bài toán về xác định góc giữa đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng

22 4.9K 79
bài toán về xác định góc giữa đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

tài liệu giúp cho người đọc có thể hiểu được thế nào là góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng. Đồng thời biết cách xác định, cách vẽ, cách xây dựng và giải bài toán góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng trong không gian.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TIỂU ḶN ĆI KI ĐỀ TÀI: Bài tốn xác định góc khơng gian đường thẳng chéo nhau, góc mặt phẳng, góc đường thẳng mặt phẳng Giảng viên hướng dẫn Sinh viên thực hiện Mã sinh viên Lớp Khóa : PGS.TS Nguyễn Chí Thành : Nguyễn Thị Đoan Trang : 11010119 : Sư phạm Toán : 2011 Hà Nội, tháng – 2014 Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011 MỤC LỤC Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011 PHẦN MỞ ĐẦU Điểm, đường thẳng, mặt phẳng đối tượng hình học khơng gian Từ tạo nên vật thể khác như: hình chóp, hình lăng trụ, hình nón… Mơn hình học khơng gian mơn học nghiên cứu tính chất hình nằm không gian Bài tiểu luận nghiên cứu chủ yếu vấn đề góc khơng gian, cụ thể tốn xác định góc khơng gian đường thẳng chéo nhau, góc mặt phẳng, góc đường thẳng mặt phẳng Khái niệm góc khơng gian nhắc tới hình học khơng gian lớp 11 Trong thực tế, bắt gặp nhiều hình ảnh góc khơng gian sợi dây dọi vng góc với nhà cho ta hình ảnh vng góc đường thẳng mặt phẳng, mái nhà so với mặt đất, hình ảnh cánh cửa chuyển động hình ảnh tường cho ta thấy thay đổi góc hai mặt phẳng, hình ảnh sợi dây cáp hình ảnh mặt đường cho ta thấy góc đường thẳng mặt phẳng… Sợi dây dọi vng góc với nhà cho ta hình ảnh vng góc đường thẳng mặt phẳng Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011 Qua ta thấy việc xác định góc khơng gian có nhiều ứng dụng thực tế, vấn đề quan trọng Mục đích nghiên cứu giúp học sinh nắm vững kiến thức xác định góc khơng gian Mà muốn nắm vững phải thực hành giải tập để củng cố lý thuyết Hình ảnh sợi dây cáp hình ảnh mặt đường cho ta thấy góc đường thẳng mặt phẳng Dưới tốn xác định góc khơng gian đường thẳng chéo nhau, góc mặt phẳng, góc đường thẳng mặt phẳng để giúp học sinh có cách nhìn tổng qt Nhiệm vụ tiểu luận: Tóm tắt lý thuyết cách đầy đủ khoa học, giúp cho người đọc nhớ lại nắm vững lý thuyết góc khơng gian đường thẳng chéo nhau, góc mặt phẳng, góc đường thẳng mặt phẳng Trình bày tốn xác định góc khơng gian đường thẳng chéo nhau, góc mặt phẳng, góc đường thẳng mặt phẳng để người đọc nắm vững được: • Cách dựng góc đường thẳng chéo nhau, góc mặt phẳng, góc đường thẳng mặt phẳng • Cách tính góc đường thẳng chéo nhau, góc mặt phẳng, góc đường thẳng mặt phẳng Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011 PHẦN NỘI DUNG I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng , khơng gian Từ điểm O đó,ta vẽ hai đường thẳng , song song (hoặc trùng) với , Dễ thấy điểm O thay đổi góc khơng thay đổi Hình Định nghĩa 1: Góc hai đường thẳng góc hai đường thẳng qua điểm song song (hoặc trùng) với Kí hiệu hay Định nghĩa 2: Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng 90° Chú ý: • Để xác định góc hai đường thẳng nói , ta lấy điểm O nói thuộc hai đường thẳng • Góc hai đường thẳng khơng vượt q 90 • Nếu , vectơ phương và (, ) = α góc hai đường thẳng α α ≤ 90° 180° - α α ≥ 90° • Khi hai đường thẳng a b vng góc với nhau, ta cịn nói gọn hai đường thẳng a b vng góc, kí hiệu a ⊥ b hay b ⊥ a Như a ⊥ b ⇔ = 0, vectơ phương a b Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011 • Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng cịn lại Góc đường thẳng và mặt phẳng Định nghĩa 3: Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng (h.2) Phép chiếu vng góc: Cho đường thẳng d mặt phẳng (P) Phép chiếu song song theo phương d lên mặt phẳng (P) gọi phép chiếu vng góc lên mặt phẳng (P) (h.3) Định lý ba đường vng góc: Cho đường thẳng a nằm mặt phẳng (P) b đường thẳng không thuộc (P) đồng thời khơng vng góc với (P) Gọi b’ hình chiếu vng góc b (P) Khi a vng góc với b a vng góc với b’ (h.4) Định nghĩa 4: Cho đường thẳng ∆ mặt phẳng (P) Góc đường thẳng ∆ mặt phẳng (P) góc đường thẳng ∆ hình chiếu ∆’ (P) (h.5) Hình Chú ý: Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011 • Nếu đường thẳng ∆ thuộc mặt phẳng (P) đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (P) góc đường thẳng ∆ mặt phẳng (P) 0° • Nếu đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng ∆ mặt phẳng (P) 90° • Góc đường thẳng mặt phẳng không vượt 90° Góc hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (P) (Q) Lấy hai đường thẳng a b vng góc với (P) (Q) Khi đó, góc hai đường thẳng a b không phụ thuộc vào cách lựa chọn chúng gọi góc hai mặt phẳng (P) (Q) (h.6) Hình Định nghĩa 5: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Định nghĩa 6: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 90° (h.7) Chú ý: • Khi hai mặt phẳng (P) (Q) trùng song song với góc chúng 0° • Góc hai mặt phẳng khơng vượt q 90° Hình • Khi hai mặt phẳng(P) (Q) vng góc với ta cịn nói gọn hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc, kí hiệu (P) ⊥ (Q) hay (Q) ⊥ (P) Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011 II CÁC DẠNG BÀI TOÁN Các bài toán góc hai đường thẳng chéo Để giải tốn góc hai đường thẳng chéo ta thực sau: Bước 1: Xác định góc hai đường thẳng chéo (dựng góc hai đường thẳng chéo nhau): Để dựng góc hai đường thẳng chéo , ta chọn điểm O thích hợp cho từ O ta vẽ // , // Khi góc hai đường thẳng chéo góc hai đường thẳng chéo (h.1.1) Hình 1.1 = =α ( 0° ≤ α ≤ 90°) Chú ý: Ta chọn điểm O thuộc hai đường thẳng Cách dựng sau: • • Chọn O thuộc Dựng mặt phẳng (R) chứa đường thẳng cắt O • Trên (R), từ O kẻ đường thẳng // Khi góc hai đường thẳng chéo góc hai đường thẳng (h.1.2) Hình 1.2 Bước 2: Tính góc hai đường thẳng chéo Sử dụng tỷ số lượng giác góc tam giác vng sử dụng định lý hàm số Côsin tam giác thường để xác định số đo góc • Định lý hàm số Cơsin (h.1.3) Hình 1.3 Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011 • Hệ thức lượng tam giác vuông (h.1.4) = tan α = cos α = cot α = Hình 1.4 Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a Gọi M N trung điểm BC AD Tính góc AB CD, biết MN = a Giải: Dựng góc Gọi I trung điểm đoạn thẳng CD Xét tam giác ABC có IM đường trung bình tam giác ABC ⇒ IM // AB Xét tam giác ABC có IN đường trung bình tam giác ACD ⇒ IN // CD (h.1.5) Ta có: ⇒ = Tính góc Theo định lý hàm số Cơ-sin cho tam giác MIN có: Hình 1.5 Suy = Ta có: IN = CD = a (vì IN đường trung bình tam giác ACD); IM = AB = a (vì IM đường trung bình tam giác ABC) Suy ra: = = = ⇒ = 120° ⇒ = 180° − 120° = 60° Vậy = 60° Ví dụ 2: (ĐHKA 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’, độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a Hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trung điểm BC Tính cơ-sin góc hai đường thẳng AA’ B’C’ Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011 Giải: Dựng góc: Gọi H trung điểm vủa BC (h.1.6) Theo giả thiết ta có A’H ⊥ (ABC) Ta có: ⇒ () = () = () Hình 1.6 Tính cơ-sin (AA’, B’C’): Ta tính cơ-sin góc (BB’, BH) Nối B’ với H, áp dụng định lý hàm số cơ-sin vào tam giác B’BH Ta có: ⇒ = Mặt khác: BH = BC = = = a BB’ = AA’ = 2a B’H = = = = 2a ( Vì A’H ⊥ (ABC) ⇒ A’H ⊥ (A’B’C’) ⇒ A’H ⊥ A’B’ ⇒ tam giác HA’B’ vuông A’ ta có tam giác A’HA vng H) Từ suy cos = = > Mà () = ⇒ cos () = cos () = cos = Bài tập đề nghị: Bài 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD Hãy tính cơ-sin góc AC DO Bài 2: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh BC, AD a) Tính cơ-sin góc AB DM, biết ABCD tứ diện có cạnh a b) Hãy tính góc AB CD, biết AB = CD = 2a MN = Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, AA’ = c Hãy tính góc AD’ B’C Các bài toán xác định góc đường thẳng và mặt phẳng Để giải tốn góc đường thẳng mặt phẳng trường hợp chúng cát ta thực sau: 10 Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011 Bước 1: Dựng góc đường thẳng d mặt phẳng (P) Xác định giao điểm O đường thẳng d mặt phẳng (P) Lấy điểm M thích hợp d cho dễ dàng kẻ MH ⊥ (P) Khi OH hình chiếu OM mặt phẳng (P) (h.2.1) Hình 2.1 Suy góc đường thẳng d mặt phẳng (P) góc OM OH = = Bước 2: Tính góc đường thẳng d mặt phẳng (P) Ta quy tính góc đường thẳng d đường thẳng qua OH (hướng dẫn phần a)) Nếu ≤ 90° = Nếu > 90° = 180° − Chú ý: Để xác định giao điểm O đường thẳng d mặt phẳng (P) ta sử dụng số gợi ý sau: Chọn mặt phẳng (Q) ⊥ (P) Xác định giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (Q) M Xác định giao tuyến x mặt phẳng (P) (Q) Khi điểm M điểm cần tìm (h.2.2) Từ M kẻ MH ⊥ x Suy MH ⊥ (P) Hình 2.2 Đặc biệt, mặt phẳng (Q) qua điểm O Tức M trùng O 11 Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011 Cách 1: Dựng mặt phẳng (R) // (Q), mặt phẳng (R) ⊥ (P) (R) ∩ d = {M’} Suy góc đường thẳng d mặt phẳng (P) góc đường thẳng d mặt phẳng (R) Khi ta xác định góc đường thẳng d (R) (h2.3) Hình 2.3 Cách 2: Dựng d’ // d Suy góc đường thẳng d mặt phẳng (P) góc đường thẳng d’ mặt phẳng (P) Khi ta xác định góc đường thẳng d’ (P) (h2.3) Thông thường đường thẳng d’ ∩ (Q) = {M’, M’ ≠ O’} với {O’} = d’ ∩ (P) Hình 2.4 Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA = a vng góc với đáy Tính góc đường thẳng AB mặt phẳng (SBC) Giải: Dựng góc: Giao điểm AB ∩ (SBC) = {B} Dựng mặt phẳng vuông góc với (SBC) Kẻ IA ⊥ BC Ta có: ⇒ BC ⊥ (SAI) Suy (SBC) ⊥ (SAI) Giao điểm AB ∩ (SAI) = {A} Trên mặt phẳng (SAI) kẻ AH ⊥ SI, suy ra: AH ⊥ (SBC) (h.2.5) Khi AH hình chiếu vng góc đường thẳng AB lên mặt phẳng SBC Hình 2.5 Suy góc đường thẳng AB mặt phẳng (SBC) góc hai đường thẳng AB HB góc Tính góc: 12 Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011 Ta tính góc Tam giác SAI vng A có: Suy AH = Ta có tam giác ABH vng H có: = = Suy = 50° Vậy góc đường thẳng AB mặt phẳng (SBC) 50° Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, có cạnh SA = SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) Giải: Dựng góc: Ta có C = SC ∩ (ABCD), SA ⊥ (ABCD), suy AC hình chiếu SC lên mặt phẳng (ABCD) Suy góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) góc (h.2.5) Tính góc: Ta có ABCD hình vng có cạnh a, suy ra: Hình 2.6 AC = = = a = SA Suy tam giác SAC vng cân A Do = 45° Bài tập đề nghị; Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a vng góc với mặt phẳng (ABCD) a) Tính góc SC (ABCD) b) Tính góc cặp SC (SAB), SB (SAC), AC (SBC) Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a đáy ABC tam giác cạnh a Tính góc đường thẳng SA mặt phẳng (ABC) 13 Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011 Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang vng A B có AB = BC = a, AD = 2a, SA = 2a vuông với mặt phẳng đáy Tính góc đường thẳng BC mặt phẳng (SCD) Các bài toán góc hai mặt phẳng Để dựng góc hai mặt phẳng (P) (Q) trường hợp chúng cắt ta làm sau: Bước 1: Dựng góc hai mặt phẳng (P) (Q) Xác định giao tuyến d (P) (Q) Lấy điểm O thích hợp d cho: Trên mặt phẳng (Q) từ O dựng đường thẳng a ⊥ d, mặt phẳng (P) từ O dựng đường thẳng b ⊥ d (h.3.1) Khi = Hình 3.1 Bước 2: Tính góc Ta quy tính góc hai đường thẳng a b (hướng dẫn phần a)) Nếu ≤ 90° = Nếu > 90° = 180° − Chú ý 1: Để dựng góc hai mặt phẳng cách chi tiết, ta sử dụng số gợi ý sau: Gợi ý 1: Nếu phát thấy mặt phẳng (Q) có điểm M cho dễ dàng kẻ MH ⊥ (P) (MH thường đường cao, H ∈ (P)) Kẻ HO ⊥ d (O ∈ d, d giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q)) Nối OM Khi HO hình chiếu Hình 3.2 OM mặt phẳng (P) Mà d ⊥ HO ⇒ d ⊥ OM (theo định lý ba đường vuông góc) Suy ra, theo định nghĩa, góc hai mặt phẳng (P) (Q) góc Gợi ý 2: Nếu phát thấy có 14 Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011 đường thẳng a vng góc với giao tuyến d: Xác định điểm A, B giao điểm đường thẳng a mặt phẳng (Q), (P) Kẻ đường thẳng AO ⊥ d Suy đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (OAB) Suy d ⊥ OB (h.3.3) Khi đó: Nếu () ≤ 90° () = () Nếu () > 90° = 180° − () Hình 3.3 Chú ý 2: Để tính góc hai mặt phẳng trường hợp ta không dựng góc hai mặt phẳng, ta sử dụng cơng thức hình chiếu Gọi S diện tích đa giác mặt phẳng (P) với S’ diện tích đa giác mặt phẳng (Q) α góc hai mặt phẳng (P) (Q) (h.3.4) Khi đó: S’ = S Hình 3.4 Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) Gọi α góc hai mặt phẳng (ABC) (SBC) Chứng minh rằng: = , hý hiệu diện tích tam giác ABC Giải: Dựng góc: Theo giả thiết ta có SA ⊥ (ABC) (S ∈ SBC) Kẻ đường cao SH tam giác SBC Do SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC (h.3.5) Suy BC ⊥ (SAH) Vậy = = α Chứng minh = Xét tam giác SAH có AS ⊥ AH, áp dụng hệ thức lượng tam giác vng SAH có: Hình 3.5 AH = SH Từ ta có: = BC.AH = BC.SH = 15 Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng (ABC) SA = a) Tính góc hai mặt phẳng (ABC) (SBC) b) Tính diện tích tam giác SBC Giải: a) Dựng góc Gọi H trung điểm cạnh BC ta có BC ⊥ AH Do SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC (h.3.6) Suy BC ⊥ (SAH) Vậy góc hai mặt phẳng (ABC) (SBC) SHA Hình 3.6 Tính góc Đặt α = SHA, ta có: = Ta suy α = 30° Vậy góc (ABC) (SBC) 30° b) Vì SA ⊥ (ABC) nên tam giác ABC hình chiếu vng góc tam giác ABC Gọi S, S’ diện tích tam giác SBC ABC Ta có: S’ = S ⇒ S = Suy ra: S = = Bài tập đề nghị; Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy = a, cạnh bên = 3a a) Hãy tính góc mặt phẳng (SCD) (ABCD) b) Hãy tính góc mặt phẳng (SDC) (SCB) Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, góc ASB = 60°, BSC = 90°, CSA = 120° a) Chứng minh tam giác ABC tam giác vng b) Tính góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) 16 Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011 KẾT LUẬN Kết bài tiểu luận • Đã tóm tắt hầu hết lý thuyết liên quan đến tốn xác định góc khơng gian đường thẳng chéo nhau, góc mặt phẳng, gócgiữa • • đường thẳng mặt phẳng Trình bày phương pháp giải tập điển hình có liên quan Nêu thêm số gợi ý dựng góc khơng gian Việc hiểu nắm vững tốn xác định góc khơng gian đường thẳng chéo nhau, góc mặt phẳng, góc đường thẳng mặt phẳng có giúp ích nhiều việc giải tốn hình học khơng gian tính khoảng cách, chứng minh quan hệ song song, quan hệ vng góc… Em cố gắng phát triển, nghiên cứu sâu tiểu luận để phục vụ cho việc giảng dạy chương trình Tốn học phổ thơng Bài báo cáo em cịn nhiều thiếu xót kính mong nhận lại góp ý thầy bạn 17 Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011 • • • • Tài liệu tham khảo: Sách giáo khoa Hình học nâng cao 11 – NXB Giáo dục Sách giáo khoa Hình học 11 – NXB Giáo dục Lê Hồng Đức – Nhóm cự mơn, Giải tốn Hình học 11, NXB Hà Nội, 2007 Các diễn đàn toán học http://diendantoanhoc.net, http://hocmai.vn … 18 Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011 ... lý thuyết góc khơng gian đường thẳng chéo nhau, góc mặt phẳng, góc đường thẳng mặt phẳng Trình bày tốn xác định góc khơng gian đường thẳng chéo nhau, góc mặt phẳng, góc đường thẳng mặt phẳng để... nắm vững được: • Cách dựng góc đường thẳng chéo nhau, góc mặt phẳng, góc đường thẳng mặt phẳng • Cách tính góc đường thẳng chéo nhau, góc mặt phẳng, góc đường thẳng mặt phẳng Nguyễn Thị Đoan Trang... Nếu đường thẳng ∆ thuộc mặt phẳng (P) đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (P) góc đường thẳng ∆ mặt phẳng (P) 0° • Nếu đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng ∆ mặt phẳng

Ngày đăng: 29/08/2014, 10:15

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • PHẦN MỞ ĐẦU

  • PHẦN NỘI DUNG

    • I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

      • 1. Góc giữa hai đường thẳng

      • 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

      • 3. Góc giữa hai mặt phẳng

    • II. CÁC DẠNG BÀI TOÁN

      • 1. Các bài toán về góc giữa hai đường thẳng chéo nhau

      • 2. Các bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

      • 3. Các bài toán về góc giữa hai mặt phẳng

  • KẾT LUẬN

    • Kết quả của bài tiểu luận

    • Tài liệu tham khảo:

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan