Đang tải... (xem toàn văn)
1.Một tập hợp có thể có một ,có nhiều phần tử, có vô số phần tử,cũng có thể không có phần tử nào.2.Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng.tập rỗng kí hiệu là : Ø.3.Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A gọi là tập hợp con của tập hợp B, kí hiệu là A B hay B A.Nếu A B và B A thì ta nói hai tập hợp bằng nhau,kí hiệu A=B.
Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn lớp cực hay ÔN TẬP TẬP HỢP VÀ NHỮNG DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Số phần tử tập hợp.Tập hợp 1.Một tập hợp có ,có nhiều phần tử, có vơ số phần tử,cũng khơng có phần tử 2.Tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng.tập rỗng kí hiệu : Ø 3.Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B tập hợp A gọi tập hợp tập hợp B, kí hiệu A ⊂ B hay B ⊃ A Nếu A ⊂ B B ⊃ A ta nói hai tập hợp nhau,kí hiệu A=B *.D¹ng 1: RÌn kÜ viết tập hợp, viết tập hợp con, sử dụng kí hiệu Bài 1: Cho tập hợp A chữ cụm từ Thành phố Hồ Chí Minh a HÃy liệt kê phần tử tập hợp A b Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông b A c A h A Bµi 2: Cho tËp hợp chữ X = {A, C, O} a/ Tìm chụm chữ tạo thành từ chữ tập hợp X b/ Viết tập hợp X cách tính chất đặc trng cho phần tử X Bài 3: Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; B = {1; 3; 5; 7; 9} a/ Viết tập hợp C phần tử thuộc A không thuộc B b/ Viết tập hợp D phần tử thuộc B không thuộc A c/ Viết tập hợp E phần tử võa thc A võa thc B d/ ViÕt tËp hỵp F phần tử thuộc A thuộc B Bài 4: Cho tập hợp A = {1; 2; a; b} a/ HÃy rõ tập hợp A có phần tử b/ HÃy rõ tập hợp A có phần tử c/ Tập hợp B = {a, b, c} có phải tập hợp A không? Bài 5: Cho tập hỵp B = {x, y, z} Hái tËp hỵp B có tất tập hợp con? *Dạng 2: Các tập xác định số phần tử tập hợp Bài 1: Gọi A tập hợp số tự nhiên có chữ số Hỏi tập hợp A có phần tử? Bài 2: HÃy tính số phần tử tập hợp sau: a/ Tập hợp A số tự nhiên lẻ có ch÷ sè Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn lớp cực hay b/ TËp hỵp B c¸c sè 2, 5, 8, 11, …, 296 c/ Tập hợp C số 7, 11, 15, 19, , 283 Bµi 3: Cha mua cho em mét qun sè tay dày 256 trang Để tiện theo dõi em đánh số trang từ đến 256 Hỏi em đà phải viết chữ số để đánh hết sổ tay? C.HNG DN V NH: Bài 1.HÃy xác định tập hợp sau cách liệt kê phần tử tập hợp a, A tập hợp chữ số số 2002 b, B tập hợp chữ cụm từ cách mạng tháng tám c, C tập hợp số tự nhiên có chữ số d, D tập hợp số tự nhiên có hai chữ khác và có chữ số tận Bài Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông N {1,2,3,4} N N* N N* Φ N* N* Bài HÃy xác định tập hợp sau cách tính chất đặc trng phần tử thuộc tập hợp a A = {1;3;5;7; ;49} b B = {11;22;33;44; ;99} c C = { 3;6;9;12; .;99} d D = { 0;5;10;15; ;100} Bài HÃy viết tập hợp sau cách rõ tính chất đặc trng phần tử thuộc tập hợp a A = {1;4;9;16;25;36;49} b B = {1;7;13;19;25;31;37} A = { 1; 4;9;16; 25;36; 49;64;81;100} B = { 2;6;12; 20;30; 42;56;72;90} Bài toán 5: Cho a) A = { x ∈ N xM2; x M3; x < 100} { } A = x ∈ N x = ab; a = 3.b C = { x ∈ N x = 11.n + 3; n ∈ N ; x ≤ 300} b) B = { x ∈ N x M6; x < 100} B = { x ∈ N 20Mx} c) HÃy viết tập hợp A, B cách liệt kê phần tử Bài Tìm số phần tử tập hợp sau a A = { Φ} b B = { x ∈ N / x M2 ; ≤ x ≤ 100} c C = { x ∈ N / x + = 0} d D = { x ∈ N / x M3} Bài Viết tập hợp sau tìm số phần tử tập hợp a Tập hợp A số tự nhiên x mà : x = b Tập hợp B số tự nhiên x mà x + < c Tập hợp C số tự nhiên x mà x – = x + d TËp hỵp D số tự nhiên x mà x : = x : e Tập hợp E số tự nhiên x mà x + = x Bài Cho A = {1 ; ;3} Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn lớp cc hay Tìm tất tập hợp tập hợp A Bài Ta gọi A tập hỵp thùc sù cđa B nÕu A ⊂ B A B HÃy viết tập hợp thực tập hợp B = {1;2;3;4} Bài Cho tËp hỵp A = {a, b, c, d, e } a ViÕt c¸c tËp cđa A cã mét phần tử b Viết tập A có hai phần tử c Có tập hợp A có ba phần tử d Có tập hợp A có bốn phần tử e Tập hợp A có tập hợp Bài 11 Gọi A tập hợp số tự nhiên có bốn chữ số, B tập hợp số tự nhiên có ba chữ số , C tập hợp số tự nhiên lẻ có ba chữ số , D tập hợp số tự nhiên cã ba ch÷ sè tËn cïng b»ng Dïng kí hiệu sơ đồ để biểu thị quan hệ tập hợp Bài 12 Cho tËp hỵp A = { 4;5;7} , h·y lËp tập hợp B gồm số tự nhiên có ba chữ số khác từ phần tử tập hợp A Bảo tập hợp A tập hợp tập hợp B hay sai? Tìm tập hợp chung hai tập hợp A B Bài 13 Tìm tập hợp tập hợp sau a A = { 9;5;3;1;7} b B tập hợp số tự nhiên x mµ x = c C lµ tËp hợp số lẻ nhỏ 10 d D tập hợp số tự nhiên x mà x : = Bµi 17 Trong mét líp häc , học sinh học tiếng Anh tiếng Ph¸p Cã 25 ngêi häc tiÕng Anh , 27 ngêi học tiếng Pháp, 18 ngời học hai thứ tiếng Hỏi lớp học có học sinh Bài 18 Kết điều tra lớp häc cho thÊy : cã 20 häc sinh thÝch bãng đá ; 17 học sinh thích bơi; 36 học sinh thích bóng chuyền; 14 học sinh thích bóng đá bơi;13 học sinh thích bơi bóng chuyền; 15 học sinh thích bóng đá bóng chuyền; 10 học sinh thích ba môn ;12 học sinh không thích môn nào.Tìm xem lớp học có học sinh Bµi 19 Trong sè 100 häc sinh cã 75 häc sinh thÝch to¸n , 60 häc sinh thÝch văn a Nếu có học sinh không thích toán văn có học sinh thích hai môn văn toán b Có nhiều học sinh thích hai môn văn toán c Có học sinh thích hai môn văn toán Bài toán 1: Cho tËp hỵp A = { a, b, c, d , e} a) Viết tập hợp A có phần tử b) Viết tập hợp A có hai phần tử c) Có tập hợp A có ba phần tử ? có bốn phần tử ? d) Tập hợp A có tập hợp ? Bài toán 2: Xét xem tập hợp A có tập hợp tập hợp B không trờng hợp sau a) A = { 1;3;5} ; B = { 1;3;7} b) A = { x, y} ; B = { x, y, z} c) A tập hợp số tự nhiên có tận 0, B tập hợp số tự nhiên chẵn Ti liu Bi dng học sinh giỏi mơn Tốn lớp cực hay Bµi toán 3: Ta gọi A tập thực cña B nÕu A ⊂ B; A ≠ B H·y viết tập thực tập hợp B = { 1; 2;3} B = { 3; 4;5} Bµi toán 4: Cho tập hợp A = { 1; 2;3; 4} ; Viết tập hợp vừa tập hợp A, vừa tập hợp B Bài toán 5: Cho tập hợp A = { 1; 2;3; 4} a) Viết tập hợp A mà phần tử số chẵn b) Viết tất tập hợp tập hợp A Bài toán 6: Cho tập hợp A = { 1;3;6;8;9;12} B = { x ∈ N * / ≤ x ≤ 12} a)T×m tập hợp C phần tử vừ thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B Tìm tập hợp D phần tử thuộc hai tập hợp A Hoặc tập hợp B Bài toán 10: Cho tËp hỵp M = { 30; 4; 2005; 2;9} HÃy nêu tập hợp tập M gåm nh÷ng sè: a) Cã mét ch÷ sè b) cã hai chữ số c) Là số chẵn Bài toán 11: Cho A = { x ∈ N x M2; x M4; x < 100} ; B = { x ∈ N x M8; x < 100} a) H·y liƯt kª phần tử tập hợp A ; tập hợp B b) Hai tËp hỵp A, B cã b»ng nahu không ? Vì ? Bài toán 13: Cho A tập hợp số tự nhiên đầu tiên, B tập hợp số chẵn a) CMR: B ⊂ A b) ViÕt tËp hỵp M cho B ⊂ M , M ⊂ A Cã tập hợp M nh Bài toán 14: Cho A = { x ∈ N x = 7.q + 3; q ∈ N ; x ≤ 150} a) Xác định A cách liệt kê phần tử ? b) Tính tổng phần tử tập hợp A Bài toán 15: Cho M = { 1;13; 21; 29;52} T×m x; y ∈ M biÕt 30 < x y < 40 Bài toán 10: Cho a) A = { 1; 2} ; B = { 1;3;5} b) A = { x, y} ; B = { x, y , z , t } H·y viÕt c¸c tập hợp gồm phần tử phần tử thuộc A, phần tử thuộc B Các phép to¸n N Tính chất giao hốn phép cộng phép nhân a + b = b + a ; a.b = b.a Khi đổi chỗ số hạng tổng tổng khơng đổi Khi đổi chõ thừa số tích tích khơng đổi Tính chất kết hợp phép cộng phép nhân: (a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c); Tính chất phân phối phép nhân phép cộng.: a(b+ c) = ab + ac Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b ∈ N ; b ≠ 0) có số tự nhiên p cho a= b.p Trong phép chia có dư số bị chia = số chia x thương + số dư ( a = b.p + r) số dư khác nhỏ số chia NÕu a b= a = b = Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn lp cc hay II Bài tập *.Dạng 1: Các toán tính nhanh Bài 1: Tính tổng sau cách hợp lý a/ 67 + 135 + 33 b/ 277 + 113 + 323 + 87 Bµi 2: TÝnh nhanh c¸c phÐp tÝnh sau: a/ 17 125 b/ 37 25 Bµi 3: Tính nhanh cách hợp lí: a/ 997 + 86 b/ 37 38 + 62 37 c/ 43 11; 67 101; 423 1001 đ, 998 34 c/ 43 11 d/ 67 99; 67 101 Bài 4: TÝnh nhanh c¸c phÐp tÝnh: a/ 37581 – 9999 c/ 485321 – 99999 b/ 7345 – 1998 d/ 7593 – 1997 Bµi 5: TÝnh nhanh: a) 15 18 b) 25 24 c) 125 72 d) 55 14 Bµi :TÝnh nhanh: a) 25 12 b) 34 11 c) 47 101 d) 15.302 e) 125.18 Bài 7: Thực phép tính cách hợp lí nhÊt: g) 123 1001 a) 463 + 318 + 137 + 22 b) 189 + 424 +511 + 276 + 55 c) (321 +27)+ 79 d) 185 +434 + 515 + 266 + 155 e) 652 + 327 + 148 + 15 + 73 f) 347 + 418 + 123 + 12 Bài 8: Tính cách hợp lí nhất: a) 125 41 c) 12 125 b) 25 10 d) 36 25 50 Chú ý: Quy tắc đặt thừa số chung : a b+ a.c = a (b+ c) hc a b + a c + a d = a.(b + c + d) e) 25 + 37 + 38 12 Bài 9: Tính cách hợp lÝ nhÊt: 38 63 + 37 38 b) 12.53 + 53 172– 53 84 Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn lớp cực hay c) 35.34 +35.38 + 65.75 + 65.45 d, 39.8 + 60.2 + 21.8 e, 36.28 + 36.82 + 64.69 + 64.41 *Chú ý: Muốn nhân số có chữ số với 11 ta cộng chữ số ghi kết váo chữ số Nếu tổng lớn ghi hàng đơn vị váo cộng vào chữ số hàng chục vd : 34 11 =374 ; 69.11 =759 *Chú ý: muốn nhân số có chữ số với 101 kết số có cách viết chữ số lần khít vd: 84 101 =8484 ; 63 101 =6363 ; *Chú ý: muốn nhân số có chữ số với 1001 kết số có cách viết chữ số lần khít VÝ dơ:123.1001 = 123123 *.Dạng 2: Các toán có liên quan đến dÃy số, tập hợp 1:DÃy số cách đều: VD: Tính tæng: S = + + + + + 49 Ta tÝnh tæng S nh sau: Bµi 1:TÝnh tỉng sau: a) A = + + + + + 100 Số số hạng dãy là: (100-1):1+1 = 100 A= (100 + 1) 100 : = 5050 b) B = + + + + + 100 số số hạng là: (100-2):2+1 = 49 B=(100 +2).49 :2 = 551 49 = 2499 c) C = + + 10 + 13 + + 301 d) D = + + 13 + 17 + .+ 201 Bài 2: Tính tổng: a) A = + + 11 + 14 + + 302 b) B = + 11 + 15 + 19 + .+ 203 c) C = + 11 + 16 + 21 + + 301 d) D =8 + 15 + 22 + 29 + + 351 Bµi 3: Cho tỉng S = + + 11 + 14 + a)Tìm số hạng thứ100 tổng b) Tính tổng 100 số hạng Giải: lưu ý: số cuối = (số số hạng - 1) khoảng cách - số đầu Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn lớp cực hay a số thứ 100 = (100-1) – = 292 b S= (292 + 5) 100:2 = 23000 Bµi 4: Cho tỉng S = + 12 + 17 + 22 + a)Tìm số hạng tứ50 tổng b) Tính tổng 50 số hạng Bài 5:Tính tổng tất số tự nhiên x, biết x số có hai chữ sè vµ 12 < x < 91 Bµi 6: TÝnh tổng số tự nhiên a , biết a có ba chữ số 119 < a < 501 Tính tổng chữ số a Bài 7: Tính + + + + 1998 + 1999 Bài 8: Tính tổng của: a/ Tất số tự nhiên có chữ số b/ Tất số lẻ có chữ số b/ S2 = 101+ 103+ + 997+ 999 Bµi 9TÝnh tỉng a/ Tất số: 2, 5, 8, 11, ., 296 b/ Tất số: 7, 11, 15, 19, ., 283 Bµi 10: Cho d·y sè: a/ 1, 4, 7, 10, 13, 19 b/ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 c/ 1, 5, 9, 13, 17, 21, HÃy tìm công thức biểu diễn dÃy số Ghi chú: Các số tự nhiên lẻ số không chia hết cho 2, biểu diễn 2k + , k N Các số tự nhiên chẵn số chia hết cho 2, công thức biểu diễn 2k , k N) *Dạng 3: Tìm x Bài 1:Tỡm x N bit a) (x –15) 15 = b) 32 (x –10 ) = 32 Bµi 2:Tìm x ∈ N biết : a ) (x – 15 ) – 75 = b)575- (6x +70) =445 c) 315+(125-x)= 435 Bµi 3:Tìm x ∈ N biết : a) x –105 :21 =15 b) (x- 105) :21 =15 Bµi 4: Tìm số tự nhiên x biết a( x – 5)(x – 7) = b/ 541 + (218 – x) = 735 c/ 96 – 3(x + 1) = 42 d/ ( x – 47) – 115 = e/ (x – 36):18 = 12 BTNC a) Tính tổng sống tự nhiên từ đến 999; b) Viết liên tiếp số tự nhiên từ đến 999 thành hang ngang ,ta số 123….999 tính tổng chữ số số 1.Tìm số có hai chữ số,biế viêt chữ số xen hai chữ số số có ba chữ số gấp lần số có hai chữ số ban đầu 2.a)Hãy viết liên tiếp 20 chữ số thành hàng ngang,rồi đặt dấu + xen chữ số để tổng 1000 b) Hãy viết liên tiếp tám chữ số thành hàng ngang,rồi đặt dấu + xen chữ số để tổng 1000 3.Chia số tự nhiên từ đến 100 thành hai lớp : lớp số chẵn lớp số lẻ.hỏi lớp có tổng chữ số lớn lớn bao nhiêu? Điền chữ số thích hợp vào chữ để phép tính : a) 1ab + 36 = ab1 ; b) abc + acc + dbc = bcc Cho ba chữ số a,b,c với < a < b < c ; a) Viết tập hợp A số có ba chữ số ,mỗi số gồm ba chữ số a, b ,c: b) Biết tổng hai số nhỏ tập hợp A 488.tìm tổng chữ a + b + c Cho bảng vng gồm vng hình vẽ điền vào ô bảng số tự nhiên từ đến 10 (mỗi số viết lần) cho tổng số hang ,mỗi cột ,mỗi đường chéo Kí hiệu n! tích số tự nhiên từ đến n : n! = 1.2.3…n Tính : S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5! Trong tờ giấy kẻ vng kích thước 50.50 vuông ô người ta viết số tự nhiên biết bốn tạo thành hình vẽ tổng số bốn chứng tỏ số 8.Một số có bảy chữ số ,cộng với số viets bảy chữ số theo thứ tự ngược lại tổng số có bảy chữ số.hãy chứng tổ tổng tìm có chữ số chẵn 9.Cho bảng gồm 16 vng hình vẽ điền vào ô bảng bảng số tự nhiên lẻ từ đến 31 (mỗi số 15 29 23 17 27 viết lần.) cho tổng số hàng, cột , đường chéo 10.Cho dãy số 1,2,3,5,8,13,21,34,….( dãy số phi bơ na xi) số (bắt đầu từ số thứ ba) tổng hai số đứng liền trước nó.chọn dãy số số liên tiếp tùy ý.chứng minh tổng số số dãy cho 11 Một số chắn có bốn chữ số, số hàng trăm số hang chục lập thành số gấp ba lần chữ số hàng nghìn gấp hai lần chữ số hang đơn vị.tìm số 12.Tìm số a,b,c,d phếp tính sau: abcd + abc + ab + a = 4321 13.Hai người chơi trò chơi bốc viên bi từ hai hộp ngoài.mỗi người đến lượt bốc số viên bi tùy ý người bốc viên bi cuối cacr hai hộp người thắng cuộc.biết hộp thứ có 190 viên bi ,hộp thứ hai có 201 viên bi.hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc bi người thắng Bài tập cđng cè Tính giá trị biểu thức cách hợp lí: A = 100 + 98 + 96 + ….+ - 97 – 95 - …- ; B = + – – + + – – + + 10 – 11 – 12 + …- 299 – 330 + 301 + 302; Tính nhanh a) 53.39 +47.39 – 53.21 – 47.21 b)2.53.12 + 4.6.87 – 3.8.40; c) 5.7.77 – 7.60 + 49.25 – 15.42 3.Tìm x biết: a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); ab) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130 Tổng hai số 78293.số lớn hai số co chữ số hàng dơn vị ,chữ hàng chục 1,chữ số trăm 2.nếu ta gạch bỏ chữ số ta số số nhỏ tìm hai số 5.Một phếp chia có thương dư tổng số bị chia ,số chia số dư 195.tìm số bị chia số chia 6.Tổng hai số có a chữ số 836.chữ số hàng trăm số thứ ,của số thứ hai gạch bỏ chữ số hai số có hai chữ số mà số gấp lần số kia.tìm hai số 7.Một học sinh giải toán phải chia số cho cộng thương tìm với nhâm lẫn em nhân số với sau lấy tích tìm trừ kết hỏi số cần phải chia cho số nào? Tìm số có ba chữ số biết chữ số hàng trăm hiệu chữ số hàng chục với chữ số hàng đơn vị.chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thương dư 2.tích số phải tìm với số có chữ số tận Tìm số tự nhiên a ≤ 200 biết chia a cho số tự nhiên b thương dư 35 10 Viết số A có chữ số ,viết tiếp chữ số lần ta số B có chữ số.chia số B cho 13 ta số C chia C cho 11 ta số D.lại chia số D cho 7.tìm thưởng phép chia 11 Khi chia số M gồm chữ số giống cho số N gồm chữ số giống thương 233 số dư số r sau bỏ chữ số số M chữ số số N thương khơng đổi số dư giảm 1000.tìm số M N? * Các toán dÃy số viết theo quy luËt a) 27 – 5n M n b) n + M n + c) 2n + M n – d) 3n + M 11 – 2n 11 11 4) Cmr neáu ab + cd + eg M abc deg M 5) Cho abc + deg M37 Cmr abc deg M37 6) Cho 10 k – M 19 với k > CMR: 102k – M 19 7) Cho n số tự nhiên CMR: a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia heát cho b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho 8) Chứng minh ab = 2cd ⇒ abcd M67 Giải: 1) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2) M Thật ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + M Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + 2, n + Ta coù: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + không chia hết cho 4n chia hết cho không chia hết cho Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng bốn số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 2) Gọi số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + với n số tự nhiên Ta có: 2n + 2n + + 2n + + 2n + + 2n + = 10n + 20 = 10(n + 2) M 10 Gọi số lẽ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + với n số tự nhiên Ta có: 2n + + 2n + + 2n + + 2n + + 2n + = 10n + 25 = 10(n + 2) + M 10 3) a) 27 – 5n M n ; 5n M n => 27 M n => n ∈ Ư(27) = { 1;3;9; 27} 5n < 27 nên n < Vậy n ∈ { 1;3} b) n + M n + => n + + M n + 2, maø n +2 M n + => M n + => n + ∈ { 1; 2; 4} => n ∈ { 0; 2} c) 2n + M n – => 2(n – 2) + M n -2 => M n - => n – ∈ { 1;7} => n ∈{ 3;9} d*) 3n + M 11 – 2n (n < 6) => 2(3n + 1) + 3(11 – 2n) M 11 – 2n => 35 M 11 – 2n => 11 – 2n ∈ { 1;5;7;35} n < neân n ∈ { 5;3; 2} 4) Ta coù : abc deg = 10000ab + 100cd + eg = 9999ab + 99cd + ( ab + cd + eg ) Do 9999M 99M ab + cd + eg )M 11; 11;( 11 11 Vaäy : abc deg M 5) Tacoù : abc deg = 1000abc + deg = 999abc + (abc + deg) = 27.37 abc + (abc + deg) Do 27.37abc M37; (abc + deg)M37; Vaäy : abc deg M 37 6) Ta coù: 102k – = 102k – 10k + 10k -1 = 10k(10k – 1) + (10k – 1) Do 10k - 1M 19 neân 10k(10k – 1) + (10k – 1) M 19 Vaây 102k – M 19 7) a/ (n + 10 ) (n + 15 ) Khi n chaün => n = 2k (k ∈ N) Ta coù: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia hết cho 2.Khi n lẽ => n = 2k + (k ∈ N) Ta coù: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16) = 2(2k + 11 )(k + 8) chia heát cho Vaây (n + 10 ) (n + 15 ) Chia hết cho b/ Đăt A = n (n + 1)(n + 2) + Trong hai số tự nhiên liên tiếp có số chẳn số lẽ, số chẳn chia hết A chia hết cho + Trường hợp: n = 3k (k ∈ N) n chia hết A chia hết cho (1) Trường hợp: n không chia hết cho n = 3k + n = 3k + Khi n = 3k + => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia hết A chia hết cho (2) Khi n = 3k + => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia heát A chia hết cho (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: A chia hết cho Vậy A chia hết cho 8) Ta coù abcd = 100ab + cd ab = 2cd Maø: Suy ra: abcd = 2cdcd = 200cd + cd = 201cd = 3.67cd M67 abcd M 67 Vaäy: Bài Dùng ba chữ số 9, ,5 để ghép thành số co ba chữ số thỏa mãn điều kiên sau: a) Số chia hết cho 5; b) Số chia hết cho cho Giải a) Một số chia hết cho số tận có ba số có chữ số chia hết cho là: 950 ; 590 ; 905 b)Một số chia hết cho cho số tận có hai số có chữ số chia hết cho cho là: 950 ; 590 ; Bài Cho số 123 x43 y thay x,y chữ số để số cho chia hết cho Giải Số 123x43 y M nên y = y = •Với y = , ta có số 123x 430 số phải chia hết cho , nên + + + x + 4+ +3 M3 hay 12 + (x+ 1) M , 1≤ x + ≤ 10 ,nên x + = ; ; - Nếu x + = x = ,ta 1232430 - Nếu x + = x = ,ta 1235430 - Nếu x + = x = ,ta 1238430 Với y = , ta có số 123x 435 số phải chia hết cho , nên + + + x + 4+ +3 + M hay 18 + x M ,nên x = ; ; ; ta có số sau : 1230435; 1233435; 1236435 1239435 Bài 5: Điền chữ số vào dấu * để số : a) Chia hết cho : * 46 ; 199 * ; 20 *1 ; b) Chia hết cho : 16 * ; 174 * ; 53 * ; Dùng ba số 5,6,9 để ghép thành số tự nhiên có ba chữ số: a) Lớn chia hết cho 5; b) Nhỏ chia hết cho 2; Tìm tập hợp số tự nhiên n vừa chia hết cho vừa chia hết cho 1995 ≤ n ≤2001 Chứng tỏ năm số tự nhiên liên tiếp luốn có số chia hết cho 5 Chứng tỏ rằng: a) Trong ba số tự nhiên chọn hai số có hiệu chia hết cho 2; b) Trong sáu số tự nhiên chọn hai số có hiệu chia hết cho 5; Chứng tỏ rằng: a) (5n + )(4n + 6) M với số tự nhiên n; b) (8n + )(6n + 5) với số tự nhiên n; Người ta viết số tự nhiên tùy ý cho số số lẻ gấp đôi số số chẵn tổng số viết có chia hết cho hay khơng? Vì sao? Có tờ giấy người ta xé tờ giấy thành mảnh lại lấy số mảnh giấy đó, xé mảnh thành mảnh.cứ sau số lần , người ta đếm 2001 mảnh giấy.hỏi người ta đếm hay sai? Cho sáu chữ số : , ,5 ,6 ,7 ,9 a) cố số có ba chữ số ,các chữ số số khhacs nhau, lập thành từ chữ số trên? b) Trong số lập thành có số nhỏ 400? Bao nhiêu số số lẻ ? số chia hết cho 5? Bài tập cñng cè: 1.Điền chữ số vào dấu * để: a) 2001 + * chia hết cho 3; b) * 793 * chia hết cho 9; Điền chữ số vào dấu * để số chia hết cho mà không chia hết cho : 51 * 745 * 3.Dùng ba chữ số 3,6,9,0 ghép thành số tự nhiên có ba chữ số cho số đó: a) Chia hết cho 9; b) Chia hết cho mà không chia hết cho Phải thay chữ số x, y chữ số để số 123 x44 y M Tổng (hiệu) sau có chia hết cho , cho không? 102001 + ; 102001 – Tìm chữ số x,y biết số 56 x3 y chia hết cho Tìm chữ số x,y biết số 71x1 y chia hết cho 445 Tìm tất số có dạng 6a14b , biết số chai hết cho , cho cho Tìm hai số tự nhiên liên tiếp , có chữ số chia hết cho , biết tổng hai số thỏa mãn điều kiện sau: a) Là só có ba chữ số; b) Là số chia hết cho 5; c) Tổng chữ số hàng trăm chữ số hàng đơn vị số chia hết cho 9; d) Tổng chữ số hàng trăm chữ số hàng chục số chia hết cho 4; Các phơng pháp chứng minh chia hết Ph ơng pháp 1: để chứng minh AMb ( b ) Ta biĨu diƠn A = b.k ®ã k ∈ N 125 Bµi 1: Cho n ∈ N Chøng minh r»ng: (5n)100 M 2004 Bµi 2: Cho A = + + + Chøng minh r»ng: a) AM6 b) AM7 c) AM30 1998 Bµi 3: Cho S = + + + Chøng minh r»ng : a) S M 12 b) sM39 100 120 Bµi 4: Cho B = + + + Chøng minh r»ng: BM Bµi 5: Chøng minh r»ng a) 3636 − 910 M45 b) 810 − 89 − 88 M55 c) 55 − 54 + 53 M7 d) 76 + −7 M e) 2454.5424.210 M7263 g) 817 − 279 − 913 M45 11 h) 3n +3 + 3n+1 + 2n+3 + 2n+ M6∀n ∈ N i) (210 + 211 + 212 ) : lµ số tự nhiên Ph ơng pháp : Sử dơng hƯ qu¶ tÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng NÕu a ± bMm vµ a Mm ⇒ b Mm Ph ơng pháp 3: Để chứng minh biểu thức chữ (Giả sử chứa n) chia hết cho b ( b ≠ )Ta cã thÓ xÐt mäi tr êng hỵp vỊ sè d chia n cho b Bµi 6: a) Chøng minh r»ng: TÝch cđa hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho b) Chøng minh r»ng: TÝch cđa ba sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho c) Chøng minh r»ng: TÝch cña sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 24 d) Chøng minh r»ng: TÝch cđa sè tù nhiªn liên liếp chia hết cho 120 (Chú ý: Các toán đợc sử dụng chứng minh chia hết, không cần CM lại) Bài 7: Chứng minh rằng: a) (5n + 7)(4n + 6)M2∀n ∈ N b) (8n + 1)(6n + 5) kh«ng chia hÕt cho ∀ ∈ N Bµi 8: Chøng minh r»ng: A = n(n + 1)(2n + 1)M6∀n ∈ N Bµi 9: a) Cho n ∈ N Chøng minh r»ng: n M3 n chia d b) CMR: Không tồn n N để n + = 300 Bµi 10: Chøng minh r»ng: ∀m, n ∈ N ta lu«n cã m.n(m − n ) M3 Bµi 11: Chøng minh r»ng: (n + 20052006 )(n + 20062005 )M2∀n ∈ N 144 2444 Bài 12: CMR không tồn n N ®Ó n + = 20042004 2004 15 so 2004 Phơng pháp 4: Để chứng minh AMb Ta biĨu diƠn b díi d¹ng b = m.n Khi + Nếu (m, n)=1 tìm cách chứng minh AMm vµ AMn ⇒ AMm.n hay AMb + NÕu (m; n) ≠ ta biĨu diƠn A = a1.a2 råi tìm cách chứng minh a1 Mm; a2 Mn tích a1.a2 Mm.n tøc AM b Bµi 13: a) Chøng minh r»ng: TÝch cđa hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho b) Chøng minh r»ng: TÝch cña ba sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho c) TÝch cđa sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 24 d) TÝch cđa sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 120 Bµi 14 : Chøng minh rằng: a số lẻ không chia hết cho a 1M6 Bài 15: a) Chứng minh rằng: Tích hai số chẵn liên tiếp th× chia hÕt cho b) Chøng minh r»ng: TÝch ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48 c) Chøng minh r»ng: TÝch cđa sè ch½n liên tiếp chia hết cho 384 Bài 16 : Chøng minh r»ng: B = 10n + 18n − 1M27 Bµi 16: Chøng minh r»ng: a) 10n − 36n − 1M27∀n ∈ N ; n ≥ { b) sè 11 1M27 27 c / s1 Ph ơng pháp 5: Dïng dÊu hiƯu chia hÕt Bµi 17: Chøng minh r»ng: 1020006 + 8M 72 { Bµi 18: Chøng minh r»ng: a) Sè 55 kh«ng chia hÕt cho 125 ( nc / s b) 10n + 23 M9 c) 3737 − 2323 M 10 33 Bµi 19:Chøng minh r»ng: a) 10 + 8M2;9 b) 1010 + 14M3; c) 1050 + 5M3;5 d) 1025 + 26M2;9 Bµi 20: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có ba chữ sè biÕt r»ng mét sè chia hÕt cho 125, sè chia hÕt cho Bµi 21: Chøng minh r»ng ∀n ∈ N th× a) 24 n+1 + 3M5 b) 24 n+ + 1M5 c) 92 n+1 + 1M 10 4n n+1 d) − 1M5 e) + 2M5 10 Bµi 22 : Chøng minh r»ng (2 + 1)10 M25 Bài 23: Cho số tự nhiên ab ba lần tích chữ số a) Chøng minh r»ng: bMa b) Gi¶ sư b=k.a Chøng minh k ớc 10 c) Tìm số ab nói Ph ơng pháp 6: để chứng minh AMb ta biĨu diƠn A = A1 + A2 + + An chứng minh Ai (i = 1, n)Mb Bµi 1: CMR: { a) ∀n ∈ N th× A = 2.n + 11 1M3 nc / s1 n { b) ∀a, b, n ∈ N th× B = (10 − 1).a + (11 − n).bM9 nc / s1 { c) 88 − + nM9 nc / s Bài 24: Hai số tự nhiên a 2a có tổng chữ số k Chứng minh aM9 Bài 25: Tìm chữ số x, y để 1994 xyM72 ãCác toán tổng hợp: Bài 1: Tìm n N để a) n + 6Mn b) 4.n + 5Mn c) 38 − 3nMn 16 d) n + 5Mn + e) 3n + 4Mn − g) 2n + 1M − 3n Bµi 2: Tìm n N để: a) 3n + 2Mn − b) n + 2n + 7Mn + c) n + 1Mn − d) n + 8Mn + e) n + 6Mn − g) 4n − 5M2n − h) 12 − nM8 − n i) 20Mn k) 28Mn − 13 l) 113 + nM7 m) 113 + nM Bài 3: Tìm n N để phân số sau có giá trị số tự nhiên a) n+2 b) n −1 c) n +1 n −1 d) 2n + n 5 Bài 4: Tìm n ∈ N ®Ĩ 13 a) 4n − 5M b) 5n + 1M7 c) 25n + 3M53 d) 18n + 3M7 Bài 5: Tìm số tự nhiên n cho phân số sau có giá trị số tự nhiên 3n + n +1 2n + 13 d) n −1 a) n + 13 n +1 3n + e) n−2 3n + 15 n +1 6n + g) 2n + b) c) Bài 6: Tìm sè tù nhiªn n cho a) n + 11Mn − b) nMn − c) n + 2n + 6Mn + d) n + n + 1Mn + Bµi 4: Chøng minh r»ng: 88 + 220 M 17 13 13 Bµi 5: Chøng minh r»ng: m + 4nM ⇔ 10m + n M m, n N Bài 6: Có hay không hai sè tù nhiªn x, y cho ( x + y )( x − y ) = 2002 Bµi : Chøng minh r»ng nÕu ab + cd M th× abcd M 11 11 11 Bµi : Cho hai số tự nhiên abc deg chia 11 d Chøng minh r»ng sè abc deg M 13 13 Bµi 10 : Cho abc − deg M Chøng minh r»ng: abc deg M Bµi 11:Cho biÕt sè abcM7 Chøng minh r»ng: 2a + 3b + c M7 Bµi 12 : Cho số abcM4 a, b chữ số chẵn Chứng minh rằng: a) cM4 b) bacM4 Bài 13: Tìm chữ số a, b cho a − b = 4;7a5b1M3 17( 17 Bµi 14: Cho 3a + 2bM a, b ∈ N ) Chøng minh r»ng: 10a + bM 17( 17 Bµi 15:Cho a − 5bM a, b ∈ N ) Chøng minh r»ng: 10a + bM n Bµi 16: Chøng minh r»ng: 9.10 + 18M27 ∀n ∈ N Bµi 17: Chøng minh r»ng: nÕu abcd M99 th× ab + cd M99 ngợc lại Bài 3: Biết a + bM7 Chứng minh r»ng: abaM7 Bµi 4: BiÕt a + b + c M7 Chứng minh rằng: abcM7 b=c Bài 5: Tìm số tự nhiên ab cho 567a9bM45 Bài 6: Tìm cặp số tự nhiên (a,b) cho a) 1 b = + a b) Bµi 7: Cho sè N = dcba Chøng minh r»ng: a) N M4 ⇔ a + 2bM4 b) N M8 ⇔ a + 2b + 4c M 16 16 c) N M ⇔ a + 2b + 4c + 8d M với b chẵn Bài 8: Chứng minh r»ng: 17 17 a) x + y M ⇔ x + y M 13 13 b) a + 4bM ⇔ 10a + b M 17 17 c) a + 2bM ⇔ 10a + bM a − = b Bµi 9: Chøng minh r»ng: a) 10n + 72n − 1M ∀n ∈ N 81 { b) 11 1M81 81c / s1 Bµi 11: Chøng minh r»ng mét sè cã hai ch÷ sè chia hÕt cho vµ chØ tỉng cđa chữ số hàng chục lần chữ số hàng đơn vị chia hết cho Bài 12: Với a, b chữ số khác Chứng minh rằng: a) abbaM b) aaabbbM37 11 c) abababM7 d) abab − baba M9 vµ 101 víi a>b Bµi 13: Cho sè tự nhiên A, Ngời ta đổi chỗ chữ số số A để đợc số B gấp ba lần sè A Chøng minh r»ng B chia hÕt cho 27 SỐ NGUYÊN TỐ – HP SỐ PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ A/ LÝ THUYẾT: + Số nguyên tố số tự nhiên lớn có hai ước + Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều hai ước + Để chứng tỏ số tự nhiên a > hợp số, cần ước khác a Chú ý: 10n = 10….0 = 2n.5n n chữ số + Cách xác định số lượng ước số: Khi phân tích M thừa số nguyên tố, ta có M = ax.by….cz ước M (x + 1)(y + 1)…(z + 1) + Neáu ab MP với P số nguyên tố a MP b MP Đặc biệt: Nếu an MP a MP B/ V DUẽ: Dạng 1: Bài 1: Tổng (hiệu) sau số nguyên tố hay hợp số: a/ 3150 + 2125 b/ 5163 + 2532 c/ 19 21 23 + 21 25 27 d/ 15 19 37 – 225 Bài 2: Chứng tỏ số sau hợp số: a/ 297; 39743; 987624 b/ 1111 có 2001 chữ số 2007 chữ số c/ 8765 397 639 763 Hớng dẫn a/ Các số ®Ịu chia hÕt cho 11 Dïng dÊu hiƯu chia hÕt cho 11 đê nhận biết: Nếu số tự nhiên có tổng chữ số đứng vị trí hàng chẵn tổng chữ số hàng lẻ ( số thứ tự đợc tính từ trái qua phải, số số lẻ) số chia hết cho 11 Chẳng hạn 561, 2574, b/ Nếu số có 2001 chữ số tổng chữ số cña nã b»ng 2001 chia hÕt cho VËy sè ®ã chia hÕt cho T¬ng tù nÕu sè ®ã có 2007 chữ số số chia hÕt cho c/ 8765 397 639 763 = 87654.100001 hợp số Bài 3: Chứng minh tổng sau hợp số a/ abcabc + b/ abcabc + 22 c/ abcabc + 39 Híng dÉn a/ abcabc + = a.105 + b.104 + c.103 + a 102 + b.10 + c + = 100100a + 10010b + 1001c + = 1001(100a + 101b + c) + V× 1001 M ⇒ 1001(100a + 101b + c) M vµ 7M Do ®ã abcabc + M 7, vËy abcabc + hợp số b/ abcabc + 22 = 1001(100a + 101b + c) + 22 1001 M 11 ⇒ 1001(100a + 101b + c) M 11 vµ 22M 11 Suy abcabc + 22 = 1001(100a + 101b + c) + 22 chia hÕt cho 11 vµ abcabc + 22 >11 nên abcabc + 22 hợp số c/ Tơng tù abcabc + 39 chia hÕt cho 13 vµ abcabc + 39 >13 nên abcabc + 39 hợp số Bài 4: a/ Tìm số tự nhiên k để số 23.k số nguyên tố b/ Tại số nguyên tố chẵn nhất? Hớng dẫn a/ Với k = 23.k = không số nguyên tố với k = 23.k = 23 số nguyên tố Với k>1 23.k M 23 23.k > 23 nên 23.k hợp số b/ số nguyên tố chẵn nhất, có số chẵn lớn số chia hết cho 2, nên ớc số có ớc nên số hợp số Bài 5: Tìm số nguyªn tè, biÕt r»ng sè liỊn sau cđa nã cịng số nguyên tố Hớng dẫn Ta biết hai sè tù nhiªn liªn tiÕp bao giê cịng cã mét số chẵn số lẻ, muốn hai số nguyên tố phải có số nguyên tố chẵn số Vậy số nguyên tố phải tìm Dạng 2: Dấu hiệu để nhận biết sè nguyªn tè Ta cã thĨ dïng dÊu hiƯu sau ®Ĩ nhËn biÕt mét sè nµo ®ã cã lµ sè nguyên tố hay không: Số tự nhiên a không chia hết cho số nguyên tố p mà p2 < a a số nguyên tố VD1: Ta đà biết 29 số nguyên tố Ta nhận biết theo dấu hiệu nh sau: - Tìm số nguyên tố p mà p2 < 29: số nguyên tố 2, 3, (72 = 49 19 nên ta dừng lại số nguyên tố 5) - Thư c¸c phÐp chia 29 cho c¸c sè nguyên tố Rõ ràng 29 không chia hết cho số nguyên tố số 2, 3, Vậy 29 số nguyên tố VD2: HÃy xét xem số tự nhiên từ 1991 đến 2005 số số nguyên tố? Hớng dẫn - Trớc hết ta loại bỏ số chẵn: 1992, 1994, ., 2004 - Loại bỏ tiếp số chia hết cho 3: 1995, 2001 - Ta phải xét số 1991, 1993, 1997, 1999, 2003 ố nguyên tố p mà p2 < 2005 lµ 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 - Sè 1991 chia hÕt cho 11 nªn ta loại - Các số lại 1993, 1997, 1999, 2003 không chia hết cho số nguyên tố tên Vậy từ 1991 đến 2005 có số nguyên tố 1993, 1997, 1999, 2003 C.HDVN: xem li chữa,nắm vững dấu hiệu nhận biết số ngun tố,hợp số Bài tập Ví dụ 1: Cho A = + 52 + 53 +……+5100 a) Soá A số nguyên tố hay hợp số? b) Số A có phải số phương không? Giải: a) Có A > 5; A M ( Vì số hạng chia hết cho 5) nên A hợp số b) Có 52 M 25, 53 M 25;… ;5100 M 25, M 25 nên A M 25 Số A M A M 25 nên A không số phương Ví dụ 2: Số 54 có ước Giải: Có: 54 = 33 Số ước 54 là: (1 + 1)(3 + 1) = 2.4 = ước Tập hợp ước 54 là: Ư(54) = { 1; 2;3;6;9;18; 27;54} Ví dụ 3: Tìm số nguyên tố p cho p + , p + số nguyên tố Giải: Vì p số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + = 5; p + = số nguyên tố Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm C/ BÀI TẬP: 1) Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số nhỏ ba số đó? 2) Tổng hai số nguyên tố 2003 hay không? 3) Tìm số nguyên tố p, cho số sau số nguyên tố a)p + p + 10 b)P + 10 vaø p + 20 4) Cho p số nguyên tố lớn Biết p + số nguyên tố Chứng minh p + 1chia hết cho 5) Cho p p + số nguyên tố (p > 3).Chứng minh p + hợp số 6) Cho a, n ∈ N*, biết an M Chứng minh: a2 + 150 M 25 Giải: 1) Tổng số nguyên tố 1012 số chẳn nên ba số nguyên tố phải có số chẳn số số số nhỏ ba số nguyên tố cho 2) Tổng hai số nguyên tố 2003 số lẽ nên hai số nguyên tố phải số số thứ hai là: 2003 – = 2001 chia hết hợp số Vậy không tồn tai hai số nguyên tố có tổng 2003 3) a/ Vì p số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + = 5; p + 10 = 13 số nguyên tố Nếu p = 3k + p + = 3k + chia heát cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + 10 = 3k + 12 chia hết cho lớn nên p + 10 hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm b/ Vì p số nguyên tố nên p có ba daïng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên toá) => p + 10 = 13; p + 20 = 23 số nguyên tố Nếu p = 3k + p + 20 = 3k + 21 chia hết cho lớn nên p + 20 hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + 10 = 3k + 12 chia hết cho lớn nên p + 10 hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm 4) Do p số nguyên tố lớn nên p lẽ, => p + số chẵn nên p + M p số nguyên tố lớn nên có dạng 3k + hoaëc 3k + (k ∈ N) Dạng p = 3k + không xãy Dạng p = 3k + cho ta p + = 3k + M (2) Từ (1) (2) suy p + M (1) 5) p số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k + 3k + (k ∈ N) Nếu p = 3k + p + = 3k + chia heát hợp số, trái với đề Vậy p có dạng 3k + p + = 3k + chia hết p + hợp số 6) Có anM mà số nguyên tố nên a M => a2 M 25 Mặt khác 150 M25 nên a2 + 150 M25 Bài 1: Tìm hai số nguyên tố biết tổng chúng 2005 Bài 2: Tìm số nguyên tố p để p + 11 số nguyên tố nhỏ 30 Bài 3: Cho A = + 52 + + 5100 a) Sè A lµ số nguyên tố hay hợp số b) Số A có số phơng không ? Bài 4: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số a) A = 13.15.17 + 91 b) B = 2.3.5.7.11 + 13.17.19.21 c) C = 12.3 + 3.41 + 240 d) D = 45 + 36 + 72 + 81 e) E = 91.13 − 29.13 + 12.13 g) G = 4.19 − 5.4 h) H = + 3.17 + 34.3 i) I = + + 73 + + 75 k) A = 1.3.5.7 13 + 20 l) B = 147.247.347 − 13 { { Bµi 5: Cho n ∈ N * Chøng minh r»ng sè A = 11 1211 hợp số nc / s1 nc / s1 Bài 6: a) Cho n số không chia hết cho Chøng minh r»ng: n chia d b) Cho p số nguyên tổ lớn Hỏi p + 2003 số nguyên tố hay hợp số ? Bài 7: Cho n N ; n > n không chia hết cho Chøng minh r»ng: n − vµ n + đồng thời số nguyên tố Bài 8: Cho p số nguyên tố lớn a) Chứng tỏ rằng: p có dạng 6k + hc 6k + víi k ∈ N * b) BiÕt p + cịng lµ sè nguyên tố Chứng minh rằng: p + hợp số Bài 9: Cho p p + số nguyên tố (p>3) Hỏi p+100 số nguyên tố hay hợp số Bài 10: Cho n = 29k với k N Với giá trị k n: a) Là số nguyên tố b) Là hợp số c) Không số nguyên tố không hợp số Bài 11: Chứng minh rằng: 8p-1 p số nguyên tố 8p+1 hợp số Bài 12: Tìm tất số nguyên tè p, q cho p + q vµ pq + 11 số nguyên tố Bài 13: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp số nguyên tố Bài 14: Tìm số nguyên tố p cho a) p + số nguyên tố b) p+8 p+10 số nguyên tố Bµi 16: Cho n = 2.3.4.5.6.7 CMR: sè tự nhiên liên tiếp sau hợp số: n+2; n+3; n+4; n+5; n+6; n+7 Bài 17: Tìm số nguyên tè p cho p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 số nguyên tố Bài 18:Cho p số nguyên tố lớn Chøng minh r»ng: ( p − 1)( p + 1) chia hÕt cho 24 Bµi 19:Cho p vµ 2p+1 hai số nguyên tố (p>3) Chứng minh rằng: 4p+1 hợp số Bài 20:Cho p 10p+1 hai số nguyên tố (p>3) Chứng minh rằng: 5p+1 hợp số Bài 21:Chứng minh với số nguyên tè p >3, ba sè p, p+2, p+4 kh«ng thĨ đồng thời số nguyên tố Bài 22: Hai sè 2n − vµ 2n + víi n >2 đồng thời số nguyên tố hay đồng thời hợp số đợc không ? Bài 23: Tìm số nguyên tố p để có a) p+10 p+14 số nguyên tố b) p+2; p+6 p+8 số nguyên tố c) p+6;p+12; p+24; p+38 số nguyên tố d) p+2; p+4 số nguyên tố Bài 24: Tìm số nguyên tố a, b, c cho 2a + 3b + 6c = 78 Bài 25: CMR: 2001.2002.2003.2004 +1 hợp số Bài 26: Tìm số nguyên tố p cho p + 44 số nguyên tố Bài 27: CMR: Hai số 1994100 1994100 + đồng thời số nguyên tố Bài 28: Tìm số nguyên tố p cho p + 94 p+1994 số nguyên tố Bài 29: Tìm tất số nguyên tố p để p + p số nguyên tố Ước chung bội chung, ƯCLN, BCNN A/ Mục tiêu: - Học sinh nắm vững định nghĩa tính chất ớc chung, ƯCLN, bội chung, BCNN vào giải tập - Vận dụng thành thạo tính chất chia hết vào tập - Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, t lô gic óc phân tích tổng hợp B/ Chuẩn bị: Nội dung chuyên đề, kiến thức cần sử dụng tập tự luyện C/ Nội dung chuyên đề I/ Kiến thức 1- Tính chất chia hÕt liªn quan a m a M n => a M m.n (m,n)=1 a.b M m => b M m (a, m) =1 Bài 1: Tìm ƯCLN a/ 12, 80 vµ 56 b/ 144, 120 vµ 135 c/ 150 vµ 50 d/ 1800 vµ 90 Híng dÉn a/ 12 = 22.3 80 = 24 56 = 33.7 VËy ¦CLN(12, 80, 56) = 22 = b/ 144 = 24 32 120 = 23 135 = 33 VËy ¦CLN (144, 120, 135) = c/ ¦CLN(150,50) = 50 v× 150 chia hÕt cho 50 d/ ƯCLN(1800,90) = 90 1800 chia hết cho 90 Bài 2: T×m a/ BCNN (24, 10) b/ BCNN( 8, 12, 15) Híng dÉn a/ 24 = 23 3; 10 = BCNN (24, 10) = 23 = 120 b/ = 23 ; 12 = 22 ; 15 = 3.5 BCNN( 8, 12, 15) = 23 = 120 ... ba môn ;12 học sinh không thích môn nào.Tìm xem lớp học có học sinh Bài 19 Trong sè 100 häc sinh cã 75 häc sinh thÝch toán , 60 học sinh thích văn a Nếu có học sinh không thích toán văn có học. .. b) 12.53 + 53 172– 53 84 Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp cực hay c) 35.34 +35.38 + 65 .75 + 65 .45 d, 39.8 + 60 .2 + 21.8 e, 36. 28 + 36. 82 + 64 .69 + 64 .41 *Chú ý: Muốn nhân số có chữ... 20 học sinh thích bóng đá ; 17 học sinh thÝch b¬i; 36 häc sinh thÝch bãng chun; 14 học sinh thích bóng đá bơi;13 học sinh thích bơi bóng chuyền; 15 học sinh thích bóng đá bóng chuyền; 10 học sinh