TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG Trần Quốc Đạt - Huỳnh Văn Minh - Huỳnh Thủy Ngân Phan Trọng Nghĩa - Ngô Minh Trí CHUYÊN ĐỀ: Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 1 LỜI NÓI ĐẦU Bất đẳng thức là một lĩnh vực cổ điển luôn chiếm một vị trí quan trọng trong kho tàng toán học, bởi chúng có một sức hút kì lạ về cả vẻ đẹp hình thức lẫn những điều bí ẩn về nội dung.Tuy nhiên hầu hết sự quan tâm của các bạn đều dành cho bất đẳng thức đại số mà quên đi vẻ đẹp của bất đẳng thức hình học. Chúng tôi hi vọng chuyên đề này sẽ mang đến cho các bạn một cái nhìn thoáng hơn về bất đẳng thức hình học. Nếu ở cấp THCS, ta đã tìm hiểu nhiều về hình học phẳng thì lên cấp THPT ta lại được tìm hiểu sâu về hình học không gian. Bất đẳng thức hình học là một phần quan trọng trong hình học, nó xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của hình học, từ hình học phẳng sơ cấp, hình học không gian, đến hình học tổ hợp,…. Bất đẳng thức hình học có ứng dụng rất rộng lớn trong đời sống cũng như việc chứng minh các bài toán hình học hóc búa khác. Nhìn một cách khái quát việc chứng minh bất đẳng thức hình học không phải một sớm một chiều là có thể thành thạo được, vì nó cần có sự tổng hợp của tất cả các kiến thức về hình học lẫn đại số, đầu óc liên tưởng nhạy bén, những sáng tạo trong cách giải,…. Ở chuyên đề này chúng tôi gửi đến bạn đọc những hiểu biết, phương pháp giải mà chúng tôi tích lũy trong quá trình học toán từ trước tới nay. Chuyên đề này sẽ cung cấp cho bạn đọc từ những kiến thức cơ bản đến mở rộng, từ những phương pháp đã biết ở cấp THCS, đến những phương pháp phức tạp đòi hỏi sự tư duy trừu tượng cao. Ngoài ra, các bài toán trong chuyên đề này được sưu tầm từ những đề thi cũ tới những đề thi mới cập nhật hiện nay. Nó chắc chắn sẽ hấp dẫn bạn đọc và sẽ làm tăng thêm sự say mê bất đẳng thức trong một lĩnh vực mà ít người tìm đến. Các kết quả chủ yếu mà chuyên đề này đạt được: 1) Tập hợp tương đối đầy đủ các kiến thức cơ bản sử dụng nhiều trong việc chứng minh bất đẳng thức hình học. 2) Đưa ra được các phương pháp chứng minh chung cho các phần I, II. 3) Đưa ra được các bài toán từ đơn giản tới nâng cao trong từng bài. 4) Bổ sung thêm kiến thức mới về Polytope. Khái quát bài toán đẳng chu, ước lượng từ phẳng sang không gian. 5) Sáng tạo trong việc giải toán và các bài toán mới (phần III). Đưa ra một số câu hỏi mở và một số kết luận. Chuyên đề này được chia làm ba phần: PHẦN 1: Bất đẳng thức hình học trong mặt phẳng. Trình bày về các phương pháp chứng minh các bất đẳng thức hình học trong mặt phẳng và một số kiến thức cơ bản cần sử dụng khi chứng minh. Trong phần này còn tập trung hầu hết các định lí, các bài toán nổi tiếng (như đường tròn chín điểm, đường thẳng Euler, định lí Pick,…) được sử dụng nhiều trong việc giải toán hình học. PHẦN 2: Bất đẳng thức hình học trong không gian. Trong phần này chúng tôi đưa ra các kiến thức về các hình cơ bản (như tam diện, tứ diện, thiết diện) và sau đó rút ra một số phương pháp chung cho việc chứng minh bất đẳng thức hình học không gian. PHẦN 3: Các vấn đề ngoài lề. Trình bày các phần mà chúng tôi tìm tòi được (như phương pháp hình học hóa các bất đẳng thức đại số là một phương pháp hay trong việc giải các bài đại số, bài toán đẳng chu, Polutope 4 chiều,…). Bên cạnh đó, có các bất đẳng thức sưu tầm được qua các kì thi trong và ngoài nước và các bất đẳng thức tự sáng tạo (Hình học hay đại số). Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 2 Ngoài ra chúng tôi còn đưa ra các ví dụ cụ thể để bạn đọc dễ hình dung phương pháp chứ không lí luận suông. Sau phần ví dụ ở mỗi bài chúng tôi đều có các bài toán chọn lọc nhằm giới thiệu với các bạn những bài toán hay trong và ngoài nước. Phần cuối của mỗi bài là các bài toán tự luyện cho các bạn luyện tập kĩ năng giải toán với các phương pháp mà chúng tôi đã hướng dẫn. Để hoàn thành chuyên đề này chúng tôi đã nhận được sự giúp đỡ rất lớn của các thầy cô trong tổ chuyên toán trường THPT chuyên Lý Tự Trọng. Chúng tôi chân thành cảm ơn sự giúp đỡ nhiệt tình của cô Tạ Thanh Thuỷ Tiên, anh Võ Quốc Bá Cẩn, các thầy cô tổ chuyên toán, các anh chị chuyên toán khoá trước, … Do thời gian biên soạn ngắn nên có thể chưa đầy đủ và không tránh khỏi những thiếu sót ngoài ý muốn. Chúng tôi mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của thầy cô và các bạn. Nhóm biên soạn. Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 3 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 1 PHẦN I: BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG 3 BÀI 1: PH ƯƠNG PHÁP KÉO THEO 3 BÀI 2: S Ử DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG 16 BÀI 3: SỬ DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG 28 BÀI 4: PH ƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ HÓA 32 BÀI 5: SỬ DỤNG CÁC ĐỊNH LÍ, ĐỊNH NGHĨA VỀ CÁC ĐƯỜNG THẲNG, Đ ƯỜNG TRÒN 36 PHẦN II: BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN 56 CHƯƠNG I: TỨ DIỆN 56 BÀI 1: ƯỚC LƯỢNG HÌNH HỌC 56 BÀI 2: CÁC ĐỊNH LÍ VÀ CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC TAM DIỆN, BẤT ĐẲNG THỨC VỀ TỨ DIỆN 62 CHƯƠNG II: THIẾT DIỆN 80 CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHUNG TRONG CÁC BÀI BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN 84 BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 84 BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VÀ MẶT 90 BÀI 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ 92 BÀI 4: CỰC TRỊ HÌNH HỌC 99 BÀI 5: PH ƯƠNG PHÁP VECTO 108 PHẦN III: CÁC VẤN ĐỀ NGOÀI LỀ 110 HÌNH HỌC HÓA CÁC BÀI BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ 110 BÀI TOÁN ĐẲNG CHU 114 POLYTOPE 4 CHIỀU 120 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SƯU TẦM 127 HÌNH HỌC HAY ĐẠI SỐ? 137 TÀI LIỆU THAM KHẢO 145 Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 3 PHẦN I: BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG. BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP KÉO THEO I . Sơ lược về phương pháp kéo theo: Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết, vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Sau đây là các ví dụ: Vd 1: Cho tam giác ABC, M thuộc AC. Chứng minh rằng: 1 1 . ; . 2 2 ABC ABC S AB AC S BM AC ≤ ≤ Gi ả i: G ọ i BH là đườ ng cao c ủ a tam giác ABC BH AB ⇒ ≤ 1 1 . . 2 2 1 1 . . 2 2 ABC ABC S BH AC AB AC M BC BH BM S BH AC BM AC = ≤ ∈ ⇒ ≤ ⇒ = ≤ B ất đẳng thức được chứng minh xong. Vd2: Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. Chứng minh: 2 BC AM ≤ thì  90 o BAC ≥ và ngược lại. Giải: M A C B H M A C B D Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 4 a) Giả sử  90 o BAC < . Gọi D là điểm đối xứng của A qua M. Suy ra AD=2AM. M là trung điểm hai đoạn thẳng BC và AD.   & / / 180 O AB DC AB DC BAC ACD⇒ = ⇒ + = mà  90 o BAC <    90 O ACD BAC ACD ⇒ > ⇒ < Xét tam giác ABC và tam giác CDB có: AB=DC, BC là cạnh chung,   BAC ACD < Do đó: BC<AD 2 BC AM ⇒ > (Vô lí).  90 o BAC ⇒ ≥ Vd 3: Cho t ứ giác lồi ABCD sao cho AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F, và E,F,C cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ BD. Đặt   ,AED AFB α β = = ; và ABCD S S = . Chứng minh rằng: . .sin . .sin 2 . . AB CD AD BC S AB CD AD BC α β + ≤ ≤ + . Giải: D ễ thấy:   ABF ACE α β  >   >   * Trong ABD ∆ ta lấy điểm K sao cho / / / / BK DE DK BF    T ừ đó ta có 1 1 . .sin . .sin 2 2 ACK ADK S S S AB BK AD DK S α β + ≤ ⇒ + ≤ . .sin . .sin 2 (1) AB BK AD DK S α β ⇔ + ≤ D ễ thấy DKBC là hình bình hành. (2) BK CD BC DK =   =  Thay (2) vào (1) ta có: . .sin . .sin 2 (1) AB CD AD BC S α β + ≤ β αα β K E F B A D C P Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 5 * Trong nửa mặt phẳng có bờ là BD ta lấy điểm P sao cho DP BC BP CD =   =  . Dễ thấy   1 1 . sin . .sin 2 2 1 1 . . 2 2 ABCD ABPD ADP ABP S S S S AD DP ADP BA BP ABP AD DP BA BP = = + = + ≤ + 2 . . S AB CD AD BC ⇔ ≤ + V ậy . sin . .sin 2 . . AB CD AD BC S AB CD AD BC α β + ≤ ≤ + *Một số kiến thức thường dùng để giải tóan cực trị trong mặt phẳng: - Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, hình chiếu. - Trong các tam giác vuông (có thể suy biến thành đoạn thẳng) có cạnh góc vuông AH và cạnh huyền AB thì AH AB ≤ . Xảy ra dấu bằng khi H B ≡ . - Trong các đoạn thẳng nối từ điểm đến đường thẳng, đoạn nào vuông góc với đường thẳng là đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. - Trong các đoạn thẳng nối 2 điểm thuộc hai đường thẳng song song, đoạn thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song có độ dài ngắn nhất. - Trong hai đường xiên kẻ từ 1 điểm đến cùng một đường thẳng, đường xiên lớn hơn khi và chỉ khi hình chiếu của nó lớn hơn. - Một tứ giác lồi bị chứa trong một tứ giác khác (không nhất thiết là lồi) thì chu vi của tứ giác bị chứa sẽ nhỏ hơn chu vi của tứ giác chứa nó bên trong. - Độ dài đoạn thẳng nằm trong một đa giác lồi không lớn hơn độ dài đường chéo lớn nhất - Trong tất cả các dây cung qua một điểm cho trước trong một đường tròn thì dây cung có độ dài nhỏ nhất là dây cung vuông góc với đoạn thẳng nối tâm đường tròn với điểm đó. - Trong các tam giác có cùng chu vi thì tam giác đều có diện tích lớn nhất. - Một đường thẳng có thể cắt nhiều nhất hai cạnh của một tam giác.(nguyên tắc Dirichlet). * Một số ví dụ: Vd1: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a. Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Qua trung điểm M của AB có 2 đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By lần lượt tại C,D. Xác định vị trí của các điểm C,D sao cho MCD ∆ có diện tích nhỏ nhất. Tính diện tích đó. Giải: a 2 1 H D MA B C Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 6 Gọi K là giao điểm của CM và DB, ( ) MAC MBK gcg MC MK ∆ = ∆ ⇒ = DCK ∆ cân   1 2 D D ⇒ = K ẻ MH CD ⊥ Do M thuộc phân giác góc D nên MH=MB=a. 1 . 2 MCD S CD MH = . Do 2 & CD AB a MH a ≥ = = nên: 2 1 2 . 2 MCD S a a a CD Ax ≥ = ⇒ ⊥ . Các điểm C,D được xác định trên Ax, By sao cho AC=BD=a * Trong l ời giải trên, S MCD được biểu thị bởi 1 . 2 CP MH . Sau khi chứng minh MH không đổi, ta thấy S MCD nhỏ nhất khi và chỉ khi CD nhỏ nhất. - Nếu bài toán trên không cho M là trung điểm AB thì ta phải giải quyết ra sao?   1 . , 2 MCD S MC MD MAC MDB α = = = (cùng phụ  BMD ) , cos sin a b MC MD α α ⇒ = = nên 1 2 sin cos MCD ab S α α = Do a,b,c là h ằng số nên S MCD nhỏ nhất khi và chỉ khi 2sin os c α α lớn nhất. 2 2 2sin cos sin cos 1 MCD S ab α α α α ≤ + = ⇒ ≥ min sin cos tan 1 45 MCD o S ab α α α α = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇒ Các đ i ể m C,D trên Ax, By đượ c xác đị nh sao cho AC=AM, BD=BM Đ ây đượ c xem là bài toán t ổ ng quát. Vd 2: Cho ABC ∆ có  B là góc tù, D di độ ng trên BC. Xác đị nh v ị trí c ủ a D sao cho t ổ ng các kh ỏ ang cách t ừ B và t ừ C đế n đườ ng th ẳ ng AD có giá tr ị l ớ n nh ấ t. b a α D A BM C Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 7 Gi ả i: Ta có : 1 1 1 . . . 2 2 2 ABC S AH BC BE AD CF AD = = + 2 ABC S BE CF AD ⇒ + = . Do đ ó ( ) max min BE CF AD + ⇔ AD nh ỏ nh ấ t khi và ch ỉ khi hình chi ế u HD nh ỏ nh ấ t. HD HB ≥ và HD=HB khi D B ≡ Suy ra đ pcm. Vd3: Cho tam giác ABC vuông có độ dài c ạ nh góc vuông AB=6cm, AC=8cm. M là đ i ể m di độ ng trên c ạ nh huy ề n BC. G ọ i D và E là chân các đườ ng vuông góc k ẻ t ừ M đế n AB và AC. Tính di ệ n tích l ớ n nh ấ t c ủ a t ứ giác ADME. Gi ả i: Đặ t AD x = thì ME x = . Theo Thalet: 4 4 8 6 8 3 3 EM CE x CE CE x AE x AB CA = ⇒ = ⇒ = ⇒ = − Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 . 8 8 3 3 4 4 4 6 6 9 12 3 12 12 3 3 3 ADME S AD AE x x x x x x x x x   = = − = −     = − − = − − + + = − − + ≤ 2 12 3 ADME S cm x D = ⇔ = ⇒ là trung đ i ể m c ủ a AB, M là trung đ i ể m BC, E là trung đ i ể m AC. Vd4: Cho tam giác ABC, đ i ể m M di chuy ể n trên c ạ nh BC. Qua M k ẻ các đườ ng th ẳ ng song song v ớ i AC và AB, chúng c ắ t AB và AC theo th ứ t ự D và E. Xác đị nh v ị trí M sao cho ADME có S max . Gi ả i: G ọ i S ABC =S, S BDM =S 1 , S EMC =S 2 . Ta nh ậ n th ấ y ( ) 1 2 ADME 1 2 S max min min S S S S S + ⇔ + ⇔ Các & DBM EMC ∆ ∆ đồ ng d ạ nh v ớ i ABC ∆ nên: E F H C A B D yx 2 1 K EH D B C A Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 8 ( ) 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 ; 1 2 S SBM MC S BC S BC S S BM MC x y S BC x y     = =         + + + ⇒ = = ≥ + Nh ư v ậ y 1 max 2 ADME S S = . D ấ u “=” x ả y ra khi và ch ỉ khi x y = . Khi đ ó M là trung đ i ể m c ủ a BC. Vd 5: Gi ả s ử 1 1 1 , , C B A là các đ i ể m tùy ý trên các c ạ nh AB,CA,BC c ủ a tam giác ABC .Ký hi ệ u 1 2 3 , , , S S S S là di ệ n tích các tam giác 1 1 1 1 1 1 , , , ABC AB C BC A CA B CMR: 1 2 3 3 2 S S S S + + ≤ Gi ả i: B Đ T đ ã cho t ươ ng đươ ng v ớ i 3 1 2 3 2 S S S S S S + + ≤ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . 1 3 . . . 2 2 AB AC BA BC CB CA AB AC BC BA CA CB VT AB AC AB BC AC BC AC AB AB BC BC AC   = + + ≤ + + + + + =     MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC: 1.Cho tam giác ABC nh ọ n. D ự ng m ộ t tam giác có chu vi nh ỏ nh ấ t n ộ i ti ế p tam giác ABC, t ứ c là có 3 đỉ nh n ằ m trên ba c ạ nh c ủ a tam giác ABC. Gi ả i: Xét MNP ∆ n ộ i ti ế p ABC ∆ m ộ t cách tùy ý. ( ) , , M AB N BC P AC ∈ ∈ ∈ . V ẽ E,F sao cho AB là trung tr ự c c ủ a NE và AC là đườ ng trung tr ự c c ủ a NF. Chu vi MNP MN MP PN EM MP PF FE ∆ = + + = + + ≥     1 2 2 2 2 EAF A A BAC = + = FAE ∆ là tam giác cân có góc ở đỉ nh không đổ i nên c ạ nh đ áy nh ỏ nh ấ t khi và ch ỉ khi c ạ nh bên nh ỏ nh ấ t. 2 1 B C A N M P E F [...]... t đ ng th c hình h c, h th c lư ng II M t s ví d : 17 Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm 5 Vd 1: Cho ∆ABC , t đi m F trên AC v các đo n th ng EG//AB, và EF//AC (F,G thu c 2 đo n AB và AC) Cm S ABC ≥ 16 S BEF SCEG Gi i: A c1 b2 F G c2 b1 C B a2 E a1 Qua đ bài ta d nh n th y r ng đ ch ng minh b t đ ng th c trên ta s dùng b t đ ng th c AM-GM và công th Herong là phù h p D th y AFEG là hình bình hành... trên có di n tích l n nh t thì có đi u ki n 2 c nh này song song Ta xét di n tích hình thang đó K BE//AD Khi đó ABED là hình thoi ∆BEC là tam giác cân t i B Đ t ADE = α ta có: EBC = π − 2α Ta có: 1 S ABCD = S ABED + S BCE = a 2 sin α + a 2 sin (π − 2α ) 2 1   = a 2  sin α + sin 2α  (1) 2   20 Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm 5 1 S = sin α + sin 2α = sin α + sin α cos α = sin α (1 + cos α )... ng x y ra khi nào? Gi i: Ta th y: HA BC = S 2 + S3 2 a = S2 + S3 ⇒ ax = 2 ( S2 + S3 ) 2 Tương t : ⇒x 10 Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm 5 by = 2 ( S1 + S3 )    ax + by + cz = 2.2S ABC cz = 2 ( S1 + S2 )   Ta c n ch ng minh: x + y + z ≥ 6r Gi s : a ≥ b ≥ c Theo quan ni m v đư ng xiên và hình chi u ⇒ x ≤ y ≤ z T đây ta s ch ng minh ( a + b + c )( x + y + z ) ≥ 3 ( ax + by + cz ) ( 2 ) Th t... ang cách t M đ n c nh đó M i đư ng th ng đó t o v i m t c nh c a tam giác và các đư ng th ng ch a hai c nh kia m t hình thang Ch ng t r ng t ng di n tích c a ba hình thang đó không nh hơn 7 S ABC 3 Gi i: G H A M C B F A2 K M2 E D A1 G i di n tích các tam giác ABC , MBC , MAC , MAB và các hình thang l n lư t là ' ' S , S1 , S2 , S3 , S1' , S2 , S3 Ta có: ∆ADE ∼ ∆ABC ( g.g.g )  AA   AA + MM 2  S... ý: s d ng bài toán đã xét ph n lý thuy t, các phép bi n đ i, các h th c lư ng, đi m đ t c a M và các b t đ ng th c c đi n 27 Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm 5 BÀI 3: PHƯƠNG PHÁP NG D NG TÍCH VÔ HƯ NG Nhi u bài b t đ ng th c tam giác có kh i lư ng tính toán kh ng l ho c khó hình dung các con s hay hư ng xác đ nh khi b t đ u bài toán v i m t cách bình thư ng V i phương pháp ng d ng tích vô hư ng,... ADE =  1  =  2  S ABC  AA2   AA2  S + S1′  S1  ⇒ = 1 +  S S  ⇒ S1′ = 2S1 +   Do  MM 2 S1  =  AA2 S S12 S Tương t ta có: 12 2 2 ′ S2 = 2S2 + 2 S2 S2 ′ = 2 S3 + 3 ; S3 S S Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm 5 2 Mà: 3 ( S12 + S 2 + S32 ) = ( S1 + S2 + S3 ) + ( S1 − S 2 ) + ( S2 − S3 ) + ( S3 − S1 ) ≥ ( S1 + S2 + S3 ) 2 2 ⇒ S12 + S2 + S32 ≥ S2 3 ( Do ′ ′ Do đó: S1′ + S2 + S3 ≥ 2S +... AB AC  1 AE AF 2 S ⇒ S1 + S2 ≥ S 2 = S AEF 3 AB AC 3 S S + S2 2 S 1 S 3 4 ⇔ S1 + S 2 ≥ S (2) 9 ⇒ S1 + S2 ≥ T (1) và (2) suy ra S BEGF + SCFGE ≥ 4 S 9  S = S2 D u “=” x y ra  1 G ∈ EF 13 Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm 5 8.Cho đư ng tròn tâm O, đư ng kính AB và bán kính R Đi m M n m trên AO và AM = k > 1 T M k dây CD b t kì Tìm max S ABCD MO Gi i: S ABCD S ACD + S BCD AM BM AB 2 AO = = + =... ME=MF=MA ⇒ BC = a Tam giác AEF vuông t i A Khi đó ∆AEF có di n tích S2 nh nh t Ta có: vì Â l n nh t: ⇒ A ≥ B ⇒ BC ≥ AC Ta có: AMF + AME = 180o ( ) ⇒ max AMF ; AME ≥ 90o Gi s 14 AMF ≥ 90o B Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Suy ra tam giác AMF tù ⇒ AM 2 + ME 2 ≤ AC 2 ≤ BC 2 − a 2 Ta có: a2 a 3 2 AM + ≤ a 2 ⇒ AM ≤ 2 2 Ta có: a 3 S AEF EF 2MA = = ≤ 2 = 3 a S ABC BC 2 BC 2 ⇒ S AEF ≤ 3S ABC Nhóm 5 A F C M... có đ dài b ng t, v i 2 < t < 2 Các ti p tuy n t i A và B c t nhau t i A′ , các ti p tuy n t i B và C c t nhau t i D và A c t nhau t i D′ Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a t s 15 E Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm 5 BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP S D NG H TH C LƯ NG I Sơ lư c v phương pháp: Không ch trong b t đ ng th c tam giác ta m i s d ng h th c lư ng đ h tr cho vi c tính toán và ch ng minh, mà... tam giác; ma , mb , mc l n lư t là đ dài các trung tuy n xu t phát t A,B,C M là m t đi m b t kì, α , β , γ là các s th c Ta có b t đ ng th c sau là hi n nhiên: (α MA + β MB + γ MC ) 16 2 ≥0 Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm 5 Bình phương hai v c a MA − MB = BA ta đư c 2MA.MB = MA2 + MB 2 − AB 2 và t đây qua các phép bi n đ i tương đương ta s có đư c bđt sau: (α + β + γ ) (α MA2 + β MB 2 + γ MC 2 . bạn đều dành cho bất đẳng thức đại số mà quên đi vẻ đẹp của bất đẳng thức hình học. Chúng tôi hi vọng chuyên đề này sẽ mang đến cho các bạn một cái nhìn thoáng hơn về bất đẳng thức hình học. . về hình học phẳng thì lên cấp THPT ta lại được tìm hiểu sâu về hình học không gian. Bất đẳng thức hình học là một phần quan trọng trong hình học, nó xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của hình học, . học, từ hình học phẳng sơ cấp, hình học không gian, đến hình học tổ hợp,…. Bất đẳng thức hình học có ứng dụng rất rộng lớn trong đời sống cũng như việc chứng minh các bài toán hình học hóc