Trường THCS Bảo Đài Năm học 2014-2015 BỒI DƯỠNG HSG TOÁN LỚP 7 A.ĐẠI SỐ 1. Bài tập về tính chất của tỷ lệ thức Bài 1: Cho 3 số x ,y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện : y z x z x y x y z x y z + − + − + − = = Hãy tính giá trị của biểu thức : B = 1 1 1 x y z y z x      + + +  ÷  ÷ ÷      Giải Với 3 số x ,y , z khác 0 và y z x z x y x y z x y z + − + − + − = = ⇒ 1 1 1 y z z x x y x y z + + + − = − = − ⇒ y z z x x y x y z + + + = = Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : 2( ) 2 y z z x x y x y z x y z x y z + + + + + = = = = + + với x + y + z ≠ 0 Do đó : B = 1 1 1 x y z y z x      + + +  ÷  ÷ ÷      = . . y z z x x y x y z + + + = 2 .2 .2 = 8 Bài 2 Cho a, b, c là 3 số khác 0 và a b c 0+ + ≠ thỏa mãn: a b c b c c a a b = = + + + Tính giá trị biểu thức b c c a a b P a b c + + + = + + Giải Ta có a b c a b c 1 b c c a a b 2.(a b c) 2 + + = = = = + + + + + b c c a a b 2 a b c + + + ⇒ = = = b c c a a b P 2 2 2 6 a b c + + + ⇒ = + + = + + = Bài 3 Một tam giác có chu vi là 63 cm và ba cạnh của nó tỉ lệ với 5; 7; 9. Tính độ dài ba cạnh của tam giác. GV Nguyễn Văn Minh Giáo án Bồi dưỡng HSG Toán lớp 8 1 Trường THCS Bảo Đài Năm học 2014-2015 Giải Gọi x,y,z là ba cạnh của tam giác (x,y,z >0; tính bằng cm) Theo đề bài, ta có: 975 zyx == và x + y + z = 63 Suy ra: 975 zyx == = 21 63 975 = ++ ++ zyx = 3  x = 5 .3 = 15  y = 7 . 3= 21  z = 9 3 = 27 Trả lời: Ba cạnh của tam giác là 15 cm, 21 cm, 27 cm. Bài 4 Một hộp đựng ba loại bi khác nhau. Số lượng loại bi màu xanh, bi màu vàng và bi màu đỏ tỷ lệ với các số 5,7,9. Tính số bi mỗi loại, biết số bi màu xanh ít hơn số bi màu vàng là 4 viên Giải - Gọi số bi màu xanh, vàng, đỏ lần lượt là x, y, z (viên) ⇒ 975 zyx == và 4=− xy Từ đó 2 2 4 57975 == − − === xyzyx - tìm được .18;14;10 === zyx - KL: Có 10 viên xanh; 14 viên đỏ; 18 viên vàng Bài 5 Tìm các số a,b,c biết 432 cba == và a+b-c=15 Giải Từ 432 cba == Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : 432 cba == = 15 3 4 5 2 a b c+ − = + − ⇒ a=15; b=22,5;c=30 Bài 6 Tìm a, b, c biết 2 3 4 a b c = = và a+2b-3c= -20 Giải Từ 2 3 4 a b c = = ⇒ 2 3 2 3 20 5 2 6 12 2 6 12 4 a b c a b c+ − − = = = = = + − − . ⇒ a=10; b=15; c=20 GV Nguyễn Văn Minh Giáo án Bồi dưỡng HSG Toán lớp 8 2 Trường THCS Bảo Đài Năm học 2014-2015 Bài tập 1.Tính x,y,z biết 1 2 3 x y z x y z y z x z x y = = = + + + + + + + − (1) HD Từ (1) ⇒ x+y+z= 1 2 ⇒ y+z= 1 2 -x (2) Lại từ 1 1 2 x y z = + + ⇒ y+z=2x-1 (3) Từ (2) và (3) ⇒ x= 1 2 . Tưng tự tính được y= 5 6 ; z= 5 6 − 2.1.Tìm ba số a,b,c biết 2 3 a b = (1); 5 7 b c = (2) và a+b-c=8 HD Từ (1) và (2) ⇒ 8 2 10 15 21 10 15 21 4 a b c a b c+ − = = = = = + − ⇒ a=20;b=30;c=42 2.2Tìm ba số a,b,c biết 7 5 a c = (1) , 1 5 b c = (2) và a-b+c=55 HD Từ 7 5 a c = (1) ⇒ 7 5 a c = (*); Từ (2) ⇒ 1 5 b c = (**) Từ (*) và (**) ⇒ 55 5 7 1 5 7 1 5 11 a b c a b c− + = = = = = − + ⇒ a=35; b=5; c=25 Bài 7 Cho a,b,c là các số tự nhiên khác 0 Chứng minh rằng nếu d c b a = thì dc dc ba ba 72 72 72 72 − + = − + Giải Từ d c b a = ⇒ 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 a b a b a b a b c d c d c d c d a b c d a b c d + − = = = = = + − + + ⇒ = − − BTTT Cho a,b,c là các số tự nhiên khác 0 Chứng minh rằng nếu d c b a = thì 2 5 2 5 2 5 2 5 a b c d a b c d + + = − − Bải 8 cho a c b d = chứng minh rằng a c a b c d = + + ; a c a b c d = − − ; Giải Từ a c b d = ⇒ a b a b c d c d + = = + ⇒ a c a b c d = + + GV Nguyễn Văn Minh Giáo án Bồi dưỡng HSG Toán lớp 8 3 Trường THCS Bảo Đài Năm học 2014-2015 2. Bài tập về dãy số Bài 1 Tính tổng a) S= 1+3+5+ +97+99 =(1+99)+(3+97)+(5+95)+ +(49+51) ,có 25 nhóm =100.25=2500 b) S=1-2-3+4+5-6-7+8+ +2009-2010-2011+2012+2013 =(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+ +(2009-2010-2011+2012)+2013 ( có 53 nhóm) =2013 Bài 2 Cho M= 2 3 99 1 1 1 1 3 3 3 3 + + + + (1) Chứng minh rằng M< 1 2 . Giải Từ (1) ⇒ 3M=1+ 2 3 98 1 1 1 1 3 3 3 3 + + + + ⇒ 3M-M=1- 99 1 3 ⇒ 2M=1- 99 1 3 ⇒ M= 99 1 1 2 2.3 − ⇒ M< 1 2 BTTT Cho 2 3 2012 1 1 1 1 1 3 3 3 3 C = + + + + + (1). Chứng minh rằng C < 3 2 Giải Từ (1) ⇒ 3C=3+(1+ 2 3 2011 1 1 1 1 3 3 3 3 + + + + ) ⇒ 3C=3+C- 2012 1 3 ⇒ 2C=3- 2012 1 3 ⇒ C= 2012 3 1 3 2 2.3 2 − < ⇒ C < 3 2 . Bài 4 Chứng minh rằng A= 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 3 9 10 2 + + + < + + + Giải Nhận xét 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) 2 2 1 2 2 2 1a a a a a a a a   = < = −  ÷ + + + + + +   Do đó A< 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 9 10   − + − + + −  ÷   = 1 1 1 1 1 2 10 2 20   − = −  ÷   < 1 2 ⇒ A< 1 2 . BTTT Chứng minh rằng M= ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 3 2 1n n + + + < + + + + Bài 5 Chứng minh rằng: A= 10 1 100 99 6 5 . 4 3 . 2 1 < . Bài 6 Tính tổng S= 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 + + + + S= 1 1 1 1 1 1 2 2 3 99 100       − + − + −  ÷  ÷  ÷       =1- 1 99 100 100 = GV Nguyễn Văn Minh Giáo án Bồi dưỡng HSG Toán lớp 8 4 Trường THCS Bảo Đài Năm học 2014-2015 Bài 7 Tính P= 2 2 2 2 1 1 1 1 2.3 3.4 4.5 9.10       − − − −  ÷ ÷ ÷  ÷       Nhận xét: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 1 1 1 n n n n n n n n n n − + + − − = = + + + Do đó P= 1.4 2.5 3.6 4.7 5.8 6.9 7.10 8.11 . . . . . . . 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 = 1 11 11 . 3 9 27 = BTTT Tính P= ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 2.3 3.4 4.5 1n n       − − − −  ÷  ÷ ÷ ÷  ÷ +       Nhận xét: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 1 1 1 n n n n n n n n n n − + + − − = = + + + Do đó P= ( ) ( ) ( ) 1 2 1.4 2.5 3.6 1 2 2 . . 2.3 3.4 4.5 1 3 3 n n n n n n n n − + + + = − = + . ĐỀ THI THỬ SỐ 1 Câu 1 1.Tìm số nguyên a sao cho 3 chia hết cho (a-2) 2.Tìm số nguyên x sao cho 3 2x − = Câu 2 1.Tìm x,y,z biết 2 3 2 3 4 x y z = = (1) và x-y=15. HD: Từ (1) ⇒ 15 4 3 4 3 x y x y− = = = − ⇒ x=60; y=45; z= 40 2. Cho a c b d = . Chứng minh rằng 2 5 2 5 2 5 2 5 a b c d a b c d + + = − − Câu 3 1. Rút gọn biểu thức (2x-3y)(4x 2 +6xy+9y 2 ) 2. Tính giá trị của biểu thức 6x 2 -(2x+1)(3x-2)-4 tại x=3. Câu 4 Cho hình thang ABCD (AB//CD). Các đường phân giác ngoài đỉnh A và D cắt nhau ở K; Các đường phân giác ngoài đỉnh B và C cắt nhau ở L. Biết KL=25cm. Tính chu vi của hình thang. Câu 5 Tìm các số nguyên x,y sao cho 5x+2y=3xy-3 (1) Từ (1) ⇒ 3xy-2y-5x=3 9xy-6y-15x=9 (9xy-6y)-(15x-10)=19 (3x-2y)(3y-5)=19 ⇒ a) 3 2 19 3 5 1 x y − =   − =  hoặc 3 2 1 3 5 19 x y − =   − =  ; b) 3 2 19 3 5 1 x y − = −   − = −  hoặc 3 2 1 3 5 19 x y − = −   − = −  GV Nguyễn Văn Minh Giáo án Bồi dưỡng HSG Toán lớp 8 5 . khác 0 Chứng minh rằng nếu d c b a = thì dc dc ba ba 72 72 72 72 − + = − + Giải Từ d c b a = ⇒ 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 a b a b a b a b c d c d c d c d a b c d a b c d + − =. + GV Nguyễn Văn Minh Giáo án Bồi dưỡng HSG Toán lớp 8 3 Trường THCS Bảo Đài Năm học 2014-2015 2. Bài tập về dãy số Bài 1 Tính tổng a) S= 1+3+5+ + 97+ 99 =(1+99)+(3+ 97) +(5+95)+ +(49+51) ,có 25 nhóm . ta có: 975 zyx == và x + y + z = 63 Suy ra: 975 zyx == = 21 63 975 = ++ ++ zyx = 3  x = 5 .3 = 15  y = 7 . 3= 21  z = 9 3 = 27 Trả lời: Ba cạnh của tam giác là 15 cm, 21 cm, 27 cm. Bài