I PHẦN MỞ ĐẦU I.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong tốn học có nhiều mơn, mơn có hay thú vị Ở cấp phổ thông trung học sở học sinh học nghiên cứu số môn như: số học đại số hình học Riêng mơn hình học mơn lạ khó đối lứa tuổi học sinh cấp Trước tốn hình học, đặc biệt tốn chứng minh hình học thường học sinh lúng túng, bắt đầu từ đâu từ hướng Do lập luận tốn chứng minh hình học em thường dài dịng, rời rạc thiếu cứ, khơng đảm bảo tính khoa học logic Có thể nói hầu hết em học sinh bậc học trung học sở cịn gặp nhiều khó khăn việc học tập mơn hình học nói chung việc chứng minh tốn hình học nói riêng Nói cách khác em chưa nắm vững phương pháp chứng minh tốn hình học Về phía giáo viên q trình giảng dạy mơn hình học trung học sở khơng giáo viên thiên xây dựng khái niệm, hình thành khái niệm, liệt kê định lý, tính chất.v.v mà khơng dạy cho học sinh sử dụng khái niệm tính chất học vào việc giải tốn chứng minh hình học Mặt khác giáo viên ý đến việc giải nhiều tốn có liên quan đến vấn đề học thỏa mãn với việc tìm kết toán, mà chưa khái quát cách giải loại bài, dạng khác Dặc biệt giáo viên chưa dạy cho học sinh phương pháp tư tìm hướng giải tối ưu loại bài, dạng cụ thể Do học sinh khó xuất phát điểm tư tìm hướng giải nhanh nhất, cách giải tối ưu Vì học sinh hay lúng túng việc giải tốn lời giải nhiều khơng logic, thiếu chặt chẽ, máy móc khơng sáng tạo q trình làm hạn chế kực tư học sinh Việc giải tốn hình học chương trình trung học sở thực chất chứng minh lại mệnh đề tốn học Do phương pháp chứng minh tốn hình học em học sinh cấp cần thiết, quan trọng, giúp em phát triển lực tư duy, bước giúp em giúp em hoàn thành hoàn thiện thao tác tư như: So sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa góp phần phát triển lực trí tuệ cho em Các tốn chứng minh hình học đa dạng phong phú như: Chứng minh hai đoạn thẳng nhau, chứng minh hai đường thẳng song song, chứng minh hai tam giác nhau, chứng minh hai góc nhau.v.v Đối với học sinh cấp việc chứng minh hai góc cịn gặp nhiều khó khăn, hầu hết em mắc phải nhược điểm nêu Để giúp em khắc phục nhược điểm giải toán chứng minh hình học nói chung tốn chứng minh hai góc nói riêng, với kinh nghiệm năm giảng dạy trường trung học sở, từ thực tế tơi xin trình bày đề tài nhỏ là: “Phát triển lực trí tuệ học sinh qua toán chứng minh hai góc nhau“ hình học phẳng chương trình hình học trung học sở I.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Mục đích đề tài thơng qua dạng toán tổng hợp thành kiểu phương pháp chứng minh hai góc Từ nâng cao lực trí tuệ học sinh việc phát vấn đề nâng cao việc rèn kuyện kỹ cho học học sinh, chứng minh có luận cứ, có hướng rõ ràng tốn chứng minh hai góc Khắc phục việc dạy học giải tốn hai góc - Làm cho học sinh lựa chọn khám phá hướng mới, lời giải nhanh tốn Kích thích tìm tịi say mê học toán học sinh Làm cho học sinh vận dụng hợp lý tri thức để tìm mối liên hệ tồn toán khác - Mối liên hệ giả thiết kết luận tốn từ học sinh đưa cách giải nhanh chóng đưa cách giải hợp lý Biết tìm nhiều phương pháp giải tốn hình từ học sinh thích học, tự tin khơng lo sợ mơn hình học - Nhiệm vụ đề tài nói lên số cách giải chủ yếu thường gặp giải toán chứng minh hai góc hình học phẳng - Thơng qua mơn hình học kinh nghiệm giảng dạy đưa số tập tổng hợp hướng giải Trong ví dụ minh họa phương pháp giảng người thực đề tài ý phân tích để học sinh thấy phương pháp suy nghĩ để có phương pháp giải tối ưu Từ có cách trình bày phần chứng minh cho rõ ràng, lập luận chặt chẽ, logic I.3 THỜI GIAN, ĐỊA ĐIỂM * Thời gian: Thực năm từ 2006 đến 2010 * Địa điểm: Tại trường THCS Mạo Khê II I.4 ĐĨNG GĨP MỚI VỀ MẶT LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Mơn Hình mơn khó trừu tượng học sinh THCS địi hỏi người giáo viên phải ln tìm tịi suy nghĩ, có phương pháp để truyền đạt đến học sinh cách dễ hiểu Trong thời gian qua, với nhóm, tổ Tốn Lý trực tiếp giảng dạy nhiều năm mơn Tốn, Lý từ lớp đến lớp 9, với tổ bước nâng cao chất lượng giảng dạy có nhiều học sinh đạt học sinh giỏi cấp Huyện, cấp Tỉnh năm học 2007 – 2008 Năm học 2007 – 2008 có học sinh giỏi mơn Tốn cấp Huyện có em lớp phụ trách II PHẦN NỘI DUNG I.1 CHƯƠNG I: TỔNG QUAN Tên đề tài là: “Phát triển lực trí tuệ học sinh qua toán chứng minh hai góc nhau“ hình học phẳng chương trình hình học trung học sở Thời gian thực đề tài năm Trong đề tài sâu vào nghiên cứu phát triển lực trí tuệ học sinh qua tốn chứng minh hai góc hình học phẳng Từ đ ó rèn cho học sinh có k ĩ làm tập chứng minh hình học cấp THCS cách dễ hiểu gần gũi với học sinh, vận dụng tập chứng minh hình học khác II.2 CHƯƠNG II: NỘI DUNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU II.2.1 Thế chứng minh Chứng minh mệnh đề chẳng hạn A→B=1 xây dựng hữu hạn mệnh đề : A1, A2 An B cho B mệnh đề cuối dãy hệ logic mệnh đề Ai Mỗi Ai dãy phải mệnh đề hay suy từ mệnh đề A1, A2 A i-1 Trong B gọi luận đề, Ai gọi luận Các quy tắc suy luận dùng chứng minh gọi luận chứng Trong chứng minh luận đề phải rõ ràng, luận phải không lẫn lộn, luận chứng phải hợp logic Hay nói cách khác phải nói rõ với điều kiện thiết rút kết luận Phải đưa cớ để chứng thực kết luận đúng, nêu nên mối quan hệ bên chúng Để đạt yêu cầu trước chứng minh cần phải lưu ý vấn đề sau : a Đọc kỹ đầu bài, hiểu rõ kiện cho kiện cần chứng minh mối liên hệ điều cho cần chứng minh b Phân biệt rõ giả thiết kết luận, vẽ hình xác, dùng ký hiệu làm bật hình vẽ, thay ngơn từ tốn ký hiệu toán học cho toán đơn giản dễ phân biệt VÍ DỤ : Cho ∆ABC cân (đỉnh A ) đường thẳng song song với BC cắt AB AC E F Chứng minh tam giác AEF cân Cho học sinh đọc kỹ đầu điều cần chứng minh tam giác AEF cân Điều cho tam giác ABC cân EF song song với BC Từ cho học sinh vẽ hình tóm tắt giả thiết, kết luận ký hiệu toán học : GT ∆ABC cân AB=AC; EF//BC KL ∆AEF cân II.2.2 Bài tập chứng minh ? Một tập chứng minh gồm phần gì? II.2.2.1 Bài tập chứng minh Là mệnh đề hình học cần chứng minh, thơng qua mệnh đề ( định lý ) biết Hay nói cách khác tập chứng minh mệnh đề, định lý Do chứng minh tập chứng minh định lý toán học II.2.2.2 Hai phần tập chứng minh định lý Bất định lý hay tập có hai phần: - Phần quy định yếu tố cho (hoặc có sẵn) gọi phần giả thiết - Phần nêu rõ kết suy diễn logic hay phần phải tìm phải chứng minh gọi phần kết luận Phần hay sai sau chứng minh kết luận VÍ DỤ : Hai góc đối đỉnh nhau: Phần giả thiết : Hai góc đối đỉnh Phần kết luận : Bằng Dạng tổng quát định lý viết sau : Nếu A B C D Giả thiết Kết luận Tuy nhiên phần định lý, tập giả thiết kết luận tương đối phức tạp Dạng tổng quát chúng là: Nếu: A B C D G H I K E F Khi giải cần lưu ý đâu giả thiết đâu kết luận II.2.3 Các phương pháp thường gặp chứng minh II.2.3.1 Phương pháp chứng minh trực tiếp Khi chứng minh tập hình người ta thường dùng phương pháp phân tích để tìm hướng chứng minh, dùng phương pháp tổng hợp để viết phần chứng minh Cách làm gọi phương pháp chứng minh trực tiếp Phương pháp chủ yếu dùng để tìm hướng chứng minh Nó tổng hợp hai phương pháp: phân tích tổng hợp Phân tích từ kết luận (điều chưa biết) tìm điều kiện cần phải có để dẫn tới kết luận Phân tích tìm biết liên quan đến vấn đề cần chứng minh Có hai cách chứng minh: • Phân tích xuống :(hay suy ngược tiến) sơ đồ suy luận sau: B =B1→B2→B3→ →Bn =A gt Trong cách suy luận cần lưu ý : Nếu A chưa kết luận B hay sai Nếu A sai chắn B sai • Phân tích lên (suy ngược lùi) : Sơ đồ : A=Bn→Bn-1→ B3→B2→B1→B A giả thiết, B kết luận Nếu A B Nếu A sai B sai Phương pháp tổng hợp: Là phương pháp chứng minh từ giả thiết đến kết luận: Giả thiết điều biết (định lý, tiên đề, định nghĩa ) phép suy luận từ nguyên nhân đến hệ Phép chứng minh đơn giản phải chọn điều thích hợp từ suy kết luận Sơ đồ suy luận sau: A =A1→A2→A3→ →An =B Khi chứng minh điều kiện cần thiết thích hợp cho việc chứng minh điều lựa chọn khó có khơng làm Cho nên nói phần trên, chứng minh tập toán người ta kết hợp phương pháp phân tích phương pháp tổng hợp Phân tích để tìm hướng chứng minh, cịn tổng hợp chứng minh toán Sơ đồ sau : (gt) G E (gt) D C Phân tích Tổng hợp Định lý, điều biết A VÍ DỤ : Cho góc xOy cạnh Ox Oy lấy điểm C, A B, D cho C nằm A O, D nằm O B, OA=OB, x OC=OD Chứng minh góc ABC= góc BAD GT A Cho góc xOy C, A thuộc Ox C B, D thuộc Oy OA = OB O OC = OD KL D Góc ABC = Góc BAD B y Tìm hướng chứng minh thơng qua hướng phân tích tổng hợp sau : Sơ đồ phân tích sau : (gt) (gt) (gt) OA = OB OA = OB O chung ∆ AOB cân OD = OC ∆ AOD = ∆ BOC OAB = OBA DBO = CBO ABC = BAD Với sơ đồ hướng cho học sinh điều cho giả thiết đến tam giác AOB cân, tam giác AOD = tam giác BOC sau sử dụng tính chất cộng góc Dùng phép tổng hợp để trình bày tốn sau: Chứng minh Lý 1.tam giác ABC cân OA=OB 2.góc OAB=góc OBA tính chất tam giác cân 3.OA= OB gt OC=OD gt góc AOD=góc BOC chung góc tam giác AOD=tam giác BOC Trừơng hợp c.g.c 4.góc OAD= góc OBC T/c ∆ 5.góc AOD+ góc DAB= góc OAB cộng góc góc OBC+ góc CBA= góc OBA cộng góc góc DAB = góc ABC (5) (2) II.2.3.2 Phương pháp chứng minh gián tiếp: Như biết định lý có bốn cách biểu diễn, định lý thuận, định lý đảo, định lý phản đảo đúng, sai Tương tự với mệnh đề đảo phản đảo Dựa định lý khơng chứng minh khó có phương pháp chứng minh người ta chứng minh địng lý phản đảo Nếu phản đảo thuận Đó phương pháp chứng minh gián tiếp Một cách khác chứng minh phản chứng Để chứng minh phản chứng mệnh đề dạng: A→B=1 Ta chứng minh mệnh đề phủ định sai: A→ B =0 sai A giả thiết, B kết kuận Các bước phương pháp phản chứng gồm: Bước : Phủ định mệnh đề cần chứng minh B Bước : Tìm điều phủ định với giả thiết toán ta suy mâu thuẫn với giả thiết hay trái với điều biết ( dẫn đến mâu thuẫn) Bước : Từ mâu thuẫn ta kết luận điều giả sử sai Vậy kết kuận tốn VÍ DỤ 3:Chứng minh tam giác có hai đường phân giác tam giác cân GT M A ∆ABC BE = CF F Góc B1 = Góc B2 E Góc C1 = Góc C2 KL ∆ABC cân B C Chứng minh: Để chứng minh tam giác ABC cân ta cần chứng minh: góc B = góc C Giả sử: góc B> góc C → B2>C1→ CE>BF Dựng hình bình hành :BFME ta BE=FM góc B1= góc M1 10 Theo giả sử góc B > góc C → góc B1> góc C2, góc M1>góc C2 (1) Trong tam giác CME có CE> ME ME = BF→ Góc M2>Góc C3 (2) Từ (1) (2) ta góc M1 + góc M2 > góc C1 + góc C3 hay góc M > góc FCM Trong ∆FMC có góc M> góc FMC → FC>FM =BE Điều trái với giả thiết FC=BE → Vậy điều giả sử góc B >góc sai → góc B= góc C → ∆ABC cân II.2.4 Những điều ý chứng minh Hình học mơn học suy diễn lý luận chặt chẽ nên chứng minh phải có lý xác, có lập luận chắn logic Những lý phải có Phần chứng minh giới hạn điểm sau: • Giả thiết tốn • Những định nghĩa học • Những tiên đề định nghĩa học • Những tập áp dụng chứng minh Nếu ngộ nhận vấn đề tốn khó tìm lời giải lời giải sai Khi chứng minh cần kẻ thêm đường phụ để giải quết vấn đề hình học Những đường phụ cần ghi vào phần chứng minh Muốn vẽ đường phụ cần hiểu rõ mục đích nhằm vào số mục đích sau : • Kẻ đường phụ phải liên quan đến vấn đề cần chứng minh Phải có mối quan hệ mật thiết với vấn đề cần chứng minh • Khi vẽ đường phụ khơng làm cho rối hình thêm, phải tuân thủ bước dựng hình Đường phụ phải xác khơng tùy tiện Những loại đưịng phụ có : 11 • Kéo dài đoạn cho trước • Nối điểm cho trước hai điểm cố định • Dựng đường song song hạ vng góc • Kẻ dây cung tiếp tuyến với đường trịn II.2.5 Tóm lại Khi chứng minh tốn hình học tốn nói chung có nội dung phạm vi định, tiềm lực tốn Những tiềm lực toán mà ta biết khai thác hết khả phát triển cao tư duy, nhận thức, kỹ làm tập cho học sinh Với tốn khác có cách giải khác khai thác khác Do cần phải có hướng tổng hợp vấn đề để đưa chung để giải đưa dạng toán để sử dụng tình Từ biết loại trừ phương pháp tơi ưu Khi giải tốn làm thay đổi số vấn đề, thay đổi giả thiết mà kết luận khơng thay đổi Có thể đặt tốn vào tương tự tốn Dùng ký hiệu toán học thay hành văn toán làm cho tốn đơn giản Để từ có bước hướng giải Khi giải cần nghiên cứu kiện cho, kiện cần tìm để tìm phương pháp tối ưu, xác Khi giải xong tốn cần nhìn lại đường đi, bước phần cần phải có kiểm tra, phát kịp thời sửa chữa sai sót mắc phải có Đây giai đoạn nâng cao nhận thức tư rèn kuyện kỹ cho học sinh qua tập II.3 CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU, KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 12 II.3.1 Phương pháp II.3.1.1 Một số cách thường dùng để chứng minh hai góc CÁCH : Lợi dụng hai đường thẳng giao nhau, hai đường thẳng song song Những kiến thức có liên quan + Hai góc đối đỉnh + ĐỊnh lý hai đường thẳng song song + Hai góc có cạnh tương ứng song song Khi dạy cho học sinh cách chứng minh cần kưu ý học sinh điểm sau : • Thế hai góc • Để chứng minh hai góc ta đưa chúng dạng hai góc đối đỉnh, góc so le, góc đồng vị góc có cạnh tương ứng vng góc tương ứng song song Muốn cần cho học sinh ôn tập nắm kiến thức có liên quan Khi giải tập yêu cầu học sinh phát dấu hiệu có liên quan vấn đề cần xét, : song song, vng góc, cắt Cách : Lợi dụng trường hợp đồng dạng tam giác : Lớp + Lớp Kiến thức : + Ba trường hợp tam giác Trường hợp đồng dạng vẽ tương tự : + Các trường hợp tam giác vuông, đồng dạng tam giác thường, tam giác cân Khi dạy kưu ý học sinh điểm sau : 13 + Làm cho học sinh biết ghép góc cần chứng minh vào hai tam giác hay đồng dạng Khi chứng minh chúng hay đồng dạng ta suy hai góc CÁCH : Lợi dụng tam giác cân, hình bình hành Để sử dụng cách phải cho học sinh nắm tính chất tam giác cân, tính chất hình bình hành Cách chứng minh tam giác cân, chứng minh hình bình hành học Từ có vấn đề liên quan chứng minh góc là: - Hai góc đáy tam giác cân - Hai góc đối đỉnh hình bình hành Do u cầu học sinh gắn vào tam giác cân đó, hình bình hành có góc đối cách hợp lý để chứng minh CÁCH : Lợi dụng định lý dường trịn kiến thức - Hai góc nội tiếp chắn cung - Góc nội tiếp góc tiếp tuyến dây cung chắn cung - Góc có đỉnh đường trịn chắn hai cung - Góc có đỉnh ngồi đường trịn chắn hai cung - Hai góc chắn hai cung Khi dùng phương pháp học sinh phải nắm toàn lai toàn kiến thức học có liên quan đến phương pháp Phải ghép chúng vào tính chất dường trịn, tính chất góc đường trịn CÁCH : Dùng góc thứ làm trung gian Phương pháp sử dụng tính chất bắc cầu Tìm góc thứ góc cần chứng minh góc thứ có tổng với góc cần chứng minh Khi dùng tính chất giáo viên phải hướng dẫn em phát góc trung gian để thực phép cộng góc, phép bắc cầu Góc thứ phải hợp lí, vẽ hêm đường phụ để tìm góc thứ 14 CÁCH 6: Lợi dụng góc cho trước biến đổi Phương pháp giúp cho học sinh chứng minh hai góc tổng hiệu hai cặp góc đơi gấp đơi nửa hai góc cho trước II.3.1.2 MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ LỜI GIẢI Bài tập 1: Sách giáo khoa hình học Cho ∆ABC Trên tia đối tia BC, CB,BA, AB lấy theo thứ tự điểm D, E, M, N cho BD= BC = CE ; BM= BA ; CN= CA Chứng minh góc BMD = góc ENC, góc MDB = góc ACB góc NEC = góc ABC A Bài giải: GT AC = CN CE= BC = BD C E B D AB = BM KL Góc BMD = Góc ENC Góc MDB = Góc ACB N M Góc NEC = Góc ABC Chứng minh : Xét ∆ACB ∆NEC có : C góc đối đỉnh CE=CB (gt) CA=CN (gt) → ∆ACB= ∆NEC ( c.g.c) → góc NEC = góc ABC ; góc CNE = góc A (1) Tương tự ∆ ABC= ∆BMD → góc ACB= góc BDM ; góc BMD= góc A Từ (1) (2) → góc CNE=góc BMD 15 (2) Bài tốn dùng cách : cách cách Bài tập : Cho ∆ABC có góc nhọn M điểm thuộc BC, gọi D điểm đối xứng với M qua AB, E điểm đối xứng với M qua AC, DE cắt AB, AC I K Chứng minh MA phân giác góc IMK Bài giải : GT ∆ABC; M thuộc BC D đối xứng M qua AB E đối xứng M qua AC KL MA phân giác góc IMK A E K I D B CV M Chứng minh : Xét ∆AID ∆AIM có AI chung AD= AM góc DAI= góc IAM M, D đối xứng qua AB → ∆AID = ∆AIM (c.g.c) →góc D1= góc M1 Tương tự ta có ∆AMK= ∆AEK (c.g.c) → góc M2 = góc E1 16 Do DA=DM ; AE= AM → ∆ADE cân → góc D1= góc M1= góc E1= góc M2 → góc M1= góc M2 hay AM phân giác Bài toán sử dụng cách 2, cách 5, cách Bài tập : Cho ∆ABC (AB