Nghiệm lặp của phương trình phi tuyến với toán tử Accretive mạnh trong không gian Banach

36 385 0
Nghiệm lặp của phương trình phi tuyến với toán tử Accretive mạnh trong không gian Banach

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  DƯƠNG VĂN SÁNG NGHIỆM LẶP CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VỚI TOÁN TỬ ACCRETIVE MẠNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hồn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun dưới sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận tâm và nhiệt tình của Cơ trong suốt q trình tác giả thực hiện luận văn. Trong q trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác tại Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thơng tin thuộc Viện Hàn lâm và Khoa học Việt Nam, các Thầy Cơ trong Đại học Thái Ngun, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu và cơng tác của bản thân. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy Cơ. Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ quốc tế, Khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Cuối cùng tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị cơng tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tơi khi học tập và nghiên cứu. Tác giả Dương Văn Sán g 1 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Bảng ký hiệu 2 Mở đầu 3 1 Phương trình phi tuyến với tốn tử accretive 5 1.1 Tốn tử accretive, tốn tử khơng giãn . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Bài tốn điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động . . . . . . . . . 9 1.4 Phương trình tốn tử accretive . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến với tốn tử accretive mạnh 18 2.1 Sự hội tụ trong trường hợp tốn tử accretive mạnh và liên tục Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Sự hội tụ trong trường hợp tốn tử accretive mạnh và liên tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 1 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Bảng ký hiệu X Khơng gian Banach thực X ∗ Khơng gian liên hợp của X φ Tập rỗng x := y x được định nghĩa bằng y ∀x Với mọi x ∃x Tồn tại x I Tốn tử đơn vị A ∗ Tốn tử liên hợp của tốn tử A D(A) Miền xác định của tốn tử A F ix(T ) Tập các điểm bất động của tốn tử T x n → x Dãy {x n } hội tụ mạnh tới x 2 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của tốn học như bài tốn tối ưu, bất đẳng thức biến phân, bài tốn chấp nhận lồi, bài tốn cân bằng Cho X là một khơng gian Banach thực, C là một tập con của X, T : C → X là một tốn tử phi tuyến. Phương pháp xấp xỉ nghiệm x ∗ của phương trình T x = x là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng được nhiều nhà tốn học trong và ngồi nước quan tâm. Điểm x ∗ thỏa mãn T x ∗ = x ∗ còn được gọi là điểm bất động của tốn tử T . Trong nhiều trường hợp quan trọng, việc tìm nghiệm của một phương trình tốn tử được đưa về bài tốn tìm điểm bất động của một tốn tử thích hợp. Chẳng hạn nghiệm của phương trình tốn tử Ax = f, ở đây A : X → X là một tốn tử phi tuyến, f là phần tử thuộc X, là điểm bất động của tốn tử S xác định bởi Sx = Ax + x − f với x ∈ X. Nếu T là tốn tử khơng giãn thì A := I − T là tốn tử accretive, ở đây I là tốn tử đơn vị trong X. Do đó bài tốn tìm điểm bất động của tốn tử khơng giãn được đưa về bài tốn giải phương trình tốn tử accretive. Mục đích của đề tài luận văn này nhằm nghiên cứu phương pháp lặp Mann và phương pháp lặp Ishikawa giải phương trình tốn tử accretive trong khơng gian Banach. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới thiệu một số kiến thức cơ bản về tốn tử accretive đơn trị, tốn tử khơng giãn, bài tốn điểm bất động và phương trình tốn tử accretive. Phần cuối của chương giới thiệu một số dãy lặp cổ điển xấp xỉ điểm bất động, đó là dãy lặp Mann và dãy lặp Ishikawa. Chúng tơi cũng giới thiệu lịch sử của các dãy lặp này trên cơ sở các mở rộng của Deiling, Chidume, Liu, Zhou, Osilike và Ding (xem [6], [2], [8], [12], [10], [4], [5]). Trong chương 2, chúng tơi trình bày một số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến với tốn tử accretive mạnh trong khơng gian Banach. Sự hội tụ của các dãy lặp kiểu Mann và Ishikawa được chứng minh chi tiết 3 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ trong các trường hợp tốn tử accretive mạnh đơn trị, liên tục Lipschiz và liên tục đều. Đóng góp chính của chúng tơi trong luận văn là đọc, dịch, tổng hợp kiến thức trong các tài liệu [1]-[12]. Tồn bộ phần chứng minh các định lý trong chương 2 được chúng tơi làm rõ từ các kết quả nghiên cứu đã có trong [1], và khơng được chứng minh tường minh trong tài liệu này. 4 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 Phương trình phi tuyến với tốn tử accretive Trong chương này chúng tơi trình bày một số khái niệm và kết quả về tốn tử accretive, bài tốn điểm bất động, phương trình tốn tử và một số phương pháp lặp kinh điển tìm điểm bất động của tốn tử trong khơng gian Banach. Các kết quả của chương này được tham khảo trong tài liệu [1]-[12]. 1.1 Tốn tử accretive, tốn tử khơng giãn Cho X là một khơng gian Banach thực, X ∗ là khơng gian liên hợp của X và x ∗ , x là ký hiệu giá trị của x ∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X. Ký hiệu 2 X là một họ các tập con khác rỗng của X. Cho A là một tốn tử với miền xác định là D(A) và miền giá trị là R(A). Định nghĩa 1.1. Tốn tử J : X → 2 X ∗ (nói chung đa trị) được gọi là tốn tử đối ngẫu chuẩn tắc của X nếu J(x) = {x ∗ ∈ X ∗ : x ∗ , x = xx ∗ , x ∗  = x}. Trong trường hợp đơn trị ta ký hiệu là j. Tính đơn trị của tốn tử đối ngẫu chuẩn tắc của khơng gian Banach X được cho trong mệnh đề sau đây. 5 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mệnh đề 1.2. Giả sử X là một khơng gian Banach. Khi đó, i) J(x) là tập lồi, J(λx) = λJ(x), với mọi λ > 0; ii) J là tốn tử đơn trị khi X ∗ là khơng gian lồi chặt. Trong trường hợp X là khơng gian Hilbert thì J ≡ I-tốn tử đơn vị trong X. Một bất đẳng thức đơn giản và thơng dụng thường được dùng để thiết lập mối quan hệ giữa tốn tử đối ngẫu chuẩn tắc J và chuẩn . trong khơng gian Banach là bất đẳng thức Petryshyn [11]. Định nghĩa 1.3. Cho X là một khơng gian Banach thực, J : X → 2 X ∗ là tốn tử đối ngẫu của X. Khi đó x + y 2 ≤ x 2 + 2y, j(x + y) (1.1) với mọi x, y ∈ X và j(x + y) ∈ J(x + y). Bất đẳng thức (1.1) được gọi là bất đẳng thức Petryshyn. Định nghĩa 1.4. Tốn tử đơn trị A : X → X được gọi là i) accretive nếu Ax − Ay, J(x − y) ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A); ii) accretive chặt nếu dấu bằng ở bất đẳng thức trên chỉ đạt được khi x = y; iii) accretive đều nếu tồn tại một hàm tăng γ(t), t ≥ 0, γ(0) = 0, sao cho Ax − Ay, J(x − y) ≥ γ(x − y), ∀x, y ∈ D(A); iv) k-accretive mạnh nếu γ(t) = kt 2 , k > 0 là một hằng số; v) m-accretive nếu R(I + λA) = X, ∀λ > 0. Định nghĩa 1.5. Tốn tử T : X → X được gọi là liên tục Lipschitz nếu tồn tại một hằng số L > 0 thỏa mãn T x − T y ≤ Lx − y, ∀x, y ∈ D(T ). (1.2) 6 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Số L được gọi là hằng số Lipschitz của T . Nếu L < 1 thì T là tốn tử co và nếu L = 1 thì T là tốn tử khơng giãn, nghĩa là |T x − T y ≤ x − y, ∀x, y ∈ D(T ). (1.3) Tính chất accretive và khơng giãn của tốn tử T có mối liên hệ sau đây. Cho X là một khơng gian Banach và C là một tập con của X. Khi đó nếu T : C → X là một tốn tử khơng giãn thì A := I − T là một tốn tử accretive. Hơn nữa, nếu C trùng với X thì A := I − T là một tốn tử m-accretive. Định nghĩa 1.6. Cho T : D(T ) ⊂ X → X là một tốn tử. (i) Tốn tử T được gọi là giả co nếu với mỗi x, y ∈ D(T ), tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho T x − T y, j(x − y) ≤ x − y 2 . (1.4) (ii) Tốn tử T được gọi là giả co mạnh nếu với mọi x, y ∈ D(T ) tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) và hằng số l ∈ (0, 1) sao cho T x − T y, j(x − y) ≤ lx − y 2 . (1.5) (iii) Tốn tử T được gọi là giả co chặt nếu với mọi x, y ∈ D(T ), tồn tại một hằng số k > 0 và j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho T x − T y, j(x − y) ≤ x − y 2 − k(Ix − Iy) − (T x − T y) 2 , (1.6) ở đây I là tốn tử đồng nhất trong X. Chú ý rằng, bất đẳng thức (1.6) được viết dưới dạng (I − T)x − (I − T )y, j(x − y) ≥ k(I − T)x − (I − T )y 2 . (1.7) Trong khơng gian Hilbert, bất đẳng thức (1.6) và (1.7) tương đương và T x − T y 2 ≤ x − y 2 + λ(I − T )x − (I − T )y 2 , (1.8) với mọi x, y ∈ D(T ) và λ = 1 − k < 1. Khi λ = 0 thì bất đẳng thức (1.8) có dạng T x − T y ≤ x − y, ∀x, y ∈ D(T ). (1.9) 7 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1.2 Bài tốn điểm bất động Định nghĩa 1.7. Phần tử x ∈ D(T ) trong khơng gian Banach X được gọi là một điểm bất động của tốn tử T nếu x = T x. Ký hiệu tập các điểm bất động của tốn tử T là F ix(T ). Chú ý rằng tập điểm bất động của tốn tử khơng giãn T trong khơng gian Banach lồi chặt X nếu khác rỗng là một tập lồi và đóng. Bài tốn điểm bất động được phát biểu như sau: Cho C là một tập con lồi của khơng gian Banach X, T : C → X là một tốn tử. Hãy tìm phần tử x ∗ ∈ C sao cho T x ∗ = x ∗ . (1.10) Việc tìm nghiệm của bài tốn điểm bất động (1.10) tương đương với việc giải phương trình tốn tử T x − x = 0. (1.11) Định lý 1.8. (Định lý điểm bất động Banach) Cho (X, d) là một khơng gian metric đầy đủ và T : X → X là một tốn tử co. Khi đó T có một điểm bất động duy nhất trong X và với mỗi x 0 ∈ X mọi dãy lặp {T n x 0 } đều hội tụ đến điểm bất động này. Định lý điểm bất động Banach được đưa ra trong luận án của Banach vào năm 1992, nó được sử dụng để thiết lập sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân. Kể từ đó, vì sự đơn giản và hữu dụng, nó đã trở thành một cơng cụ rất phổ biến trong việc giải quyết các vấn đề tồn tại trong nhiều ngành của tốn học giải tích. Chú ý rằng, nếu một tốn tử khơng giãn T : X → X có một điểm bất động thì nó khơng duy nhất và dãy {x n } được xác định bởi x n+1 = T x n với n = 0, 1, 2, có thể khơng hội tụ tới điểm bất động của T . Ví dụ, cho T : R → R xác định bởi T x = 1 − x. 8 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... lịch sử của dãy lặp Mann và Ishikawa xấp xỉ nghiệm cho bài tốn điểm bất động của một tốn tử, cũng là bài tốn giải phương tình tốn tử phi tuyến với tốn tử accretive đơn trị trong khơng gian Banach Đồng thời, luận văn trình bày một số phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm của phương trình phi tuyến với tốn tử accretive mạnh đơn trị, liên tục đều và liên tục Lipschitz, chứng minh sự hội tụ mạnh của các dãy lặp tương... Trong chương 2 chúng tơi sẽ làm rõ mối liên hệ này trên cơ sở chứng minh sự hội tụ mạnh của các dãy lặp tương ứng 17 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 Phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến với tốn tử accretive mạnh Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp giải phương trình phi tuyến trên cơ sở sự hội tụ của dãy lặp Mann và dãy lặp Ishikawa với tốn tử accretive. .. là một tốn tử Khi đó, i) A là tốn tử accretive khi và chỉ khi I − A là tốn tử giả co; ii) A là tốn tử accretive mạnh khi và chỉ khi I − A là tốn tử giả co mạnh, ở đây I là tốn tử đơn vị trong X Như vậy việc xấp xỉ nghiệm của phương trình phi tuyến với tốn tử accretive hoặc accretive mạnh được đưa về bài tốn điểm bất động của 16 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ tốn tử giả co... tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của phương trình T x = f Chứng minh Cho βn = 0 với mọi n ≥ 0 trong Định lý 2.1 ta nhận được điều cần chứng minh Hệ quả 2.3 Cho X , T , S , {αn } như trong Định lý 2.1 Khi đó dãy lặp Picard {xn } x0 ∈ X xn+1 = (1 − λ)xn + λSxn , n ≥ 0 hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của phương trình T x = f Định lý 2.4 Cho X là khơng gian Banach thực và T : X → X là tốn tử accretive mạnh. .. tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của phương trình T x = f Chứng minh Vì T : X → X là tốn tử accretive mạnh và liên tục Lipschitz nên theo Bổ đề 1.24 S : X → X là tốn tử giả co mạnh và liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L∗ = 1 + L Rõ ràng rằng, x∗ là nghiệm của phương trình T x = f khi và chỉ khi x∗ là điểm bất động của S Mà theo Định lý 1.11 thì S có điểm bất động duy nhất trong X , nên phương trình. .. định của tốn tử accretive A : X → X Rõ ràng rằng x∗ là nghiệm của phương trình tốn tử (1.25) khi và chỉ khi x∗ là điểm bất động của tốn tử S được xác định bởi Sx = f − Ax + x (1.26) Định lý 1.11 khẳng định rằng nếu S là giả co chặt (hoặc giả co mạnh) thì tốn tử S có duy nhất điểm bất động, khi đó, phương trình tốn tử accretive (1.25) sẽ có duy nhất nghiệm Ta có mối liên hệ giữa tốn tử accretive và... với tốn tử accretive mạnh trong khơng gian Banach Các kết quả của chương này được tổng hợp và làm chi tiết hơn từ tài liệu [1] 2.1 Sự hội tụ trong trường hợp tốn tử accretive mạnh và liên tục Lipschitz Ký hiệu L ≥ 1 và k ∈ (0; 1) là hằng số Lipschitz và hằng số accretive mạnh của tốn tử T Đặt L∗ = 1 + L và r là bất kỳ, nhưng cố định trong 0; k 2 Định lý 2.1 Cho X là một khơng gian Banach thực bất kỳ... , n ≥ 0 (1.22) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của phương trình T x = f Năm 1997, Ding [5] cũng đã chứng minh một kết quả sau, kết quả này tổng qt hóa kết quả đã đưa ra trong Osilike Định lý 1.22 Cho X là khơng gian Banach bất kì và T : X → X là tốn tử k -accretive mạnh và liên tục Lipschitz với miền xác định D(T ) và miền giá trị R(T ) Giả sử phương trình T x = f có nghiệm với bất kì f ∈ D(T ) Cho... khơng gian Banach trơn đều được trình bày trong các hệ quả dưới đây Trước hết ta nhắc lại khái niệm về khơng gian Banach trơn đều Ký hiệu mặt cầu đơn vị của khơng gian Banach X là SX , với SX = {x ∈ X : ||x|| = 1} Định nghĩa 2.14 Khơng gian Banach X được gọi là trơn nếu với mỗi x ∈ SX tồn tại duy nhất fx ∈ X ∗ sao cho x, fx = ||x|| và ||x|| = 1 Định nghĩa 2.15 Mơ đun trơn của khơng gian Banach X là... với x0 ∈ D(T ) nào đó, dãy lặp kiểu Ishikawa {xn } với sai số xác định bởi: xn+1 = (1 − αn ) xn + αn T yn + un , n ≥ 0 yn = (1 − βn ) xn + βn T xn + vn , n ≥ 0 (1.24) được chứa trong D(T ) Khi đó dãy {xn } hội tụ mạnh tới điểm bất động duy nhất của T 1.4 Phương trình tốn tử accretive Ta xét phương trình tốn tử Ax = f, (1.25) trên một tập con lồi đóng G ⊂ D(A) ⊆ X , trong đó D(A) là miền xác định của . pháp lặp giải phương trình phi tuyến với tốn tử accretive mạnh Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp giải phương trình phi tuyến trên cơ sở sự hội tụ của dãy lặp Mann và dãy lặp Ishikawa.  DƯƠNG VĂN SÁNG NGHIỆM LẶP CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VỚI TOÁN TỬ ACCRETIVE MẠNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên. [5]). Trong chương 2, chúng tơi trình bày một số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến với tốn tử accretive mạnh trong khơng gian Banach. Sự hội tụ của các dãy lặp kiểu Mann và Ishikawa được

Ngày đăng: 18/09/2014, 11:39

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan