượng giác cơ bản nên tác giả chủ yếu sẽ đưa ra những bài tập để bạn đọc tham khảo. Các em học sinh cần có những kiến thức cơ sở về lượng giác để theo dõi những bài tập dưới đây. III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Chuyên đề này đã được áp dụng trong việc giảng dạy cho học sinh khối 10. Hiện nay tài liệu về phép thế lượng giác không nhiều nên đây có thể là cẩm nang để các em tra cứu khi cần thiết, qua đó phát triển thêm tư duy toán học của mình. Nội dung này được truyền đạt tới học sinh trong khoảng 16 tiết. Các bài tập được trình bày chi tiết trong tiến trình lên lớp và một số bài luyện tập để học sinh nghiên cứu ở nhà. Sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này, học sinh đã có một cái nhìn vững chắc hơn về những những ứng dụng của lượng giác. Các em đã thay đổi cách nhìn lượng giác như một ngành độc lập nhưng đã thấy được sự hữu ích của phép thế lượng giác. Qua đó thêm tinh thần say mê toán học thông qua những vẻ đẹp vốn có của nó. IV. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Đề tài này có thể áp dụng cho khuôn khổ các trường Trung học phổ thông, đặc biệt dành cho những học sinh khá giỏi về toán có hứng thú về lượng giác. Để học sinh thấy được ý nghĩa của các phép thế lượng giác, giáo viên có thể giải một số bài tập bằng phương pháp thông thường và đối chiếu với cách giải bằng phương pháp lượng giác. V. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Tài liệu chuyên toán Đại Số Và Giải Tích – Đoàn Quỳnh, Trần Nam Dũng, Nguyễn Vũ Lương, Đặng Hùng Thắng - NXB Giáo Dục Việt Nam – 2010. 2. Chuyên đề lượng giác – Huỳnh Công Thái - NXB Đại Học Quốc Gia TP.HCM - 2005. 3. Tuyển tập 200 bài thi vô địch toán: Lượng Giác – Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho - NXB Giáo Dục – 2005. NGƯỜI THỰC HIỆN (Ký tên và ghi rõ họ tên) Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác 4 SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc , ngày tháng năm PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Họ và tên tác giả: Chức vụ: Đơn vị: Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục - Phương pháp dạy học bộ môn: - Phương pháp giáo dục - Lĩnh vực khác: Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị Trong Ngành 1. Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây) - Có giải pháp hoàn toàn mới - Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có 2. Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây) - Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao - Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao - Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao - Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả 3. Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây) - Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách: Tốt Khá Đạt - Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Tốt Khá Đạt - Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Tốt Khá Đạt Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của người có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm. XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (Ký tên và ghi rõ họ tên) THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu) Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác 5 $1. PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC I. Hàm Số Lượng Giác Ngược a) Hàm số [ ] sin : ; 1;1 2 2 sinx y x π π − → − =a là một song ánh. Do đó tồn tại hàm số ngược [ ] arcsin : 1;1 ; 2 2 arcsinx y x π π − → − =a b) Hàm số [ ] [ ] cos: 0; 1;1 cosx y x π → − =a là một song ánh. Do đó tồn tại hàm số ngược [ ] [ ] arccos : 1;1 0; arccosx y x π − → =a c) Hàm số tan : ; 2 2 tanx y x π π − → ÷ = ¡ a là một song ánh. Do đó tồn tại hàm số ngược arctan : ; 2 2 arctanx y x π π → − ÷ = ¡ a d) Hàm số ( ) cot : 0; cotx y x π → = ¡ a là một song ánh. Do đó tồn tại hàm số ngược ( ) arccot : 0; arccotx y x π → = ¡ a II. Các Phép Thế Lượng Giác Thường Sử Dụng 1. Một số phép thế lượng giác chung Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác 6 a) Nếu ( ) 0x a a≤ > thì có thể đặt: [ ] sin ; ; 2 2 cos ; 0; x a x a π π α α α α π = ∈ − = ∈ Biểu thức áp dụng: 2 2 a x− . b) Nếu 2 2 2 x y a+ = thì có thể đặt: [ ] sin ; 0;2 cos x a y a α α π α = ∈ = c) Nếu x a≥ thì có thể đặt: , cos sin a a x x α α = = Biểu thức áp dụng: 2 2 x a− . d) Với mọi x đều có thể đặt: tan ; ; 2 2 x π π α α = ∈ − ÷ Biểu thức áp dụng: 2 2 , 1 x y x a xy + + − . 2. Một số phép thế lượng giác trong tam giác a) Nếu 1xy yz zx+ + = thì tồn tại các góc , , α β γ sao cho: tan , tan , tan 2 2 2 x y z α β γ α β γ π = = = + + = b) Nếu x y z xyz+ + = thì tồn tại các góc , , α β γ sao cho: tan , tan , tanx y z α β γ α β γ π = = = + + = Đặc biệt: Nếu ba số dương x, y, z thỏa 1xy yz zx+ + = thì tồn tại tam giác ABC sao cho: tan , tan , tan 2 2 2 A B C x y z= = = Nếu ba số dương x, y, z thỏa x y z xyz+ + = thì tồn tại tam giác nhọn ABC thỏa: tan , tan , tanx A y B z C= = = Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác 7 $2. ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG ĐẠI SỐ I. Chứng Minh Đẳng Thức, Bất Đẳng Thức Bài 1: Cho x y≥ . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 x y x y x x y x x y+ + − = + − + − − . Giải Nếu x=0 thì y=0: đẳng thức hiển nhiên đúng. Nếu 0x ≠ : chia hai vế cho |x| 2 2 1 1 1 1 1 1 y y y y x x x x + + − = + − + − − ÷ ÷ (1) Vì 1 y x ≤ nên có thể đặt ( ) cos 0 y x α α π = ≤ ≤ . ( ) 1 1 cos 1 cos 1 sin 1 sin 1 cos 1 cos 1 sin 1 sin α α α α α α α α ⇔ + + − = + + − ⇔ + + − = + + − Đẳng thức cuối đúng, ta có điều phải chứng minh. Bài 2: Cho a, b, c là các số thuộc khoảng (0;1). Chứng minh: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1abc a b c+ − − − < . Giải Vì 0 , , 1a b c< < nên tồn tại các góc , , 0; 2 x y z π ∈ ÷ thỏa: 2 2 2 cos , cos , cosa x b y c z= = = . Bất đẳng thức trở thành: cos cos cos sin sin sin 1x y z x y z+ < . Thật vậy: ( ) cos cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos 1x y z x y z x y x y x y+ < + = − ≤ . Bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Bài 3: Cho hai số thực x, y thỏa 2 2 1x y+ = . Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 5 5 3 3 16 20 5 2x y x y x y+ − + + + ≤ . Giải Đặt ( ) cos , sin ; 0;2x a y a a π = = ∈ . Áp dụng các công thức lượng giác: 5 3 5 3 5 3 5 3 cos5 16cos 20cos 5cos 16 20 5 sin5 16sin 20sin 5sin 16 20 5 a a a a x x x a a a a y y y = − + = − + = − + = − + Do đó: Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác 8 ( ) ( ) ( ) 5 5 3 3 16 20 5 sin5 cos5 2sin 5 2 4 x y x y x y a a a π + − + + + = + = + ≤ ÷ . Bài 4: Cho biểu thức ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y x y P x y − − = + + . Chứng minh 1 4 P ≤ . Giải Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 x y P x y = − + + . Đặt tan , tanx y α β = = thì 2 2 2 2 sin 2 ,sin 2 1 1 x y x y α β = = + + . Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 sin 2 sin 2 sin sin 2 sin 2 sin 2 4 4 cos sin sin cos 1 sin 2 2 sin 2 2 4 P α β α β α β α β α β α β α β α β α β = − = 2 − + = + − + − = + − Vậy 1 4 P ≤ . Bài 5: Cho ba số dương x, y, z thỏa xy+yz+zx=1. Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z x y z x y z + + ≤ + + + + + + + + . Giải Tồn tại tam giác ABC thỏa: tan , tan , tan 2 2 2 A B C x y z= = = . Bất đẳng thức được viết lại: sin sin sin cos cos cos 2 2 2 A B C A B C+ + ≤ + + . Ta có: sin sin 2sin cos 2cos 2 2 2 A B A B C A B + − + = ≤ . Tương tự sin sin 2cos 2 sin sin 2cos 2 A B C B C A + ≤ + ≤ Cộng ba bất đẳng thức lại ta được điều phải chứng minh. Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác 9 Đẳng thức xảy ra khi: 1 3 3 A B C x y z π = = = ⇔ = = = . Bài 6: Cho ba số dương a, b, c thỏa abc+a+c=b. Chứng minh: 2 2 2 2 2 3 10 1 1 1 3a b c − + ≤ + + + . Giải Từ điều kiện của a, b, c suy ra 1 a c b ac + = − . Đặt tan , tana A c C= = thì ( ) tanb A C= + . Bất đẳng thức được viết lại: ( ) 2 2 2 2 2 3 10 tan 1 tan 1 tan 1 3A A C C − + ≤ + + + + Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 tan 1 tan 1 tan 1 2cos 2cos 3cos cos2 cos2 3cos 2sin 2 sin 3cos 2 sin 3 1 sin 10 1 10 3 sin 3 3 3 A A C C A A C C A A C C A C C C C C C − + + + + + = − + + = − + + = + + ≤ + − = − − ≤ ÷ Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi: ( ) ( ) sin 2 sin 0 sin 2 1 1 sin 3 A C C A C C + ≥ + = = Bài 7: Cho ba số dương a, b, c thỏa điều kiện: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 a b c a b c + + + = + + + + + + Chứng minh: 1abc ≥ . Giải Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác 10 [...]... = 0 2 3 c) y − 3x − 3 x y + x = 0 z − 3 y − 3 y2 z + y3 = 0 Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác 19 $3 ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG HÌNH HỌC I Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Bài 1: Cho tam giác ABC Chứng minh: C A B ( a − b ) cot + ( b − c ) cot + ( c − a ) cot = 0 2 2 2 Giải Áp dụng định lý sin, ta có: C cos C 2 ( a − b ) cot = 2 R ( sin A − sin B ) C 2 sin 2 C A+ B A −... chiều, ta được điều phải chứng minh Dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC đều, tức là a=b=c=1 ⇔ LUYỆN TẬP Bài 8: Cho các số dương a, b, c, d Chứng minh: ab + cd ≤ ( a + d ) ( b + c ) Bài 9: 2 2 Cho x, y là hai số thỏa 4 x + 9 y = 25 Chứng minh: 6 x + 12 y ≤ 25 Bài 10: Cho ba số dương x, y, z thỏa x+y+z=xyz Chứng minh rằng: Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác 12 1 1 + x2 + 1 1 + y2... 2 2 A B ab sin = 2 2 4c 1 c) S = a 2 sin 2 B 4 b) sin II Một Số Bài Toán Hình Học Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác 22 Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh BC lấy K sao cho BK=4KC, trên cạnh CD lấy M sao cho CM=4MD Với tỉ số AB/BC bằng bao nhiêu thì góc KAM lớn nhất? Giải A B K D C M AB 1 = Gọi α , β lần lượt là số đo góc BAK, MAD BC x Ta cần tìm x để α + β nhỏ nhất 4x 1... không đều Chứng minh rằng góc AIO ≤ 900 khi và chỉ khi 2BC ≤ AB + AC Bài 11: Giả sử M là một điểm nằm trong tam giác ABC Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của M lên BC, CA, AB Chứng minh: MB '+ MC ' A ≤ 2sin a MA 2 2 2 2 MA MB MC b ÷ + ÷ + ÷ ≥ 3 MB '+ MC ' MC '+ MA ' MA '+ MB ' Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác ... Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác 24 = 2sin x ( sin 30 + sin 50 ) sin x ( 1 + 2cos 40 ) = sin ( 80 − x ) sin ( 80 − x ) Suy ra: 2sin x cos 40 = sin ( 80 − x ) − sin x = 2sin ( 40 − x ) cos 40 Ta được x = 40 − x ⇔ x = 20 · Do đó · ACB = BAC = 50 Vậy tam giác ABC cân tại B LUYỆN TẬP Bài 10: Gọi I và O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC không đều Chứng minh rằng... là tam giác ABC cân tại A b) Theo câu a) ta có: Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác 21 ma ≤ 2 R cos 2 Tương tự: A a a sin A A ⇒ ≥ = = 2 tan 2 ma 2 R cos 2 A cos 2 A 2 2 2 b B ≥ 2 tan mb 2 c C ≥ 2 tan mc 2 Cộng các bất đẳng thức lại, kết hợp với bất đẳng thức cơ bản trong tam giác: A B C tan + tan + tan ≥ 3 2 2 2 ta có điều phải chứng minh Dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC đều LUYỆN... ( z 2 + 1) Do đó x, y, z cùng dấu Một số ứng dụng của lượng giác 16 Nếu (x,y,z) là nghiệm thì (-x,-y,-z) cũng là nghiệm Ta tìm nghiệm dương của hệ A B C Tồn tại tam giác ABC sao cho: x = tan , y = tan , z = tan 2 2 2 a 2 tan 2 ta có: sin A = sin B = sin C Áp dụng công thức sin a = a 3 4 5 1 + tan 2 2 π 3 4 Kết hợp định lý sin ta được ABC là tam giác vuông tại C và C = ,sin A = ,sin B = 2 5 5 A 1... xảy ra khi x = 2 Vậy với tỉ số AB/BC=2 thì góc KAM đạt giá trị lớn nhất Giả sử Bài 8: Cho tam giác cân ABC với AB=AC Giả sử đường phân giác góc B cắt AC tại D và BC=BD+AD Tính góc A Giải A B D K B C C Không mất tính tổng quát có thể giả sử AB=AC=1 Gọi b là góc ABD Ta có: A + 4b = π , góc ADB = 3b Áp dụng định lý sin: Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác 23 sin A sin A sin b , BD... ( cos A − cos C ) 2 Cộng ba vế lại ta được điều phải chứng minh ( b − c ) cot Bài 2: Nhận dạng tam giác ABC thỏa: a b c2 ( 1) b + a − ab = 1 cos A cos B = 1 ( 2 ) 4 Giải Áp dụng định lý côsin, ta có: Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác 20 ( 1) ⇔ a 2 + b 2 − c 2 = ab ⇔ 2ab cos C = ab ⇔ cos C = 1 π ⇒C = 2 3 Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng, ta được: 1 1 1... Nghiệm của phương trình là 4 4 sin α = x = 5 5 Bài 15: Giải phương trình: x 5 − 15 x 3 + 45 x − 27 = 0 Giải Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác 14 Trước hết ta chứng minh công thức: cos5a = 16cos5 a − 20cos3 a + 5cos a Thật vậy: cos5a = cos ( 3a + 2a ) = cos3a cos 2a − sin 3a sin 2a = ( 4cos3 a − 3cos a ) ( 2cos 2 a − 1) − ( 3sin a − 4sin 3 a ) 2sin a cos a Khai triển và . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH Mã số: (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ ỨNG. 0904470753 6. E-mail: phithienlangtu2002@gmail.com 7. Chức vụ: Giáo viên 8. Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao. về lý thuyết chia hết, đồng dư”. Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác 2 Tên SKKN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lượng Giác là