Đề thi hs giỏi môn toán 9 Năm học: 2008-2009 Thời gian : 150 phút không kể thời gian phát đề Bài 1: Cho ba số x, y, z thõa mãn đồng thời: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 0x y y z z x+ + = + + = + + = Tính giá trị của biểu thức: 2008 2008 2008 A x y z= + + Bài 2: Cho x, y, z là 3 số dơng thỏa mãn: x + y+ z = 4 CMR: 4x y y z z x+ + + + + > Bài 3: Giải hệ phơng trình +=+ += )3)(72()72)(3( )4)(2()2( yxyx yxyx Bài 4: Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB. Gọi H là chân đ- ờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính BC. a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH b) Giả sử PO = d. Tính AH theo R và d. Bài 5: Cho Rzyx ,, thỏa mãn : zyxzyx ++ =++ 1111 Hãy tính giá trị của biểu thức : M = 4 3 + (x 8 y 8 )(y 9 + z 9 )(z 10 x 10 ) . Đáp án Bài 1: Ta có: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 0x y y z z x+ + = + + = + + = 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) 0x y z + + + + + = Mà: 2 2 2 ( 1) 0; ( 1) 0; ( 1) 0x y z+ + + 1 0 1 0 1 0 x y z + = + = + = 1x y z = = = Thay 1x y z= = = vào 2008 2008 2008 A x y z= + + Ta đợc 2008 2008 2008 ( 1) ( 1) ( 1) 3A = + + = Vậy A = 3 Bài 2: Ta có: x; y; z > 0 thỏa mãn : x + y+ z = 4 Do đó ta có: 4x y x y z+ < + + = 2 4 2 ( ) 2 2x y x y x y x y x y x y + < + < + < + + < + (1) Tơng tự : 2y z y z+ < + (2) 2z x z x+ < + (3) Từ (1); (2) và (3) ta có: 2 2 2x y y z z x x y y z z x+ + + + + < + + + + + 2( ) 2( )x y z x y y z z x + + < + + + + + (*) Mà: x + y+ z = 4 thay vào (*) ta đợc: 2( ) 2.4 4x y y z z x x y y z z x+ + + + + > + + + + + > Vậy 4x y y z z x+ + + + + > (ĐPCM) Bài 3: Giải hệ phơng trình = = =+ = +=+ += +=+ += 2y -2x 0 4 2167221762 8422 )3)(72()72)(3( )4)(2()2( yx yx xyxyxyxy xyxyxxy yxyx yxyx Vậy nghiệm của hệ: (x; y) = (-2; 2) Bài 4: O B C H E A P a) Do HA // PB (Cùng vuông góc với BC) nên theo định lý Ta let áp dụng cho tam giác CPB ta có CB CH PB EH = ; (1) (0,5đ) Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB) => POB = ACB (hai góc đồng vị) => AHC POB Do đó: OB CH PB AH = (2) (0,75đ) Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E là trung điểm của AH. (0,25đ) b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta có AH 2 = BH.CH = (2R - CH).CH Theo (1) và do AH = 2EH ta có .)2( 2PB AH.CB 2PB AH.CB AH 2 = R (0,5đ) AH 2 .4PB 2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB 4AH.PB 2 = 4R.PB.CB - AH.CB 2 AH (4PB 2 +CB 2 ) = 4R.PB.CB (0,5đ) 2 222 222 222 2222 d Rd.2.R 4R)R4(d Rd.8R (2R)4PB 4R.2R.PB CB4.PB 4R.CB.PB AH = + = + = + = Bài 5: Ta có : zyxzyx ++ =++ 1111 => 0 1111 = ++ ++ zyxzyx => ( ) 0 = ++ ++ + + zyxz zzyx xy yx ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0)( 0 )( 0 11 2 =+++ = ++ +++ + = ++ ++ xzzyyx zyxxyz xyzzyzx yx zyxzxy yz Ta có : x 8 y 8 = (x + y)(x-y)(x 2 +y 2 )(x 4 + y 4 ).= y 9 + z 9 = (y + z)(y 8 y 7 z + y 6 z 2 - + z 8 ) z 10 - x 10 = (z + x)(z 4 z 3 x + z 2 x 2 zx 3 + x 4 )(z 5 - x 5 ) Vậy M = 4 3 + (x + y) (y + z) (z + x).A = 4 3 . Đề thi hs giỏi môn toán 9 Năm học: 2008-20 09 Thời gian : 150 phút không kể thời gian phát đề Bài 1: Cho ba số x, y, z thõa mãn đồng thời: 2. thỏa mãn : zyxzyx ++ =++ 1111 Hãy tính giá trị của biểu thức : M = 4 3 + (x 8 y 8 )(y 9 + z 9 )(z 10 x 10 ) . Đáp án Bài 1: Ta có: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 0x y y z z x+ + = + + = + + = 2. ) 0)( 0 )( 0 11 2 =+++ = ++ +++ + = ++ ++ xzzyyx zyxxyz xyzzyzx yx zyxzxy yz Ta có : x 8 y 8 = (x + y)(x-y)(x 2 +y 2 )(x 4 + y 4 ).= y 9 + z 9 = (y + z)(y 8 y 7 z + y 6 z 2 - + z 8 ) z 10 - x 10 = (z + x)(z 4 z 3 x + z 2 x 2