Đang tải... (xem toàn văn)
Trong chương trình THPT Bất đẳng thức là một phần kiến thức khá quan trọng. Bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán như: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, giải bất phương trình, hệ phương trình…Bất đẳng thức Cauchy được giới thiệu trong sách giáo khoa Đại số lớp 10 ở tất cả các ban và là bất đẳng thức được vận dụng chủ yếu trong toàn bộ chương trình THPT. Nói đến bất đẳng thức Cauchy thì những ai đã từng học Toán THPT cũng biết, cũng nhớ nhưng để vận dụng được một cách có hiệu quả thì lại là cả một vấn đề.
SKKN: Những sai lầm hay mắc phải giải toán cách giải số toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10) I/ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình THPT Bất đẳng thức phần kiến thức quan trọng Bất đẳng thức có nhiều ứng dụng phần kiến thức mơn Tốn như: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, giải bất phương trình, hệ phương trình… Bất đẳng thức Cauchy giới thiệu sách giáo khoa Đại số lớp 10 tất ban bất đẳng thức vận dụng chủ yếu tồn chương trình THPT Nói đến bất đẳng thức Cauchy học Toán THPT biết, nhớ để vận dụng cách có hiệu lại vấn đề Qua trình giảng dạy đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi tơi thấy học sinh trình vận dụng bất đẳng thức Cauchy thường gặp sai lầm nghiêm trọng làm sai chất vấn đề Vì tơi viết sáng kiến trao đổi thêm cách dạy, cách học bất đẳng thức Cauchy cho có hiệu nhằm khắc phục sai lầm hay mắc phải định hướng để giải toán theo bất đẳng thức Cauchy NỘI DUNG BÀI VIẾT GỒM: I/ ĐẶT VẤN ĐỀ II/NỘI DUNG III/BIỆN PHÁP THỰC HIỆN IV/KẾT QUẢ V/KẾT LUẬN Tuy thân cố gắng song không tránh khỏi sai sót Tác giả mong góp ý chân thành đọc giả! Thạch Thành, ngày 20/04/2008 Giáo viên Đỗ Duy Thành ĐỖ DUY THÀNH THPT THẠCH THÀNH III SKKN: Những sai lầm hay mắc phải giải toán cách giải số toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10) II/NỘI DUNG Bài 1: Cho a ≥ Tìm giá trị nhỏ bất biểu thức: S = a + a Bình luận lời giải • Sai lầm thường gặp: S = a + 1 ≥ a = ⇒ MinS = a a a • Nguyên nhân sai lầm: Min S = ⇔ a = = mâu thuẫn với giả thiết a ≥ • Phân tích tìm lời giải: Xét bảng biến thiên a, S để dự đoán a Min S a 10 11 12 a 10 11 12 S 3 4 5 6 7 8 9 10 10 11 11 12 12 30 30 30 30 Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy a tăng S lớn từ dẫn đến dự đốn a = S nhận giá trị nhỏ Để dễ hiểu tạo ấn tượng ta nói Min S = 10 đạt “Điểm rơi: a = 3” Do bất đẳng thức Cauchy xảy dấu điều kiện số tham gia phải nhau, nên “Điểm rơi: a = 3” ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp cho số a ĐỖ DUY THÀNH 1 ≠ Lúc ta giả định sử dụng bất a THPT THẠCH THÀNH III SKKN: Những sai lầm hay mắc phải giải toán cách giải số toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10) a 1 a đẳng thức Cauchy cho cặp số , ÷ cho “Điểm rơi: a = 3” = tức α a α a ta có lược đồ “Điểm rơi” sau • Sơ đồ: a = a α = α ⇒ ⇒ = ⇒ α 1 = a α =9 Từ ta biến đổi S theo sơ đồ “Điểm rơi” nêu Lời giải đúng: S = a + Với a = Min S = a 8.3 10 a 8a = + ÷+ ≥ + = a a 9 a 10 Bài 2: Cho a ≥ Tìm giá trị hỏ biểu thức: S = a + a2 Bình luận lời giải • Sơ đồ điểm rơi : a = a α = α ⇒ ⇒ = ⇒ α 1 =1 a α =8 • Sai lầm thường gặp: S=a+ 7.2 a 7a 7a 7a ≥ + = + = + ÷+ ≥ 2+ = + = 4 8.2 a 8 a a a 8a Với a = Min S = • Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù ta biến đổi S theo điểm rơi a = Min S = đáp án cách giải mắc sai lầm việc đánh giá mẫu số: “Nếu a ≥ ĐỖ DUY THÀNH 2 ≥ = đánh giá sai” 8a 8.2 THPT THẠCH THÀNH III SKKN: Những sai lầm hay mắc phải giải toán cách giải số toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10) Để điều chỉnh lời giải sai thành lời giải ta cần phải biến đổi S cho sử dụng bất đẳng thức Cauchy khử hết biến số a mẫu số • Lời giải đúng: S = a + Với a = Min S = 8 6a a a 6.2 = + + ÷+ ≥ 3 + = a a a a 8 a Bài 3: Cho a ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = a + 18 a Bình luận lời giải • Sơ đồ điểm rơi: a = a 36 = 18 36 α α ⇒ ⇒ = ⇒ α 18 = 18 a α =2 • Lời giải đúng: S= a + =6 18 a 18 a 18 + + 1 − a ≥2 + 1 − = ÷ ÷a a 2 a 6 a 6 a a 6 + 1 − + 1 − ÷a ≥ ÷6 =36 + 6 6 6 Với a = Min S = 36 + Bài 4: Cho < a ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = 2a + a2 Bình luận lời giải • Sai lầm thường gặp: S = 2a + 1 = a + a + ≥ a.a = ⇒ MinS = a a a • Nguyên nhân sai lầm: Min S = ⇔ a = a = ĐỖ DUY THÀNH 1 = mâu thuẫn với giat thiết < a ≤ a THPT THẠCH THÀNH III SKKN: Những sai lầm hay mắc phải giải toán cách giải số toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10) • Phân tích tìm tịi lời giải: Xét bảng biến thiên để dự đoán Min S 10 9 7 5 3 a2 100 81 64 49 36 25 16 S 100 a 2.a 81 64 49 36 25 16 Nhìn bảng biến thiên ta thấy a tăng S nhỏ từ dẫn đến dự S nhận giá trị nhỏ đoán a = a = ⇒ ⇒ = ⇒ α =4 α a α • Sơ đồ điểm rơi 1: a = Cách 1: 2a + Với a = α =8 7.4 =5 + ≥ 3 a.a + ≥ + = a + a + ÷ a 8a 8a a 8a Min S = • Sơ đồ điểm rơi 2: a= Cách 2: S = 2a + α α a = ⇒ ⇒ = ⇒ α =4 a α =8 1 = 8a + 8a + ÷− 14a ≥ 8a.8a − 14 a a a a = 12 − 14a ≥ 12 − 14 = Với a = Min S = a, b > Tìm giá trị nhỏ S = ab + ab a + b ≤ Bài 5: Cho ĐỖ DUY THÀNH THPT THẠCH THÀNH III SKKN: Những sai lầm hay mắc phải giải toán cách giải số tốn theo bất đẳng thức Cauchy ( tốn 10) Bình luận lời giải • Sai lầm thường gặp: S = ab + 1 ≥ ab = ⇒ Min S = ab ab • Nguyên nhân sai lầm: Min S = ⇔ ab = a+b 1 = ⇒ = ab ≤ ≤ ⇒ ≤ : Vô lý ab 2 • Phân tích tìm tịi lời giải: Biểu thức S chứa biến số a, b đặt t = ab t = 1 S = t + ab t biểu thức chứa biến số Khi đổi biến số ta cần phải tìm miền xác định cho biến số mới, cụ thể là: 1 ≥ =4 1 ≥ 2 ⇒ ab = t = a+b 1 Đặt t = ab t ab ÷ ÷ 2 • Bài tốn trở thành: Cho t ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = t + • Sơ đồ điểm rơi: t = t α = α ⇒ ⇒ = ⇒ α 1 = t t α = 16 • Lời giải tổng hợp: t 15t t 15t 15t 15.4 17 + ÷+ ≥ + = + ≥ + = t 16 t 16 16 t 16 16 16 S = t + = Với t = hay a = b = 17 Min S = • Lời giải thu gọn: Do t = ⇔ a = b = ĐỖ DUY THÀNH nên biến đổi trực tiếp S sau: THPT THẠCH THÀNH III SKKN: Những sai lầm hay mắc phải giải toán cách giải số toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10) 15 = ab + ≥ ab + ÷+ 16ab 16ab 16ab S = ab + ab Với a = b = 15 a+b 16 ÷ ≥ 17 17 Min S = a, b, c > Tìm giá trị nhỏ biểi thức S = abc + abc a + b + c ≤ Bài 6: Cho Bình luận lời giải • Sai lầm thường gặp: S = abc + 1 ≥ abc = ⇒ Min S = abc abc • Nguyên nhân sai lầm: Min S = ⇔ abc = a+b+c 1 = ⇒ = abc ≤ ≤ ⇒ ≤ ⇒ Vơ lí abc 3 • Phân tích tìm tịi lời giải: Biểu thức S chứa biến sô a, b, c đặt t = abc t = S=t+ abc biểu thức chứa biến số Khi đổi biến só ta cần phải tìm miền xác t định cho biến số mới, cụ thể là: 1 ≥ = 27 1 ≥ 3 ⇒ abc = t = Đặt t = a+b+c 1 abc t abc ÷ ữ ã Bi toỏn tr thành: Cho t ≥ 27 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = t + t • Sơ đồ điểm rơi: ĐỖ DUY THÀNH t 27 α = α 27 t = 27 ⇒ ⇒ = ⇒ 27 α 1 = t 27 α = 27 THPT THẠCH THÀNH III SKKN: Những sai lầm hay mắc phải giải toán cách giải số toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10) 27 − t (27 − 1).t t = + ÷+ t ≥ + Lời giải tổng hợp: S = t + ÷ 27 t t 27 t 27 ( ) ( ) 27 − t 27 + 27 27 + 730 ≥ + = = = 27 27 27 27 27 Với t = 27 hay a = b = c = 730 Min S = 27 Lời giải thu gọn: Do t = 27 ⇔ a = b = c = nên biến đổi trực tiếp S sau: S = abc + ( 1 27 − 1 27 − + ≥ abc + = abc + ÷ abc 27 abc 27 abc 27 abc 27 abc ) ( ) 27 − 27 27 + 27 27 + 730 ≥ + = = = 27 27 27 27 27 Với a = b = c = 730 Min S = 27 Bài 7: Cho a, b > Tìm giá trị nhỏ cảu biểu thức: S = a+b ab + ab a + b Bình luận lời giải • Sai lầm thường gặp: S = a+b ab a + b ab + ≥ = ⇒ Min S = ab a + b ab a + b a+b ab + • Nguyên nhân sai lầm: Min S = ⇔ =1 ab a+b ⇒ ab = a + b ≥ ab ⇒ ≥ Vơ lí • Phân tích tìm tịi lời giải: Do S biểu thức đối xứng với a, b nên dự đoán Min S đạt a = b >0 ĐỖ DUY THÀNH THPT THẠCH THÀNH III SKKN: Những sai lầm hay mắc phải giải toán cách giải số toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10) 2a a+b α ab = α a = α ⇒ ⇒ = ⇒ α ab = a = a + b 2a • Sơ đồ điểm rơi: a = b α =4 Lời giải đúng: S= ab ( a + b ) a+b ab ( a + b ) a+b ab a + b + ≥ + + = ÷+ ab a + b ab ab a + b ab a + b ÷ ab = 1+ 5 = Với a = b>0 Min S = 2 a , b, c > 1 Bài 8: Cho Tìm giá trị nhỏ S = a+b+c+ + + a b c a + b + c ≤ Bình luận lời giải • Sai lầm thường gặp: a b c 1 S = a+b+c+ + + ≥ 6 a.b.c = ⇒ Min S = a b c a b c • Nguyên nhân sai lầm: Min S = ⇔ a = b = c = = = =1 ⇒ a+b+c =3≥ trái với giả thiết • Phân tích tìm tịi lời giải: Do S biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán Min S đạt a = b = c = • Sơ đồ điểm rơi 1: ĐỖ DUY THÀNH a=b=c= a = b = c = 2 ⇒ ⇒ = ⇒ α = = = α a α b α c α α =4 THPT THẠCH THÀNH III SKKN: Những sai lầm hay mắc phải giải toán cách giải số toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10) a b Cách 1: S = a+b+c+ + + =a + b + c + = c 1 31 1 1 3 11 + + ÷+ + + ÷ ≥ 6 a.b.c + 3 ÷ 4a 4b 4c a b c 4a 4b 4c a bc÷ 27 27 15 ≥ 3+ = 3+ ≥ 3+ = =3+ a+b+c a+b+c abc 3 Với a=b=c= 15 Min S = 2 • Sơ đồ điểm rơi 2: a=b=c= a b Cách 2: S = a+b+c+ + + α α a = α b = α c = α ⇒ ⇒ = 2⇒ α =4 1 = = = a b c = c 111 −3 ( a + b + c ) ≥ 12 − = = 4a + 4b + 4c + + + ÷− ( a + b + c ) ≥ 6 4a.4b.4c a b c 2 abc Với a=b=c= 1 15 15 Min S = 2 a, b, c > 1 Bài 9: Cho Tìm giá trị nhỏ S = a2 + b2 + c2 + + + a b c a + b + c ≤ Bình luận lời giải • Sai lầm thường gặp: S = a + b2 + c2 + Min S = 1 1 1 1 1 1 + + + + + ≥ 9 a 2b c =3 ⇒ 2a 2b 2c 2a 2b 2c 2a 2b 2c 2a 2b 2c ĐỖ DUY THÀNH 10 THPT THẠCH THÀNH III SKKN: Những sai lầm hay mắc phải giải toán cách giải số toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10) • Nguyên nhân sai lầm: Min S = ⇔a=b=c= ⇒ a+b+c = 1 1 ⇔ a2 = b2 = c2 = = = = 2a 2b 2c 4 3 3 > trái với giả thiết 2 • Phân tích tìm tịi lời giải: Do S biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán Min S đạt a = b = c = • Sơ đồ điểm rơi: a = b = c = 2 a = b = c = ⇒ ⇒ = ⇒ α =8 α = = = α a α b α c α a b c Lời giải đúng: S = a2 + b2 + c2 + + + = 2 =a + b + c + ≥ 9 a 2b c 1 1 1 31 1 + + + + + ÷+ + + ÷ 8a 8b 8c 8a 8b 8c a b c 1 1 1 3 1 + 3 ÷ 8a 8b 8c 8a 8b 8c a b c ÷ 9 9 9 27 + ≥ + ≥ + = = 4 abc 4 a + b + c 4 Với a = b = c = 27 Min S = a , b, c > Bài 10: Cho Tìm giá trị nhỏ a + b + c ≤ S = a2 + ĐỖ DUY THÀNH 1 + b2 + + c2 + 2 b c a 11 THPT THẠCH THÀNH III SKKN: Những sai lầm hay mắc phải giải toán cách giải số tốn theo bất đẳng thức Cauchy ( tốn 10) Bình luận lời giải • Sai lầm thường gặp: S ≥ 3 a2 + 1 1 1 + b + + c + = (a + )(b + )(c + ) b c a b c a ≥ a + b ÷ b + ÷ c ÷ c + ÷ a ÷ = = ⇒ Min S = ữ ã Nguyờn nhõn sai lầm: Min S = ⇔ a = b = c = 1 = = = ⇒ a + b + c ≥ > trái với giả thiết a b c • Phân tích tìm tịi lời giải: Do S biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán Min S đạt a = b = c = • Sơ đồ điểm rơi: a = b = c = 2 2 a = b = c = 4 ⇒ ⇒ = ⇒ α = = =4 2 α a αb αc α α = 16 Lời giải 1: S= ≥ 17.17 a2 + 1 1 1 + + + b2 + + + + c2 + + + 2 2 16b 16b 16c 16c 16a 16a 16 sè 16 sè 16 sè a2 b2 c2 + 17.17 16 32 + 17.17 16 32 1616 b32 16 c 16 a a b c ≥ 17 3 17 16 17 16 17 16 16 b 16 c 16 a ĐỖ DUY THÀNH = a b c 17 17 16 + 17 16 + 17 16 16 c 16 a 16 b = 17.17 5 16 a b c 12 THPT THẠCH THÀNH III SKKN: Những sai lầm hay mắc phải giải toán cách giải số toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10) 17 = 2.17 (2a.2b.2c)5 ≥ 17 15 2a + 2b + 2c ÷ 17 ≥ 17 Với a = b = c = 17 Min S = 2 Phối hợp với điểm rơi bất đẳng thức Cauchy-Schwarzi: Xét dạng đặc biệt nới n = 2: ⇔ (a )( ) 2 + a2 b12 + b2 ≥ a1b1 + a2b2 Dấu xảy a1 a2 = ≥0 b1 b2 Ý nghĩa: Chuyển đổi biểu thức toán học bậc hai thành biểu thức khác để nhận biểu thức linh động Xét đánh giá giả định với số α , β a2 + = 2 b α +β2 1 + b2 + = c α2 + β2 1 c + = a α +β2 ⇒S≥ 2 β α a + ÷ (1) a + ÷ α + β ≥ 2 b b α +β ( ) 2 2 b + ÷ α + β ≥ c α2 + β2 β α b + ÷ (2) c 2 2 c + ÷ α + β ≥ a α +β2 β α c + ÷ (3) a ( ) ( ) 1 α ( a + b + c ) + β + + ÷ = S0 a b c α +β 2 Do S biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán S = S0 điểm rơi a=b=c= , tất bất đẳng thức (1), (2), (3) đồng thời xảy dấu tức ta có sơ đồ điểm rơi sau: ĐỖ DUY THÀNH 13 THPT THẠCH THÀNH III SKKN: Những sai lầm hay mắc phải giải toán cách giải số toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10) Sơ đồ: a = b = c = a 1/ b α = β b 1/ c α a b c ⇒ = ⇔ = = = = ⇒ β β 1 α b c a c 1/ a = β α α = β = Kết hợp với biến đổi theo “Điểm rơi” Cauchy ta có lời giải sau: 1 a + = b 17 1 Lời giải 2: + b2 + = c 17 c2 + = a2 17 ⇒S≥ ≥ 4 1 2 ÷ a + b + ≥ 17 a + b (1) ( ) 4 1 2 ÷ b + c + ≥ 17 b + c (2) ( ) 4 1 2 ÷ c + a + ≥ 17 c + a (3) ( ) 4 4 1 15 1 a + b + c + + + ÷= a + b + c + + + + + + ÷ a b c 4a 4b 4c a b c 17 17 1 15 1 45 6 abc + 3 + + ÷ = 3 + ÷ a b c÷ 4a 4b 4c 17 17 abc ÷ 45 45 17 ≥ + ÷≥ + ÷= a + b + c ÷ 17 17 Với a = b = c = 17 Min S = 2 Bài 11: Cho tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = sinA + sinB + sinC + 1 + + sin A sin B sin C Bình luận lời giải • Sai lầm thường gặp: ĐỖ DUY THÀNH 14 THPT THẠCH THÀNH III SKKN: Những sai lầm hay mắc phải giải toán cách giải số toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10) sinA + sinB + sinC + 1 sin A.sin B.sin C + + ≥ 66 = ⇒ Min T = sin A sin B sin C sin A.sin B.sin C • Nguyên nhân sai lầm: Min T = ⇔ sin A = sin B = sin C = 1 π = = =1⇒ A = B = C = sin A sin B sin C Mâu thuẫn với A + B + C = π • Phân tích tìm tịi lời giải: Bổ đề: sinA + sinB + sinC ≤ 3 Áp dụng: Dự đoán điểm rơi Min T sinA + sinB + sinC = • Sơ đồ điểm rơi: α sin A = α sin B = α sin C α ⇒ = ⇒ 1 ⇒ = = = sin A sin B sin C sin A = sin B = sin C = α= • Lời giải đúng: 4 4 1 1 + + T = sin A + sin B + sin C + ÷− ( sin A + sin B + sin C ) 3 sin A sin B sin C 3 T ≥ 6 sin A ÷ sin B ÷ sin C ÷ ÷ − ( sin A + sin B + sin C ) 3 sin A sin B sin C = 4 1 1 12 12 3 21 − ( sin A + sin B + sin C ) ≥ − = = 3 3 Với sin A = sin B = sin C = π hay A = B = C = Min T = 2 Bài 12: Cho a, b, c, d > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Bình luận lời giải ĐỖ DUY THÀNH 15 THPT THẠCH THÀNH III SKKN: Những sai lầm hay mắc phải giải toán cách giải số toán theo bất đẳng thức Cauchy ( tốn 10) • Sai lầm thường gặp 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a b+c+d + ≥2 a b + c + d b c+d +a + ≥2 b c + d + a + c d +a+b ≥2 d + a + b + c a+b+c d ≥2 a + b + c + d a b+c+d =2 b+c+d a b c+d +a =2 c+d +a b c d +a +b =2 d +a+b c d a +b+c =2 a+b+c d ⇒ S ≥ ⇒ Min S = • Sai lầm thường gặp 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp cho số: S ≥ 88 a b c d = ⇒ Min S = b+c+d c+d +a d +a+b a +b+c • Nguyên nhân sai lầm: a = b + c + d b = c + d + a ⇒ a + b + c + d = ( a + b + c + d ) ⇒ = Vô lý Min S = ⇔ c = d + a + b d = a + b + c • Phân tích tìm tịi lời giải: Để tìm Min S ta cần lưu ý S biểu thức đối xứng với a, b, c, d Min S (hoặc Max S) có thường đạt “Điểm rơi tự do” : a = b = c = d > Vậy ta cho trước a = b= c= d > dự đoán Min S = + 12 = 13 3 Từ suy đánh giá bất đẳng thức phận phải có điều kiện dấu xảy tập điều kiện dự đoán: a = b = c = d > • Sơ đồ điểm rơi: Cho a = b = c = d > ta có: ĐỖ DUY THÀNH 16 THPT THẠCH THÀNH III SKKN: Những sai lầm hay mắc phải giải toán cách giải số toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10) a b d b + c + d = c + d + a = a + b + c = 3 ⇒ = ⇒α = α b + c + d = c + d + a = d + a + b = a + b + c = αa αb αc αd α Cách 1: Biến đổi sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a b+c+d b+c+d + ≥ ÷+ ∑ 9a a ,b ,c , d 9a a ,b ,c , d b + c + d ∑ S= ≥ 88 a b c d b+c +d c +d +a d +a +b a +b+c b+c+a c+d +a d +a +b a +b+c 9a 9b 9c 9d + + + + + + + + + + + + ÷ 9a a a b b b c c c d d d b c d c d a d a b a b c 8 32 40 b c d c d a d a b a b c 8 ≥ + 1212 ÷ = + 12 = + = = 13 3 3 a a a b b b c c c d d d Với a = b= c= d > Min S = 13 Cách 2: Đặt S1 = ∑ S1 = b+c+d ; a S2 = ∑ a ⇒ S = S1 + S b+c+d b c d c d a d a b a b c + + + + + + + + + + + a a a b b b c c c d d d b c d c d a d a b a b c ≥ = 12 a a a b b b c c c d d d a 1 S2 + = ∑ + 1÷ = ( a + b + c + d ) ∑ = ∑ ( b + c + d ) ∑ ≥ b+c+d b+c+d b+c+d 16 ≥ ( b + c + d ) ( c + d + a ) ( d + a + b ) ( a + b + c ) 4 = ( b + c + d ) ( c + d + a) ( d + a + b) ( a + b + c) ⇒ S2 ≥ 16 4 − = ⇒ S = S1 + S2 ≥ 12 + = 13 3 3 Với a = b= c= d > Min S = 13 Bài 13: Cho a, b, c, d > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ĐỖ DUY THÀNH 17 THPT THẠCH THÀNH III SKKN: Những sai lầm hay mắc phải giải toán cách giải số toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10) 2a 2b 2c 2d S = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷1 + ÷ 3b 3c 3d 3a Bình luận lời giải • Sai lầm thường gặp: 2a 2b 2c 2d 2a 2b 2c 2d 64 64 S = 1 + 2 = ⇒ MinS = ÷1 + ÷1 + ÷1 + ÷≥ 3b 3c 3d 3a 3b 3c 3d 3a 9 • Nguyên nhân sai lầm: 64 2a 2b 2c 2d 2( a + b + c + d ) Min S = ⇔ = 3b = 3c = 3d = 3a = a + b + c + d = ⇒ Vô lý ( ) Do S biểu thức đối xứng với a, b, c, d nên dự đoán Min S đạt 625 Điểm rơi tự do: a = b = c = d > 0, S = 1 + ÷ = 81 3 • Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 2a 1 a a a 5 1 a 1 + = + + + ≥ 5 ÷ ÷ = ÷ 3b 3 3b 3b 3b 3b 2b 1 b b b 5 1 b 1 + = + + + ≥ 5 ÷ ÷ = ÷ 3 c 3c 3c 3 3c 3c + 2c 1 c c 1 c c 5 = + + + ≥ 5 ÷ ÷ = ÷ 1 + 3 d 3d 3d 3 3d 3d 2d 1 d d d 5 1 d = + + + ≥ 5 ÷ ÷ = ÷ 1 + 3 a 3a 3a 3 3a 3a ⇒ S = 1 + 2a 1 + 2b 1 + 2c 1 + 2d ≥ 625 a b c d = 625 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 81 3b 3c 3d 3a 81 b c d a Với a = b= c= d > Min S = 625 81 Cách 2: ĐỖ DUY THÀNH 18 THPT THẠCH THÀNH III SKKN: Những sai lầm hay mắc phải giải toán cách giải số toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10) 2a 3b + 2a b + b + b + a + a 5 b3a = = ≥ 1 + 3b 3b 3b 3b 2b 3c + 2b c + c + c + b + b 5 c 3b 1 + = = ≥ 3c 3c 3c 3c x 2c 3d + 2c d + d + d + c + c 5 d 3c ≥ 1 + 3d = 3d = 3d 3d 2d 3a + 2d a + a + a + d + d 5 a 3d = = ≥ 1 + 3a 3a 3a 3a 2a 2b 2c 2d 625 5 a 5b5c d 625 ⇒ S = 1 + = ÷1 + ÷1 + ÷1 + ÷≥ abcd 81 3b 3c 3d 3a 81 Với a = b= c= d > Min S = 625 81 a , b, c > 1 2 Chứng minh rằng: S = + + + + + ≥ 81 a b c ab bc ca a + b + c ≤ Bài 14: Cho Giải Biến đổi sử dụng lần bất đẳng thức Cauchy cho số ta có: a b2 c2 1 1 = S = + + + + + ≥ 99 2 2 b c a ab bc ca a b c ab.ab.bc.bc.ca.ca a b c ab.ab.bc.bc.ca.ca ≥ 81 = ≥ 81 a + b + c + ab + ab + bc + bc + ca + ca (a + b + c) 2 a , b, c > a b2 c2 1 Chứng minh rằng: S = + + + + + ≥ 28 b c a ab bc ca a + b + c ≤ Bài 15: Cho Giải Dự đoán S = điểm rơi: a = b =c = Biến đổi sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: S= a b2 c2 1 + + + 27 + 27 + 27 ≥ b c a 27ab 27bc 27ca ĐỖ DUY THÀNH 19 THPT THẠCH THÀNH III SKKN: Những sai lầm hay mắc phải giải toán cách giải số toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10) 27 27 27 a b2 c 84 ≥ 84 ÷ ÷ ÷ ≥ 84 81 53 53 53 b c a 27 ab 27bc 27ca 27 a b c 84 ≥ 84 81 53 ( a + b + c ) 84 27 ÷ 53.3 53.3 ≥ 84 3.53 1 84 2781 ÷ 3 = 84 84 27 28 = 28 III/BIỆN PHÁP THỰC HIỆN -Trao đổi thông qua sinh hoạt 15 phút -Dạy tiết tập -Thông qua báo bảng với chuyên mục “Sai lầm đâu?” -Ngoại khóa -Dạy vào tiết tự chọn IV/KẾT QUẢ Trong trình giảng dạy tơi làm phép đối chứng lớp 10C3 10C4 Đối với lớp 10C4 cho học sinh đọc số cách giải sai mà học sinh hay mắc phải tìm chỗ sai cách khắc phục Kêt 90% học sinh lớp 10C4 định hướng vận dụng thành thạo bất đẳng thức Cauchy cách có hiệu Trong lớp đối chứng 10C3 tỉ lệ đạt 45% V/KẾT LUẬN Thông qua viết bạn phần thấy sai lầm thường gặp việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy từ rút cho thân cách dạy, cách học cho hiệu ĐỖ DUY THÀNH 20 THPT THẠCH THÀNH III SKKN: Những sai lầm hay mắc phải giải toán cách giải số toán theo bất đẳng thức Cauchy ( tốn 10) Trong viết có sử dụng số tài liệu 1/500 Bất đẳng thức-GS: Phan Huy Khải 2/Tuyển tập đề thi từ 1990-2005- TS: Trần Phương 3/Đại số 10 ĐỖ DUY THÀNH 21 THPT THẠCH THÀNH III .. .SKKN: Những sai lầm hay mắc phải giải toán cách giải số toán theo bất đẳng thức Cauchy ( toán 10) II/NỘI DUNG Bài 1: Cho a ≥ Tìm giá trị nhỏ bất biểu thức: S = a + a Bình luận lời giải • Sai. .. cách giải mắc sai lầm việc đánh giá mẫu số: “Nếu a ≥ ĐỖ DUY THÀNH 2 ≥ = đánh giá sai? ?? 8a 8.2 THPT THẠCH THÀNH III SKKN: Những sai lầm hay mắc phải giải toán cách giải số toán theo bất đẳng thức Cauchy. .. ab a + b ≤ Bài 5: Cho ĐỖ DUY THÀNH THPT THẠCH THÀNH III SKKN: Những sai lầm hay mắc phải giải toán cách giải số toán theo bất đẳng thức Cauchy ( tốn 10) Bình luận lời giải • Sai lầm thường