Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng toán cao cấp 1 Học phần giải tích dành cho khối kinh tế, tài liệu dành cho các bạn nghiên cứu, tham khảo, cũng như tìm hiểu trong quá trình học của mình về môn học toán cao cấp 1 Học phần giải tích dành cho khối kinh tế
Tập đoàn bu chính viễn thông việt nam Học viện công nghệ bu chính viễn thông Bài giảng Toán cao cấp 1 (Học phần giải tích) (Dnh cho khi ngnh kinh t) Biên soạn: Nguyễn Thị Dung Hà Nội - 2013 PTIT 4 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu 3 Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 6 1.1. Dãy số thực 6 1.1.1. Định nghĩa dãy số thực, dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn 6 1.1.2. Giới hạn dãy số, dãy số hội tụ, dãy số phân kì 6 1.1.3. Tính chất của dãy số hội tụ 7 1.2. Các khái niệm cơ bản về hàm số 9 1.2.1. Các khái niệm cơ bản 9 1.2.2. Các hàm số sơ cấp cơ bản 11 1.3. Giới hạn của hàm số 12 1.3.1. Định nghĩa giới hạn hàm số 12 1.3.2. Tính chất của hàm số có giới hạn 14 1.3.3. Một số giới hạn đáng nhớ 17 1.3.4. Đại lượng vô cùng bé, đại lượng vô cùng lớn 18 1.4. Hàm số liên tục 21 1.4.1. Khái niệm hàm số liên tục 21 1.4.2. Các phép toán trên các hàm số liên tục 21 1.4.3. Các tính chất cơ bản của hàm số liên tục trên một khoảng đóng 23 Bài tập 24 Chương 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 28 2.1. Đạo hàm của hàm số 28 2.1.1. Khái niệm đạo hàm 28 2.1.2. Các quy tắc tính đạo hàm 29 2.1.3. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản 30 2.2. Vi phân của hàm số 33 2.2.1. Định nghĩa vi phân 33 2.2.2. Các quy tắc tính vi phân 33 2.2.3. Áp dụng vi phân để tính gần đúng 33 2.3. Đạo hàm và vi phân cấp cao 34 2.3.1. Đạo hàm cấp cao 34 2.3.2. Vi phân cấp cao 36 2.4. Các định lí giá trị trung bình 37 2.4.1. Định lí Fermat 37 2.4.2. Định lí Rolle 37 2.4.3. Định lí Lagrange 38 2.4.4. Định lí Cauchy 39 2.4.5. Công thức Taylor, công thức Maclaurin 39 2.5. Một số ứng dụng của đạo hàm 40 2.5.1. Sử dụng qui tắc Lôpitan để tính các giới hạn dạng vô định 40 2.5.2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số 43 2.5.3. Cực trị của hàm số 44 2.5.4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng đóng 45 Bài tập 46 Chương 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 51 PTIT 5 3.1. Nguyên hàm và tích phân bất định 51 3.1.1. Nguyên hàm của hàm số 51 3.1.2. Tích phân bất định 51 3.1.3. Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản 52 3.1.4. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân bất định 53 3.1.5. Tích phân của các hàm hữu tỉ 56 3.2. Tích phân xác định 61 3.2.1. Khái niệm tích phân xác định 61 3.2.2. Điều kiện khả tích 63 3.2.3. Tính chất của tích phân xác định 64 3.2.4. Liên hệ với tích phân bất định 65 3.2.5. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân xác định 67 3.3. Tích phân suy rộng 70 3.3.1. Tích phân suy rộng với cận vô hạn 70 3.3.2. Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn 73 Bài tập 75 Chương 4: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 79 4.1. Các khái niệm cơ bản 79 4.1.1. Tập hợp n , khoảng cách, lân cận, tập mở, tập đóng, tập bị chặn 79 4.1.2. Định nghĩa hàm nhiều biến, miền xác định và đồ thị của hàm nhiều biến 79 4.1.3. Giới hạn của hàm số nhiều biến 80 4.1.4. Sự liên tục của hàm số nhiều biến 82 4.2. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần 83 4.2.1. Đạo hàm riêng 83 4.2.2. Đạo hàm riêng của hàm số hợp 84 4.2.3. Vi phân toàn phần 85 4.2.4. Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao 89 4.2.5. Đạo hàm của hàm số ẩn 92 4.3. Cực trị của hàm nhiều biến 95 4.3.1. Cực trị không có điều kiện ràng buộc 95 4.3.2. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên miền đóng, bị chặn . 99 Bài tập 100 Chương 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 103 5.1. Khái niệm chung về phương trình vi phân 103 5.2. Phương trình vi phân cấp một 103 5.2.1.Đại cương về phương trình vi phân cấp một 104 5.2.2. Cách giải một số phương trình vi phân cấp một 105 5.3. Phương trình vi phân cấp hai 112 5.3.1. Các khái niệm cơ bản 112 5.3.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 113 Bài tập 126 ĐÁP SỐ VÀ GỢI Ý 129 Tài liệu tham khảo 141 PTIT 3 LỜI NÓI ĐẦU Toán cao cấp 1 là một trong những môn học đầu tiên của sinh viên khối ngành kinh tế. Học phần này bao gồm những nội dung sau: Chương 1: Hàm số và giới hạn Chương 2: Đạo hàm và vi phân Chương 3: Phép tính tích phân Chương 4: Hàm số nhiều biến số Chương 5: Phương trình vi phân Chương 1 trình bày những khái niệm cơ bản về dãy số, hàm số một biến, giới hạn hàm một biến và hàm số một biến liên tục. Chương 2 và chương 3 gồm các nội dung về đạo hàm, vi phân, tích phân của hàm một biến. Chương 4 dành cho hàm số nhiều biến số. Chương 5 trình bày những khái niệm cơ bản về phương trình vi phân và cách giải một số phương trình vi phân cấp một, cấp hai. Các nội dung trên được lựa chọn nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về phép tính vi tích phân, phương trình vi phân. Nhờ đó, sinh viên có kiến thức nền tảng để học tiếp các môn xác suất thống kê, toán kinh tế, kinh tế lượng và sau này biết vận dụng nghiên cứu các vấn đề chuyên môn của mình. Vì thời gian dành cho môn học không nhiều nên bài giảng Toán cao cấp 1 không quá đi sâu vào lí thuyết, nhiều định lí không được chứng minh, sinh viên có thể tìm hiểu trong các tài liệu tham khảo. Để cho việc tự học của sinh viên được dễ dàng hơn, tác giả đã đưa thêm một số ví dụ minh họa vào bài giảng, từ đó sinh viên có thể hiểu lí thuyết và tự giải các dạng bài tập tương tự. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn các thầy cô giáo trong bộ môn Toán đã đọc và cho nhiều ý kiến sâu sắc liên quan đến nội dung bài giảng. Chắc rằng bài giảng vẫn còn nhiều thiếu sót, tác giả rất mong nhận được thêm những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên. Tác giả xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, ngày 25 tháng 8 năm 2013 Tác giả PTIT Chương 1: Hàm số và giới hạn 6 Chương 1 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 1.1. DÃY SỐ THỰC 1.1.1. Định nghĩa dãy số thực, dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn Định nghĩa: Hàm số : u ( ) n n u n u gọi là một dãy số thực. Dãy số thường được viết dưới dạng n u hoặc 1 2 , , , , n u u u n u gọi là số hạng tổng quát của dãy số . n u Định nghĩa: Dãy n u được gọi là tăng nếu 1 , n n u u n tăng ngặt nếu 1n n u u , n giảm nếu 1 , n n u u n giảm ngặt nếu 1n n u u , .n Dãy số tăng hoặc giảm gọi là dãy số đơn điệu. Dãy số tăng ngặt hoặc giảm ngặt gọi là dãy số đơn điệu ngặt. Định nghĩa: Ta nói rằng dãy n u bị chặn trên nếu A sao cho n u A , n n u bị chặn dưới nếu B sao cho n u B , n n u bị chặn nếu tồn tại M sao cho n u M , .n Ví dụ 1.1: Dãy số n u với 1 n u n gồm các số hạng là 1 1 1 1 1, , , , , , 2 3 4 n n u là dãy giảm ngặt, bị chặn. 1.1.2. Giới hạn dãy số, dãy số hội tụ, dãy số phân kì PTIT Chương 1: Hàm số và giới hạn 7 Dãy n u được gọi là có giới hạn l nếu với mỗi số dương cho trước nhỏ tùy ý, tồn tại số 0 n sao cho: ( n ) 0 . n n n u l Kí hiệu lim n n u l hoặc n u l khi .n Dãy n u được gọi là hội tụ nếu có số l để lim . n n u l Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kì. Dãy n u được gọi là có giới hạn nếu với mỗi số dương A cho trước lớn tùy ý, tồn tại số 0 n sao cho: 0 ( ) . n n n n u A Kí hiệu lim . n n u Dãy n u được gọi là có giới hạn nếu với mỗi số âm A cho trước nhỏ tùy ý, tồn tại số 0 n sao cho: 0 ( ) . n n n n u A Kí hiệu lim . n n u Ví dụ 1.2: Chứng minh 1 lim 0. n n Giải: 1 1 0, 0 n n Chọn 0 n là số tự nhiên mà 0 1 n Ta có: 0 1 1 0 .n n n n Vậy 1 lim 0. n n Ví dụ 1.3: Xét dãy n u gồm các số hạng 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 1 1 1 1 1 , , , , , , 9 10 11 12 n Ta thấy lim 0. n n u Ví dụ 1.4: Xét dãy n u trong đó với mọi n . PTIT Chương 1: Hàm số và giới hạn 8 Dễ thấy lim . n n u a 1.1.3. Tính chất của dãy số hội tụ A. Tính duy nhất của giới hạn Định lí 1.1: Nếu dãy n u có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. B. Tính bị chặn * Dãy n u hội tụ thì bị chặn trong tập . C. Tính chất đại số của dãy hội tụ 1. lim lim . n n n n u a u a 2. lim 0 lim 0. n n n n u u 3. lim ,lim lim( ) . n n n n n n n u a v b u v a b 4. auau n n n n limlim , là hằng số. 5. ,0lim n n u n v bị chặn lim( ) 0. n n n u v 6. lim ,lim lim( ) . n n n n n n n u a v b u v ab 7. lim ,lim 0 lim . n n n n n n n u a u a v b v b D. Tính chất về thứ tự và nguyên lý kẹp 1. Giả sử lim n n u l và a l b . Khi đó 0 0 sao cho n n n . n a u b 2. Giả sử lu n n lim và 0 0 :n n n . n a u b Khi đó .a l b 3. Giả sử 3 dãy , , n n n u v w thoả mãn: 0 0 : n n n n n n u v w và lim lim . n n n n u w l Khi đó lim . n n v l 4. Giả sử 0 ,n n n n u v và lim . n n u Khi đó lim . n n v E. Tính chất của dãy số đơn điệu 1. Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ. 2. Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. 3. Dãy n u tăng và không bị chặn trên thì dần đến . 4. Dãy n u giảm và không bị chặn dưới thì dần đến . PTIT Chương 1: Hàm số và giới hạn 9 Ví dụ 1.5: Chứng minh rằng 1 1 n n e n hội tụ. Giải: Trước hết ta sẽ chỉ ra n e tăng. Thật vậy, theo công thức nhị thức Newton, ta có: n n nnn k nnkn nn nnnn n nnn n nn n n n e n n n 1 1 1 1 ! 11 1 2 1 1 1 ! 11 1 !2 1 11 1 2.1 )1) (1(1 3.2.1 )2)(1(1 2.1 )1(1 1 1 1 32 Suy ra 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2! 1 3! 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ! 1 1 1 ( 1)! 1 1 1 n n e n n n n n n n n n n n n n n Nhận xét: 1n e nhiều hơn n e một số hạng dương và từ số hạng thứ 3 trở đi mọi số hạng của n e nhỏ hơn số hạng tương ứng của 1n e (vì 1 1 1 1 1 nn ) . Suy ra 1n n e e . Ngoài ra 12 2 1 2 1 2 1 2 ! 1 !3 1 !2 1 2 n n n e , Như vậy 1 2 2 3, 1 1 2 n e n . Dãy n e tăng và bị chặn trên nên hội tụ. Gọi giới hạn của n e là số e , có 1 lim 1 n n e n ( 2,718e ) Lôgarit cơ số e của x được kí hiệu là ln x (đọc là lôgarit tự nhiên của x , hay lôgarit Nêpe của x ) . 1.2. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ 1.2.1. Các khái niệm cơ bản A. Định nghĩa hàm số Cho , .X Y Một hàm số f từ X vào Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x X một phần tử duy nhất .y Y : ( ) f X Y x y f x PTIT Chương 1: Hàm số và giới hạn 10 X được gọi là tập xác định của hàm số f. Phần tử x X được gọi là biến số. Số thực ( )y f x gọi là giá trị của hàm số f tại x (hay gọi là ảnh của x bởi hàm số f ). Tập ( ) ( ):f X f x x X gọi là miền giá trị của hàm số .f Người ta thường kí hiệu hàm số dưới dạng công thức xác định ảnh là ( ).y f x Khi đó miền xác định X của hàm số là tập hợp các phần tử x làm cho biểu thức ( )f x có nghĩa. B. Các phép toán trên các hàm số Cho hai hàm số :f X , :g X Các hàm số :f g X :f g X :fg X xác định bởi ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x ( )( ) ( ) ( )fg x f x g x theo thứ tự gọi là tổng, hiệu, tích của hai hàm số , .f g Ngoài ra, nếu ( ) 0g x với x X thì hàm số : f X g xác định bởi ( ) ( ) ( ) f f x x g g x gọi là thương của hai hàm số , .f g C. Các hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn, đơn điệu Định nghĩa: Giả sử X là tập số thực sao cho x X với x X và f là hàm số xác định trên X. f được gọi là hàm số chẵn nếu ( ) ( )f x f x , .x X f được gọi là hàm số lẻ nếu ( ) ( )f x f x , .x X Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục hoành, đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc O. Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên X. f được gọi là tuần hoàn trên X nếu tồn tại số 0 sao cho với mọi ,x X ta có: PTIT Chương 1: Hàm số và giới hạn 11 x + X và f (x + ) = f (x). Số T dương bé nhất trong các số gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn ( ).f x Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên X , f được gọi là tăng trên X nếu: 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( ) ( )x x X x x f x f x tăng ngặt trên X nếu: 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( ) ( )x x X x x f x f x giảm trên X nếu: 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( ) ( )x x X x x f x f x giảm ngặt trên X nếu: 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( ) ( )x x X x x f x f x . f được gọi là hàm số đơn điệu trên X nếu nó tăng hoặc giảm trên X. f được gọi là đơn điệu ngặt trên X nếu nó tăng ngặt hoặc giảm ngặt trên X. Định nghĩa: Hàm số f (x) được gọi là bị chặn trên trong X nếu tồn tại số A sao cho: ( )f x A , x X bị chặn dưới trong X nếu tồn tại số B sao cho: ( )f x B , x X bị chặn trong X nếu tồn tại các số A, B sao cho ( )B f x A , .x X D. Hàm số hợp Định nghĩa: Cho các hàm số f : X Y và g: Y Hàm số hợp của hai hàm số f , g kí hiệu là g f và xác định như sau: : ( ) ( ( )). g f X x g f x g f x * Người ta còn diễn tả định nghĩa hàm số hợp bằng lược đồ như sau: Ví dụ 1.6: Hàm số 3 sin( 2)z x x là hợp của hai hàm số 3 2u x x và sinz u . g f X f Y g x f (x) ( ( )) ( )g f x g f x PTIT [...]... 0) 1. 12 Tìm hàm ngược của các hàm số sau: a) y 2 x 3 ; b) y x 2 1, x 0 ; c) y 3 1 x 3 ; d) y lg x 2 1. 13 Tìm các giới hạn a) lim x2 x x 3 2 x 2 20 12 x 16 10 ; x x 2 x n n b) lim ; x 1 x 1 x100 2 x 1 x 1 x 50 2 x 1 c) lim 1. 14 Tìm các giới hạn 29 Chương 1: Hàm số và giới hạn x x x ; x 1 a) lim x x 3 x 4 x 2x 1 b) lim x 1. 15 Tìm... n n 2 1 ; b) xn n(n a) n ; c) xn n 3 1 n3 ; d) xn 3 n 1 3 n 1. 3 Cho dãy xn với xn xn 1 1 , x1 = 1 xn 1 b) Chứng minh lim xn n IT a) Chứng minh xn không có giới hạn hữu hạn ; 1. 4 Chứng tỏ rằng các dãy số sau có giới hạn hữu hạn: 1 1 2 ; 2 2 n PT a) xn 1 b) xn 1 1 2! n! 1. 5 Chứng tỏ các dãy số sau có giới hạn là + a) xn 1 1 1 ; 2... trên [a,b] 1. 4.4 Một vài giới hạn liên quan tới số e log a (1 x) log a e; x 0 x 1 lim a x 1 ln a; x 0 x 2 lim x 0 1 (0 a 1) PT 3 lim 1 x IT Ta có một số giới hạn cơ bản sau: x Từ đó suy ra ln (1 x) 1 hay ln (1 x) x 0 x lim x khi x 0 ex 1 1 hay e x 1 x khi x 0 x 0 x lim Thật vậy: 1 log a (1 x) 1 lim lim log a (1 x) x log a e x 0 x 0 x 1 (Vì lim (1 x )... tại e) x 0 2 Đặt a x 1 t x log a (1 t ) a x 1 t 1 lim ln a x 0 t 0 log (1 t ) x log a e a lim 1 x 3 lim x 0 x 1 e ln (1 x ) 1 ln (1 x) lim lim x 0 x 0 x x 27 Chương 1: Hàm số và giới hạn BÀI TẬP 1. 1 Bằng định nghĩa, hãy tìm giới hạn của các dãy có số hạng tổng quát sau: a) un n ; n 1 c) un n2 n3 1 b) un n 1 ; 4n 1 1.2 Tìm giới hạn của các... x 1 x2 1 x ; 1 x c) lim 1 2 x ; x 0 x 0 2 x 1 b) lim 2 x x 1 d) lim cos x x 0 x 1 x 1 ; 1 x 1. 19 Tính các giới hạn a) lim sin x x tanx b) lim 1 x 2 ; x 0 cot 2 x ; 2 1 1 tanx sin x c) lim x 0 1 sin x 1. 20 Tính các giới hạn a) lim sin ln( x 1) sin ln x ; x b) lim n 2 n n x n 1 x , x 0; 30 Chương 1: Hàm... hiệu ~ tại x0 21 Chương 1: Hàm số và giới hạn Ví dụ 1. 15: x3 o( x) khi x 0 sin x x khi x 0 x3 ( x 1) x 1 khi x 1 Nhận xét: * Nếu ~ 1 , ~ 1 tại x0 thì ~ 1 1 tại x0 * Nếu ~ 1 , ~ 1 tại x0 thì lim x x0 ( x) ( x) lim 1 ( x ) x x 1 ( x ) 0 * Nếu o( ) khi x dần đến x0 thì ~ tại x0 * (Qui tắc ngắt bỏ các VCB cấp cao) Nếu là VCB cấp thấp nhất trong... thì lim 1 u ( x) u ( x ) e và lim x x0 20 Chương 1: Hàm số và giới hạn Ví dụ 1. 12: Tính lim x 0 cos x cos 3x x2 Giải: lim x 0 cos x cos 3x 2 sin 2 x.sin( x) sin 2 x.sin x lim lim 4 4 2 2 x 0 x 0 x x 2 x.x x2 1 Ví dụ 1. 13: Tìm lim 2 x x 1 x 2 1 2 Giải: 2 x 1 lim 2 x x 1 x 2 1 2 2 lim 1 2 x x 1 x 2 1 2 = e 1. 3.4... các giới hạn m 1 x n 1 x 1 x sin x sin a ; xa xa b) lim 1 tanx 1 sin x ; x3 1 cos x cos 2 x cos 3 x ; x 0 1 cos x d) lim cos x 3 cos x sin 2 x x 0 1 x n 1 x ; x m b) lim a) lim x 0 1. 16 Tìm các giới hạn a) lim x 0 c) lim IT 1. 17 Tìm các giới hạn x 2 ; x4 x 5x 4 a) lim b) lim ( 3 x 3 x 2 1 x ) 2 x PT 1. 18 Tìm các giới hạn 2 3x x 1 a) lim... giới hạn c) f ( x ) arcos 2x ; 1 x2 x d) f ( x ) arcsin lg 10 1. 9 Tìm hàm số f ( x) biết a) f ( x 1) x 2 3x 2 ; 1 1 b) f x x 2 2 x x ( x 2) ; x 2 c) f x x 1 1. 10 Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số: c) f ( x ) ln b) f ( x ) x 2 2 x 1 ; 1 x ; 1 x d) f ( x ) 3 (1 x ) 2 3 (1 x )2 IT x ; a) f ( x) 1. 11 Xét tính tuần hoàn và tìm chu... VCL cấp thấp) Giả sử f là VCL cấp cao nhất trong các VCL f i , i 1, 2, , m g là VCL cấp cao nhất trong các VCL g j , j 1, 2, , n , tại x0 Khi đó: m PT f ( x) i i 1 n lim x x0 g lim j ( x) x x0 f ( x) g ( x) j 1 Ví dụ 1. 17: Tìm các giới hạn: x2 x 1 x 2 x 2 2 lim Giải: x2 x 1 x2 1 lim 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2 lim Chú ý: Đối với các VCL và VCB nói chung, f g và f1 . n n nnn k nnkn nn nnnn n nnn n nn n n n e n n n 1 1 1 1 ! 11 1 2 1 1 1 ! 11 1 !2 1 11 1 2 .1 )1) (1( 1 3.2 .1 )2) (1( 1 2 .1 )1( 1 1 1 1 32 Suy ra 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2! 1 3! 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ! 1 1 1 ( 1) ! 1 1. hai 11 2 5.3 .1. Các khái niệm cơ bản 11 2 5.3.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 11 3 Bài tập 12 6 ĐÁP SỐ VÀ GỢI Ý 12 9 Tài liệu tham khảo 14 1 PTIT 3 LỜI NÓI ĐẦU Toán cao. khoảng đóng 45 Bài tập 46 Chương 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 51 PTIT 5 3 .1. Nguyên hàm và tích phân bất định 51 3 .1. 1. Nguyên hàm của hàm số 51 3 .1. 2. Tích phân bất định 51 3 .1. 3. Nguyên