ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ HẰNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN VÀ GIẢ THIẾT CATALA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ HẰNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN VÀ GIẢ THIẾT CATALA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 36 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH HÀ HUY KHOÁI THÁI NGUYÊN - 2013 Mục lục 0.1 Tóm tắt GIẢ THUYẾT CATALAN: MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE ĐƯỢC GIẢI 1.1 Lịch sử nghiên cứu 1.2 Cassels trường hợp 1.3 Bài tốn giải máy tính? 1.4 Cặp Wieferich 11 1.5 Các "cái triệt tiêu"(Annihilator)- Nhân tố quan trọng 12 1.6 Các triệt tiêu đặc biệt 14 1.7 Phác thảo chứng minh giả thuyết Catalan 16 1.8 Định lý Mihăilescu 17 1.9 Xét lại triệt tiêu 19 1.10 Mâu thuẫn cuối 20 1.11 Kết luận 21 LŨY THỪA HỒN THIỆN - CÁC CƠNG TRÌNH CỦA PILLAI VÀ NHỮNG PHÁT TRIỂN CỦA NĨ 2.1 Những đóng góp Pillai cho vấn đề Diophantine 2.1.1 Các kết Pillai vấn đề Diophantine 2.1.2 Giả thuyết Pillai dãy lũy thừa hoàn thiện 2.2 Giả thuyết Pillai toán mở 2.2.1 Phương trình Catalan 2.2.2 Các lũy thừa hoàn thiện (tiếp theo) 2.3 Sự làm mịn định lượng (Quantitative refinement) giả thuyết Pillai 2.3.1 Giả thuyết abc 2.3.2 Kết nối với toán Waring 22 22 23 25 27 27 30 36 38 40 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 MỞ ĐẦU 0.1 Tóm tắt Giả thuyết Catalan lý thuyết số vấn đề toán học dễ xây dựng, khó để giải Dự đốn lũy thừa hoàn thiện liên tiếp Nói cách khác, phương trình Diophantine xu − y v = (x > 0, y > 0, u > 1, v > 1) (1) khơng có nghiệm khác xu = 32 , y v = 23 Giả thuyết cơng bố tạp trí Journal fur die Reine und Ange- wandte Mathematik nhà toán học Bỉ Eugène Catalan (18141894) Bài báo xuất năm 1944 ([4] Trong thời gian Catalan giảng dạy trường đại học Pari ông thành công việc giải số toán tổ hợp Thuật ngữ số Catalan sử dụng trính dẫn vấn đề Đối với phương trình (1) Catalan viết Cho đến khơng thể chứng minh hồn thiện Ơng chưa bào cơng bố kết riêng quan trọng vấn đề Giả thuyết trở thành thách thức toán học sớm thu số trường hợp riêng, nhiên suốt 100 năm tất các kết thu khơng mang tính chất quan trọng Tiếp vào cuối năm 1950 đồng thời xuất số ý tưởng đáng kể Sau đến năm 1970, việc nghiên cứu điện tử hóa kết đưa tốn tới việc tính tốn hữu hạn Tuy nhiên, khối lượng tính tốn lớn để có tính khả thi Từ đó, hướng việc nghiên cứu nỗ lực để giảm bới khối lượng tính tốn Năm 2002, nhà tốn học Preda Mihăilescu,người chưa biết đến lĩnh vực chứng minh hoàn thiện Giả thuyết Điều ngạc nhiên chứng minh ơng sử dụng đến máy tính, ơng sử dụng lý thuyết sâu sắc, đặc biệt lý thuyết lĩnh vực chia đường trịn Preda Mihăilescu sinh năm 1955 Romani, ơng học tốn ETH Zuric Ơng làm việc ngành cơng nghệ máy tính tài chính, ơng nghiên cứu tốn đại học Paderborn - Đức Bài báo mô tả cách ngắn gọn điểm mốc quan trọng lịch sử toán Catalan giải pháp tuyệt vời Mihăilescu Dù cố gắng, chắn nội dung trình bày luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót định, em mong nhận góp ý thầy cô giáo bạn Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2013 Người thực Lương Thị Hằng Chương GIẢ THUYẾT CATALAN: MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE ĐƯỢC GIẢI 1.1 Lịch sử nghiên cứu Khoảng 100 năm trước Catalan gửi thư cho Crelle, Euler chứng minh có số nguyên liên tiếp lũy thừa bậc hai bậc ba, nghiệm phương trình x3 − y = ±1 (x > 0, y > 0) (1.1) Phương trình (1) tảng để xét trường hợp đặc biệt (1.1) giải phương pháp số đại số Cho (x, y) nghiệm, trước hết ta xét phương trình x3 − y = Ta viết phương trình vành số nguyên Gause Z[i] x3 = (y + 1)(y − 1) (1.2) Do Z[i] vành nhân tử nên ta xét ước chung lớn phần tử Gọi d ước chung lớn y + i y − i, từ phương trình y + i = dλ, y − y = dµ ta có d|2 Từ (2.6) suy d chia hết x x phải số lẻ Từ y ≡ 1( mod 4) Suy d đơn vị Do d = ±1; ±i Ta có y + i = d(a + bi)3 , a, b ∈ Z Tuy nhiên d lũy thừa bậc ba Z[i] nên bỏ Từ phần thực phần ảo phương trình y + i = (a + bi)3 ta tìm y = (x = 1) Điều mâu thuẫn Do phương trình khơng có nghiệm Đối với phương trình x3 − y = 1, ta viết phương trình dạng x3 = (y + 1)(y − 1) Ước chung lớn (y +1 (y −1) Trong trường hợp thứ nhất, ta thấy hiệu hai lũy thừa bậc ba, điều xảy Trong trường hợp thứ hai, dẫn đến phương trình a3 − 2b3 = ±1 √ Do a − bα với α = đơn vị Z[α] vành số nguyên trường số thực Q(α) Các đơn vị vành lũy thừa đơn vị + α + α2 Từ đó, ta tìm |a − bα| lũy thừa bậc nên α = ±1, b = Do phương trình ban đầu có nghiệm x = 2, y = Để chứng minh giả thuyết Catalan ta xét phương trình xp − y q = (x > 0, y > 0) (1.3) với p, q số nguyên tố Năm 1985, V.A Lebesgue [?] giải trường hợp q = Sử dụng đại số số nguyên Gause, ta viết phương trình dạng tương tự phương trình (2.6) Ước chung lớn y + i y − i đơn vị Do ta có hai phương trình y + i = is (a + bi)p , y + i = (−i)s (a − bi)p s ∈ {0, 1, 2, 3} Từ y loại bỏ phương trình dẫn đến mâu thuẫn, phương trình xp − y = khơng có nghiệm Đối với trường hợp p = phương trình (2.7), năm 1961 có kết chứng minh phương trình x2 − y q = có nghiệm với x > 103.10 Nhà toán học Chaoko người Trung Quốc cho phương trình khơng giải cơng đồng Tốn học Chứng minh cơng bố tạp chí Scientia Simica [15] Năm 1976, E.Z Chein [5] công bố chứng minh khéo léo dựa kết T.Nagell [22] cho nghiệm (x, y) phải thỏa mãn 2|y q|x Xét phương trình có dạng (x + 1)(x − 1) = y q Chein kết luận ước chung lớn (x + 1) (x − 1) Do có số nguyên tố a b, với a lẻ thỏa mãn phương trình (x + 1) = 2aq , x − = 2q−1 bq (1.4) hay nói cách khác, phương trình tương tự với x + x − hoán vị Nếu q > (2.8) dẫn đến điều kiện (ha)2 + b2 = (a2 − b)2 h2 = a − 2b phương trình thay mang lại điều kiện tương tự Đây hai phương trình kiểu Pitago giải Từ suy x y khơng tồn với q > Chi tiết cách giải xem chuyên khảo Paulo Ribenboim Trong sách trình bày tồn diện lịch sử giả thuyết Catalan năm 1994 1.2 Cassels trường hợp Từ mục để thuận tiện xét phương trình Catalan đưới dạng xp − y q = 1(xy = 0, p, q số nguyên tố lẻ khác nhau.) (1.5) Ta viết lại phương trình dạng xp − (x − 1) = yq x−1 Bằng cách đồng xp = ((x − 1) + 1)p ta dễ thấy ước chung lớn p (x − 1) x −1 p x−1 Một tình tương tự xảy nghiên cứu phương trình Fermat xp + y p = z p , vế trái phân tích thành tích x + y xp +y p x+y , ước chung lớn thừa số p Điều dẫn đến trường hợp toán Trong lịch sử, trường hợp dễ ràng nhiều người tin cách tiếp cận chứng minh hồn thiện tốn Tuy nhiên, chứng minh Andrew Wiles không sử dụng phân loại Đối với phương trình (1.5) ta phát biểu lại tương tự trường hợp theo giá trị ước chung lớn Trong trường hợp 1, gcd thu phương trình x − = aq , xp − = bq , y = ab x−1 a b số nguyên tố không chia hết cho p Năm 1960, J.W.S Cassels[3] phương trình dẫn đến mâu thuẫn Ông sử dụng phương pháp sơ cấp mối liên hệ tính chia hết bất đẳng thức Sau đó, S Hyyro [10] có chứng minh khác Điều có nghĩa trường hợp Đặc biệt, hai số x − (xp − 1)\(x − 1) chứa lũy thừa bậc p Nhưng số x − Từ đó, ta có xp − chia hết cho p2 Vì có phương trình (x − 1) = p xp − a, = pbq , y = pab x−1 q−1 q (1.6) a b số nguyên tố p chia hết cho b( p chia hết cho a) Các phương trình tương tự theo thừa số xp tích y + (y p − 1)\(y + 1) Đặc biệt y chia hết cho p x chia hết cho q Định lý Cassell kết tổng quát phương trình Catalan (1.5), động lực quan trọng để nghiên cứu phương trình 1.3 Bài tốn giải máy tính? Khoảng kỷ trước, giả thuyết Catalan bắt đầu quan tâm người làm việc giải tích Diophantine Ban đầu họ quan tâm tới số nghiệm (x, y) phương trình với số mũ p, q hữu hạn, cố định Đây dãy định lý tổng quát điểm nguyên đường cong công bố năm 1929 C.L Siegel Năm 1955, H Davenport K.F Roth công bố kết chặn số (mặc dù lớn) [9](các kết khác số nghiệm tham khảo phần giới thiệu [?]) Bước ngoặt hướng vào năm 1970 Alan Baker thu ước lượng dạng tuyến tính logarit Đặt Λ = b1 log r1 + + bn log rn bj số nguyên, rj số hữu tỷ dương Ta định nghĩa chiều cao số hữu tỷ r = s log max(|s|, |t|) đặt B = t max(|b1 |, , |bn |} Giả sử Λ = 0, Baker chứng minh bất đẳng thức sau: |Λ| > exp(−A log B), Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày vấn đề sau đây: 43 Tài liệu tham khảo [1] Y.F Bilu, Catalan’s conjecture [after Mihăilescu], Sém Bourbaki, 55 ème année, n0 909(2002/03), 24 pp [2] Y Bugeaud, G Hanrot, Un nouveau critère pour l’équation de Catalan,Mathematika 47(2000), 63-73 MR 2003h:11039 [3] J.W.S Cassels, On the equation ax − ay = 1„II, Proc Cambridge Philos Soc 56 (1960),97-103 MR 22:5610 [4] E Catalan, Note extraite d’une lettre al’éditeur,J.ReineAngew.Math 27.(1844), 192 adressée [5] E.Z Chein, A note on the equation x2 = y q + 1, Proc Amer Math Soc 56 (1976), 83-84 MR 53:7937 [6] P.M Cohn, Algebra, Vol 2, John Wiley and Sons, Chichester-New York, 1977 MR 58:26625 [7] K Dilcher, Fermat numbers, Wieferich and Wilson primes: computations and generalizations, Public-key cryptography and computational number theory (Warsaw, 2000), de Gruyter, Berlin, 2001, pp 29-48 MR 2002j:11004 [8] R Greenberg, On p-adic L-functions and cyclotomic fields, II, Nagoya Math J 67 (1977), 139-158 MR 56:2964 [9] S Hyyro, Uber das Catalansche Problem, Ann Univ Turku, Ser A I no 79 (1964), pp.MR 31:3378 [10] S Hyyro, Uber die Gleichung axn − by n = z und das Catalansche Problem, Ann Acad Sci Fenn., Ser A I no 355 (1964),50 pp MR 34:5750 44 [11] K Inkeri, On Catalan’s problem,ActaArith (1964), 285-290 MR 29:5780 [12] K Inkeri, On Catalan’s conjecture,J.NumberTheory 34 (1990), 142152 MR 91e:11030 [13] W Keller, J Richstein, Solutions of the congruence ap−1 ≡ 1( mod pr ) Math Comput.(to appear) [14] J Knauer, J Richstein, The continuing search for Wieferich primes, preprint (2003) [15] Chao Ko [Ko Chao], On the Diophantine equation x2 = y n +1, xy = Sci.Sinica(Notes) 14 (1964), 457-460 MR 32:1164 [16] G Lettl, A note on Thaine’s circular units, J Number Theory 35 (1990), 224-226 MR 91h:11118 [17] B Mazur, A Wiles, Class elds of abelian extensions of Q, Invent Math 76 (1984),179-330 MR 85m:11069 [18] M Mignotte, A criterion on Catalan’s equation, J Number Theory 52 (1995), 280-283 MR 96b:11042 [19] M Mignotte, Catalan’s equation just before 2000, Number Theory (Turku, 1999), de Gruyter, Berlin, 2001, pp 247-254 MR 2002g:11034 [20] P Mihăilescu, A class number free criterion for Catalan’s conjecture, J Number Theory 99 (2003), 225-231 [21] P Mihăilescu, Primary cyclotomic units and a proof of Catalan’s conjecture,preprint(September 2, 2002), submitted [22] T Nagell, Sur l’impossibilité de l’équation indéterminée xp − = y , Norsk Mat Forenings Skrifter, Ser I no (1921), 10 pp [23] M.B Nathanson, Catalan’s equation in K(t), Amer Math Monthly 81 (1974), 371-373.MR 49:218 [24] P Ribenboim, Catalan’s Conjecture, Academic Press, Boston, 1994 MR 95a:11029 45 [25] W Schwarz, A note on Catalan’s equation,ActaArith 72 (1995), 277279 MR 96f:11048 [26] R Steiner, Class number bounds and Catalan’s equation, Math Comput 67 (1998), 1317-1322 MR 98j:11021 [27] F Thaine, On the ideal class groups of real abelian number fields, Ann of Math 128(1988), 1-18 MR 89m:11099 [28] R Tijdeman, On the equation of Catalan,ActaArith 29 (1976), 197209 MR 53:7941 [29] L.C Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, 2nd ed., Springer-Verlag, New York- Berlin-Heidelberg, 1997 MR 97h:11130 [30] A Baker, Logarithmic forms and the abc-conjecture, in Number theory (Eger, 1996),de Gruyter, Berlin, 1998, pp 37–44 [31] A Baker, Experiments on the abc-conjecture, Publ Math Debrecen, 65 (2004), pp 253–260 [32] A Baker , On an arithmetical function associated with the abc–conjecture, in Diophantine geometry, CRM Series, 4, Ec Norm., Pisa, 2007, pp 25–33 [33] A Baker and G Wustholz, Logarithmic forms and Diophantine geometry, New Mathematical Monographs Cambridge University Press, 2007 [34] R Balasubramanian, J.-M Deshouillers, and F Dress, Problème de Waring pour les bicarrés I: schéma de la solution, C R Acad Sci Paris, (1986) [35] , Problème de Waring pour les bicarrés II: résultats auxiliaires pour le théorème asymptotique, C R Acad Sci Paris, (1986) [36] R Balasubramanian and P P Pandey, Catalan’s conjecture over number fields http://arxiv.org/abs/0901.4305, 2009 [37] R Balasubramanian and T N Shorey, On the equation a(xm −1)/(x− 1) = b(y n − 1)/(y − 1), Math Scand., 46 (1980), pp 177–182 46 [38] M A Bennett, Fractional parts of powers of rational numbers, Math Proc Cambridge Philos Soc., 114 (1993), pp 191–201 [39] M A Bennett , On some exponential equations of S S Pillai, Canad J Math., 53 (2001),pp 897–922 [40] M A Bennett , Pillai’s conjecture revisited, J Number Theory, 98 (2003), pp 228–235 [41] D J Bernstein, Detecting perfect powers in essentially linear time, Math Comput.,67 (1998), pp 1253–1283 [42] Y F Bilu, Catalan’s conjecture (after Mihăilescu), Astérisque, (2004), pp vii, 1–26.(Lecture at the Bourbaki Seminar, Nov 2002, N)909) [43] , Catalan without logarithmic forms (after Bugeaud, Hanrot and Mihăilescu), J.Théor Nombres Bordeaux, 17 (2005), pp 69–85 [44] Y F Bilu, Y Bugeaud, and M Mignotte, Catalan’s equation book in preparation [45] B J Birch, S Chowla, M Hall, Jr., and A Schinzel, On the difference x3 − y , Norske Vid Selsk Forh (Trondheim), 38 (1965), pp 65–69 [46] E Bombieri and W Gubler, Heights in Diophantine geometry, vol of New Mathematical Monographs, Cambridge University Press, Cambridge, 2006 [47] J Browkin, The abc-conjecture, in Number theory, Trends Math., Birkhauser, Basel,2000, pp 75–105 [48] Y Bugeaud, Sur la distance entre deux puissances pures, C R Acad Sci Paris Sér.I Math., 322 (1996), pp 1119–1121 [49] Y Bugeaud and G Hanrot, Un nouveau critère pour l’équation de Catalan, Mathematika, 47 (2000), pp 63–73 (2002) [50] Y Bugeaud and F Luca, On Pillai’s Diophantine equation, New York J Math.,12 (2006), pp 193–217 (electronic) [51] J W S Cassels, On the equation ax − by = 1, Amer J Math., 75 (1953), pp 159–162 47 [52] J W S Cassels , On the equation ax − by = II, Proc Cambridge Philos Soc., 56 (1960),pp 97–103 [53] E Catalan, Note extraite d’une lettre adresse l’editeur par Mr E Catalan, Rptiteur l’cole polytechnique de Paris, J reine Angew Math., 27 (1844), p 19 [54] E Z Chein, A note on the equation x2 = y q + 1, Proc Amer Math Soc., 56 (1976),pp 83–84 [55] H Cohen, Démonstration de la Conjecture de Catalan 83 p.; http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups05-01.pdf [56] L V Danilov, Letter to the editors: “The Diophantine equation x3 − y2 = k and a conjecture of M Hall” [Mat Zametki 32 (1982), no 3, 273–275, Mat Zametki, 36(1984), pp 457–458 [57] H Darmon and A Granville, On the equations z m = F (x, y) and Axp + By q = Cz r , Bull London Math Soc., 27 (1995), pp 513–543 [58] L E Dickson, History of the theory of numbers I, II, III., Reprinted with the permission of the Carnegie Institution of Washington, New York, Stechert, (1934) [59] N Elkies, Rational points near curves and small nonzero |x3 − y2| via lattice reduction, in Algorithmic number theory (Leiden, 2000), vol 1838 of Lecture Notes in Comput Sci., Springer, Berlin, 2000, pp 33–63 http://arxiv.org/abs/math/0005139 [60] N D Elkies, ABC implies Mordell, Internat Math Res Notices, (1991), pp 99–109 [61] W J Ellison, On a theorem of S Sivasankaranarayana Pillai, in Séminaire de Théorie des Nombres, 1970–1971 (Univ Bordeaux I, Talence), Exp No 12, Lab Théorie des Nombres, Centre Nat Recherche Sci., Talence, 1971, p 10 [62] N I Fel’dman and Y V Nesterenko, Transcendental numbers, in Number Theory, IV, vol 44 of Encyclopaedia Math Sci., Springer, Berlin, 1998, pp 1–345 48 [63] R K Guy, Unsolved problems in number theory, Problem Books in Mathematics,Springer-Verlag, New York, third ed., 2004 [64] K Gyory, On the abc conjecture in algebraic number fields to appear in Acta Arithmetica, 2008 [65] L Habsieger, Explicit lower bounds for ||(3/2)k , Acta Arith., 106 (2003), pp 299–309 [66] M Hall, Jr., The Diophantine equation x3 − y = k , in Computers in number theory(Proc Sci Res Council Atlas Sympos No 2, Oxford, 1969), Academic Press, London,1971, pp 173–198 [67] G H Hardy, Ramanujan: twelve lectures on subjects suggested by his life and work,Chelsea Publishing Company, New York, 1959 [68] G H Hardy and E M Wright, An introduction to the theory of numbers, Oxford Univ Press, third ed., 1954 [69] A Herschfeld, The equation 2x − 3y = d, Bull Amer Math Soc., 41 (1935), p 631 [70] A Herschfeld , The equation 2x − 3y = d, Bull Amer math Soc., 42 (1936), pp 231–234 [71] P.-C Hu and C.-C Yang, Distribution theory of algebraic numbers, vol 45 of de Gruyter Expositions in Mathematics, Walter de Gruyter GmbH and Co KG, Berlin, 2008 [72] S Hyyr, Uber die Gleichung axn − by n = z und das Catalansche Problem, Ann Acad.Sc Fenn., Ser A, 355 (1964) [73] K Inkeri, On Catalan’s problem, Acta Arith., (1964), pp 285–290 [74] K Inkeri , On Catalan’s conjecture, J Number Theory, 34 (1990), pp 142–152 [75] C Ko, On the Diophantine equation x2 = y n + 1, xy = 0, Sci Sinica, 14 (1965),pp 457–460 [76] A Kraus, On the equation xp + y q = z r : a survey, Ramanujan J., (1999), pp 315–333 49 [77] S Lang, La conjecture de Catalan d’après R Tijdeman (Acta Arith 29 (1976), no.2, 197–209), in Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 17e année (1975/76), Thèorie desnombres: Fasc 2, Exp No 29, Secrétariat Math., Paris, 1977, p [78] S Lang, Elliptic curves: Diophantine analysis, vol 231 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, Berlin, 1978 [79] S Lang , Old and new conjectured Diophantine inequalities, Bull Amer Math Soc.(N.S.), 23 (1990), pp 37–75 [80] S Lang , Number theory III, vol 60 of Encyclopaedia ofMathematical Sciences, Springer- Verlag, Berlin, 1991 Diophantine geometry [81] S Lang , Algebra, vol 211 of Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York,third ed., 2002 [82] M Langevin, Quelques applications de nouveaux rsultats de van der Poorten Smin.Delange-Pisot-Poitou, 17 Anne 1975/76, Thor des Nombres, Groupe d’tude; Fasc 2,Expos G12, 11 p (1977)., 1977 [83] M Le, A note on the Diophantine equation axm − by n = k , Indag Math (N.S.), 3(1992), pp 185–191 [84] V A Lebesgue, Sur l’impossibilit en nombres entiers de l’quation xm = y + 1, Nouv Ann Math., (1850), pp 178–181 [85] W J LeVeque, On the equation ax − by = 1, Am J Math., 74 (1952), pp 325–331 [86] J H Loxton, Some problems involving powers of integers, Acta Arith., 46 (1986),pp 113–123 [87] K Mahler, On the fractional parts of the powers of a rational number II, Mathematika, (1957), pp 122–124 [88] D W Masser, Note on a conjecture of Szpiro, Astérisque, (1990), pp 19–23.Séminaire sur les Pinceaux de Courbes Elliptiques (Paris, 1988) 50 [89] R D Mauldin, A generalization of Fermat’s last theorem: the Beal conjecture and prize problem, Notices Amer Math Soc., 44 (1997), pp 1436–1437 [90] B Mazur, Questions about powers of numbers, Notices Amer Math Soc., 47 (2000),pp 195–202 [91] T Metsankyla, Catalan’s conjecture: another old Diophantine problem solved, Bull Amer Math Soc (N.S.), 41 (2004), pp 43–57 [92] M Mignotte, Sur l’équation de Catalan, C R Acad Sci Paris Sér I Math., 314(1992), pp 165–168 [93] M Mignotte, Un critère élémentaire pour l’équation de Catalan, C R Math Rep Acad Sci.Canada, 15 (1993), pp 199–200 [94] M Mignotte, Sur l’équation de Catalan II, Theoret Comput Sci., 123 (1994), pp 145–149.Number theory, combinatorics and applications to computer science (Marseille, 1991) [95] M Mignotte , A criterion on Catalan’s equation, J Number Theory, 52 (1995), pp 280–283 [96] M Mignotte , Arithmetical properties of the exponents of Catalan’s equation, in Proceedings of the 2nd Panhellenic Conference in Algebra and Number Theory (Thessaloniki, 1998),vol 42, 1999, pp 85–87 [97] M Mignotte , Une remarque sur l’équation de Catalan, in Number theory in progress, Vol 1(Zakopane-Koscielisko, 1997), de Gruyter, Berlin, 1999, pp 337–340 [98] M Mignotte, Catalan’s equation just before 2000, in Number theory (Turku, 1999), de Gruyter, Berlin, 2001, pp 247–254 [99] M Mignotte , L’équation de Catalan, Gaz Math., (2002), pp 25–39 [100] M Mignotte , A new proof of Ko Chao’s theorem, Mat Zametki, 76 (2004), pp 384–395 [101] M Mignotte and Y Roy, Catalan’s equation has no new solution with either exponent less than 10651, Experiment Math., (1995), pp 259–268 51 [102] M Mignotte and Y Roy, Lower bounds for Catalan’s equation, Ramanujan J., (1997), pp 351–356 International Symposium on Number Theory (Madras, 1996) [103] M Mignotte and Y Roy , Minorations pour l’équation de Catalan, C R Acad Sci Paris Sér I Math.,324 (1997), pp 377–380 [104] P Mihăilescu, A class number free criterion for Catalan’s conjecture, J Number Theory, 99 (2003), pp 225–231 [105] P Mihăilescu , Primary cyclotomic units and a proof of Catalan’s conjecture, J Reine Angew Math., 572 (2004), pp 167–195 [106] P Mihăilescu , On the class groups of cyclotomic extensions in presence of a solution to Catalan’s equation, J Number Theory, 118 (2006), pp 123–144 [107] L J Mordell, Diophantine equations, Pure and Applied Mathematics, Vol 30, Academic Press, London, 1969 [108] T Nagell, Sur une classe d’équations exponentielles, Ark Mat., (1958), pp 569–582 [109] M Nair, A note on the equation x3 −y = k , Quart J Math Oxford Ser (2), 29(1978), pp 483–487 [110] W Narkiewicz, Classical problems in number theory, vol 62 of Monografie Matematyczne [Mathematical Monographs], Panstwowe Wydawnictwo Naukowe (PWN), Warsaw, 1986 [111] A Nitaj, The abc Conjecture http://www.math.unicaen.fr/ nitaj/abc.html home page [112] J Œsterlé, Nouvelles approches du “théorème” de Fermat, Astérisque, (1988),pp Exp No 694, 4, 165–186 (1989) Séminaire Bourbaki, Vol 1987/88 [113] P Philippon, Quelques remarques sur des questions d’approximation diophantienne, Bull Austral Math Soc., 59 (1999), pp 323–334 Addendum, id 61 (2000), pp 167–169 52 [114] S S Pillai, On some Diophantine equations, Journal Indian M S., 18 (1930),pp 291–295 [115] S S Pillai , On the inequality < ax − by ≤ n, Journal Indian M S., 19 (1931), pp 1–11 [116] S S Pillai, On the indeterminate equation xy − y x = a, Journal Annamalai University 1,Nr 1, (1932), pp 59–61 [117] S S Pillai, On ax − by = c, J Indian math Soc (N.S.) 2, (1936), pp 119–122 [118] S S Pillai, A correction to the paper “On ax − by = c”, J Indian math Soc., (1937),p 215 [119] S S Pillai, On a linear diophantine equation, Proc Indian Acad Sci A, 12, (1940), pp 199–201 [120] S S Pillai , On a problem in Diophantine approximation, Proc Indian Acad Sci., Sect A, 15 (1942), pp 177–189 [121] S S Pillai , On algebraic irrationals, Proc Indian Acad Sci., Sect A, 15 (1942), pp 173–176 [122] S S Pillai, On numbers of the form 2a ∆3b I, Proc Indian Acad Sci., Sect A, 15 (1942),pp 128–132 [123] S S Pillai , On aX − bY = by ± ax , J Indian Math Soc (N S.), (1944), pp 10–13.MR0011477 [124] S S Pillai , On the equation 2x − 3y = 2X + 3Y , Bull Calcutta Math Soc., 37 (1945),pp 15–20 [125] S S Pillai and A George, On numbers of the form 2a ∆3b II, Proc Indian Acad.Sci., Sect A, 15 (1942), pp 133–134 [126] J.-C Puchta, On a criterion for Catalan’s conjecture, Ramanujan J., (2001),pp 405–407 (2002) [127] G Plya, Zur arithmetischen Untersuchung der Polynome, Math Zs 1, 143-148,(1918) 53 [128] P Ribenboim, Catalan’s conjecture, Academic Press Inc., Boston, MA, 1994 [129] P Ribenboim, My numbers, my friends, Springer-Verlag, New York, 2000 Popular lectures on number theory [130] A Schinzel, Andrzej Schinzel selecta Vol I, Heritage of European Mathematics, European Mathematical Society (EMS), Zurich, 2007 Diophantine problems and polynomials, Edited by Henryk Iwaniec,Wladyslaw Narkiewicz and Jerzy Urbanowicz [131] R Schoof, Catalan’s conjecture, Universitext, Springer-Verlag London Ltd., London,2008 [132] R Scott, On the equations px − by = c and ax + by = cz , J Number Theory, 44(1993), pp 153–165 [133] R Scott and R Styer, On px − q y = c and related three term exponential Diophantine equations with prime bases, J Number Theory, 105 (2004), pp 212–234 [134] R Scott and R Styer, On the generalized Pillai equation ±ax ± by = c, J Number Theory, 118 (2006),pp 236–265 [135] T N Shorey, Exponential Diophantine equations involving products of consecutive integers and related equations, in Number theory, Trends Math., Birkhauser, Basel,2000, pp 463–495 [136] T N Shorey , An equation of Goormaghtigh and Diophantine approximations, in Currents trends in number theory (Allahabad, 2000), Hindustan Book Agency, New Delhi, 2002, pp 185–197 [137] T N Shorey, Diophantine approximations, Diophantine equations, transcendence and applications, Indian J Pure Appl Math., 37 (2006), pp 9–39 [138] T N Shorey and R Tijdeman, New applications of Diophantine approximations to Diophantine equations, Math Scand., 39 (1976), pp 5–18 54 [139] T N Shorey and R Tijdeman , Exponential Diophantine equations, vol 87 of Cambridge Tracts in Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge, 1986 [140] T N Shorey, A J Van der Poorten, R Tijdeman, and A Schinzel, Ap- plications of the Gel’fond-Baker method to Diophantine equations, in Transcendence theory: advances and applications (Proc Conf., Univ Cambridge, Cambridge, 1976), Academic Press, London, 1977, pp 59–77 [141] C L Siegel, ber einige Anwendungen diophantischer Approximationen., Abhandlungen Akad Berlin 1929, Nr 1, 70 S, (1929) [142] J H Silverman, The Catalan equation over function fields, Trans Amer Math.Soc., 273 (1982), pp 201–205 [143] J H Silverman , A quantitative version of Siegel’s theorem: integral points on elliptic curves and Catalan curves, J Reine Angew Math., 378 (1987), pp 60–100 [144] N J A Sloane, Perfect powers, in the on-line encyclopedia of integer sequences http://www.research.att.com/ njas/sequences/A001597, 2009 [145] V G Sprindzuk, Classical Diophantine equations, vol 1559 of Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 1993 Translated from the 1982 Russian original, Translation edited by Ross Talent and Alf van der Poorten, With a foreword by van der Poorten [146] C L Stewart, On heights of multiplicatively dependent algebraic numbers, Acta Arith., 133 (2008), pp 97–108 [147] C L Stewart , On sets of integers whose shifted products are powers, J Comb Theory, Ser A,115 (2008), pp 662–673 [148] C L Stewart and R Tijdeman, On the œsterlé-Masser conjecture, Monatsh.Math., 102 (1986), pp 251–257 [149] C L Stewart and K Yu, On the abc conjecture, Math Ann., 291 (1991), pp 225–230 55 [150] C L Stewart and R Tijdeman , On the abc conjecture II, Duke Math J., 108 (2001), pp 169–181 [151] R J Stroeker and R Tijdeman, Diophantine equations, in Computational methods in number theory, Part II, vol 155 of Math Centre Tracts, Math Centrum, Am- sterdam, 1982, pp 321–369 [152] C Strmer, Quelques thormes sur l’quation de Pell x2 − Dy = ±1 et leurs applications Christiania Videnskabsselskabs Skrifter M N Klasse No Udgivet for Fridthjof Nansen’s Fond 48 p in Imp vo., 1897 [153] R Tijdeman, Some applications of Baker’s sharpened bounds to diophantine equations Smin Delange-Pisot-Poitou, 16e anne 1974/75, Thorie des Nombres, Fasc 2,Expos 24, p (1975)., 1975 [154] R Tijdeman , On the equation of Catalan, Acta Arith., 29 (1976), pp 197–209 [155] J Turk, On the difference between perfect powers, Acta Arith., 45 (1986), pp 289–307 [156] A J Van Der Poorten, Effectively computable bounds for the solutions of certain Diophantine equations, Acta Arith., 33 (1977), pp 195–207 [157] P Vojta, On the ABC conjecture and Diophantine approximation by rational points, Amer J Math., 122 (2000), pp 843–872 Correction, id 123 (2001), pp 383–384 [158] M Waldschmidt, Sur l’équation de Pillai et la difference entre deux produits de puissances de nombres entiers, C R Math Rep Acad Sci Canada, 12 (1990), pp 173–178 [159] M Waldschmidt, Open Diophantine problems, Mosc Math J., (2004), pp 245–305, 312 [160] W Zudilin, A new lower bound for ||(3/2)k ||, J Théor Nombres Bordeaux, 19 (2007),pp 311–323 56 Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn ngày tháng năm 2013 chỉnh sửa với ý kiến đóng góp thầy, hội đồng Thái Nguyên, ngày tháng năm 2013 Xác nhận cán hướng dẫn khoa học GS.TSKH Hà Huy Khoái 57 ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ HẰNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN VÀ GIẢ THIẾT CATALA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số... bậc ba, nghiệm phương trình x3 − y = ±1 (x > 0, y > 0) (1.1) Phương trình (1) tảng để xét trường hợp đặc biệt (1.1) giải phương pháp số đại số Cho (x, y) nghiệm, trước hết ta xét phương trình x3... Từ y loại bỏ phương trình dẫn đến mâu thuẫn, phương trình xp − y = khơng có nghiệm Đối với trường hợp p = phương trình (2.7), năm 1961 có kết chứng minh phương trình x2 − y q = có nghiệm với x