PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TẤM SỬ DỤNG PHẦN TỬ TƯƠNG THÍCH LCCT12 Lê Kiều Trường đại học Kiến trúc Hà Nội VÊn ®Ị: Bài báo này trình bày một trong nh÷ng cách phân tích động lực học tấm sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn với phần tử tương thích ‘Linear Curvature Compatible Triangle’ (LCCT12). §ång thêi bµi b¸o còng tr×nh bµy cách tiếp cận của phần tử LCCT12 với bài toán động lực học ứng dụng lý thuyết tấm mỏng của Kirchhoff. Các lời giải số về tần số dao động riêng của một số dạng bài toán tấm minh hoạ hiệu quả sử dụng của dạng phần tử này. 1. Giới Thiệu Nghiên cứu về bài toán tấm luôn có ý nghóa lớn lao cho việc ứng dụng vào các kết cấu ®ang ®ỵc dïng chung quanh chúng ta: sàn nhà, vách, nắp hoặc đáy bunker, hồ nước… Các tính toán giải tích truyền thống phần lín dựa trên lý thuyết tấm mỏng của Kirchhoff với giả thuyết về mặt trung bình không biến dạng đã được phát triển dù rất tốt với các lời giải của Ritz, Reyleigh, Lévy, Navier… dưới dạng chuỗi nhưng cũng chỉ giới hạn với một số điều kiện biên nhất đònh và phần lớn chỉ là dùng để tìm ra nội lực mà thôi. Đối với phân tích động lực học bài toán tấm thì các nghiên cứu giải tích dựa trên đònh luật Newton, phương trình công ảo… còn hạn chế hơn nữa vì các khó khăn toán học. Một số các phương pháp xấp xỉ như phương pháp biến phân, Galerkin… cũng được phát triển để giải quyết các khó khăn của các phương pháp truyền thống tuy nhiên cũng gặp phải các khó khăn tương tự. Một số các kết quả có thể tìm trong [5,11,13]. Cùng với sự phát triển của công nghệ máy tính hiện nay, các tiếp cận sử dụng phương pháp số như phần tử hữu hạn, phần tử biên, phương pháp không phần tử (meshless)… đã được nghiên cứu áp dụng và cho kết quả tốt. Các khó khăn vì khối lượng tính toán nhiều đã được máy tính với tốc độ và khả năng xử lý cao giải quyết. Trong tất cả các phương pháp số thì phương pháp phần tử hữu hạn có thể được xem như một công cụ rất mạnh để giải quyết hầu hết tất cả các bài toán cơ hiện nay đặc biệt 1 là bài toán tấm. Trong phương pháp này bµi to¸n tiếp tục được chia thµnh nhiều mô hình khác nhau như mô hình cân bằng, mô hình tương thích… và mỗi mô hình đều có ưu khuyết điểm khác nhau. Trong phạm vi bài báo này chúng tôi muốn giới thiệu ứng dụng một phần tử tương thích vào nghiên cứu động lực học bài toán tấm đó là phần tử LCCT12 tuân theo các giả thiết tấm mỏng của Kirchhoff. Phần tử này cũng đã được c¸c t¸c gi¶ Hùng [9,10] và Dương [8] nghiên cứu áp dụng tính toán nội lực và một số đánh giá sai số lời giải cho bài toán tấm và vỏ. Chúng tôi giới thiệu cách tiếp cận của phần tử LCCT12 và một số các ví dụ tính toán, so sánh với một số các kết quả đã có hiện nay để đánh giá hiệu quả của ph¬ng ph¸p phần tử này trong tính toán động lực học tấm. 2. Phần tử LCCT12 Hình 1: Phần tử tương thích LCCT12 với 16 bậc tự do. Phần tử ‘Linear Curvature Compatible Triangle’LCCT12 ban đầu có 16 bậc tự do trên biên (hình 1), nhưng với những giả thuyết và biến đổi phần tử ‘LCCT-12’ sẽ giảm xuống còn 12 bậc tự do trên biên: Hàm chuyển vò của từng phần tử có thể được biểu diễn qua các bậc tự do của nút và hàm dạng: w = N.q Trong đó: N : là ma trận hàm dạng. q : là vector chuyển vò nút. Trong phần tử ngoài chuyển vò của các góc w i còn có các góc xoay của mỗi góc phần tử. 2 0 (3) m k j i 1 2 3 4 0 1 2 3 4 1 (2) 3 (1) 2 6 n w       ∂ ∂ w 1 w 4 w 3 w 2 θ y1 θ x1 θ y2 θ x2 θ y3 θ x3 θ y4 θ x4 5 n w       ∂ ∂ 7 n w       ∂ ∂ 8 n w       ∂ ∂ 6 n w       ∂ ∂ i 1 i xi w y w ∂= ∂ ∂ =θ với i = 1, 2, 3, 4 (2) i 2 i yi w x w ∂= ∂ ∂ −=θ (3) Không những thế còn có góc xoay tại 3 nút ở giữa các cạnh θ 5 , θ 6 , θ 7 , θ 8 i n i i w n w ∂=       ∂ ∂ =θ với i = 5, 6, 7, 8 (4) Chuyển vò nút của phần tử bây giờ được biểu diễn qua các phần tử con w (k) (x,y) = N (k) (x,y).q (k) Chuyển vò nút của phần tử con 1 [ ] T 0y0x063y3x32y2x2 )1( w w wq θθθθθθθ= q (1) là vector bao gồm 10 thành phần chuyển vò, ta sử dụng hàm đa thức nội suy bậc ba 10 thành phần của Lagrange [11] cho một phần tử con và được biểu diễn trong hệ tọa độ tự nhiên ( ) 321 L,L,LL = như sau: α= Pw Trong đó: ]LLL LL LL LL LL LL LL L L L[ 3212 2 31 2 31 2 23 2 23 2 12 2 1 3 3 3 2 3 1 =P [ ] 10987654321 T αααααααααα=α Đối với các phần tử con k = 1→ 4 thì hàm dạng sẽ được biểu diễn bằng )L(N . Từ công thức (6) ta suy ra vector chuyển vò toàn bộ các nút q là: [ ] 0y0x087654y4x43y3x32y2x21y1x1 T w| w w w wq θθθθθθθθθθθθθθ= [ ] T E T R qq |= 2.1 Ma trận độ cứng phần tử [ ] [ ][ ] ( ) [ ] [ ] [ ] ( ) ∫∫ == m e m e A T V T m e dABHBdVBDBk Trong đó: m là số phần tử con. m = 1, 2, 3, 4. [ ]             ν− ν ν ν− = 2 1 00 01 01 )1(12 Et H 2 3 ; ]N)[(]B[ ∂∇= 2.2 Ma trận khối lượng phần tử 3 [ ] [ ] ( ) ∫                 ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ += m e A j i j i 1 T 0 m e y N y N x N x N INNIm Trong đó: m : Số phần tử con. m = 1, 2, 3, 4. I 0 , I 1 : Là mômen quán tính của khối lượng tdzI 2t 2t 0 .ρ=ρ= ∫ − ; 12 t dzzI 3 2t 2t 2 1 .ρ =ρ= ∫ − ρ : Là khối lượng riêng của vật liệu tấm. 2.3 Ghép nối và loại bỏ nút giữa của phần tử Ta có                     =               E R )4( 0 )4( e )3( 0 )3( e )2( 0 )2( e )1( 0 )1( e )4( )3( )2( )1( q q NN NN NN NN w w w w (10) Chúng ta thiết lập các ma trận theo những điều kiện tương thích trên nút i, j, k, m như sau: 0 q q BB | BB BB | BB BB | BB BB | BB E R )1( 0m )4( 0m )1( m )4( m )4( 0k )3( 0k )4( k )3( k )3( 0j )2( 0j )3( j )2( j )2( 0i )1( 0i )2( i )1( i =                     ++ ++ ++ ++ (11) Suy ra [ ] [ ] E )1( 0m )4( 0m )4( 0k )3( 0k )3( 0j )2( 0j )2( 0i )1( 0i R )1( m )4( m )4( k )3( k )3( j )2( j )2( i )1( i q BB BB BB BB q BB BB BB BB               + + + + −=               + + + + (12) Trong đó               + + + + =               + + + + = )1( 0m )4( 0m )4( 0k )3( 0k )3( 0j )2( 0j )2( 0i )1( 0i 3x40 )1( m )4( m )4( k )3( k )3( j )2( j )2( i )1( i 16x4 BB BB BB BB ]B[ , BB BB BB BB ]B[ (13) Đặt : [BB] 3x3 = [B 0 ] T 3x4 ×[B 0 ] 4x3 Vì vậy 4 [ ] [ ] [ ] RR 164 T 43 0 33 E qCqBBBBq ×=×××−= × × × (14) Bằng cách thay (14) vào trong (10), Ta có được hàm chuyển vò như sau: R )4( 0 )4( e )3( 0 )3( e )2( 0 )2( e )1( 0 )1( e )4( )3( )2( )1( q CNN CNN CNN CNN w w w w ×               =               (15) Ma trận độ cứng của phần tử có được bằng cách “lấy tổng” độ cứng của 4 phần tử con. Tiếp theo sử dụng sự cô đặc tónh (static condensation) để giảm các bậc tự do bên trong của phần tử. Và sử dụng điều kiện năng lượng toàn phần dừng để tìm ra được ma trận độ cứng phần tử. Các thủ tục trên có thể tìm được trong [8]. Ma trận khối lượng m của phần tử được thiết lập như trình tự trên như sau: ∑ = = 4 1i )i( mm (16)       = EEER RERR mm mm m Trong đó chỉ số R và E trong các ma trận lần lượt dùng để quy đònh cho các thành phần của phần tử tam giác tương ứng với các bậc tự do của các nút 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và các bậc tự do bên trong của nút 0 mà đã được giản lược. Với một phần tử, động năng T e có thể được tính như sau: { } { } ∫ ρ= e V e T e e dVww 2 1 T  (17) Mà như ta đã biết do chuyển vò là hàm thời gian, các điểm của phần tử chuyển động với vận tốc bằng đạo hàm bậc nhất của chuyển vò theo thời gian t: { } [ ] { } e e qNw   = Ở đây: { } e q  là vector vận tốc các điểm nút của phần tử. Suy ra: { } [ ] [ ] { } { } { } e T ee V TT e e qmq 2 1 qdVNNq 2 1 T e  =         ρ= ∫ 5 [ ] [ ]             =             = R R EEER RERR TT R T R E R EEER RERR T E T R qC q mm mm Cqq 2 1 q q mm mm qq 2 1       ( ) REE T REER T RR T R qCmCCmmCmq 2 1  +++= Trong đó: CmCCmmCmm EE T REER T RR e +++= (18) Thực tế thấy rằng phân tích các nút giữa cạnh 5, 6, 7, 8 là phức tạp. Tuy nhiên, nếu độ dốc pháp tuyến thay đổi tuyến tính dọc theo cạnh thì nút tại giữa cạnh được bỏ đi và coi góc xoay tại nút giữa là trung bình cộng của góc xoay tại nút i và nút j: ij yjyi ij xjxi ijykijxkk sin 2 cos 2 sincos α         θ+θ +α         θ+θ =αθ+αθ=θ (19) Với : k = 5, 6, 7, 8 và α ij là góc của các cạnh ij = 12, 23, 34, 41 Lúc này đối với phần tử LCCT chỉ còn lại 12 bậc tự do (thay vì 16) nhưng hoàn toàn tương thích với sự ràng buộc về những độ dốc pháp tuyến tuyến tính khác dọc theo các cạnh biên (hình 2). Hình 2: phần tử LCCT12 sau khi đã giản lược. 3. Các ví dụ tính toán Bản vuông làm bằng vật liệu đẳng hướng có các thông số như sau: kích thước của bản: a = b = 4 m. Chiều dày bản: h = 0.1 m. Môđun đàn hồi: E = 2.5311×10 9 Kg/m 2 . Hệ số Poisson: ν = 0.2. Khối lượng riêng: ρ = 244.8 kg/m 3 . 3.1 Tấm bốn cạnh tựa đơn 6 1 2 3 4 6 n w       ∂ ∂ 5 n w       ∂ ∂ 7 n w       ∂ ∂ 8 n w       ∂ ∂ 1 2 3 4 y x a a Hình 3: Tấm bốn cạnh tựa đơn Ở ví dụ này chúng ta sẽ xem xét các giá trò tần số vòng của tấm trong 5 mode đầu tiên. Chúng ta sẽ so sánh kết quả của phần tử LCCT12 với phần mềm SAP 2000 sử dụng phần tử tấm là thin-plate. Ngoài ra còn so sánh với kết quả từ một nghiên cứu trước đây là [14]. Ở đây lưới chia 10x10 sẽ được sử dụng. Các kết qủa thu được từ các loại phần tử khác nhau sẽ được so sánh với lời giải giải tích (chính xác) trong [5] như hình 4 và trình bày ở bảng 1. Hai phần tử khác sử dụng lý thuyết Mindlin (tấm dày) cũng được trình bày để tham khảo. Hình 4: Sai số % của các loại phần tử so với lời giải chính xác [5]. 7 Bảng 1: Sai số (%) tần số của các phần tử trong 5 mode dao động đầu tiên so với [5]. STT Các loại phần tử w11 w12=w2 1 w13=w31 w14=w41 w22 1 Hùng[14] - LT Mindlin 0,496 2,707 8,944 7,292 2,291 2 Hùng[14] - LT Kirchhoff 0,539 0,880 1,034 1,106 2,036 3 SAP2000 - Thin-plate 0,736 1,188 1,372 1,591 2,930 4 SAP2000 - Thick-plate 1,608 1,995 2,341 2,842 4,182 5 Phần tử 'LCCT-12' 0,359 0,527 0,505 0,442 1,433 Có thể thấy rằng, phần tử LCCT12 cho kết quả tốt hơn so với hai phần tử cùng tuân theo lý thuyết Kirchhoff là phần tử số 2 và 3. Phần tử số 4 sử dụng lý thuyết Mindlin cũng cho kết quả đồng dạng với ba phần tử trước và sai khác giữa chúng là không lớn. Phần tử số 1 cho kết quả không ổn đònh,cần chú ý khi sử dụng phần tử này. Chúng ta sẽ xem xét mức độ hội tụ của phần tử LCCT12 bằng việc thay đổi lưới chia phần tử là 2x2; 4x4; 8x8; 16x16 và cũng so sánh với phần tử thin-plate sử dụng trong SAP2000. Ở đây chúng ta chỉ xem xét kết quả của mode dao động đầu tiên w 11 . Lời giải chính xác trong [5] cho mode này là 116.87 rad/sec. Các kết quả tính toán được trình bày ở hình 5 và liệt kê trong bảng 2. Hình 5: Khảo sát độ hội tụ của phần tử LCCT12 – tấm 4 cạnh tựa. 8 Bảng 2: Tần số dao động mode đầu tiên với các lưới chia phần tử. Loại phần tử 2x2 4x4 8x8 16x16 SAP2000 - Thin-plate 96,356 111,444 115,517 116,537 SAP2000 - Thick-plate 107,983 112,804 114,562 115,765 Phần tử 'LCCT-12' 127,019 119,794 117,568 117,006 Ta thấy phần tử LCCT12 hội tụ nhanh hơn so với Sap thin-plate. Độ hội tụ đến lời giải chính xác khi độ mòn lưới tăng lên của LCCT12 tốt hơn hẳn so với SAP thin-plate. Độ hội tụ của phần tử Sap thick-plate cũng rất nhanh. Khi hội tụ, kết quả giữa hai loại phần tử tấm dày và mỏng có vẻ không khác nhau lắm. Một đặc biệt nữa là LCCT12 tìm đến lời giải chính xác như một cận trên còn Sap thin-plate thì như một cận dưới. 3.2 Tấm bốn cạnh ngàm Ở ví dụ này chúng ta sẽ xem xét bài toán dưới những điều kiện biên khác. Cũng giống ví dụ trên, đầu tiên chúng ta cũng sử dụng lưới chia 10x10 phần tử để so sánh các loại phần tử trong 5 mode dao động đầu tiên. Các kết qủa thu được từ các loại phần tử khác nhau cũng sẽ được so sánh với lời giải chính xác trong [5] như hình 7 và trình bày ở bảng 3. x y a a Hình 6: Tấm bốn cạnh ngàm. 9 Hình 7: Sai số của các loại phần tử so với lời giải chính xác [5]. Bảng 3: Sai số (%) tần số của các phần tử trong 5 mode dao động đầu tiên so với [5]. STT Các loại phần tử w11 w12=w2 1 w13=w31 w14=w41 w22 1 Hùng[14] - LT Mindlin 1,995 5,906 13,335 5,600 10,657 2 Hùng[14] - LT Kirchhoff 0,948 1,309 1,833 2,842 3,537 3 SAP2000 - Thin-plate 1,352 1,841 2,452 4,177 5,374 4 SAP2000 - Thick-plate 1,746 2,158 2,533 4,360 5,309 5 Phần tử 'LCCT-12' 0,821 0,978 0,434 2,302 2,714 Kết quả cũng tương tự ví dụ trước. LCCT12 cho kết quả tốt hơn so với của phần tử số 2 và 3. Phần tử số 1 cho kết quả vẫn không ổn đònh nên sử dụng phần tử này không hiệu quả. Và tiếp theo chúng ta cũng xem xét mức độ hội tụ của phần tử LCCT12 với độ mòn lưới chia phần tử thay đổi: 2x2; 4x4; 8x8; 16x16 và cũng so sánh với phần tử sử dụng trong SAP2000. Ở đây chúng ta cũng chỉ xem xét kết quả của mode dao động đầu tiên w 11 . Lời giải chính xác trong [5] cho mode này là 213.04 rad/sec. Các kết quả tính toán được trình bày ở hình 8 và liệt kê trong bảng 4. 10 [...]... dụng phần tử LCCT12 đã cho các kết quả tốt, lời giải số gần như sát với lời giải chính xác Đặc biệt khi so sánh với phần tử sử dụng trong phần mềm rất thông dụng hiện nay ở Việt Nam là Sap2000 khi phân tích động lực học bài toán tấm mỏng lại cho kết quả tốt hơn hẳn LCCT12 đã cho kết quả hội tụ rất nhanh, số bậc tự do của nó cũng ít, do đó nếu sử dụng phần tử này để phân tích sẽ không cần chia lưới mòn... được thời gian phân tích bài toán Tuy nhiên trong phạm vi bài báo này mới chỉ phân tích bài toán dao động riêng không xét đến hệ số nhớt Các vấn đề dao động khác của bài 11 toán tấm hi vọng sẽ được trình bày trong các nghiên cứu tiếp theo Phân tích dao động bài toán vỏ mỏng là những phát triển mà các tác giả đang thực hiện Một hướng phát triển tương lai nữa đó là vận dụng lý thuyết tấm dày của Mindlin... tử LCCT12 – tấm bốn cạnh ngàm Bảng 4: Tần số dao động mode đầu tiên với các lưới chia phần tử Loại phần tử SAP2000 - Thin-plate SAP2000 - Thick-plate Phần tử 'LCCT-12' 2x2 149,789 687,597 224,682 4x4 197,052 216,337 221,221 8x8 208,598 208,294 215,795 16x16 211,905 210,863 213,654 Ở đây LCCT12 cũng hội tụ rất nhanh và khi đạt độ mòn lưới cần thiết thì kết quả gần như đạt chính xác Các kết luận Sử dụng... Timoshenko and S Woinowsky-Krieger – “ Theory of Plates and Shells” Mcgraw-Hill, New York, 1959 [14] Trần Quốc Hùng – " Khảo sát ảnh hưởng của điều kiện biên, độ dày, tỉ lệ các cạnh đến đặc trưng động lực học của tấm chữ nhật", Luận văn thạc só của Trường ĐHBK, 2001 12 ... assessment for plate bending” Master thesis of EU-EMMC, Đại Học Bách Khoa TPHCM 2/2003 [10] Nguyễn Xuân Hùng– “ The equilibrium element finite model and error estimation for plate bending” Int Congress Engineering Mechanics Today, Ho Chi Minh City, 08/2004 [11] O.C.Zienkiewicz, CBE, FRS, FREng and R.T Taylor – “ The Finite Element Method”, MPG Books Ltd, 2000 [12] R L.Taylor, S Govindjee – “ Solution of... Felippa – “ A Refined Quadrilateral Element for the Analysis of Plate Bending Pro Of the Second Conf on Matrix Methods in Structural Mechanics” Wright Patterson Air Force Base, Ohio, 10/1968 [5] Eduard Ventsel and Theodor Krauthammer - " Thin Plates and Shells : Theory, Analysis, and Applications", Marcel Dekker, 2001 [6] Hutton – “ Fundamental of Finite Element Analysis” McGram-Hill, 2004 [7] J H Argyris