24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH TUY N T P TÍCH PHÂN ( ÁP ÁN CHI TI T) BIÊN SO N: LƯU HUY THƯ NG H VÀ TÊN: ………………………………………………………………… L P :………………………………………………………………… TRƯ NG :………………………………………………………………… HÀ N I, 4/2014 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 TÍCH PHÂN CƠ BẢN HT 1.Tính tích phân sau: 1 a) I1 = ∫ x 3dx b) I = ∫ (2x + 1)3 dx 0 ∫ (1 − 4x ) dx 1 d) I = c) I = ∫ (x − 1)(x − 2x + 5) dx e) I = ∫ (2x − 3)(x − 3x + 1)3 dx 0 Bài giải a) I1 = ∫ x 3dx = x4 0= b) I = ∫ (2x + 1) dx Chú ý: d(2x + 1) = 2dx ⇒ dx = d(2x + 1) ⇒ I2 = ∫ (2x + 1)3 dx = ∫ (2x + 1)3 d(2x + 1) = (2x + 1)4 c) I = 0= 81 − = 10 8 ∫ (1 − 4x ) dx Chú ý: d(1 − 4x ) = −4dx ⇒ dx = − d(1 − 4x ) ⇒ I3 = ∫ (1 − 4x ) dx = − d) I = ∫ (x − 1)(x ⇒ I4 = ∫ = ∫ (1 − 4x )3 d(1 − 4x ) = − 0= − 81 + = −5 16 16 − 2x + 5)3 dx Chú ý: d(x − 2x + 5) = (2x − 2)dx ⇒ (x − 1)dx = d (x − 2x + 5) (x − 1)(x − 2x + 5) dx = (x − 2x + 5)4 (1 − 4x )4 4 = 162 − ∫ (x − 2x + 5)3 d(x − 2x + 5) 615 671 = 8 B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 e) I = ∫ (2x − 3)(x − 3x + 1)3 dx Chú ý: d (x − 3x + 1) = (2x − 3)dx ⇒ I5 = ∫ (2x − 3)(x − 3x + 1) dx = = ∫ (x − 3x + 1)3 d (x − 3x + 1) (x − 3x + 1)4 0= 1 − =0 4 HT 2.Tính tích phân sau: a) I = ∫ b) I = xdx ∫ c) I = d) I = x + 2dx ∫x + x dx e) I = ∫x − x dx ∫ f) I = ∫ (1 − x ) x − 2x + 3dx g) I = 2x + 1dx ∫ x x + 1dx h) I = ∫ (x − 2x ) x − 3x + 2dx Bài giải a) I = ∫ xdx = x x b) I = ∫ x + 2dx = c) I = ∫ ∫ 2x + 1dx = x + x dx = e) I = ∫ f) I = ∫ ∫ 2x + 1d (2x + 1) = ∫ + x d (1 + x ) = ∫ (1 + x ) + x 2 0= − x d (1 − x ) = − (1 − x ) − x 2 (1 − x ) x − 2x + 3dx = − 2 26 (2x + 1) 2x + = − = 3 1 x − x dx = − 2 16 38 (x + 2) x + 2 = 18 − = 3 d) I = 0= 2 − 3 0= 0+ 1 = 3 ∫ x − 2x + 3d (x − 2x + 3) 2 = − (x − 2x + 3) x − 2x + = − + 3 B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng g) I = ∫x x + 1dx = 3 h) I = ∫ = 0968.393.899 ∫ x + 1d (x + 1) = (x − 2x ) x − 3x + 2dx = 3 2 −2 (x + 1) x + 1 = 3 ∫ x − 3x + 2d (x − 3x + 2) 4 (x − 3x + 2) x − 3x + = − =− 3 9 HT 3.Tính tích phân sau: a) I1 = ∫ ∫ b) I = x d) I = dx dx ∫ c) I = 2x + ∫ −1 (x + 1)dx e) I = x + 2x + ∫ dx − 2x (x − 2)dx x − 4x + Bài giải a) I = ∫ dx x b) I = ∫ 0 c) I = ∫ −1 dx 2x + ∫ e) I = ∫ = 1= ∫ (x + 1)dx x + 2x + (x − 2)dx d(2x + 1) = 2x + 1 = − 2x + 0 ∫ d (1 − 2x ) = =− − 2x 4−2 = dx d) I = =2 x − 2x −1 = x − 4x + ∫ d(x + 2x + 2) x + 2x + ∫ = − − 2x d (x − 4x + 5) x − 4x + −1 = −1 + = x + 2x + = − = x − 4x + = − HT 4.Tính tích phân sau: e a) I = ∫ dx x 1 d) I = b) I = ∫ −1 dx − 2x c) I = (x + 1)dx ∫ x + 2x + e) I = xdx ∫ x2 + x −2 ∫ x − 4x + dx Bài giải B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 e a) I = ∫ dx = ln x x e 1= ln e − ln = 1 b) I = ∫ −1 c) I = ∫ d) I = ∫ dx =− − 2x = 2 x +1 xdx ∫ −1 ∫ d(1 − 2x ) = − ln − 2x − 2x ( x +1 1 = 2 x + 2x + x −2 ∫ x − 4x + ) = ln x d x2 + (x + 1)dx e) I = ∫ +1 d(x + 2x + 2) x + 2x + ∫ d (x − 4x + 5) x − 4x + ln − (ln − ln 3) = 2 ln (ln − ln 1) = 2 0= ln x + 2x + 2 = dx = 2 −1 = = 0= ln x − 4x + 1 (ln − ln 2) = ln 2 0= 1 (ln − ln 5) = ln 2 HT 5.Tính tích phân sau: a) I = dx ∫ x2 b) I = dx ∫ (2x − 1)2 c) I = −1 dx ∫ (3x + 1)2 Bài giải a) I = dx ∫ x2 = − x 1= − +1 = d(2x − 1) 1 b) I = = =− 2 (2x − 1) 2x − (2x − 1) −1 −1 dx ∫ c) I = ∫ dx ∫ (3x + 1)2 = d (3x + 1) −1 = 1 1 − = 1 ∫ (3x + 1)2 = − 3x + = − 12 + = HT 6.Tính tích phân sau: a) I = ∫e 3x b) I = dx ∫ ex + e) I = (2e + 1) dx c) I = ∫ (e2x − 1)2 f) I = e x 2e + 1dx h) I = ∫ (1 − 4e x )3 dx e e 2x dx ∫ (1 − 3e2x )3 2x 2x + 3e dx i) I = B H C VÔ B x 1 x ∫e e 2x dx 1 ∫ e x dx g) I = ∫e x d) I = x ∫ - CHUYÊN C N S NB N e x dx ex + Page 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng a) I = ∫ b) I = ∫ e 3x dx = e 3x 0968.393.899 e3 − 3 0= 1 e (2e + 1) dx = x (2e x + 1)4 (2e x + 1)3 d(2e x + 1) = ∫ x   (2e + 1)4 81 (2e + 1)4 81  =  − = −    2 4 8    c) I = ∫ ex (1 − 4e x )3 dx = − 4  e x dx ∫ ex + ∫ = e) I = f) I = e 2x dx ∫ (1 − 3e2x )3 g) I = ∫e x h) I = ∫e i) I = ∫ 2x 2 ex + 1 ∫ d(1 − 3e 2x ) 1 0= ln(e + 1) − ln = ln e +1 −1 1= 12(1 − 3e ) − 12(1 − 3e ) 2ex + 1d (2e x + 1) = (2e x + 1) 2e x + 1 = (2e + 1) 2e + − 3 ∫ 2x = = ln e x + 1 1 + 3e dx = e x dx   81 81 − (1 − 4e)4 =  4 16   ∫ (1 − 3e2x )3 = − 2(1 − 3e2x )2 2e + 1dx = x − 1 1 e2 =− =− + = e2x − 1 − 1)2 2(e − 1) 2(e − 1) 2(e − 1) 1 ) d(1 − 4ex ) d (e2x − 1) ∫ (e2x =− 1 e +1 = 2 − 1) x x e2x dx ∫ (e2x ∫ (1 − 4e d (e x + 1)  (1 − 4e)4 =−    (1 − 4ex )4 =− 4 d) I = ∫ d(ex + 1) ex + 1 + 3e 2x d (1 + 3e2x ) = (1 + 3e2x ) + 3e 2x 0= (1 + 3e2 ) + 3e2 − 9 = ex + 1 = e + − HT 7.Tính tích phân sau: e a) I1 = ∫ e ln x dx x b) I = e d) I = ∫ ∫ ln x + dx x e c) I = ln3 x + ln2 x − ln x + dx x 1 e2 e) I = ∫ e B H C VÔ B ∫ (3 ln x + 1)3 dx x e dx x ln x - CHUYÊN C N S f) I = dx ∫ x(3 ln x + 1) NB N Page 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng e g) I = 0968.393.899 e ln x + 1dx x ∫ h) I = ∫x dx ln x + Bài giải e a) I1 = ∫ e ln x dx = x ∫ e b) I = ∫ ln xd (ln x ) = ln x + dx = x e c) I = ∫ e d) I = ∫ ln2 x e ln2 e ln2 1 = − = 2 2     ln2 x (3 ln x + 1)d (ln x ) =  + ln x  e = ( + 1) − = 1     2    e ∫ (3 ln x + 1)3 dx = x e ∫ (3 ln x + 1)3 d (3 ln x + 1) = ln x + ln2 x − ln x + dx = x e ∫ (4 ln e2 ∫ e ∫ ∫ e e e ∫ ln x + 1dx = x ∫ d(3 ln x + 1) 1 ln = ln(3 ln x + 1) e = (ln − ln 1) = ln x + 3 e ∫ ln x + 1d(3 ln x + 1) = e h) I = = (1 + − + 1) − = 2 d (ln x ) = ln(ln x ) e = ln(ln e ) − ln(ln e ) = ln e ln x dx = x (3 ln x + 1) e g) I = x + ln2 x − ln x + 1)d (ln x ) e2 dx = x ln x e f) I = = (ln4 x + ln x − ln2 x + ln x ) e) I = (3 ln x + 1)4 e 64 85 − = 1= 12 e dx ∫x ln x + 1 == ∫ d(3 ln x + 1) ln x + = 16 14 (3 ln x + 1) ln x + e = − = 3 9 2 ln x + e = − = 3 3 HT 8.Tính tích phân sau: π a) I = ∫ cos π x sin xdx b) I = ∫ sin π x cos xdx c) I = ∫ sin π π 2x cos 2xdx π d) I = sin x ∫ cos x dx e) I = ∫ sin x cos x + 1dx f) I = ∫ cos x dx sin x + Giải B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 π a) I1 = ∫ π ∫ cos2 x sin xdx = − 0 π π b) I = ∫ sin x cos xdx = ∫ π c) I = ∫ sin 2x cos 2xdx = π d) I = ∫ cos2 xd(cos x ) = − sin x dx = − cos x π ∫ sin3 x sin xd (sin x ) = 2 π ∫ ∫ d (cos x ) = − ln(cos x ) cos x sin x cos x + 1dx = π f) I = ∫ cos x sin 2xd (sin 2x ) = π e) I = dx = 3 sin x + cos3 x π ∫ π ∫ π 0= π 0= sin4 2x π = − ln π 0= 2 + ln = − ln 2 cos x + 1d(3 cos x + 1) = (3 cos x + 1) cos x + d(3 sin x + 1) sin x + = 3 sin x + B H C VÔ B π 0= - CHUYÊN C N S π 0= − = −1 3 2 − = 3 NB N Page 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 PHẦN II TÍCH PHẦN HÀM HỮU TỶ I.DẠNG 1: dx ∫ ax + b = a ln ax + b + C HT 1.Tính tích phân sau: a) ∫ 0 dx 3x + b) ∫ −1 dx − 3x c) ∫   dx   −      2x + − 2x   Giải a) dx ln ∫ 3x + = ln 3x + = (ln − ln 1) = 0 b) dx ∫ − 3x = − ln − 3x −1 −1 c) ∫ = ln = − (ln − ln 4) = − 3      dx =  ln 2x + + ln − 2x  =  ln + ln 2 −  ln + ln 4       0    −         2 2    2   2x + − 2x    2        ln + ln 2 HT 2.Tính tích phân sau: a) I1 = ∫ x + 3x − 2x + 5x − x2 1 b) I = dx ∫ x − 3x + 2x − dx c) I = x −2 ∫ −1 2x − 3x + 4x − 1 − 2x Giải a) I1 = ∫ x + 3x − 2x + 5x − x2 dx = ∫ (x + 3x − + − )dx x x2    13 3x 1 8 1 1 x       = + − 2x + ln x +  =  + − + ln +  −  + − + ln + 1 = + ln     3 3  3    x 2      b) I = ∫ x − 3x + 2x − dx = x −2 ∫    dx   x − x −     x − 2)    1   x2 x  = − − ln x −  =  − − ln 1 − (− ln 2) = ln − 0     3 3         c) I = ∫ −1 2x − 3x + 4x − = − 2x    ∫ −x   −1 B H C VÔ B +x −   dx  +   2(−2x + 1) - CHUYÊN C N S NB N Page 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng 0968.393.899     x3 x2 = − + − x − ln −2x +       2    −1 1 ln = (− ln 1) − ( + + − ln 3) = − 2 4 II.DẠNG 2: dx ∫ ax + bx + c HT 3.Tính tích phân sau (mẫu số có hai nghiệm phân biệt) a) ∫ dx (x + 1)(x + 2) b) ∫ dx (x + 1)(3 − x ) dx ∫ (x + 1)(2x + 3) c) Giải a) ∫ dx = (x + 1)(x + 2) ( b) ∫ = x +1 ) = ln x + dx = (x + 1)(3 − x ) ∫ ( − ln − x + ln x + c) (x + 2) − (x + 1) dx = (x + 1)(x + 2) ∫ = ln x + − ln x + ∫ dx = (x + 1)(2x + 3) ( = ln x + − ln 2x + 1 ∫ 0= ∫     dx −   x + x + 2    ln − ln = ln 3 (x + 1) + (3 − x ) dx = (x + 1)(3 − x ) +1 ) = ln x − x = 0=  1       ∫  − x + x + 1dx     1 1 ln  ln − ln  = −     4 3 (2x + 3) − 2(x + 1) dx = (x + 1)(2x + 3) ) = ln 2xx + 13 + 1       ∫  x + − 2x + dx     ln − ln = ln 5 HT 4.Tính tích phân sau: a) dx ∫ x − x − 12 b) dx ∫ 2x − 5x + c) −1 dx ∫ − 2x − 3x Giải a) dx ∫ x − x − 12 ∫ = =  dx = (x + 3)(x − 4)   ∫ (x + 3) − (x − 4) dx (x + 3)(x − 4) x −4      ∫  x − − x + dx = (ln x − − ln x + ) = ln x +   1 1 0 (ln − ln ) = ln 7 16 b) = dx ∫ 2x − 5x + = ∫ −1 −1 2(x dx − 2)(x − ) B H C VÔ B = ∫ −1 dx = (x − 2)(2x − 1) - CHUYÊN C N S ∫ −1 (2x − 1) − 2(x − 2) dx (x − 2)(2x − 1) NB N Page 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 Bài giải Bảng xét dấu x y ∫ (−x S =− – ) + 4x − dx + ∫ (−x + ) + 4x − dx 1        x  x     = − − + 2x + 3x  + − + 2x + 3x  =          0  1 Vậy S = (đvdt) HT 4.Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x + 11x − 6, y = 6x , x = 0, x = Bài giải Đặt h (x ) = (x + 11x − 6) − 6x = x − 6x + 11x − h(x ) = ⇔ x = ∨ x = ∨ x = (loại) Bảng xét dấu x h(x) ∫ (x S =− 2 ) − 6x + 11x − dx + ∫ (x – + ) − 6x + 11x − dx 1       11x 11x x x     = −  − 2x + − 6x  +  − 2x + − 6x  =   4 4   2    0  1 Vậy S = (đvdt) HT 5.Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x + 11x − 6, y = 6x B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 105 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 Bài giải Đặt h (x ) = (x + 11x − 6) − 6x = x − 6x + 11x − h(x ) = ⇔ x = ∨ x = ∨ x = Bảng xét dấu x h(x) S= ∫ (x + ) − 6x + 11x − dx − ∫ (x 3 – ) − 6x + 11x − dx 2       11x 11x x x =  − 2x + − 6x  −  − 2x + − 6x  =       4 4   2   1   2 Vậy S = (đvdt) HT 6.Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x , y = 4x Bài giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x = 4x ⇔ x = −2 ∨ x = ∨ x = ⇒S = ∫ (x ) − 4x dx + −2    x   x − 4x dx =  − 2x   4     ∫( ) −2    x   +  − 2x   4     =8 Vậy S = (đvdt) HT 7.Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x − x + trục hoành Bài giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x =1 t = x = ± x − x + = ⇔ t − 4t + = 0, t = x ≥ ⇔  ⇔  ⇔  t=3 x = ±3 x =3    ⇒S = ∫ x − x + dx = −3 ∫ x − 4x + dx     2  =2 x − 4x + dx + x − 4x + dx        ∫( ) ∫( B H C VÔ B ) - CHUYÊN C N S NB N Page 106 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng 0968.393.899       x   x   =   − 2x + 3x  +  − 2x + 3x             0 3 1  Vậy S =   16  =   16 (đvdt) HT 8.Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x − 4x + y = x + Bài giải Phương trình hồnh độ giao điểm:   x + ≥   x − 4x + = x + ⇔  x − 4x + = x + ⇔    x − 4x + = −x −    x =   x = Bảng xét dấu x + x − 4x + ⇒S = ∫ (x ) − 5x dx + ∫ (−x – ) + 3x − dx + 1 ∫ (x + ) − 5x dx 3      2 5x  x  +  −x + 3x − 6x  +  x − 5x  = 109     = −         3       2      1   3 Vậy S = 109 (đvdt) HT 9.Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x − , y = x + Bài giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x − = x + ⇔ t − = t + 5, t = x ≥ t = x ≥    t = x ≥     ⇔ t − = t + ⇔  ⇔ x = ±3  t =     t − = −t −    B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 107 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng ⇒S = ∫ ( 0968.393.899 ) x − − x + dx = −3 ∫ x − − (x + 5) dx Bảng xét dấu x x2 − 1 ∫( ) −x − x − dx + ⇒S =2 ∫ (x – + ) − x − dx 1       x2 x2 73  −x x     =2 − − 4x  +  − − 6x  =    3   2    0  1 Vậy S = 73 (đvdt) HT 10.Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x , y = 0, y = − x Bài giải Ta có: y = − x ⇔ x = − y , x ≥ Phương trình tung độ giao điểm: y = − y ⇔ y = ⇒S = ∫ 2 − y − y dy = 0 π = ∫ cos tdt − Vậy S = ∫   ∫    − y − y dy    π   4 y   ydy = t + sin 2t  −    2  0 π (đvdt) HT 11.Tính thể tích hình cầu hình trịn (C ) : x + y = R2 quay quanh Ox Bài Giải Hoành độ giao điểm (C) Ox x = R2 ⇔ x = ±R Phương trình (C ) : x + y = R2 ⇔ y = R2 − x B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 108 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng R ⇒V = π ∫ (R R −x −R Vậy V = 0968.393.899 )dx = 2π ∫ (R −x )   x3     dx = 2π R2x −     3   R = 4πR 4πR (đvtt) HT 12.Tính thể tích hình khối ellipse (E ) : x2 a2 + y2 b2 = quay quanh Oy Bài Giải Tung độ giao điểm (E) Oy Phương trình (E ) : b ⇒V = π ∫ −b Vậy V = x2 + a2 y2 b2 y2 = ⇔ y = ±b b2 = ⇔ x = a2 −    a 2y  dy = 2π a −      b2    b ∫ a 2y b2    3  a 2y  dy = 2π a 2y − a y   a −            b2  3b      R = 4πa 2b 4πa 2b (đvtt) HT 13.Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường y = x , y = x quay quanh Ox Bài Giải x ≥ x =   Hoành độ giao điểm:  ⇔   x = x x =    ⇒V = π ∫ x − x dx = π Vậy V = ∫( 1  3π  x − x dx = π  x − x  =     5 0 10  ) 3π (đvtt) 10 HT 14.Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường x = −y + , x = − y quay quanh Oy Bài Giải y = −1 Tung độ giao điểm: −y + = − y ⇔  y = 2 ⇒V = π ∫ (−y ) +5 − (3 − y ) dy = π −1 ∫ (y ) − 11y + 6y + 16 dy −1 B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 109 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng 0968.393.899    11y y =π − + 3y + 16y     5     Vậy V = = −1 153π 153π (đvtt) HT 15.Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường có phương trình sau 1) y = sin x , y = , x = 0, x = 2π 15) x = 2) y = x , y = , x = −1, x = 2 y 3) y = x − 2x, y = −x + 4x ,x = − y2 , y = (y ≥ 0) 16) y = (2 + cos x ) sin x , y = , x = 4) y = x , y = 4x , x = −1, x = 5) y = −x − 5, y = −6x , x = 0, x = 17) y = x + x , y = , x = 6) y = −x − 2, y = −3x , x = 0, x = 18) y = 3π π , x= 2 , y = , x = 1, x = e x 7) y = −x − 2x, y = −x − + ln x , y = , x = 1, x = e x 20) y = 0, y = ln x , x = 2, x = e 8) y = x − 2x − x + trục hoành 19) y = 9) y = x − 2x − x + trục hoành 10) y = − ln x 21) y = x2 x2 , y= 4 ,y = sin x cos x ,x= π π , x= 11) y = − − x , x + 3y = 22) y = x , y = 4x , y = 23) y = x (x + 1)(x − 2), y = , x = −2, x = 12) y = x − 4x + , y = 24) y = xex , y = , x = −1, x = 13) y = x − x + , y = 25) y = 4x , x − y + = , y = 26) x − y + = 0, x + y − = 0, y = 14) x = y, x = − y2 Bài giải 2π 1) S = ∫ sin x dx = ∫ sin xdx + ∫ sin xdx 0 2) S = ∫ 2π π x dx = −1 π + − cos x 2π = (đvdt) π π = − cos x ∫ x dx + ∫ −1 x4 x dx = −1 x4 + = 17 (đvdt) 3) x − 2x = −x + 4x ⇔ x = ∨ x = 3 ⇒S = ∫ (x 2 − 2x ) − (−x + 4x ) dx = ∫     2x (2x − 6x )dx =  − 3x          = 9(đvdt) 4) x − 4x = ⇔ x = ∨ x = ∨ x = −2 (loại) B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 110 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng ⇒S = ∫ ∫ (x x − 4x dx = −1 Vậy S = 0968.393.899 − 4x )dx + −1 ∫    x (x − 4x )dx =  − 2x     4     −1    x +  − 2x     4     23 (đvdt) 5) x − 6x + = ⇔ x = ∨ x = (loại) ⇒S = ∫ ∫ x − 6x + dx = Vậy S =    x (x − 6x + 5)dx =  − 3x + 5x     3    0 (đvdt) 6) x − 3x + = ⇔ x = ∨ x = ⇒S = ∫ ∫ (x x − 3x + dx = − 3x + 2)dx + ∫ (x − 3x + 2)dx 1       3x 3x x x = − + 2x  +  − + 2x  = 1(đvdt)       3    2    0 3 1 7) −x − 2x = −x − ⇔ x = −2 ∨ x = ⇒S = ∫ −2 Vậy S =    x x x + x − dx = (x + x − 2)dx =  + − 2x        3  −2 −2 ∫ (đvdt) 8) x − 2x − x + = ⇔ x = ∨ x = ±1 ⇒S = ∫ x − 2x − x + dx = −1 ∫ (x − 2x − x + 2)dx + −1 ∫ (x − 2x − x + 2)dx       2x x 2x x x x = − − + 2x  + − − + 2x        4 4   3     −1  1 Vậy S = 37 (đvdt) 12 B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 111 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng 9) x 0968.393.899   t = x ≥    t = x ≥   ⇔ t = ⇔ − 2x − x + = ⇔   t − 2t − t + = t =        ⇒S = ∫ x − 2x − x + dx = −2 ∫ ∫ (x − 2x − x + 2)dx + ∫ (x 4− ∫ 4− −2    2x x x +2  − − + 2x        4  = 3(đvdt) ∫ ∫ −2 2     − x − x dx =        2    π  2     − x − x dx       4 2     2 x2 x2 − dx = 4 2 2 =2 − 2x − x + 2)dx x2 x2 = ⇔ x + 8x − 128 = ⇔ x = ±2 4 2 ⇒S =    2x x x =2 − − + 2x     4     10) x − 2x − x + dx =2 x = ±1  x = ±2  2 ∫ 2 16 − x dx − ∫ x dx 2 π 2 2   1 x3 4   = 16 cos2 tdt − x 2dx = t + sin 2t  −     0 2 2 0 ∫ Vậy S = 2π + ∫ (đvdt) 2 x x 11) x + 3y = ⇔ y = − ⇔ x + 9x − 36 = ⇔ x = ± ⇒ − − x2 = − 3 ∫ ⇒S = − x2 − − 3 =2 ∫ x2 dx = − x dx − 3 ∫ 2    − x − x  dx      3   π 3 ∫ x dx =24 ∫ B H C VÔ B cos tdt − 3 ∫ π   x3  x dx = 2 t + sin 2t  −       0 - CHUYÊN C N S NB N Page 112 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 4π + (đvdt) Vậy S =  x − 4x + = 12) x − 4x + = ⇔  ⇔ x − 4x + = −3   x = x =  Bảng xét dấu x + x − 4x + ⇒S = ∫ ∫ (x x − 4x + − dx = ) − 4x dx + 1 – + ∫ (−x ) + 4x − dx + ∫ (x ) − 4x dx 3          x −x x =  − 2x  +  + 2x − 6x  +  − 2x  = 8(đvdt)          3  3        0  1  3 x =1 13) x − x + = ⇔ x − x + = ⇔  ⇔  x = x = ±   x = ±3 Bảng xét dấu x x − 4x + 3 ⇒S = + – ∫ x − x + dx = −3   = 2   x − 4x + dx ∫ (x ∫ ) − 4x + dx −   x − 4x + dx    ∫( )  3      x     x 2 =  − 2x + 3x  −  − 2x + 3x               0   1    Vậy S = 16 (đvdt) 14) Tung độ giao điểm y = y = , ≤ y < ⇔  y= − y2  B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 113 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng ⇒S = 3 ∫ ∫ − y dy = − y2 Vậy S = − 2 ∫ y2       − y  dy = …       − y2    π (đvdt) 15) Tung độ giao điểm ⇒S = 0968.393.899 y2 − y2 Vậy S = − − ⇔y =2 − y2    2   − dy = …     y   − y2   2 − = dy = ∫ π (đvdt) 12 3π π 16) S = π 3π π ∫ (2 + cos x ) sin x dx = ∫ (2 + cos x ) sin xdx − ∫ (2 + cos x ) sin xdx π 3π     1     = − 2 cos x + cos 2x  + 2 cos x + cos 2x  = 3(đvdt)        4  π   π π 17) Hoành độ giao điểm x + x = ⇔ x = ⇒S = ∫ x + x dx = ∫ Vậy S = ∫ 1 + x d(1 + x ) = (1 + x )3 2 2 −1 (đvdt) e 18) S = x + x dx = 2 ∫ ln x e dx = x  ln x    dx  > ∀x ∈ 1; e      2 x   x ln x ∫2 Đặt t = ln x ⇒ x = et ⇒ dx = et dt x = ⇒ t = 0, x = e ⇒ t = 1 1 ∫ ∫   ⇒S = = td  et  = t et −       t 0 e 0 ∫ tet dt et dt = e − et Vậy S = − e (đvdt) B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 114 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng e + ln x dx = x ∫ 19) S = 0968.393.899 e + ln x dx x ∫ Đặt t = + ln x ⇒ t = + ln x ⇒ 2tdt = dx x x = ⇒ t = 1, x = e ⇒ t = 2 ⇒S = ∫ t.2tdt = ∫ 2t 2dt = t −2 (đvdt) Vậy S = e ∫ 20) S = e ln x dx = e e ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx 2 Vậy S = − ln 21) cos x π ⇒S = = ∫ π sin x cos x π       ⇔x = ∫ π = π − π  π π  ∈ ;   dx = sin x ∫  1  dx + −   cos2 x sin2 x  π π π ∫ π cos x − π dx + sin x ∫ π cos x − sin2 x dx  1  dx   −       cos2 x sin2 x  π = (tgx + cotgx ) + (tgx + cotgx ) π Vậy S = π − 12 (đvdt)  y = x x =   22) Tọa độ giao điểm  ⇔   y = 4x   y =    x = y   y = x     Ta có:  ⇔  y = 4x  y  x =      B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 115 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng ∫ ⇒S = Vậy S = 0968.393.899    y − y dy = y         (đvdt) ∫ 23) S = x (x + 1)(x − 2) dx −2 −1 = ∫( ) x − x − 2x dx + −2 ∫( ) x − x − 2x dx + −1 ∫ (x ) − x − 2x dx −1          x3 x3 x3 x x x = − − x2  + − − x2 + − − x2                3 4     −2 4  −1 4 0 Vậy S = 37 (đvdt) 2 ∫ 24) S = x xe dx = −1 Vậy S = ∫ x xe dx − ∫ xex dx = (x − 1)e x −1 − (x − 1)e x −1 e + 2e − (đvdt) e    y = 4x x = y   25)  ⇒ y2 = y − ⇔ y = ⇔  x − y + =      x = y −   ⇒S = ∫ Vậy S = y − (y − 1) dy = 4 ∫(    y y − 4y + dy =  − 2y + 4y      4    ) (đvdt)   x − y + = x = y −   ⇒ y3 − = − y ⇔ y3 + y − = ⇔ y = 26)  ⇔   x + y − = x = − y       ⇒S = ∫( Vậy S = 1    y + y − dy =  y + y − 2y   4    0 ) B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 116 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 HT 16.Tính thể tích hình phẳng giới hạn đường 1) y = 3x , y = x , x = 0, x = quay quanh Ox 6) ellipse (E ) : x y2 + = quay quanh Ox 16 3) y = (x − 1) , x = y = quay quanh Ox 7) ellipse (E ) : x2 x2 + = quay quanh Oy 16 4) y = − x , x = quay quanh Oy 8) y = x + 2, y = − x quay quanh Ox 5) (C ) : x + (y − 4)2 = quay quanh Oy 9) y = x , y = x quay quanh Ox 2) y = x2 , y = , y = 4, x = quay quanh Oy 2 10) y = − − x , x + 3y = quay quanh Ox Bài giải 1) V = π ∫ (3x ) 2 − x dx = 8π Vậy V = ∫ 8πx x dx = 8π (đvtt) x2 2) Ta có y = ⇔ x = 2y ⇒ V = π ∫ x dy = π ∫ 2ydy = π y 2 Vậy V = 12π (đvtt) 3) Ta có (x − 1) = ⇔ x = ⇒ V = π ∫ y dx = π ∫ Vậy V = (x − 1)4 (x − 1) dx = π π (đvtt)   y = − x x = − y     4) Ta có  ⇔ ⇒ y = ±2 x = x =       ⇒V = π ∫ (4 − y ) −2 Vậy V = 2   8y y   dy = 2π 16y − +      5   0 512π (đvtt) 15 5) Tung độ giao điểm (C ) : x + (y − 4)2 = Oy: y − = (y − 4)2 = ⇔  ⇔ y − = −2 B H C VÔ B - CHUYÊN C N S y =   y = NB N Page 117 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng ⇒V = π 6 ∫ x dy = π ∫ 2 0968.393.899     y   − (y − 4)2  dy = π − + 4y − 12y             Cách khác: Hình khối trịn xoay hình cầu bán kính R = nên V = 6) Hồnh độ giao điểm (E ) : Ta có: x y2 + = Ox x = ±4 16 x y2 + = ⇔ y2 = 16 − x 16 16 ( ⇒V = π ∫ −4 9π y dx = 16 32π 4π 23 Vậy V = (đvtt) 3 ) 4 ∫ −4  3 9π   16x − x  (16 − x )dx =     3    Vậy V = 48π (đvtt) 7) Tung độ giao điểm (E ) : x y2 + = Oy y = ±3 16 x y2 16 + = ⇔ x2 = − y2 16 9 ( ⇒V = π ∫ −4 16π x dy = ∫ −3 )  3 32π   9y − y  (9 − y )dy =     3    Vậy V = 64π (đvtt) 8) Hoành độ giao điểm x + = − x ⇔ x = ±1 ⇒V = π ∫ (x ) − (4 − x ) +2 2 dx = 24π −1 ∫    x x − dx = 24π  − x     3    0 Vậy V = 16π (đvtt) 9) Hoành độ giao điểm x = x ⇔ x = x ⇔ x = ∨ x = 1 ⇒V = π ∫ x − x dx = π Vậy V = ∫(   x2  x x − x dx = π  −     5  2   ) 3π (đvtt) 10 B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 118 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 10) Hoành độ giao điểm − − x = − ⇒V = π ∫ (4 − x ) − Vậy V = x4 2π − dx = 9 x2 ⇔ x2 = ⇔ x = ± 3 ∫ (36 − 3x −x ) 2π dx =  5   36x − 3x − x       5   28π (đvtt) Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô bạn học sinh đọc tài liệu này! Mọi góp ý xin gửi về: huythuong2801@gmail.com B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 119 ...24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 TÍCH PHÂN CƠ BẢN HT 1.Tính tích phân sau: 1 a) I1 = ∫ x 3dx b) I = ∫ (2x + 1)3... CHUYÊN C N S NB N Page 12 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 mx + n ∫ ax + bx + c dx III.Dạng 3: HT 8.Tính tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm phân biệt) a) I = x −1... H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 24 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH GV Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 PHẦN III TÍCH PHÂN HÀM SỐ VƠ TỶ HT 1.Tính tích phân sau: a) I1 = xdx ∫ b) I = x +1 dx