BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI − − − − − − − − − ĐẶNG ĐÌNH HANH PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC ANN-HÀM TỬ VÀ CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 62. 46. 05. 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2011 Công trình được hoàn thành tại: KHOA TOÁN - TIN, TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Tiến Quang Phản biện 1: GS. TS. Nguyễn Quốc Thắng Viện Toán học Phản biện 2: GS. TS. Lê Văn Thuyết Trường Đại học Huế Phản biện 3: PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn Trường ĐH Khoa học - Đại học Thái Nguyên Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Vào hồi giờ ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: - THƯ VIỆN QUỐC GIA - THƯ VIỆN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 1 MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Khái niệm phạm trù monoidal hay tensor phạm trù được đề xuất bởi S. Mac Lane [Rice.Univ.Studies 49(4)(1963), 28-46], J. Bénabou [C. R. Acad. Sci 253(1963) 1887- 1890] vào năm 1963. Mỗi phạm trù monoidal là một tựa vị nhóm, trong đó tập nền C được thay thế bởi một phạm trù và phép toán nhân m : C ×C → C được thay thế bởi một hàm tử. Trong [Rice. Univ. Studies 49(4)(1963), 28-46], S. Mac Lane đã đưa ra điều kiện đủ cho tính khớp của các ràng buộc tự nhiên của một phạm trù monoidal; và điều kiện đủ cho tính khớp của lớp phạm trù monoidal đối xứng, tức là một phạm trù monoidal có thêm ràng buộc giao hoán. Bài toán khớp cho lớp phạm trù monoidal thường được suy ra từ một kết quả mạnh hơn: mỗi phạm trù monoidal đều tương đương với một phạm trù monoidal chặt chẽ, tức là một phạm trù monoidal có các ràng buộc đều là những phép đồng nhất. Kết quả này đã được chứng minh bởi một vài tác giả như N. D. Thuận [Acta.Math.Vietnam 5(1980) 182-194], C. Kassel [Quantum groups, Graduate texts in mathematics (155)(1995)], P. Schauenburg [NewYork. J. Math 7(2001) 257-265]. Việc xem xét các mối liên hệ phụ thuộc của một số tiên đề trong hệ tiên đề của một phạm trù monoidal đối xứng đã được G. M. Kelly trình bày trong [J. of Algebra 1(1964) 397-402]. Sau này, S. Kasangian và F. Rossi đã xem xét thêm một số mối liên hệ về tính đối xứng trong một phạm trù monoidal [Bull. Austral.Math 23(1981) 209-214]. Phạm trù monoidal được "mịn hóa" để trở thành phạm trù với cấu trúc nhóm, khi bổ sung thêm khái niệm vật khả nghịch (Xem M. L. Laplaza [J. of Algebra 84(1983) 305- 323], N. Saavedra Rivano [Catégories Tannakiennes, Lecture Notes in Math 265(1972)]). Bây giờ, nếu phạm trù nền là một groupoid (nghĩa là mọi mũi tên đều đẳng cấu) thì ta được khái niệm monoidal category group-like (xem A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall [Compositio Mathematica 28(3)(1974) 229-285]), hay Gr-category (xem H. X. Sính [Gr- catégories, Thèse de Doctorat (1975)]), hay nhóm phạm trù [Communications in Algebra 28 (2000) 2585-2613], hoặc 2-nhóm [Theor and Appl. Cat 12(2004) 423-491] theo cách gọi gần đây. Các Gr-phạm trù đã được phân lớp bởi nhóm đối đồng điều nhóm H 3 (G, A) [H. X. Sinh, Gr-catégories, Thèse de Doctorat (1975)]. Trong trường hợp nhóm phạm trù có thêm ràng buộc giao hoán, chúng ta thu được khái niệm phạm trù Picard (Pic-phạm trù) [Gr-catégories, Thèse de Doctorat (1975)], hay nhóm phạm trù đối xứng [Math. Proc. Camb. Phil. Soc 114(1993) 163-189] hoặc 2-nhóm đối xứng [M. Dupont, Abelian categories in dimension 2, PhD thesis (2008)]. Tâm của phạm trù monoidal được giới thiệu bởi A. Joyal và R. Street [J of Pure and Applied Algebra 71(1991) 43-51], như là sự khái quát hóa của khái niệm tâm của một vị nhóm. Tâm của một phạm trù monoidal cung cấp một cấu trúc bện tự nhiên và tầm thường, đó là một tensor phạm trù bện hay một phạm trù monoidal bện và không đối xứng. Sau đó, tâm của phạm trù xuất hiện như một công cụ để nghiên cứu nhóm 2 phạm trù [Applied Categorical Structures 12(2004) 35-61] và nhóm phạm trù phân bậc [Applied Categorical Structures 13(2005) 131-140]. Trong [Advances in Mathematics 225(1)(2010) 319-348], A. Davydov đã nghiên cứu về tâm đầy của một đại số trong phạm trù tâm của một phạm trù monoidal và đã thiết lập bất biến Morita của xây dựng này bằng cách mở rộng nó đến các phạm trù môđun. Tâm của phạm trù monoidal cũng xuất hiện trong bài toán đối ngẫu của các phạm trù monoidal được đưa ra bởi S. Majid [Suppl. Rend. Circ. Math. Palermo 26(1991) 197-206]. Trong [Advances in Mathematics 102(1993) 20-78], A. Joyal và R. Street đã phân lớp các nhóm phạm trù bện bởi phạm trù các hàm quadratic (dựa trên một kết quả của S. Eilenberg và S. Mac Lane về sự biểu diễn hàm quadratic bởi nhóm đối đồng điều aben H 3 ab (G, A) [Annals of Mathematics 60(1)1954 49-139]. Trước đó, trường hợp nhóm phạm trù đối xứng (hay phạm trù Picard) đã được phân lớp bởi H. X. Sính [Gr-catégories, Thèse de Doctorat (1975)]. Tình huống tổng quát hơn đối với các nhóm phạm trù Picard được đưa ra bởi A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall với tên gọi nhóm phạm trù phân bậc [Compositio Mathematica 28(3)(1974) 229-285] (sau này, A. Cegarra và E. Khmaladze gọi là phạm trù Picard phân bậc [Advances in Mathematics 213(2) (2007) 644-686]). Các định lý phân lớp đồng luân cho các nhóm phạm trù phân bậc, các nhóm phạm trù bện phân bậc, và trường hợp riêng của nó, các phạm trù Picard phân bậc đã được trình bày theo thứ tự trong [Applied categorical Structures 13(2005) 131-140], [J of Pure and Applied Algebra 209(2007) 411- 437], [Advances in Mathematics 213(2)(2007) 644-686]. Từ mỗi phạm trù như vậy xuất hiện một 3-đối chu trình theo một nghĩa nào đó mà mỗi lớp tương đẳng của các phạm trù cùng loại là tương ứng với một lớp đối đồng điều chiều 3. Các lớp phạm trù có hai cấu trúc monoidal đã thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả. Năm 1972, M. L. Laplaza đã nghiên cứu về lớp phạm trù có tính phân phối [Lecture Notes math 281(1972) 29-65]. Kết quả chính của [Lecture Notes math 281(1972) 29-65] là chứng minh định lý khớp cho lớp phạm trù này. Sau đó, trong [Compositio Mathematica 28(3)(1974) 229-285], A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall đã đưa ra khái niệm phạm trù tựa vành với chủ ý là đưa ra một hệ tiên đề mới gọn hơn của M. L. Laplaza. Hai khái niệm này là những hình thức hóa của phạm trù các môđun trên một vành giao hoán. Năm 1994, M. Kapranov và V. Voevodsky [Proc of Symposia in Pure Mathematics 56(1994) 177-259] đã bỏ đi những đòi hỏi trong hệ tiên đề của M. L. Laplaza có liên quan đến ràng buộc giao hoán của phép nhân và đưa ra tên gọi phạm trù vành cho lớp phạm trù này. Họ đã sử dụng phạm trù của các không gian vectơ trên một trường K, cùng với tích tenxơ và tổng trực tiếp để định nghĩa các 2-không gian vectơ trên K. Để có được những mô tả về cấu trúc, cũng như để có thể phân lớp đối đồng điều, N. T. Quang đã đưa ra khái niệm Ann-phạm trù [J Math Hanoi 15(4)(1987) 14-24], như một phạm trù hóa khái niệm vành, với những đòi hỏi về tính khả nghịch của các vật và của các mũi tên của phạm trù nền, tương tự như trường hợp của nhóm phạm trù (xem [Catégories Tannakiennes, Lecture Notes in Math 265(1972); Gr-catégories, Thèse 3 de Doctorat (1975)]). Những đòi hỏi bổ sung này cũng không phải quá đặc biệt, bởi vì nếu P là một phạm trù Picard thì phạm trù End(P) các Pic-hàm tử trên P là một Ann-phạm trù (xem N. T. Quang [J. Math. Hanoi 16(1988) 17-26]), điều này đã được nhắc lại trong [arXiv:1005.2831v1[math.CT]]. Mặt khác, mỗi Ann-phạm trù mạnh là một phạm trù vành [Comm. Korean Math. Soc 25(4)(2010) 523-535]. Năm 2008, N. T. Quang đã chứng minh được rằng mỗi lớp tương đẳng các Ann-phạm trù hoàn toàn được xác định bởi ba bất biến: vành R, R−song môđun M và một phần tử thuộc nhóm đối đồng điều Mac Lane H 3 MaL (R, M) ([arXiv.0804.1820v4[math.CT]]). Trường hợp chính quy (ràng buộc đối xứng thỏa mãn điều kiện c X,X = 0 đối với mọi vật X) đã được phân lớp bởi nhóm đối đồng điều Shukla H 3 Sh (R, M) ([Ann-phạm trù, Luận án Tiến sĩ (1988)]). Từ các kết quả phân lớp của các Ann-phạm trù chính quy, Trần Phương Dung đã giải bài toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù chính quy [Ann-phạm trù chính quy và ứng dụng, Luận án Tiến sĩ (1992)] Mỗi Ann-phạm trù được xem như một one-object của Gpd-categories trong luận án của M. Dupont [Abelian categories in dimension 2, PhD Thesis (2008)], hay như một one-point enrichments of SPC của V.Schmitt [arXiv:0812.0150v2[math.CT]]. Năm 2006, M. Jibladze và T. Pirashvili [J. of Homotopy and Related Structures 2(2)(2007) 187-216] đã đưa ra khái niệm vành phạm trù với những sự sửa đổi từ hệ tiên đề của một Ann-phạm trù. Tuy nhiên, mối liên hệ giữa hai hệ tiên đề của Ann-phạm trù và vành phạm trù như thế nào? Hai lớp này có trùng nhau không, lớp này chứa lớp kia hay chúng chỉ giao nhau một phần? Một vành phạm trù còn được gọi là một 2-vành theo cách gọi trong [Abelian categories in dimension 2, PhD Thesis (2008)]. Năm 2010, các tác giả F. Huang, S. H. Chen, W. Chen và Z. J. Zheng đã định nghĩa các 2-môđun trên các 2-vành và đưa ra sự biểu diễn của các 2-vành [arXiv:1005.2831v1[math.CT]]. Bên cạnh những kết quả đã có về Ann-phạm trù, chúng tôi thấy rằng vẫn còn có những vấn đề liên quan tới Ann-phạm trù cần được nghiên cứu như: bài toán tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù trong trường hợp tổng quát, mối liên hệ giữa Ann-phạm trù và vành phạm trù, tính bện trong lớp Ann-phạm trù, Vì vậy, chúng tôi viết luận án với tiêu đề: "Phân lớp đối đồng điều các Ann-hàm tử và các Ann-phạm trù bện" để giải quyết những vấn đề nêu trên. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu của luận án bao gồm: sử dụng đối đồng điều vành của Mac Lane để nghiên cứu các Ann-hàm tử, xây dựng Ann-phạm trù cảm sinh bởi một Ann-hàm tử và xem xét mối liên hệ giữa hai hệ tiên đề của Ann-phạm trù và vành phạm trù (categorical rings); đưa ra định nghĩa Ann-phạm trù bện và một trường hợp riêng của nó là Ann-phạm trù đối xứng, đưa ra các ví dụ, xem xét mối liên hệ giữa Ann-phạm trù đối xứng với các phạm trù có tính phân phối (distributivity categories) và phạm trù tựa vành (ring-like categories), xây dựng phạm trù thu gọn cho lớp Ann-phạm trù bện và tiến hành phân lớp các Ann-phạm trù bện. 4 III. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu của luận án bao gồm: Ann-phạm trù, Ann-hàm tử và tính bện (và một trường hợp riêng của nó là tính giao hoán) trong lớp Ann-phạm trù. Phạm vi nghiên cứu của luận án là những bài toán thường gặp của lý thuyết phạm trù với cấu trúc, đó là bài toán phân lớp, xây dựng các ví dụ cụ thể, nghiên cứu các tính chất, các mối liên hệ phụ thuộc của các tiên đề và mối liên hệ giữa những lớp phạm trù có cấu trúc tương tự nhau. IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Ngoài những phương pháp nghiên cứu lý thuyết truyền thống, trong luận án này chúng tôi sử dụng triệt để phương pháp biểu đồ của lý thuyết phạm trù để chứng minh các biểu đồ giao hoán, thay cho các biến đổi đẳng thức trừu tượng. V. NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN Luận án đã đóng góp một số kết quả mới về Ann-phạm trù. Kết quả chính đầu tiên là sử dụng các nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane để tiến hành giải bài toán tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử (Định lý 2.1.8, Định lý 2.1.9). Kết quả chính thứ hai của luận án là xây dựng Ann-phạm trù đối ngẫu của một Ann-hàm tử (Định lý 2.2.10). Đây là một phép dựng mới ngoài phép dựng Ann-phạm trù của một đồng cấu chính quy trong bài toán mở rộng vành. Kết quả tiếp theo của luận án là Định lý 2.3.3. Định lý đã chỉ ra rằng các Ann-phạm trù là chứa trong các vành phạm trù. Ngược lại, mỗi vành phạm trù khi bổ sung thêm một tiên đề về sự tương thích với các ràng buộc đơn vị sẽ trở thành một Ann-phạm trù (Định lý 2.3.4). Những đóng góp tiếp theo của luận án có liên quan đến tính bện trong lớp Ann-phạm trù. Định lý 3.1.6 chỉ ra: Tâm của một Ann-phạm trù là một Ann-phạm trù bện và nói chung không đối xứng, đây là một kết quả tiếp nối các kết quả về tâm của một phạm trù monoidal đã được đưa ra trong [J. of Pure and Applied Algebra 2(2)(1991) 43-51]. Trên cơ sở xem xét mối liên hệ giữa Ann-phạm trù đối xứng với các phạm trù có tính phân phối và phạm trù tựa vành, luận án đã chỉ ra sự tương đương của hai hệ tiên đề: phạm trù có tính phân phối và phạm trù tựa vành (Mệnh đề 3.4.1), một khẳng định được A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall đưa ra nhưng không có chứng minh [Compositio Mathematica 28(3)(1974) 229-285]. Trong chương 4 của luận án, trước hết chúng tôi chứng minh sự tương đẳng của mỗi Ann-phạm trù bện với một Ann-phạm trù bện kiểu (R, M) (Mệnh đề 4.1.6, Mệnh đề 4.1.7). Từ đây, kết hợp với các kết quả về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử bện (Định lý 4.2.6), chúng tôi đưa ra và chứng minh các định lý phân lớp cho các Ann-phạm trù bện (Định lý 4.3.1, Định lý 4.3.2). VI. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ Ý NGHĨA THỰC TIỄN CỦA LUẬN ÁN Bên cạnh những công trình nghiên cứu về những lớp phạm trù có hai cấu trúc 5 monoidal đã được đưa ra bởi M. L. Laplaza, A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall, N. T. Quang, M. M. Kapranov và V. A. Voevodsky, M. Jibladze và T. Pirashvili, V. Schmitt, M. Dupont, luận án đã làm phong phú thêm những kết quả cho lớp phạm trù này. Đồng thời, luận án đã nghiên cứu về tính bện trong lớp Ann-phạm trù, điều này trước đây chỉ thực hiện cho lớp phạm trù có một cấu trúc monoidal. Các kết quả mà luận án đạt được bổ sung thêm các kết quả đã có về việc chuyển các kết quả của lý thuyết đại số thuần túy lên lý thuyết phạm trù, góp phần phát triển lý thuyết phạm trù nói riêng cũng như sự phát triển chung của Toán học hiện đại. VII. BỐ CỤC CỦA LUẬN ÁN Ngoài các phần mở đầu, kết luận, luận án gồm bốn chương sau. Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Một số kết quả về Ann-phạm trù và Ann-hàm tử Chương 3: Ann-phạm trù bện Chương 4: Phân lớp đối đồng điều các Ann-phạm trù bện 6 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Phạm trù với cấu trúc đã thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả. S. Mac Lane đã đưa ra khái niệm phạm trù monoidal [Rice.Univ.Studies 49(4)(1963) 28-46], Hoàng Xuân Sính đã đưa ra khái niệm Gr-phạm trù [Gr-catégories, Thèse de Doctorat (1975)], A. Joyal và R. Street đã đưa ra khái niệm phạm trù monoidal bện [Advances in Mathematics 102(1993) 20-78]. Những kết quả về Ann-phạm trù đã được trình bày trong Luận án Tiến sĩ của Nguyễn Tiến Quang (1988). Trong chương này, chúng tôi nhắc lại những khái niệm và kết quả chủ yếu, dùng làm cơ sở cho các chương sau. Phần cuối của chương trình bày về các nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane và đối đồng điều đại số của Hochschild. Các nhóm đối đồng điều này sẽ được sử dụng vào bài toán phân lớp các Ann-hàm tử. 1.1 Phạm trù monoidal bện 1.1.1 Phạm trù monoidal bện Định nghĩa 1.1.13 (Joyal và Street) Một bện cho phạm trù monoidal C bao gồm họ các đẳng cấu tự nhiên c = c A,B : A ⊗ B ∼ −→ B ⊗ A, trong C sao cho nó thoả mãn hai đẳng thức sau đây: (id B ⊗c A,C ) ◦ a −1 B,A,C ◦ (c A,B ) = a −1 B,A,C ◦ c A,B⊗C ◦ a −1 A,B,C ; (1.7) c A,C ◦ a A,C,B ◦ (id A ◦c B,C ) = a C,A,B ◦ c A⊗B,C ◦ a A,B,C . (1.8) Một tensor phạm trù bện hay một phạm trù monoidal bện là một cặp (C, c) bao gồm một phạm trù monoidal C và một bện c. Hơn nữa, nếu c B,A ◦ c A,B = id A⊗B , (1.10) thì C được gọi là một phạm trù monoidal đối xứng, hay một ACU-phạm trù. Định nghĩa 1.1.16 [Hàm tử monoidal bện (đối xứng)] Cho C và D là hai phạm trù monoidal bện (đối xứng). Một ⊗-hàm tử (F,  F , ˆ F ) từ C đến D được gọi là bện (đối xứng) 7 nếu với mỗi cặp (A, B) những vật của C ta có F (c X,Y ) ◦  F X,Y =  F Y,X ◦ c  F X,F Y . (1.11) 1.2 Gr-phạm trù và P ic-phạm trù Định nghĩa 1.2.5. (H.X.Sinh) Một Gr-phạm trù G là một phạm trù monoidal mà tất cả các vật đều khả nghịch và phạm trù nền là một groupoid, nghĩa là tất cả các mũi tên đều là đẳng cấu. Định nghĩa 1.2.8. (H.X.Sinh) Một phạm trù Picard hay một Pic-phạm trù P là một Gr-phạm trù cùng với một ràng buộc giao hoán tương thích với ràng buộc kết hợp. 1.3 Ann-phạm trù 1.3.1 Định nghĩa và ví dụ về Ann-phạm trù Định nghĩa 1.3.1. (N.T.Quang) Một Ann-phạm trù gồm: (i) Phạm trù A cùng với hai song hàm tử ⊕, ⊗ : A × A → A; (ii) Vật cố định 0 ∈ A cùng với các đẳng cấu tự nhiên a + , c + , g, d, sao cho (A, ⊕, a + , c + , (0, g, d)) là một nhóm phạm trù đối xứng; (iii) Vật cố định 1 ∈ A cùng với các đẳng cấu tự nhiên a, l, r sao cho (A, ⊗, a, (1, l, r)) là một phạm trù monoidal; (iv) Các đẳng cấu tự nhiên L, R (các ràng buộc phân phối bên trái, bên phải) L A,X,Y : A ⊗ (X ⊕ Y ) → (A ⊗ X) ⊕ (A ⊗ Y ), R X,Y,A : (X ⊕ Y ) ⊗ A → (X ⊗ A) ⊕ (Y ⊗ A), sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn: (Ann-1) Đối với mỗi vật A ∈ A các cặp (L A , ˘ L A ), (R A , ˘ R A ) xác định bởi các hệ thức sau: L A = A ⊗ −, ˘ L A X,Y = L A,X,Y , R A = − ⊗ A, ˘ R A X,Y = R X,Y,A . là những ⊕−hàm tử tương thích với a + , và với c + . (Ann-2) Đối với mọi vật A, B, X, Y ∈ A các biểu đồ sau là giao hoán: (a A,B,X ⊗ a A,B,Y ) ◦ ˘ L A BX,BY ◦ (id A ⊗ ˘ L B X,Y ) = ˘ L AB X,Y ◦ a A,B,X⊗Y ; (1.13) ˘ R A XB,Y B ◦ ( ˘ R B X,Y ⊗ id A ) ◦ a X⊗Y,B,A = (a X,B,A ⊕ a Y,B,A ) ◦ ˘ R BA X,Y ; (1.14) (a A,X,B ⊕ a A,Y,B ) ◦ ˘ L A XB,Y B ◦ id A ⊗ ˘ R B X,Y = ˘ R B AX,AY ◦ ( ˘ L X,Y ⊗ id B ) ◦ a A,X⊗Y,B ; (1.15) ( ˘ L A X,Y ⊗ ˘ L B X,Y ) ◦ ˘ R X⊗Y A,B = v AX,BX,AY,BY ◦ ( ˘ R X A,B ⊗ ˘ R Y A,B ) ◦ ˘ L A⊗B X,Y ; (1.16) 8 trong đó v = v U,V,Z,T : (U ⊕ V ) ⊕ (Z ⊕ T ) → (U ⊕ Z) ⊕ (V ⊕ T ) là mũi tên duy nhất được xây dựng từ a + , c + , id trong phạm trù monoidal đối xứng (A, ⊕). (Ann-3) Đối với vật đơn vị 1 ∈ A của phép toán ⊗, các biểu đồ sau là giao hoán: l X⊗Y = (l X ⊗ l Y ) ◦ ˘ L 1 X,Y ; (1.17) r X,Y = (r X ⊗ r Y ) ◦ ˘ R 1 X,Y . (1.18) 1.3.2 Định nghĩa Ann-hàm tử Định nghĩa 1.3.12. (N. T. Quang) Cho A và A  là những Ann−phạm trù. Một Ann−hàm tử từ A đến A  là một bộ bốn (F, ˘ F ,  F , F ∗ ) trong đó (F, ˘ F ) là một hàm tử monoidal đối xứng đối với phép toán ⊕, (F,  F , F ∗ ) hàm tử monoidal đối với phép toán ⊗ và thỏa mãn hai biểu đồ giao hoán sau: ˘ L F X F Y,F Z ◦ (id F X ⊗ ˘ F Y,Z ) ◦  F X,Y ⊕Z = (  F X,Y ⊕  F X,Z ) ◦ ˘ F XY,XZ ◦ F ( ˘ L X Y,Z ); (1.51) ˘ R F Z F X,F Y ◦ ( ˘ F X,Y ⊗ id F Z ) ◦  F X⊕Y,Z = (  F X,Z ⊕  F Y,Z ) ◦ ˘ F XZ,Y Z ◦ F ( ˘ R Z X,Y ). (1.52) Ta gọi u : F → K là một Ann−mũi tên hay một đồng luân giữa hai Ann−hàm tử (F, ˘ F ,  F , F ∗ ) và (K, ˘ K,  K, K ∗ ) nếu nó đồng thời là một ⊕−mũi tên và ⊗−mũi tên. Ann-hàm tử (F, ˘ F ,  F , F ∗ ) : A → A  được gọi là một Ann-tương đương nếu tồn tại một Ann-hàm tử (F  , ˘ F  ,  F  , F  ∗ ) : A  → A và các Ann-mũi tên đẳng cấu tự nhiên u : F ◦ F  ∼ = id A  , u  : F  ◦ F ∼ = id A . 1.3.3 Ann-phạm trù thu gọn Giả sử A là một Ann-phạm trù. Khi đó tập hợp các lớp vật đẳng cấu π 0 (A) của A là một vành đối với hai phép toán +, ×, cảm sinh bởi các phép toán ⊕, ⊗ trên A, còn π 1 (A) = Aut(0) là một nhóm aben mà luật hợp thành được ký hiệu bởi dấu +. Từ Định lý 1.6, chương IV [Ann-phạm trù, Luận án Tiến sĩ (1988)] và Định lý 7.6 [arXiv.0804.1820v4[math.CT]], mỗi Ann-phạm trù A được xác định duy nhất, sai khác bởi một Ann-tương đương, bởi ba bất biến đặc trưng: 1. Vành π 0 (A) các lớp vật đẳng cấu của phạm trù A; 2. π 0 (A)-song môđun π 1 (A) = Aut(0); 3. Phần tử [h] ∈ H 3 MacL (π 0 (A), π 1 (A)) (đối đồng điều vành theo nghĩa Mac Lane). [...]... bày về các kết quả phân lớp các Ann- hàm tử bởi nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane Mục 2.2 xây dựng một Ann- phạm trù cảm sinh bởi một Ann- hàm tử Mục 2.3 trình bày về mối liên hệ giữa Ann- phạm trù và vành phạm trù 2.1 2.1.1 Phân lớp đối đồng điều của các Ann- hàm tử Tiêu chuẩn tương đương của một Ann- hàm tử Để thiết lập được mối liên hệ giữa các Ann- hàm tử với các nhóm đối đồng điều Mac Lane của vành,... 24 KẾT LUẬN Luận án nghiên cứu về những lớp phạm trù với cấu trúc vành và các phạm trù với cấu trúc vành giao hoán, đó là Ann- phạm trù và vành phạm trù; Ann- phạm trù bện và Ann- phạm trù đối xứng Trong luận án chúng tôi đã thu được một số kết quả chính sau đây: 1 Giải bài toán tồn tại và phân lớp các Ann- hàm tử nhờ các nhóm đối đồng điều của Mac Lane và Hochschild 2 Thiết lập mối liên hệ giữa các khái... 4 Phân lớp đối đồng điều các Ann- phạm trù bện Trong chương này, chúng tôi sẽ chuyển các kết quả phân lớp về Ann- phạm trù tới Annphạm trù bện Trước hết, chúng tôi mở rộng kỹ thuật chuyển cấu trúc để xây dựng Ann- phạm trù bện thu gọn SA của Ann- phạm trù bện A Phạm trù này là tương đẳng với Ann- phạm trù bện ban đầu, và từ đó chúng tôi tiến hành giải bài toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann- hàm tử bện. .. giữa các Ann- phạm trù bện trên các thu gọn của chúng Trong mục 4.3, chúng tôi chứng minh các kết quả chính của chương này, đó là các Định lý phân lớp của các Ann- phạm trù bện 4.1 Ann- hàm tử bện và phép chuyển cấu trúc Ann- phạm trù bện thu gọn Định nghĩa 4.1.1 Cho A, A là những Ann- phạm trù bện Một Ann- hàm tử bện được định nghĩa là một Ann- hàm tử tương thích với các bện Một Ann- mũi tên bện (hay một đồng. .. về Ann- phạm trù và Ann- hàm tử Các kết quả nghiên cứu về Ann- phạm trù đã được đưa ra bởi Nguyễn Tiến Quang [Annphạm trù, Luận án Tiễn sĩ (1988), arXiv.0804.1820v4[math.CT], ] Trong [Ann- phạm trù chính quy và ứng dụng, Luận án Tiến sĩ (1992)], Trần Phương Dung đã nghiên cứu về các Ann- hàm tử giữa các Ann- phạm trù chính quy Chương này chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu nối tiếp về Ann- phạm trù. .. niệm Ann- phạm trù và vành phạm trù 3 Đưa ra khái niệm Ann- phạm trù bện và giải quyết những vấn đề cơ sở của một khái niệm mới: xây dựng các ví dụ, chỉ ra sự phụ thuộc của một số tiên đề, thiết lập mối liên hệ với các lớp phạm trù có tính phân phối và phạm trù tựa vành 4 Nêu phép dựng Ann- phạm trù đối ngẫu của một Ann- hàm tử Trong trường hợp đặc biệt, ta thu được tâm của một Ann- phạm trù, và đó là một Ann- phạm. .. vành π0 (A) là giao hoán Hơn nữa, các tác động hai phía của vành π0 (A) lên π1 (A) là trùng nhau Giả sử A là một Ann- phạm trù bện Gọi SA là Ann- phạm trù thu gọn của Ann- phạm trù A Dưới đây, chúng ta sẽ thực hiện phép chuyển bện c của Ann- phạm trù bện A cho SA để SA trở thành một Ann- phạm trù bện Mệnh đề 4.1.6 Nếu A là một Ann- phạm trù bện với bện c thì SA là một Ann- phạm trù bện với bện cảm sinh c = (•,... các Ann- hàm tử bện Định lý 4.2.6 Hàm tử F : S → S kiểu (p, q) là một Ann hàm tử bện nếu và chỉ nếu 3 cái cản trở [k] = 0 trong Hab (R, M ) Khi đó tồn tại các song ánh: (i) 2 HomBrAnn [S, S ] ↔ Hab (R, M ); (4.11) (p,q) (ii) 1 Aut(F ) ↔ Zab (R, M ) 4.3 Các định lý phân lớp Ký hiệu BrAnn là phạm trù có các vật là các Ann phạm trù bện A, các mũi tên là các Ann hàm tử bện giữa chúng Tương tự như Định lý phân. .. lớp các Ann- hàm tử giữa hai Ann- phạm trù đã được Trần Phương Dung giải quyết cho trường hợp các Ann- phạm trù chính quy (Định lý 4.2, Định lý 4.4 [Ann- phạm trù chính quy và ứng dụng, Luận án Tiến sĩ (1992)]) nhờ các tính toán của Nguyễn Tiến Quang về các nhóm đối đồng điều đại số chiều thấp của Shukla [Ann- phạm trù, Luận án Tiến sĩ (1988)] Trong phần này, bằng cách sử dụng tiêu chuẩn tương đương của các. .. Định nghĩa và ví dụ về Ann- phạm trù bện Định nghĩa 3.1.1 Một Ann- phạm trù bện A là một Ann- phạm trù A cùng với bện c sao cho (A, ⊗, a, c, (1, l, r)) là một phạm trù monoidal bện, đồng thời c thoả mãn biểu đồ A.(X ⊕ Y ) ˘ LA X,Y - c A.X ⊕ A.Y c⊕c ? (X ⊕ Y ).A ˘A RX,Y - (3.1) ? X.A ⊕ Y.A và điều kiện c0,0 = id Một Ann- phạm trù bện được gọi là một Ann- phạm trù đối xứng nếu bện c là ràng buộc đối xứng Tiếp . giữa Ann-phạm trù và vành phạm trù. 2.1 Phân lớp đối đồng điều của các Ann-hàm tử 2.1.1 Tiêu chuẩn tương đương của một Ann-hàm tử Để thiết lập được mối liên hệ giữa các Ann-hàm tử với các nhóm đối. và vành phạm trù, tính bện trong lớp Ann-phạm trù, Vì vậy, chúng tôi viết luận án với tiêu đề: " ;Phân lớp đối đồng điều các Ann-hàm tử và các Ann-phạm trù bện& quot; để giải quyết những vấn. 2: Một số kết quả về Ann-phạm trù và Ann-hàm tử Chương 3: Ann-phạm trù bện Chương 4: Phân lớp đối đồng điều các Ann-phạm trù bện 6 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Phạm trù với cấu trúc đã thu