http://NgocHung.name.vn I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP Để cm mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên n∈ N ta thử trực tiếp với số tự nhiên tập hợp số tự nhiên vơ hạn Song ta tiến hành bước kiểm tra sau Bước : Trước hết ta kiểm tra mệnh đề với n=0 Bước : Rồi ta chứng : Từ giải thiết mệnh đề với số tự nhiên n=k ≥0 suy với n=k+1 Ví dụ : Chứng minh với số tự nhiên n ≥2 ta có đẳng thức : an-bn =(a-b)(an-1 +an-2b +… + bn-1) Chứng minh Ta chứng minh phương pháp qui nạp * Khi n=2 ta có a2 -b2=(a-b)(a+b) * Giả sử đẳng thức n=k Tức ta có : ak-bk =(a-b)(ak-1 +ak-2b +… + bk-1) Ta cần chứng minh với n=k+1 Tức C/m ak+1-bk+1 =(a-b)(ak +ak-1b +… + bk) Thật ta có : VT = ak+1 - bk+1 = ak+1 -akb + akb -bk+1 = ak(a-b)+ b(ak -bk) = ak(a-b) + b(a-b)(ak-1 +ak-2b +… + bk-1) = (a-b)[ ak + b(ak-1 +ak-2b +… + bk-1)] = (a-b)(ak +ak-1b +… + bk) = VP Vậy theo giả thiết quy nạp đẳng thức với n ≥ n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) Bài 2: Chứng minh với n ∈ N* ta có : 12 +22 +32 + 42 +52 +……+n2 = n Bài 3: Chứng minh với n ∈ N biểu thức Un=13 -1 chia hết Bài : Chứng minh với số tự nhiên n ≥ ta có 2n > 2n+1 Bài 5: Chứng minh với số tự nhiên n ta có: 4.32n +2 + 32n − 36M64 Bài : Chứng minh với số tự nhiên n ≥1 ta ln có: (n+1)(n+2)…(2n) M 1.3.5…(2n-1) Bài : Chứng minh với số tự nhiên n ta ln có: n3+2n M Bài 8: Chứng minh với số tự nhiên n ta ln có: 16n − 15n − 1M225 Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên n ≥ ta có đẳng thức : 1+2+3+4…………+ n = A CHIA HẾT SỐ NGUYÊN Định nghĩa: Cho hai số nguyên a b (b ≠ 0) Tồn cặp số nguyên (q, r) cho a = bq + r với ≤ r < b * Nếu r = a chia hết cho b: a M b ⇔ a = kb a, b, k ∈ ¥ * Nếu r ≠ phép chia a cho b có dư Tính chất qua hệ chia hết: a Ma * Trong n số nguyên liên tiếp (n∈N*) có a M b b M a a = b số chia hết cho n a M b b M c a M c * Trong n+1 số nguyên (n∈N*) chia cho n k a Mm ka M m a M m có hai số chia cho n có số dư * Để chứng tỏ A(n) chia hết cho số nguyên tố a M m, b M m a ± b M m p ta xét trường hợp số dư n chia a ± b M m mà a M m b M m cho p a M m, b M n ab M nm * Để chứng tỏ A(n) chia hết cho hợp số m, ta phân a M m an M mn n tích m thành tíchcác thưac số đơi ngun tố a M m, m nguyên tố a M m chứng tỏ A(n) chia hết cho a M m, a M n mà (n, m) = a M mn thừa số a M m, a M n, a M k; n, m, k nguyên tố sánh đơi a M * Để CM f(x) chia hết cho m thơng thường ta phân mnk tích f(x) thành nhân tử xét số dư chia x cho a M m, b M m a ± b M m m Bồi dưỡng học sinh THCS http://NgocHung.name.vn PHƯƠNG PHÁP GIẢI : 1/ Phương pháp : A(n) chia hết cho p; ta xét số dư chia n cho p Ví dụ : A(n) = n(n2+1)(n2+4) chia hết cho n chia cho có số dư r =0,1,2,3,4,5 a/ Với r = n chia hết cho => A(n) chia hết cho b/ Với r = => n = 5k+1 => n2= 25k2+10k +1 (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho c/ Với r = => n = 5k+2 => n2= 25k2+20k +4 (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho d/ Với r = => n = 5k+3 => n2= 25k2+30k +9 (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho e/ Với r = => n = 5k+4 => n2= 25k2+40k +16 (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 2/ Phương pháp : A(n) chia hết cho m; ta phân tích m = p.q a/ (p,q) = ta chứng minh: A(n) chia hết cho p, A(n) chia hết cho q => A(n) chia hết cho p.q b/ Nếu p q khơng ngun tố ta phân tích A(n) = B(n).C(n) chứng minh B(n) chia hết cho p, C(n) chia hết cho q => , A(n) chia hết cho p.q 3/ Phương pháp : Để chứng minh A(n) M m biến đổi A(n) thành tổng nhiều hạng tử chứng minh hạng tữ chia hết cho n 4/ Phương pháp : Để chứng minh A(n) M m ta phân tích A(n) thành nhân tử, có nhân tử m chia hết cho m: A(n) = m.B(n) + Thường ta sử dụng đẳng thức : an – bn M a – b ( a ≠ b) n an – bn M a – b ( a ≠ - b) n chẵn an + bn M a + b ( a ≠ - b) n lẻ 5/ Chứng minh quy nạp toán học : Bài Chứng minh : a) n5 - 5n3 + 4n M 120 ; với ∀ n ∈ Z b) n -3n -n+3 M 48 ; với ∀ n lẻ c) n + 4n -4n -16n M384 với ∀ n chẵn Bài CMR: a) n − n M 12 b) n(n + 2)(25n − 1) M 24 c) Chữ số tận số tự nhiên n n5 giống 6 d) (a + b) M ⇔ (a + b ) M e) Cho n > (n, 6) = CMR n − 1M24 g) 32n + + 2n + M f) 32n + + 26n + M 11 B, CHIA HẾT ĐA THỨC : Ta sử dụng định lý Bơ zu : Số dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a giá trị đa thức f(x) x = a Từ ta có hệ : Đa thức f(x) M ( x – a) < = > f(a) = tức a nghiệm đa thức Từ suy : Đa thức f(x) có tổng hệ số chia hết cho x – Đa thức f(x) có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ f(x) M( x + 1) 2.Đa thức bậc trở lên : Cách : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có nhân tử chi hết cho đa thức chia Cách : Xét giá trị riêng 3/ Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác : Cách : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có thừa số chia hết cho đa thức chia Cách : Biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia Cách : Sử dụng biến đổi tương đương : chứng minh f(x) M g(x) ta chứng minh : f(x) + g(x) M g(x) f(x) - g(x) M g(x) Cách : Chứng tỏ nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia Bài Xác định số a ; b cho: a) 4x - 6x + a M (x-3) b) 2x2 + x + a M(x+3) Bồi dưỡng học sinh THCS c) x3 + ax2 - M(x2 + 4x + 4) d) 10x2 - 7x + a M(2x - 3) http://NgocHung.name.vn e) 2x2 + ax + chia cho x - dư g) ax5 + 5x4 - M (x-1) Bài Tìm số a b cho x3 + ax + b chia cho x + dư 7, chia cho x - dư -5 Bài Tìm n ∈ Z để : a/ n2 + 2n – M 11 d/ n3 - 3n2 + 3n - M +n + n b/ 2n + n + 7n +1 M – 2n e/n – 2n + 2n – 2n + M – n c/ n – M – n Bài 4: Tìm số dư phép chia x99 + x55 + x11 +x + cho x + Bài 5: CMR : a/ x50 + x10 + Mx20 + x10 + b/ x2 - x9 – x1945 Mx2 - x + c/ x10 - 10x + M(x – 1)2 d/ 8x9 - 9x8 + M(x – 1)2 I MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VỚI NGHIỆM NGUN Dạng 1: Phương trình bậc a Phương trình dạng: ax + by = c (a,b,c nguyên) * Cách giải: - Tách cá hệ số tổng số chia hết cho a b (Số có GTTĐ lớn hơn) - Sử dụng dấu hiệu tính chất chia hết tổng để tìm ẩn Thay nghiệm vừa tìm vào phương trình ban đầu tìm nghiệm cịn lại - Kết luận nghiệm Bài tập mẫu: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x + 3y = 11 Ví dụ Giải phương trình: 11x + 18 y = 120 Giải: Hướng dẫn giải Cách 1: 2x + 3y = 11 11x + 18 y = 120 ó 11x + 22y – 4y = 121 – 1− y ó 11(x + 2y -11 ) = 4y – ⇒ x = −y + +  4y – M 11 => 12y – M 11 x nguyên − y M2 hay y = 2t + t ∈ ¢ ó y – M 11 => y = 11t + (t ∈ Z ) ⇒ x = – 3t x = – 18 t Vậy nghiệm nguyên phương trình:  x = − 18t  Vậy nghiệm pt là:  (t ∈ Z )  x = – 3t   y = 11t + t∈Z  y = 2t + Ví dụ Tìm nghiệm nguyên dương phương Cách 2: 2x + 3y = 11 trình: 12x + 7y = 45 (1) d = (a, b) = (2, 3) = Hướng dẫn giải nghiệm riêng: (x0, y0) = (4, 1) Theo cách giải ta tìm nghiệm nguyên a   x = 7t − 12 a = d  x = x − b1t  phương trình (1)    ànghiệm tổng quát y = y + a t   y = 27 − 12t b = b  d  Với điều kiện nghiệm nguyên dương ta có:  x = – 3t  x = 7t − 12 > Vậy nghiệm phương trình là:  y = 2t + => t =    y = 27 − 12t > x = Vậy nghiệm nguyên phương trình  y = b Phương trình dạng: ax + by +cz= d (a,b,c,d ngun) Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình: 6x + 15y + 10 z = (1) Hướng dẫn giải  (1) ó 3(2x +5y +3 z-1) = - z => z M3 => z = 3t (t ∈ Z ) Bồi dưỡng học sinh THCS  Thay vào phương trình ta có: 2x + 5y + 10t = (t ∈ Z ) Giải phương trình với hai ẩn x; y (t tham số) ta được: Nghiệm phương trình: (5t – 5k – 2; – 2t; 3k) Với t; k nguyên tuỳ ý http://NgocHung.name.vn Dạng 2: Phương trình bậc hai hai ẩn Dạng ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = (a, b, c, d, e, f số ngun) Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình: (2; 3); (-5; 2) Thử lại giá trị 5x – 3y = 2xy – 11 (1) Cách Đưa phương trình ước số: Hướng dẫn giải Cách 3: Coi phương trình bậc hai ẩn x, y số biết Đặt ĐK để có x nguyên x + 11 x +5 = 2+ Cách 1: Rút y theo x: y = Ví dụ Tìm nghiẹm ngun phương trình 2x + 2x + x + 2y2 +3xy –x – y + =0 (1) (Do x nguyên nên 2x + khác 0) Hướng dẫn giải Vì y nguyên => x + M 2x + => … M 2x + Sử dụng cách thứ ví dụ Lập bảng ta có: cặp (x; y) là: (-1;6); (-1; -2); Dạng 3: Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn Hướng dẫn giải 2 Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình: Ta có: x − y x + xy + y = Ta có x khác y x(x+1)(x+2)(x+3) = y (1) x = y => x2 + = Vơ lý Hướng dẫn giải Vì x; y ngun => x − y ≥ => Phương trình (1) ó (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = y2 Đặt a = x2 + 3x (ĐK: a ≥ −2 (*) x + xy + y ≤ xy + => x2 + xy + y2 ≤ xy + 2 Ta có: a – = y GiảI phương trình cách (2) đưa phương trình ước số: => nghiệm phương Nếu xy + < 0=> (2) ó (x + y)2 ≤ -8 Vơ nghiệm trình (1) N ếu xy +8 > => (2) ó x2 + y2 ≤ Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: => x2 , y2 ∈ { 0;1; 4} Từ tìm Hai nghiệm x3 - y3 = xy + (1) nguyên (1) là: (0; - 2); (2; 0) Dạng 4: Phương trình dạng phân thức Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: 1 1 + + = (1) x y xy Hướng dẫn giải Đặt điều kiên sau đưa phương trình ước số Tìm hai nghiệm (43; 7); (7; 43) x − 17 Ví dụ Tìm x ngun cho bình x −9 phương phân số Hướng dẫn giải x − 17  a  =  ÷ Với a, b nguyên, b khác x −9 b (a, b) = Nếu a = => x = 17 Nếu a khác Ta có (a2, b2) = => x – 17 = a2.k; x – = b2.k (k nguyên) Từ ta có: = (a + b).(b – a).k Lập bảng tìm nghiệm phương trình x =17; 18; Giả sử Dạng 5: Phương trình dạng mũ Ví dụ Tìm số tự nhiên x, y cho: 2x + = y2 (1) Hướng dẫn giải  Nếu x = => y2 = => y = y = -2  Nếu x = => y2 = Vô nghiệm nguyên  Nếu x ≥ => 2x M Do vế tráI chia cho dư mà y lẻ (Do 1) => y2 chia dư => Vô lý  Vậy nghiệm nguyên (1) là: (0; 2); (0; -2) II BÀI TẬP: Tìm nghiệm nguyên phương trình: a) 2x + 3y = 11 b) 3x + 5y = 10 Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình: 4x + 5y = 65 Phân tích số 100 thành hai số tự nhiên số chia hết cho 7, số chia hết cho 11 Bồi dưỡng học sinh THCS Tìm số nguyên dương bé chia cho 100 dư 1, chia cho 98 dư 11 Có 37 táo có số nhau, 17 hỏng, số cịn lại chia cho 79 người Hỏi có quả? http://NgocHung.name.vn I Tính chất BĐT: a) a < b, b < c ⇒ a < c b) a < b ⇔ a +c < b+ c c) a< b ⇔ a.c < b.c (với c > 0) a< b ⇔ a.c > b.c (với c < 0) d) a < b c < d ⇒ a+c < b + d e) < a < b < c < d ⇒ a.c < b.d II BĐT Cauchy: (Cô–si) a+b ab ≤ ∀a,b ≥ a +b Đẳng thức ab = xảy a = b III Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối a) |x| ≥ 0, |x| ≥ x, |x| ≥ -x b) |x| ≤ a ⇔ -a ≤ x ≤ a ( với a > 0) |x| ≥ a ⇔ x ≤ -a x ≥ a c) |a|-|b| ≤ |a+b| ≤ |a| + |b| f) 2n 2n < a -1, n ∈ N* : (1+ + a)n ≥ + na Đẳng thức xảy a = n = • Bất đẳng thức Cơ-si mở rộng: Cho n số không âm: a1; a2; …; an Ta có: a1 + a2 + + an ≥ n a a1a2 an Dấu “=” xảy a1 = a2 = = an http://NgocHung.name.vn Cho x+2y = , chứng minh x2 + y2 ≥ Bài Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng: 1 ( a + b + c)  + +  ≥  ÷ a b c ab+bc+ca ≥ abc ab bc ca + + ≥ a+b+c Bài 5: Cho a,b,c >0 C/m: c a b Bài 4: Cho a, b, c ≥ C/m: Bài 6: Cho a > 0, b > 0, c > 0, a + b + c =1 Chứng minh rằng:      + ÷1 + ÷ + ÷ ≥ 64  a  b  c  Bài 7: CMR với số a, b, x, y ta có: (a + b )( x + y ) ≥ (ax + by)2.Dấu đẳng thức xảy nào? Bài 8: Cho a, b, c, d > Cm: ab + cd ≤ ( a + c )( b + d ) Bài 9: CM bất đẳng thức: a + b + c + d ≥ ( a + c) + ( b + d ) Bài 10: Cho a, b, c số dương cm BĐT a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a+b Bài 11: CM với n nguyên dương thì: 1 1 + + + > n +1 n + 2n Bài 12: Cho a3 + b3 = Cmr: a + b ≤ Bài 13: Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1) a2 + b2 + c2 = (2) −  ;0 CMR số a, b, c thuộc đoạn    Bài 14: Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = CMR: 2a2 + 3b2 ≥ Bài 15: Cho a, b hai số thỏa mãn đi: a + 4b = 1 CM: a2 + 4b2 ≥ Dấu “=” xảy nào? Bài 16: CM: 2− 2+ 2+ 2+ < 2− 2+ 2+ Bài 17: Chứng minh: a) (a + b )( x + y ) ≥ (ax + by)2 b) < x − + − x ≤ Bài 18: Cho a, b, c > Cm: a b c + + ≥ b+c c+a a+b Bồi dưỡng học sinh THCS http://NgocHung.name.vn Bài 19: Cho S = + + + + 100 CMR: S không số tự nhiên 1 Bài 20: a) Cho x, y dương CMR: + ≥ x y x+ y Dấu xảy nào? a+b+c b) Tam giác ABC có chu vi P = 1 1 1 + + ≥ 2 + +  p−a p−b p−c a b c Dấu xảy tam giác ABC có đặc điểm gì? x ≥2 Bài 21: a) CM x > ta có: x −1 a2 b2 b) Cho a > 1, b > Tìm GTNN của: P = + b −1 a −1 Bài 22: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bài 23: CMR a, b, c > a + b + c =  1 1  + +  ≥ a b c Bài 24: CMR a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thì: ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bài 25: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh a, b, c có chu vi CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < Bài 26: Cho a, b số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = Cm: a + 2b ≤ 10 Bài 27: Cho a, b số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = + ab 2 CMR: ≤ a + b ≤ Dấu xảy nào? 1 + + ≥3 Bài 28: CMR với a, b > thỏa mãn ab = Ta có BĐT: a b a+b Bài 29: CMR nếu: a) ≤ a ≤ a − + − a ≤ 10 b) a + b ≥ 0; b + ≥ 0; a + b = a + + b + ≤ 2 Bài 30: Cho biểu thức P= − − 3 x − x + x −1 x + x − x −1 − x − x + x − x2 + x −1 32 CMR: < P < với ∀x ≠ ±1 a k-n-1 chúng số nguyên dương, nên ta viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1 ⇔ k+n+1 = 11 ⇔ k = b Đặt n(n+3) = a (n ∈ k–n-1=1 n=4 2 ⇔ N) ⇒ n + 3n = a 4n2 + 12n = 4a2 ⇔ (4n2 + 12n + 9) – = 4a2 ⇔ (2n + 3) - 4a2 = ⇔ (2n + + 2a)(2n + – 2a) = Nhận xét thấy 2n + + 2a > 2n + – 2a chúng số nguyên dương, nên ta viết (2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9.1 ⇔ 2n + + 2a = ⇔ n = c Đặt 13n + = y (y ∈ 2n + – 2a = a=2 N) ⇒ 13(n – 1) = y – 16 ⇔ 13(n – 1) = (y + 4)(y – 4) ⇒ (y + 4)(y – 4) M 13 mà 13 số nguyên tố nên y + M 13 y – M 13 ⇒ y = 13k ± (Với k N) ∈ ⇒ 13(n – 1) = (13k ± )2 – 16 = 13k.(13k ± 8) ⇒ n = 13k2 ± 8k + ∈ N) 13n + số phương (m ∈ N) ⇒ (4n + 1) + 6355 = 4m Vậy n = 13k2 ± 8k + (Với k a Đặt n2 + n + 1589 = m2 Bồi dưỡng học sinh THCS 2 10 http://NgocHung.name.vn 25 (HSGQG 1995) Tìm p nguyên tố cho tổng tất ước tự nhiên p4 số phương Bài 1: Cho biểu thức P = 1 a2 + + − + a − a − a3 ( ) ( Bài 7: Cho biểu thức ) P= a) Rút gọn P b) Tìm Min P Bài 2: Cho x, y hai số khác thỏa mãn: x2 + y = y2 + x Tính giá trị biểu thức : P = a) Rút gọn P b) Tính giá trị P a = + 2 c) T ìm giá trị a cho P < Bài 8: Cho biểu thức x + y + xy xy - x-y Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q = x + y Biết x2 -2y2 = xy x ≠ 0; x + y ≠ Bài 4: Cho biểu thức P = 15 x − 11 x − 2 x + + − x +3 x + x − 1- x a) Tìm giá trị x cho P = b) Chứng minh P ≤ P= P=    x  x − y - xy  :  +  x + y   xy + y    y x + y  − xy − x xy   a) Tìm x, y để P có nghĩa b) Rút gọn P c) Tìm giá trị P với x = 3, y = + 3a + 9a − a +1 a −2 − + a+ a −2 a + 1− a a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nguyên a + a -4 + a −4 a -4 P= Bài 6: Cho biểu thức 16 1- + a a2 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a (a >8) để P ngun Bồi dưỡng học sinh THCS  x 8x   x −   :  − − 2+ x 4−x x−2 x x     a) Rút gọn P b) Tính x để P = -1 c) T ìm m để với giá trị x > ta có m( x - 3)P > x + Bài 9: Cho biểu thức Bài 5: Cho biểu thức P=  a     :  − −  a − a − a   a + a − 1     Bài 10: Cho biểu thức P=  x + x - x − 4x −  x + 2007   − +    x −1 x +1 x x −1    a) Tìm x để P xác định b) Rút gọn P c) Tìm giá trị nguyên x để P nguyên 15 http://NgocHung.name.vn Bài 11: P= Rút gọn P   a + a − b2 a − a − b2 −   a − a − b2 a + a − b2  P = + − 13 + 48 số nguyên 6+ Bài 22: Chứng minh đẳng thức:   a − a 2b :  b2  Với | a | >| b | > Bài 12: Cho biểu thức P= 1+ Không phụ thuộc vào biến số x y= Bài 13: Chứng minh giá trị biểu thức x+ Bài 25:Tính P = + 20072+ 2007 + 2007 −4 + + x Không phụ thuộc vào biến số x Bài 15: Cho biểu thức P= x − x 2x + x 2(x − 1) − + x + x +1 x x −1 Bài 17: P= Cho biểu thức  x nhận g trị số nguyên P a) Rút gọn A P= A= 10 + + 2005 + 2009 3− 10 + − Bài 19: Rút gọn biểu thức a) A = + − − b) B = + 10 + + − 10 + c) C = + 15 + − 15 − − Bài 20: Tính giá trị biểu thức P = x + 24 + x − + x + − x − 1 Với ≤ x ≤ Bài 21: Chứng minh rằng: Bồi dưỡng học sinh THCS  − 15 x − 4( x − 1) + x + 4( x − 1)   ⋅ 1 −   x −1 x − 4( x − 1) a) x = ? A có nghĩa b) Rút gọn A Bài 30:Cho biểu thức 1+ 1− x 1− 1+ x + + P= 1− x + 1− x 1+ x + 1+ x 1+ x a) Rút gọn P b) So sánh P với Bài 31:Cho biểu thức − + P= x +1 x x +1 x− x +1 a) Rút gọn P b) Chứng minh: ≤ P ≤ Rút gọn biểu thức − + + b) Tính A với a = (4 + 15 )( 10 - ) Bài 29:Cho biểu thức a) Tìm x để P có nghĩa b) Rút gọn P c) Với giá trị x biểu thức P đạt GTNN tìm GTNN 3+ 5+  a +1  a −1  − + a  a −  A=   a −1  a +1 a  2x x + x − x x + x  x−1 x  ⋅ − +  x −  2x + x − x − x x −1   Bài 18: + Bài 28:Cho biểu thức a) Rút gọn P b) Tìm GTNN P c) Tìm x để b thức Q = 1+ Bài 27:Tính giá rẹi biểu thức: P = x3 + y3 - 3(x + y) + 2004 biết x = 3+ 2 + 3− 2 y = 17 + 12 + 17 − 12 Rút gọn P với ≤ x ≤ Bài 16: Cho biểu thức P= 2008 Bài 26:Rút gọn biểu thức sau: x − x x + x − + x +1 x + x +1 x − x +1 P= − 12 + 20 18 − 27 + 45 20082 − +4 −x Bài 23: Tính giá trị biểu thức f(x) = x3 + 3x + xy − xy − Bài 24:Cho E = x+y x−y Tính giá trị E biết: x = + + + − + 2x x +1 x + 10 + + x+3 x +2 x+4 x +3 x+5 x +6 P= 1− + =1 3 1+ 1+ 1− 1− 2 35 +7 −35 −7 Cho x =  x −2 x +  1 − x   .  −  x −1 x + x + 1      a) Rút gọn P b) Chứng minh < x < P > c) Tìm GTLN P Bài 13: Chứng minh giá trị biểu thức P= Bài 32:Cho biểu thức 16 http://NgocHung.name.vn Bài 34:Cho biểu thức a −9 a + a +1 − − a−5 a +6 a − 3− a a) Rút gọn P b) a = ? P < c) Với giá trị nguyên a P nguyên Bài 33:Cho biểu thức x x 1− x − − P= xy − y x + x − xy − y − x a) Rút gọn P b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + = P= P= x x 1− x − − xy − y x + x − xy − y − x a) Rút gọn P b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + = Bài 35:Cho biểu thức  1  + + P =  +   x y x+ y x     x3 + y x + x y + y : y xy + x y  a) Rút gọn P b) Cho xy = 16 Tìm Min P Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – – m = (1) a) Giải phương trình m = b) Chứng tỏ phương trình có nghiệm số với m c) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thỏa mãn 2 điều kiện x1 + x2 ≥ 10 Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: 2 x1 - x2 = Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – = Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN b) B = x12 + x22 - đạt GTNN c) Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài 11: Giả sử x1, x2 hai nghiệm phương trình bậc 2: 3x2 - cx + 2c - = Tính theo c giá trị 1 biểu thức: S = + x1 x Bài 2: Cho số a, b, c thỏa điều kiện: c >  ( c + a ) < ab + bc − 2ac Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = ln ln có nghiệm Bài 3: Cho a, b, c số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = Tìm p, q biết phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa  x1 − x = mãn:  3  x1 − x = 35 Bài 5: CMR với giá trị thực a, b, c phương trình (x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = có nghiệm Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có nghiệm biết 5a + 2c = b Bài 7: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác CMR phương trình sau có nghiệm: (a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) 2b c ≥ +4 có nghiệm a a Bồi dưỡng học sinh THCS Bài 12: Cho phương trình : x2 - x + = Có hai nghiệm x1, x2 Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức: x12 + x1 x + 3x A= x1 x + x13 x Bài 13: Cho pt: x2 – 2(a - 1)x + 2a – = (1) 1) CMR phương trình (1) ln có hai nghiệm với giá trị a 17 http://NgocHung.name.vn 2) Tìm giá trị a để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 = Tìm giá trị a để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1 < < x2 Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – = (1) a) CMR phương trình (1) có nghiệm với giá trị m b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm GTNN M = x12 + x22 Bài 15: Cho a, b hai số thực thỏa mãn điều kiện: 1 + = a b CMR hai phương trình sau phải có nghiệm: x2 + ax + b = x2 + bx + a = Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = (1) a) Giải biện luận số nghiệm phương trình (1) theo m b) Tìm m cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN Tìm GTNN Bài 17: Chứng minh với số a, b, c khác 0, tồn phương trình sau phải có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (2) Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – = (1) a) CMR phương trình (1) ln ln có nghiệm trái dấu với giá trị m b) Với giá trị m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – - m = (1) 1) CMR phương trình (1) ln có hai nghiệm với giá trị m 2) Tìm giá trị m để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 ≥ 10 3) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: E = x12 + x22 đạt GTNN Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x2 + ax + b + = có hai nghiệm nguyên dương CMR: a2 + b2 hợp số 2x 7x − =1 Bài 11: 3x − x + 3x + x + 4x 2 = 12 Bài 12: x + ( x + 2) 2 Giải phương trình: Bài 1: x3 + 2x2 + 2 x + 2 Bài 2: (x + 1)4 = 2(x4 + 1) Bài 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2 Bài 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x Bài 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144 Bài 6: (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272 Bài 7: a) (x + )4 + (x + 1)4 = 33 + 12 b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64 Bài 8: a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + = b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + = c) x4 - 3x3 + 3x + = Bài 9: a) x4 = 24x + 32 b) x3 + 3x2 - 3x + = x −8 + x −9 =1 Bài 10: Boài dưỡng học sinh THCS x2 −  x−2  x + 2 Bài 13:20  =0  − 5  + 48 x −1  x +1   x −1  3x 7x + = −4 Bài 14: a) x − 3x + x + x + x − 10 x + 15 4x b) = x − x + 15 x − 12 x + 15 x − 3x + x − x + c) − =− x − 4x + x − 6x + 81x = 40 Bài 15: a) x2 + ( x + 9) b) x2 + x2 ( x + 1) 2 = 15 40  x −1  x −1  a)   +  =  x   x−2 b) 2 x2 −  x +2  x −2 =0   +  − x2 −1  x +1   x −1  8− x 8− x x−  = 15 c) x x −1  x −1  Bài 16: 18 http://NgocHung.name.vn Bài 37: Cho phương trình (x + a)4 + (x + b) = c Tìm điều kiện a, b, c để phương trình có nghiệm Bài 38: Giải phương trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - = Bài 39: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 4x + 8x y + 3y2 - 4y - 15 = Bài 40: x2 + 9x + 20 = x + 10 Bài 17: 2004) Bài 18: Bài 19: Bài 20:  x −1 x +  = 8( Đề thi HSG V1  x  x − − x − = 3x − x +1 + − x = x + x −1 + x − x −1 = 3x2 + 21x + 18 + x +7 x + = a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + = c) x4 + 10x3 + 26x2 + = Bài 23: (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = ( Đề thi HSG V1 2003) Bài 24: a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24 Bài 25: a) x3 - 6x + = b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - = Bài 26: a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = x 48  x 4 + − 10 −  = Bài 27: x 3 x Bài 28: a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2 + b ) -5ab b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = Bài 21: Bài 22: Bài 42: Bài 1: Cho a > b > thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab Tính giá trị biểu thức: Bài 30: 2000) Tính giá trị biểu thức E = ( Đề thi HSG 1998) x − 14 x−5 − =3 3+ x −5 x4 - x -5 = ( Đề thi HSG x +4 − 5x = x2 − x−y x+ y yz xz xy + + x2 y2 z M= Bài 4: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị biểu thức:   P = 1 + ( Đề thi a  b  c  1 + 1 +  b  c  a  Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử: (x + y + z)3 - x3 - y -z3 b) Cho số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = x3 + y3 + z3 = Tính giá trị biểu thức: A = x2007 + y2007 2007 +z Bài 6: Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị biểu thức: P = a4 + b4 + c4 Bài 7: Cho a, b số thực dương thỏa mãn: a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 Tính giá trị biểu thức P = a2007 + b2007 HSG V2 2003) Bài 32: a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = Bài 33: (x + x + 2)(x + x +18) = 168x (Đề thi HSG 2005) Bài 34: a) x2 + 4x + = 2 x + b) x + = 2x2 - 6x + 4 =2 c) − x + 2− x +3 Bài 35: x +1 + x + + x + = Bài 36: Cho phương trình: x4 -4x3 +8x = m a) Giải phương trình m = b) Định m để phương trình có nghiệm phân biệt Bồi dưỡng học sinh THCS a −b a +b Bài 3: 1) Cho a + b + c = CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc 2) Cho xy + yz + zx = xyz ≠ Tính giá trị biểu thức: Bài 31: P= Bài 2: Cho x > y > 2x2 +2y2 = 5xy x3 + Bài 29: x2 + 3x + = (x + 3) x +1 x2 + x + 2006 =2006 Bài 41: Bài 8: Cho xy x y + = = −2 Tính a b ab x3 y3 + a3 b3 Bài 9: Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức 19 http://NgocHung.name.vn b) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c Chứng minh 1 + 2 + 2 biểu thức b + c − a a + c − b a +b − c A = a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) khác x4 y4 Bài 10: Cho ; x2 + y2 = + = Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a a b a+b + b = c + d ab + = cd Chứng minh rằng: Chứng minh: c = d a) bx2 = ay2; Bài 23: Cho x , y số dương thỏa mãn điều x 2008 y 2008 kiện: 9y(y – x) = 4x2 b) 1004 + 1004 = x− y a b ( a + b) 1004 Tính giá trị biểu thức: A = x+ y Bài 11: Chứng minh xyz = thì: Bài 24: Cho x, y số khác khác cho 3x2 1 + + – y2 = 2xy + x + xy + y + yz + z + xz Tính giá trị phân thức A = =1 xy Bài 12: Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức: − x + xy + y A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3 Bài 25: Cho x, y, z khác a, b, c dương thoả Bài 13: Cho a, b, c đôi khác Tính giá trị mãn ax + by + cz = a + b +c = 2007 biểu thức: Tính giá trị biểu thức: P= P= 2 2 2 ax + by + cz a b c + + bc( y − z ) + ac( x − z ) + ab( x − y ) (a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) (c − b)(c − a ) Bài 26: Cho x, y, z khác x + y + z = 2008 Bài 14: Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Tính giá trị biểu thức: Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc P= Chứng minh: Tam giác cho tam giác x y3 z3 + + Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác ( x − y )( x − z ) ( y − x)( y − z ) ( z − y )( z − x) thì: x + y + z =  b−c c −b a−b 2 27:Cho  x + y + z = Bài + + = + + (a − b)(a − c ) (b − c)(b − a) (c − a )(c − b) a − b b − c c − a  x + y + z =  Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p Tính giá trị biểu thức: P = x2007 + y2007 + z2007 Chứng minh rằng: Bài 28: Cho a, b, c độ dài cạnh tam 1 1 abc giác Tính giá trị biểu thức: + + − = P= p − a p − b p − c p p ( p − a )( p − b)( p − c) a − (b + c) (a + b − c ) Bài 17: Cho a, b khác thỏa mãn a + b = Chứng minh : (a + b + c ) (a − c) − b a b 2(ab − 2) Bài 29: Cho biểu thức P = (b2 + c2 – a2)2 – 4b2c2 + = 2 b −1 a −1 a b + Chứng minh a, b, c ba cạnh a b c x y z tam giác P < Bài 18: Cho + + = + + = Bài 30: Cho số dương x, y ,z thỏa mãn: x y z a b c  xy + y + z = x2 y z  Tính giá trị biểu thức A = + +  yz + y + z = a b c  zx + x + z = 15 Bài 19: Cho a, b, c đôi khác  a b c Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z + + =0 b−c c−a a −b Bài 31: Cho số x, y, z thỏa mãn hệ phương a b c trình: + + Tính giá trị P = 2 2 (b − c ) (c − a ) (a − c)  x + y + z =  Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x + y3 + z3 =  2 2 2 a) x(y – z ) + y(z – x ) + z(x – y ) P= [ Bồi dưỡng học sinh THCS 20 [ ] ] http://NgocHung.name.vn Tính giá trị biểu thức P = xyz (Đề thi HSG tỉnh 2003) Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P = 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ x− y b) Tính giá trị biểu thức: Q = x+ y 2 Biết x – 2y = xy y ≠ , x + y ≠ (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005) Bài 33: Chứng minh nếu: x + y + z = thì: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006) Bài 34: Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2 = b2 + c2 a) So sánh a b + c b) So sánh a3 b3 + c3 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007) Bài 35: 1) Giải phương trình: x3 -6x – 40 = 2) Tính A = 20 + 14 + 20 − 14 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007) Bài 8) Tìm GTLN A = x + − x x y z Bài 9) Tìm GTLN P = + + với x, y, z y z x > Bài 10) Tìm GTLN P = ( x − 1990) + ( x − 1991) Bài 11) Cho M = Bài 1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1.Tìm GTLN GTNN biểu thức A = x + y Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = Tìm GTNN    P =  − ÷1 − ÷  x  y  Bài 3) Cho P = ( x + x + 1) Tìm GTNN, GTLN x2 + P giá trị tương ứng x Bài 4) Tìm GTLN GTNN biểu thức A = (x4 + 1)(y4 + 1) biết x,y ≥ 0, x + y = 10 Bài 5) Tìm GTLN GTNN biểu thức B = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ Bài 6) Tìm GTLN GTNN biểu thức P = x2 + y2 Biết x2(x2 +2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = Bài 7) Tìm GTLN GTNN biểu thức x2 − x + P= x + x +1 Bồi dưỡng học sinh THCS 21 a + − a − + a + 15 − a − a) Tìm điều kiện a để M xác định b) Tìm GTNN M giá trị A tương ứng Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: 1 + + ≥2 1+ x 1+ y 1+ z Tìm GTNN P = x.y.z + Bài 13) Tìm GTNN P = 1− x x http://NgocHung.name.vn Bài 14) Cho x, y thỏa mãn x2 + 4y2 = 25 Tìm GTLN GTNN biểu thức P = x + 2y Bài 15) Cho x, y hai số thỏa mãn: x + 2y = Tìm GTNN E = x2 + 2y2 Bài 16) Cho x > 0, y > thỏa mãn: x + y ≤ Tìm GTNN biểu thức P= + 4xy + x +y xy x2 + x + Bài 17) Tìm GTLN GTNN của: P = x2 + Bài 18) Cho x, y hai số dương thỏa mãn: x + y ≤ Tìm GTNN biểu thức + A= 2 x +y xy Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = Tìm GTNN biểu 2 1  1  thức P =  x + ÷ +  y + ÷ x  y  Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = Tìm GTNN biểu thức P = 2(x4 + y4) + 4xy Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = Tìm GTNN biểu    thức P =  + ÷1 + ÷ y  x  Bài 22) Cho x, y hai số dương thỏa mãn: x2 + y2 = Tìm GTNN biểu thức 2  1  1 P = x+ ÷ + y + ÷ y  x  Bài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = Tìm GTNN biểu thức: 2 1  1  1  E = a + ÷ + b + ÷ +c + ÷ a  b  c  Bài 24) Cho a, b hai số thực có tổng Tìm GTNN của: P = a3 + b Bài 25) Cho a, b hai số dương thỏa a + b = 1 + Tìm GTNN P = a +1 b +1 Bài 26) Cho hai số x, y thỏa mãn xy = Tìm GTNN x2 + y P = x− y Bài 27) Cho hai số dương x, y có x + y = Tìm GTNN P = 8(x4 + y4) + xy Bài 28) Cho x, y liên hệ với hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 +10 = Tìm GTNN, GTLN biểu thức Bồi dưỡng học sinh THCS 22 S=x+y+1 Bài 29) Tìm GTNN, GTLN biểu thức S = x x + y y biết x + y = Bài 30) Tìm GTNN biểu thức x − x + 2008 P= x2 ... ab – cd = k ∈ N, 32 ≤ k < 100 Suy 101 cd = k2 – 100 = (k -10) (k +10) ⇒ k +10 M 101 k -10 M 101 Mà (k -10; 101 ) = ⇒ k +10 M 101 Vì 32 ≤ k < 100 nên 42 ≤ k +10 < 110 ⇒ k +10 = 101 ⇒ k = 91 ⇒ abcd = 912... chữ số n-1 chữ số a A = 224 .102 n + 99…9.10n+2 + 10n+1 + = 224 .102 n + ( 10n-2 – ) 10n+2 + 10n+1 + = 224 .102 n + 102 n – 10n+2 + 10n+1 + = 225 .102 n – 90.10n + = ( 15.10n – ) ⇒ A số phương B DẠNG... phương abcd biết ab − cd = HD: n = abcd = 100 ab + cd = 100 (1 + cd ) + cd = 100 + 101 cd ⇒ ( n − 10 ) ( n + 10 ) = 101 cd Vì n