MỤC LỤC i DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VIẾT TẮT VIẾT ĐẦY ĐỦ DH Dạy học GV Giáo viên HS Học sinh KN Khái niệm PPDH Phương pháp dạy học SGK Sách giáo khoa SGV Sách giáo viên ii DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng Nội dung Trang 2.1 So sánh phương pháp bổ sung và phương pháp nhúng đẳng cấu 56 3.1 Mục tiêu, yêu cầu của việc dạy học phân số 76 3.2 So sánh “phân số - thương” và “phân số - tỉ số” 89 3.3 Tổng kết các cách tiếp cận khái niệm phân số ở các cấp độ khác nhau 90 3.4 Thống kế số lượng bài tập liên quan đến khái niệm phân số 92 3.5 Phân loại kiểu nhiệm vụ theo các cách tiếp cận phân số 93 3.6 Thống kê các bài tập phân loại theo các cách tiếp cận phân số 94 5.1 Thống kê chiến lược giải của HS đối với Bài toán 1 134 5.2 Thống kê chiến lược giải các nhóm đối với Bài toán 1 136 5.3 Thống kê chiến lược giải của HS đối với Bài toán 2 và 3 144 5.4 Thống kê chiến lược giải của các nhóm đối với Bài toán 2 và 3 145 5.5 Thống kê chiến lược giải của HS đối với Bài toán 4 152 5.6 Thống kê chiến lược giải của các nhóm đối với Bài toán 4 153 5.7 Thống kê chiến lược giải của HS đối với câu a của bài toán 5 165 iii 5.8 Thống kê chiến lược giải của HS đối với câu b của bài toán 5 166 5.9 Thống kê chiến lược giải của các nhóm đối với câu a của bài toán 5 167 5.10 Thống kê chiến lược giải của các nhóm đối với câu b của bài toán 5 167 iv DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ Sơ đồ Nội dung Trang 1 Cơ chế hoạt động của khái niệm gắn liền với hoạt động giải toán 4 2 Tiến trình nghiên cứu của luận án 13 3.1 Quan hệ giữa các cách tiếp cận phân số 90 3.2 Tiến trình đưa vào các loại phân số trong các SGK 91 3.3 Tiến trình đưa vào phân số theo các cách tiếp cận 91 3.4 Hình thức thể hiện của khái niệm phân số 91 3.5 Tiến trình đưa vào phân số theo cơ chế hoạt động 91 4.1 Tiến trình dạy học kiến thức mới thông qua hoạt động giải toán 103 v MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài 1.1. Khái niệm phân số là nội dung dạy học quan trọng trong chương trình toán ở tiểu học Ở Việt Nam, khái niệm (KN) phân số được đề cập ở hầu hết tất cả khối lớp ở tiểu học trừ khối 1. Thậm chí, nó còn được tiếp tục nghiên cứu trong chương trình toán ở lớp 6. Điều đó cho thấy tầm quan trọng của mảng kiến thức số học này trong chương trình toán phổ thông. Ngoài ra, việc dạy học (DH) KN phân số có mối liên hệ chặt chẽ đến DH các kiến thức số học: số tự nhiên, hỗn số, số thập phân,…Bên cạnh đó, phân số còn là cơ sở ban đầu để hình thành hỗn số và số thập phân. Do vậy, DH KN phân số ít nhiều cũng ảnh hưởng đến DH các loại số khác. Hơn nữa, KN phân số còn hiện diện trong các mạch kiến thức khác ở tiểu học: hình học, số đo đại lượng, giải toán có lời văn, yếu tố thống kê,…Tóm lại, phân số có mặt ở hầu hết trong chương trình toán ở tiểu học. Trong những năm gần đây, các nhà giáo dục Việt Nam đã biên soạn lại toàn bộ sách giáo khoa (SGK) chương trình tiểu học và điều đó chính thức hoàn thành vào năm 2006. Do vậy, các nội dung liên quan KN phân số cũng khác đi so với chương trình trước đó. Chính sự thay đổi này kéo theo sự điều chỉnh trong đào tạo của các trường đại học, cao đẳng sư phạm có tham gia đào tạo SV Giáo dục tiểu học. Bên cạnh đó, sự điều chỉnh này cũng ảnh hưởng phần nào đến quá trình DH của giáo viên (GV) và cách học tập của học sinh (HS). Việc đổi mới về chương trình cũng dẫn đến sự đổi thay về nội dung và phương pháp dạy học (PPDH) là một tất yếu. Điều này buộc GV phải chỉnh sửa lại bài giảng cũng như phương pháp truyền thụ của mình đối với các nội dung của chủ đề phân số. Sự thay đổi của bộ đôi này có thật sự tạo điều kiện thuận lợi để cho GV và HS tiếp cận các nội dung của chủ đề phân số hay chưa? Ngoài ra, các nhà giáo dục đang có định hướng viết lại SGK vào năm 2015. Vì vậy, những nghiên cứu về nội dung DH phân số trước khi đổi mới là cần thiết. 1 Trong đó, những điều hay hiện có của SGK thì giữ lại và tiếp tục phát huy còn những hạn chế thì thay đổi cho phù hợp với quan điểm DH hiện nay. 1.2. Dạy học thông qua hoạt động giải toán giữ vai trò thiết yếu trong dạy học toán 1.2.1. Dạy học thông qua hoạt động giải toán thể hiện được ý nghĩa của việc dạy học toán Hoạt động giải toán được sử dụng nhằm chứng minh cho việc giảng dạy toán học. Để thuyết phục HS thấy được giá trị của toán học, nội dung DH cần liên quan đến việc giải quyết vấn đề thực tiễn. Hoạt động giải toán cũng được thực hiện để gợi động cơ cho các em, làm dấy lên mối quan tâm của họ trong một chủ đề toán học cụ thể thông qua những tình huống thực tế. Nó còn dùng giải trí, xem như một hoạt động thú vị thường được áp dụng trong giờ giải lao. Hoạt động giải toán có thể được vận dụng rộng rãi để củng cố các kĩ năng và KN đã được giảng dạy trước đó. Ví dụ: GV có thể trình bày KN phân số thông qua hoạt động giải toán “Có 3 quả cam chia đều cho 4 bạn. Hỏi mỗi bạn được bao nhiều phần của quả cam?” Bằng cách cung cấp bối cảnh hoạt động giải toán như thế, GV có thể đạt nhiều mục tiêu: tạo ra các cơ hội cho HS khám phá KN phân số (gợi động cơ), làm cho KN phân số càng cụ thể hơn, cung cấp cho HS thấy được ý nghĩa của việc học phân số. Trong quyển “Sáng tạo toán học” [49], George Polya giới thiệu rằng hoạt động giải toán có thể được giảng dạy như là một nghệ thuật thực tế, giống như chơi piano hay bơi lội. Polya nhận thấy hoạt động giải toán như là một nghệ thuật nhận thức và khám phá. Ông khuyến khích nên trình bày toán học không phải là tập hợp các sự kiện và qui tắc, mà như là một khoa học thực nghiệm và qui nạp. Hoạt động giải toán như là một nghệ thuật có ý nghĩa phát triển khả năng của HS để trở thành người giải quyết vấn đề khéo léo và nhiệt tình, suy nghĩ độc lập, những người có khả năng ứng phó với các bài toán có kết thúc mở hay bài toán khó. 1.2.2. Dạy học thông qua hoạt động giải toán phù hợp với quan điểm sư phạm hiện nay  Hoạt động giải toán thích ứng với xu hướng DH của thực tiễn nước ta: 2 - Trong những năm gần đây, chủ trương của Bộ Giáo dục và Đào tạo tập trung vào quan điểm DH “lấy HS làm trung tâm”. Trong đó, vai trò tự khám phá tri thức của HS được nhấn mạnh. Hoạt động giải toán thích hợp với yêu cầu này bởi vì các em sẽ tự mình kiến tạo tri thức mới thông qua việc tìm kiếm lời giải cho bài toán. - Trong DH toán, người ta quan tâm đến một số lí thuyết DH hiện đại: lí thuyết hoạt động, lí thuyết kiến tạo, lí thuyết tình huống Điểm chung của các lí thuyết này là tập trung vào vai trò hoạt động của HS. Do vậy, hoạt động giải toán vẫn đảm bảo được yếu tố hoạt động của HS, trong đó bản thân trẻ khám phá ra các chiến lược giải bài toán, cùng với bạn bè và GV để thể chế hóa được kiến thức mới. - Ngoài ra, nhà trường chú trọng hơn những PPDH tích cực: DH khám phá, DH phát hiện và giải quyết vấn đề, DH theo dự án, DH hợp tác,… Các PPDH này yêu cầu GV giữ vai trò chủ đạo, điều khiển, trong khi đó HS tích cực chủ động, sáng tạo, tự giác để kiến tạo tri thức mới. Hơn thế nữa, chúng luôn tạo điều kiện cho người học được làm việc với các hoạt động tích hợp. Nếu xét về khía cạnh này, hoạt động giải toán sẽ hỗ trợ cho việc sử dụng các PPDH tích cực trong DH toán. - Thêm vào đó, theo PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu [6,tr.67-68] để nâng cao năng lực hiểu biết toán học cho HS, chúng ta không thể coi nhẹ DH toán thông qua DH mô hình hoá. Mô hình DH này có thể thực hiện theo tiến trình: Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn  Xây dựng mô hình toán học  Câu trả lời cho bài toán thực tế  Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa, định lí hay công thức  Vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác. Theo tiến trình trên, hoạt động giải toán đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nên tri thức. Tri thức nảy sinh với tư cách là kết quả hay phương tiện của hoạt động giải toán. Vì vậy, hoạt động giải toán phù hợp với xu hướng DH bằng mô hình hóa như hiện nay.  Bên cạnh thích nghi với xu hướng DH trong nước, hoạt động giải toán cũng phù hợp với quan điểm sư phạm của một số nước khác, trong đó có Pháp. Theo [101,tr.171], sau cải cách toán học, DH toán ở nước này có đặc trưng: nhấn mạnh trên các hoạt động giải toán, những tri thức sẽ lấy “nghĩa” qua việc giải bài toán, và 3 nghiên cứu các điều kiện nảy sinh tri thức. Nói chung, quốc gia này coi trọng việc DH toán thông qua hoạt động giải toán. 1.2.3. Dạy học thông qua hoạt động giải toán tạo điều kiện dạy học theo quan điểm khoa học luận Ngày nay, DH toán quan tâm nhiều hơn đến những đặc trưng khoa học luận của đối tượng tri thức cần giảng dạy và khả năng nhận thức của HS về đối tượng này. Thực hiện nghiên cứu khoa học luận cho một KN toán học chỉ ra rằng nó thường xuất hiện theo tiến trình sau: Sơ đồ 1: Cơ chế hoạt động của khái niệm gắn liền với hoạt động giải toán Do vậy, đa số những KN toán học đều xuất hiện thông qua hoạt động giải toán. Trong trường hợp này, chúng đều là công cụ hay phương tiện của hoạt động giải toán trong nội bộ toán học, đời sống thực tế hay các khoa học khác (vật lí, hóa học, địa lí,…). Hơn thế nữa, lịch sử toán học chỉ ra rằng chúng sẽ lấy nghĩa qua những bài toán mà cho phép nó giải quyết. Hiện nay, GV cung cấp cho HS những vấn đề rất “sạch sẽ”, các KN hoàn hảo, không cho phép các em thấy được nguồn gốc hay điều kiện nảy sinh gắn liền với tri thức. Điều này đôi khi không đảm bảo được qui trình nhận thức của HS. Tóm lại, nghiên cứu hoạt động giải toán cho phép nối khớp giữa đặc trưng khoa học luận của KN và qui trình nhận thức toán học của HS. Để minh chứng cho điều này, chúng tôi sẽ tiếp cận những hoạt động giải toán liên quan đến chủ đề phân số. 1.3. Khái niệm phân số là một chủ đề được quan tâm trong nhiều nghiên cứu khoa học Tác giả Nguyễn Hoài Anh nghiên cứu về việc sử dụng máy tính điện tử trong DH phân số ở tiểu học. Thêm vào đó, tác giả này cũng xuất bản một bài báo trên Tạp chí Sách và thiết bị với tên là “So sánh nội dụng chủ đề phân số trong chương trình môn toán ở tiểu học của hai nước Việt Nam và Brunei” (trích từ [105]). Công cụ ngầm ẩn → Đối tượng → Công cụ tường minh Giải bài toán → Nghiên cứu KN → Giải toán 4 Một nghiên cứu khác liên quan đến KN phân số thuộc về tác giả Phạm Ngọc Bảo [1]. Tác giả nghiên cứu “Đào tạo GV tiểu học về bước chuyển từ phân số như là những phần bằng nhau rút ra từ đơn vị đến phân số như là thương ở lớp 3 và lớp 4”. Trong luận văn này, tác giả tiến hành một thực nghiệm để chỉ ra rằng HS gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết những tình huống nhắm tới thiết lập mối quan hệ giữa phép chia hai số tự nhiên và phân số, giữa phân số đơn vị và phân số thương, được đưa vào bởi SGK toán 4 hiện hành. Tác giả chưa có những nghiên cứu khoa học luận của KN phân số. Tác giả Trương Thị Vinh Hạnh (2007) [19] nghiên cứu đề tài luận án: “Dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông thông qua hoạt động giáo khoa”. Mặc dù, tác giả này không nghiên cứu về chủ đề phân số nhưng có nội dung “gần” với chủ đề của chúng tôi. Trong luận án đó, tác giả đưa ra quan điểm về hoạt động, DH thông qua hoạt động giáo khoa. Tuy nhiên, tác giả không đi nghiên cứu sâu KN bài toán, DH thông qua hoạt động giải toán. Hơn nữa, các bài toán do tác giả này đề xuất không được xem xét trên phương diện của một nghiên cứu khoa học luận. Saenz-Ludlow (1990, 1992, 1994, 1995) xây dựng và phát triển việc DH phân số trên “case studies” (nhưng Hunting 1986 đã công bố tác phẩm tương tự), tức là phân tích quá trình DH liên quan đến chủ đề mà tập trung vào các chiến lược cá nhân để hiểu KN phân số và biểu diễn phép cộng các phân số (trích theo [85]). Cách hướng dẫn truyền thống trong nhà trường tiểu học thường nhấn mạnh sự hiểu biết số phần / toàn thể để giúp HS học phân số, trong đó cái toàn thể được chia thành các phần bằng nhau và HS xác định số phần được tô màu (Carrahar 1996; Gould, 2005) (trích theo [85]). Trong hơn bốn thập kỉ qua, các nhà nghiên cứu đã phát triển các giải thích về KN số phần / toàn thể và một số mô hình liên quan đến chương trình giảng dạy. Ba nhánh được phát triển độc lập: Dự án về số hữu tỉ (Behr, Lesh, Post & Silver, 1983; Behr, Khoury, Harel, Post, & Lesh 1997) dựa trên nghiên cứu của Kieren (1980), người mà đầu tiên đưa ra mô hình số phần / toàn thể để nghiên cứu phân số; nhóm người Hà Lan phát triển một chương trình trong đó hiểu số phần / toàn thể trong các 5 [...]... giáo viên tiểu học và thể chế dạy học toán ở tiểu học Chương 4 Dạy học chủ đề phân số ở trường tiểu học thông qua hoạt động giải các bài toán Chương 5 Thực nghiệm sư phạm 17 CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN Chương 1 có mục tiêu xác định cơ sở lí luận cho toàn bộ nghiên cứu trong luận án Về nguyên tắc, chúng tôi cần làm rõ các KN cơ bản: hoạt động, bài toán, hoạt động giải toán, DH thông qua hoạt động giải toán Trong... hoạt động giải toán Cách phân loại hoạt động giải toán của chúng tôi chỉ mang tính tương đối và chủ yếu dựa vào mục tiêu, chức năng của hoạt động giải toán: - Hoạt động giải toán nhằm gợi động cơ - Hoạt động giải toán đi đến kiến thức mới - Hoạt động giải toán nhằm hình thành kĩ năng mới 30 - Hoạt động giải toán nhằm củng cố kiến thức đã học - Hoạt động giải toán nhằm huy động những kiến thức đã học. .. niệm dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán Trong luận án này, chúng tôi dùng KN Dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán (hay gọi tắt là DH thông qua hoạt động giải toán) , theo nghĩa: DH bằng cách tổ chức cho HS tiến hành hoạt động giải các toán nhằm kiến tạo kiến thức mới cần dạy Trong đó, KN Bài toán và Hoạt động giải toán được mô tả như trong các mục trên, cùng với một số điều kiện và... cơ sở lí luận về DH thông qua hoạt động giải toán, trong đó kể cả tiến trình DH thông qua hoạt động giải toán - Một số kết quả chính có được khi phân tích khoa học luận KN phân số - Những ghi nhận đáng chú ý từ việc phân tích mối quan hệ thể chế ở nhà trường đào tạo GV tiểu học và thể chế DH toán ở tiểu học - Hệ thống hoạt động giải toán được thiết kế để vận dụng vào DH chủ đề phân số trong SGK toán. .. Dạy học chủ đề phân số ở trường tiểu học thông qua hoạt động giải các bài toán 11 2 Giới hạn của đề tài Ở đây, chúng tôi chọn ra một KN toán học có nhiều công trình nghiên cứu: phân số Bên cạnh đó, KN này chỉ được tiến hành nghiên cứu ở các cấp độ: lịch sử toán, nhà trường đào tạo GV tiểu học và dạy toán ở tiểu học Hơn thế nữa, chúng tôi tập trung vào hai giáo trình chính để thực hiện phân tích ở cấp... chức DH thông qua hoạt động giải toán, đề xuất tiến trình DH thông qua hoạt động giải toán - Đề xuất một hệ thống hoạt động giải toán cho chủ đề phân số - Luận án cũng xây dựng các tình huống DH theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức của HS trong việc lĩnh hội KN phân số, từ đó góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả DH chủ đề phân số 7 Những luận điểm đưa ra bảo vệ - Những luận điểm quan trọng... (signifié) là bài toán Nói cách khác, đề toán là hình thức tồn tại bên ngoài của bài toán 1.1.3 Khái niệm dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán 1.1.3.1 Khái niệm chung về dạy học thông qua hoạt động giải toán Theo PPDH truyền thống, kiến thức mới (KN, định lí, tính chất, thuật toán, …) thường được truyền thụ đến HS theo cách sau đây: GV cung cấp cho HS kiến thức mới thông qua một thông báo chính... như là kết quả của hoạt động giải các bài toán vừa đề nghị Đó là một mô tả khái quát về DH thông qua hoạt động giải các bài toán Tuy nhiên, phương án “DH thông qua hoạt động giải các bài toán được áp dụng trong luận án này có những đặc trưng riêng, mà chúng tôi sẽ làm rõ trong phần sau 1.1.3.2 Vai trò của bài toán (vấn đề) trong lịch sử phát triển của toán học và trong dạy học toán Trong lời nói đầu... cấp độ nhà trường đào tạo GV tiểu học: Số học (Lí thuyết số) và Phương pháp giảng dạy toán ở tiểu học Để nghiên cứu phân số ở cấp độ DH toán tiểu học, chúng tôi chỉ đề cập đến SGK, sách giáo viên (SGV) hiện hành 3 Phạm vi lí thuyết tham chiếu và mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của lí thuyết về bài toán, hoạt động giải toán, DH thông qua hoạt động giải toán Bên cạnh... định quan điểm của mình về Dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán 1.1 Cơ sở lí luận về dạy học thông qua hoạt động giải toán 1.1.1 Khái niệm Bài toán Có nhiều quan niệm khác nhau về KN Bài toán Rất thông thường, thuật ngữ này được dùng lẫn lộn với thuật ngữ Bài tập” Từ “Problème” trong ngôn ngữ 18 tiếng pháp và “Problem” trong tiếng Anh đều được dịch sang tiếng Việt với hai nghĩa: Bài toán . nay. 1.2. Dạy học thông qua hoạt động giải toán giữ vai trò thiết yếu trong dạy học toán 1.2.1. Dạy học thông qua hoạt động giải toán thể hiện được ý nghĩa của việc dạy học toán Hoạt động giải toán. án: Dạy học chủ đề phân số ở trường tiểu học thông qua hoạt động giải các bài toán 10 2. Giới hạn của đề tài Ở đây, chúng tôi chọn ra một KN toán học có nhiều công trình nghiên cứu: phân số. . tổ chức DH thông qua hoạt động giải toán, đề xuất tiến trình DH thông qua hoạt động giải toán. - Đề xuất một hệ thống hoạt động giải toán cho chủ đề phân số. - Luận án cũng xây dựng các tình huống