Đang tải... (xem toàn văn)
Cách giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc Modun tự do, tiểu luận dành cho các bạn học tập, nghiên cứu, tham khảo, cũng như tìm hiểu trong quá trình học của mình về Cách giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc Modun tự do
[...]... Zmn -môđun tự do Trần Thị Mỹ Trang-K17 &15 Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17 Kết luận Tóm lại, tiểu luận này đã trình bày những kiến thức cơ bản về môđun tự do, đặc biệt là đã giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun này Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhng vì kiến thức và thời gian còn hạn chế nên tôi vẫn cha tìm ra thêm đợc nhiều các bài tập thuộc loại... Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17 Bài 4: Giả sử M là một Rmôđun Khi đó M là ảnh đồng cấu của một Rmôđun tự do F0 nào đó, nghĩa là tồn tại R toàn cấu f0 : F0 M Đặt K0 = Kerf0 , ta có dãy khớp sau: f0 i 0 K0 F 0 M O với i0 là phép nhúng chính tắc Tơng tự, vì K0 là Rmôđun nên K0 là ảnh đồng cấu của một Rmôđun tự do F1 nào đó, nghĩa là tồn tại R toàn cấu. . .Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do 2.2 LL & PPDH Toán Khóa 17 Bài giải Bài 1: Vì M là một Rmôđun hữu hạn sinh nên ta gọi {m1 , m2 , , mn } là một tập sinh của M Vì S là cơ sở của M nên M= Rs sS Khi đó, với mỗi i {1, 2, , n}, tồn tại tập hữu hạn Fi S sao cho mi Rs sFi Đặt n F = Fi i=1 Khi đó: F hữu hạn, F S và i {1, 2, , n}, ta có: mi Rs sF Do đó: M Rs sF hay... S > Khi đó: k x Zn , x = ri ai i=1 với ri Z, ai S Do đó: k nx = nri ai i=1 Vì S là cơ sở nên k nri ai = 0 nri = 0, i = 1 k i=1 Suy ra ri = 0, i = 1 k Vậy x=0 (vô lí) Vậy Zn không phải là Z môđun tự do Trần Thị Mỹ Trang-K17 &14 Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17 Bài 10: Giả sử Zm là Zmn -môđun tự do Khi đó gọi S là cơ sở của Zm , ta có: Zm =< S > x Zm... nhiều bài tập loại này để giải và trên cơ sở đó sẽ thử tập dợt ra thêm một số bài tập khác Hy vọng tài liệu nhỏ này sẽ có ích cho những độc giả muốn tìm hiểu về cấu trúc môđun tự do Cuối cùng, tôi xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ nhiệt tình của TS Phan Văn Thiện, xin cám ơn các tác giả của các quyển sách mà tôi đã tham khảo đã giúp tôi hoàn thành tiểu luận này Trần Thị Mỹ Trang-K17 &16 Giải một số bài tập. .. tự do Thật vậy: Ta lấy ví dụ: Xét Z môđun Q Rõ ràng Q là Z môđun không xoắn Vì nếu x Q, Z {0} : x = 0 thì x=0 Ta chứng minh Q không phải là Z môđun tự do Giả sử Q là Z môđun tự do Khi đó: gọi S là cơ sở của Q Vì Q là Z môđun không xoắn nên x Q\{0}, Z\{0} sao cho x = 0 Hơn nữa: x Q nên n ri si , ri Z, si Q, i = 1, , n x= i=1 Trần Thị Mỹ Trang-K17 &12 Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc. .. của R Đặt K = R/I , ta có K là một trờng Trần Thị Mỹ Trang-K17 &10 Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17 Khi đó M/IM là K-môđun, hay M/IM là một K-không gian vectơ Ta lại có: n n Rxi /IM = M/IM = i=1 n Rxi /Ixi = i=1 Kxi (1) i=1 Tơng tự vì S' là cơ sở của M nên M/IM = Ks(2) sS Từ (1) và (2) suy ra S' hữu hạn và có n phần tử Bài 3: Gọi S = {yi }iI = {yi + A}iI... quy nạp Thật vậy: Giả sử Fk sinh bởi họ {bj |j k} và điều này xảy ra với mọi k < i Lấy phần tử tùy ý x Fi Khi đó pi (x) = ai r và do đó: pi (x bi r) = pi (x) pi (bi r) = ai r ai r = 0 Trần Thị Mỹ Trang-K17 &13 Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17 Suy ra x bi r Fk , với k < i hay x bi r Fk biểu thị tuyến tính qua các bj , j k Vậy x biểu thị tuyến... hoàn thành tiểu luận này Trần Thị Mỹ Trang-K17 &16 Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17 Tài Liệu Tham Khảo [1] Giáo trình cơ sở đại số hiện đại, NXBGD, 2001 Nguyễn Xuân Tuyến - Lê Văn Thuyết [2] Đại số (giáo trình sau đại học), Nhà xuất bản giáo dục (1985) Ngô Thúc Lanh [3] Đại số trừu tợng - Tập 1, NXBGD (2005) Nguyễn Xuân Tuyến - Lê Văn Thuyết [4] Theory of Categories,... ra F là R môđun tự do Bài 8: i) Ta có 1R R, 0 M : 1R 0 = 0 Do đó: 0 T (M ) Vậy T (M ) = x, y T (M ), r, s R, 1 , 2 R\{0} : 1 x = 0, 2 y = 0 Ta có: 1 2 (rx + sy) = r2 (1 x) + s1 (2 y) = 0 Vì R là miền nguyên nên 1 2 = 0 Do đó: rx + sy T (M ) Vậy T (M ) là môđun con của M Bài 9: Rõ ràng Zn là Zn môđun tự do vì Zn có cơ sở S = {1} Ta sẽ chứng minh Zn không phải là Z môđun tự do Thật vậy: Giả . trình bày kiến thức lí thuyết về môđun tự do bao gồm các định nghĩa về môđun tự do và cơ sở của môđun tự do, một số mệnh đề và định lí liên quan đến môđun tự do. Phần hai trình bày cách giải một số. w n W j . Do đó w 1 , , w n độc lập tuyến tính. Vậy W độc lập tuyến tính và W là chặn trên của N trong M. Trần Thị Mỹ Trang-K17 &7 Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL &. sở của V nên V là môđun tự do. Mệnh đề 1.2.1. Tổng trực tiếp của các môđun tự do là môđun tự do. Mệnh đề 1.2.2. Mọi R-môđun đều là ảnh toàn cấu của một R-môđun tự do. Chứng minh: Giả sử M là